Môđun hữu hạn sinh trên vành chính và ứng dụng

Dựa vào các tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày một số kết quả về phân tích nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về cấu trúc các môđun trên vành chính.. Lý thuyết về phân tích nhó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh 4

1.1 Sự phân tích các nhóm xyclic 4

1.2 Môđun tự do và nhóm aben tự do 5

1.3 Sự phân tích của nhóm aben hữu hạn sinh 11

Chương 2 Môđun trên vành chính 22

2.1 Môđun tự do trên vành chính 22

2.2 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính 27

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Mở đầu

Mỗi nhóm aben có cấu trúc tự nhiên là một – môđun Mặt khác vành

số nguyên là một vành chính Vì vậy lý thuyết môđun trên vành chính có

thể áp dụng cho các nhóm aben Tuy nhiên, do những đặc tính của vành cơ sở

, ta có thể thu được những mô tả sâu sắc hơn cho lớp các môđun trên nó

Cũng có thể nói khái niệm môđun là một mở rộng của khái niệm nhóm aben

và khái niệm không gian véctơ

Dựa vào các tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày một số kết quả về

phân tích nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về cấu trúc các môđun

trên vành chính Lý thuyết về phân tích nhóm aben hữu hạn sinh có thể được

trình bày như một hệ quả của lý thuyết môđun trên vành chính Tuy nhiên,

trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về nhóm aben trước

Chúng ta sẽ thấy rằng những kỹ thuật của nó có thể soi sáng cho những kỹ

thuật của lý thuyết môđun trên vành chính Lý thuyết môđun trên vành chính

kế thừa được nhiều thành quả của lý thuyết nhóm aben Các kết quả về môđun

trên vành chính trình bày trong luận văn được nhìn nhận từ các kết quả về

nhóm aben đã trình bày trước đó Từ các kết quả về môđun trên vành chính,

chúng ta có thể nhận lại được các kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại

một số kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về môđun trên

vành chính để từ đó thấy được lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh có thể được

trình bày độc lập nhưng cũng có thể được suy ra từ lý thuyết môđun trên vành

chính

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia

làm hai chương

Chương 1: Nhóm aben hữu hạn sinh Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh Kết quả chính là có thể biểu diễn mỗi nhóm aben hữu hạn sinh một cách duy nhất dưới dạng tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được.

Chương 2: Môđun trên vành chính Trong chương này chúng tôi trình bày về môđun trên vành chính Các kết quả trong chương này được nhìn nhận

từ các kết quả về nhóm aben đã trình bày ở Chương 1 Mặt khác từ các kết quả ở chương này, chúng ta có thể suy ra các kết quả tương ứng ở Chương 1 như những hệ quả

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS

TS Ngô Sỹ Tùng; thầy PGS.TS Lê Quốc Hán; thầy PGS.TS Nguyễn Thành Quang; các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Vinh, các bạn bè trong lớp cao học Toán 17 – Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã có những ý kiến đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Chương 1 Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh, tức là lớp nhóm aben với một hệ sinh hữu hạn Kết quả chính là có thể biểu diễn mỗi nhóm aben hữu hạn sinh một cách duy nhất dưới dạng tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được

1.1.1 Định nghĩa Một nhóm aben X được gọi là không phân tích được nếu

X không thể biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường

1.1.2 Mệnh đề Nhóm cộng các số nguyên là không phân tích được

Chứng minh Giả sử có biểu diễn  X Y với X, Y là những nhóm con không tầm thường của Khi đó tìm được các phần tử khác không a X và

b Y Vì X, Y là những nhóm con của , nên ab X Y Nhưng điều này trái với điều kiện X Y  0 Vậy là nhóm không phân tích được 

1.1.3 Mệnh đề Nếu p là một số nguyên tố và m là một số nguyên dương, thì nhóm cộng p m các số nguyên môđun m p là không phân tích được

Chứng minh Giả sử p m  X Y là một phân tích của p m thành tổng trực tiếp của những nhóm con không tầm thường Khi đó tồn tại hai số nguyên dương s t, nhỏ hơn m sao cho , X Y là những nhóm xyclic được sinh

theo thứ tự bởi p p s t, Bây giờ tùy theo s t hay s t mà ta sẽ có X Y hay

X Y Và như vậy thì điều kiện X Y  0 không thể xảy ra, mâu thuẫn 

1.1.4 Định nghĩa Một nhóm xyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

được gọi là nhóm xyclic nguyên sơ

1.1.5 Định lí Giả sử số nguyên n1 có phân tích tiêu chuẩn là

1.1.6 Nhận xét Ta biết rằng, chỉ có hai loại nhóm xyclic là nhóm xyclic cấp

vô hạn (mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên ) và nhóm xyclic cấp hữu hạn (mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp m đều

đẳng cấu với nhóm cộng m các số nguyên môđun m) Từ những kết quả trên

ta suy ra rằng chỉ có hai loại nhóm xyclic khác 0 không phân tích được là nhóm nhóm xyclic vô hạn và nhóm xyclic nguyên sơ Mọi nhóm nhóm xyclic hữu hạn khác 0 đều phân tích được thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic nguyên sơ

1.2 Môđun tự do và nhóm aben tự do

1.2.1 Định nghĩa (i) Cho M là một Rmôđun Một tập  x i i I , x iM

được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử xM đều là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ  x i i I , nghĩa là với mọi x M thì

môđun hữu hạn sinh

1.2.2 Định nghĩa Tập con S của một Rmôđun M được gọi là một tập

độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức r x1 1 r x n n 0 với x1, , x nS

đôi một khác nhau, ta rút ra r1   r n 0 Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M là môđun 0 hoặc M có một hệ sinh

S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là môđun tự do và tập S được gọi là một

cơ sở của M

1.2.3 Ví dụ 1 Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở  1 Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, R( )I là một Rmôđun tự do với cơ sở e i i | I, trong đó e có thành phần thứ i i bằng 1, các thành phần

còn lại bằng 0 Cơ sở này gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của ( )I

R

2 Mỗi một không gian vectơ trên một trường K đều là một K môđun

tự do, vì nó luôn có cơ sở

Ta biết rằng mỗi nhóm aben là một - môđun, vì vậy ta có định nghĩa sau đây

1.2.4 Định nghĩa Cho G là một nhóm aben Khi đó:

(i) G được gọi là nhóm aben tự do nếu G là một - môđun tự do

(ii) Mỗi cơ sở của - môđun tự do G được gọi là một cơ sở của nhóm

Chứng minh Giả sử m là một iđêan cực đại của R Khi đó R/m là một trường,

và môđun thương M/mM là một R/m-môđun, tức là một R/m-không gian

vectơ Bây giờ giả sử  xi i I là một cơ sở của M Với mỗi a R và x M  ,

kí hiệu ảnh của chúng trong R/m và M/mM tương ứng là a và x Vì hai cơ sở

bất kì của một không gian vectơ có cùng lực lượng nên để chứng minh Định

lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng  xi i I là một cơ sở của R/m-không gian vectơ

M/mM Rõ ràng  xi i I là một hệ sinh của M/mM, ta còn phải chứng minh

nó độc lập tuyến tính Giả sử có đẳng thức  i I i i a x 0 với a R i bằng 0

với tất cả, trừ ra một số hữu hạn i I Khi đó  i I i i a x mM , vì vậy tìm được các bi m, bằng 0 với hầu hết i I  sao cho a x i i b x i i

i I i I

Do  xi i I là một cơ sở của M, điều đó dẫn đến a i b i, tức là ai 0với

mọi i I Vậy họ  xi i I độc lập tuyến tính, và chứng minh của Định lý

Chú ý rằng kết quả trên có thể không đúng nếu R là vành không giao

hoán Kết quả này dẫn đến khái niệm sau đây, là một mở rộng của khái niệm chiều không gian vectơ

1.2.6 Định nghĩa (i) Cho M là một môđun tự do trên vành giao hoán R Khi

đó lực lượng của một cơ sở bất kỳ của M được gọi là hạng của M, ký hiệu là

r(M)

(ii) Cho G là một nhóm aben tự do Khi đó hạng của - môđun G được gọi là hạng của nhóm aben G, kí hiệu là r(G)

Cấu trúc của môđun tự do được mô tả qua định lý sau đây

1.2.7 Định lý R-môđun M là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I sao

cho M  R (I)

Chứng minh Nếu có một tập I và một đẳng cấu R – môđun f R: I M, thì

có thể kiểm tra không khó khăn rằng M là một môđun tự do với cơ sở

Ngược lại, giả sử M có một cơ sở là Ss i I i  , khi đó do S là hệ sinh độc

lập tuyến tính của M, mỗi phần tử x M biểu diễn được duy nhất dưới dạng

1.2.8 Nhận xét Từ chứng minh của định lý trên ta suy ra nếu M là một R-mô

đun tự do với cơ sở S thì M  R (S) Do đó, nếu G là một nhóm aben với cơ sở

S thì G  (S)

Đặc biệt mọi nhóm aben tự do hạng n đều đẳng cấu với n

1.2.9 Mệnh đề Cho M là một môđun trên vành giao hoán R Khi đó tồn tại

một Rmôđun tự do F và một toàn cấu Rmôđun : f F M Ngoài ra,

nếu M là hữu hạn sinh và sinh bởi n phần tử thì F là một Rmôđun tự do

với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử

1.2.10 Nhận xét Từ mệnh đề trên ta suy ra mỗi R-môđun đều đẳng cấu với

thương của một R-môđun tự do Đặc biệt, một R-môđun là hữu hạn sinh khi

và chỉ khi nó đẳng cấu với thương của R n

với n là một số nguyên dương nào

đó Do đó, mỗi nhóm aben với d phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm

thương của một nhóm aben tự do hạng d Sau đây là một kết quả đặc sắc về

các nhóm con của một nhóm aben tự do

1.2.11 Định lý Cho F là một nhóm aben tự do hạng n Khi đó mỗi nhóm con

G của F đều có một nhóm aben tự do hạng r G  m n Hơn nữa, tồn tại

một cơ sở Su1, ,uncủa F và một cơ sở T v1, ,vmcủa G sao cho

v t u i i i với i1, ,m trong đó t1, ,tm là những số nguyên dương thỏa mãn

ti chia hết 1 ti với mọi i1, ,m1

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Với n0, định lý đúng một cách hiển nhiên Giả sử n0 và định lý được chứng minh khi n được

thay bằng n1 Ta loại trừ trường hợp tầm thường G0 và coi G0

Giả sử V y1, ,ynlà cơ sở của F Khi đó mỗi phần tử g G điều biểu diễn được duy nhất dưới dạng g k g y 1  1 k g y n  n với

  , 1, ,

k g i  i n Và gọi k g là số nguyên dương nhỏ nhất trong tất cả các

số nguyên dương của tập k g1 , ,k g n   Với mỗi cơ sở V của F, ta đặt

t  k C C Khi đó tồn tại 1v G và một cơ sở U sao cho 1t là

một hệ số trong biểu diễn của 1v qua cơ sở U Đánh số lại các phần tử của

U , nếu cần thiết, ta có thể coi rằng v1 1 1 2 2t x k x  k x n n, trong đó , ,

ta suy ra ri 0 với mọi i2, ,n Vậy 1 1 1v t u

Bây giờ gọi H là nhóm con của F sinh bởi các phần tử x2, ,xn Rõ

ràng H là nhóm aben tự do hạng n1 Đặt K H G  Theo giả thiết quy

nạp, K là một nhóm aben tự do hạng r K  n 1 Giả sử r K  m 1 Vẫn theo giả thiết quy nạp, tồn tại một cơ sở u2, ,uncủa H và một cơ sở

v2, ,vm của K sao cho v t u i i i i  2, ,m, trong đó t2, ,tm là những

số nguyên dương và ti chia hết 1 ti với mọi i2, ,m1

Gọi J là nhóm con xyclic của F sinh bởi 1v và I là nhóm con xyclic của F sinh bởi 1u Ta thấy ngay J I Vì 1v G , nên JG Ta sẽ chỉ ra

rằng G J K  Thật vậy, vì U'u x1 2, , ,xnlà một cơ sở của F, nên

 0

I H  Nhớ rằng J I , nên J H  0 Từ đó rút ra

 0

Mặt khác, với g là phần tử bất kì của G , ta có thể biểu diễn nó qua cơ

sở U : ' g c u c x 1 1 2 2   c x n n, trong đó c i , 1, ,i n Chia 1v cho 1t,

Dễ thấy Su1, ,un là một cơ sở của F và T v1, ,vmlà cơ sở

của G Để hoàn thành chứng minh của định lý, ta còn phải chỉ ra rằng t chia 1

hết t Giả sử 2 t t q r2 1 0 0, 0 r t0 1 Xét phần tử u'1 u q u Khi đó 1 0 2

u u' , , ,1 2 uncũng là một cơ sở của F, và đối với cơ sở này, phần tử

2 1

v  v G có biểu diễn v2 1  v  t u1 1 0 2' r u Vì 0 r t 0 1, nên theo cách

chọn của 1tta rút ra r0 0, tức là t chia hết 1 t 2 

1.3 Sự phân tích của nhóm aben hữu hạn sinh

1.3.1 Mệnh đề Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng

trực tiếp của các nhóm con xyclic

Chứng minh Giả sử nhóm aben B có tập sinh gồm n phần tử Khi đó B đẳng cấu với nhóm thương F A n/ của nhóm aben tự do hạng n Trong đó các nhóm

   

  

Từ đó suy ra t s m i  i i, 1 i k, ti0 với k i n  Điều này có nghĩa là mỗi

phần tử t e i i đều thuộc A Từ đó suy ra rằng nếu phần tử

1 1 2 2

t e t e  t e n nA bằng 0 trong F A n/ thì mỗi hạng tử t e i iA đều bằng 0 trong đó ta cóF A n/   e A i 

1.3.2 Mệnh đề Mọi nhóm aben sinh bởi n phần tử đều đẳng cấu với tổng

trực tiếp của n nhóm xyclic có cấp lần lượt là t1, ,tn, trong đó

1 t1   tn và ti chia hết 1 ti với mọi i mà ti1hữu hạn

Chứng minh Giả sử X là một nhóm aben sinh bởi n phần tử Khi đó tồn tại

một nhóm aben tự do F hạng n và một nhóm con G của F sao cho X đẳng cấu với nhóm thương F G Bởi Định lí 1.2.11, G là một nhóm aben tự do /hạng r G  m n, đồng thời tồn tại một cơ sở Su1, ,uncủa F và một

cơ sở T v1, ,vmcủa G sao cho v t u i i i 1 i m, trong đó t1, ,tm là

những số nguyên dương thỏa mãn ti chia hết 1 ti với mọi i1, ,m1

Bây giờ ta chọn n nhóm xyclic C1, ,Cnnhư sau: Với i m thì C i  t i, là

nhóm cộng các số nguyên môđun ti ; còn với i m thì Ci  Ta sẽ chứng minh rằng F G đẳng cấu với / C1  Cn Để tránh nhầm lẫn, ta kí hiệu

phần tử sinh của nhóm Ci là ci Xét đồng cấu : h FC1  Cn cho bởi

1.3.3 Định lý Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng

trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclic không phân tích được

Chứng minh Giả sử G là nhóm aben có hệ sinh n phần tử Ta đặt  là tập

hợp tất cả những hệ sinh gồm n phần tử của G (chú ý rằng, trong một hệ sinh như thế ta chấp nhận cả phần tử không để cho đủ n phần tử) Cho a là một phần tử của G , ta ký hiệu  a là bậc của a Giả sử Sa1, ,an Ta có thể đánh số lại để lúc nào cũng có    a1  a2    an

Ta xây dựng trên  một quan hệ thứ tự toàn phần “” theo kiểu từ điển như sau: Cho X b1, ,bn là một phần tử khác của  với

   b1 b2  bn

    Ta nói SX khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên

i với 1 i n  , sao cho    a1  b1 , ,   a i1  b i1 ,   a i  b i

Bây giờ, giả sử hệ sinh S đã chọn ở trên là phần tử cực tiểu trong tập hợp

được sắp thứ tự  Khi đó ta sẽ chứng minh rằng G là tổng trực tiếp của các

nhóm con xyclic a1 , , an và do đó định lý được chứng minh

Giả sử ngược lại, G không phải là tổng trực tiếp của những nhóm

xyclic trên Do đó tồn tại những số nguyên m1, ,mn sao cho

1 1 2 2

m a m a  m a n n , mà có ít nhất một hạng tử trong tổng trên khác

không Giả sử j là một số sao cho m a1 1  m j1a j10 nhưng m a j j 0

Rõ ràng ta có thể giả thiết thêm rằng 0 m j a j

 

  Gọi m là ước số chung

lớn nhất của các số m j, ,mn tức tồn tại những số nguyên k j, ,kn có ước số chung lớn nhất là 1 sao cho m mk i j i  i,  , ,n

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo đại lượng

chẳng hạn bằng cách đánh số lại ta có thể cho k jvà k j1cùng khác không

Từ đó ta suy ra k jk j1  k j hoặc k jk j1  k j

Giả sử k jk j1  k j , từ đây kéo theo

k jk j  k j   k n k Vậy, áp dụng giả thiết quy nạp theo hệ số

nguyên tố cùng nhau k j  k j 1,k j 1, ,kn đối với hệ sinh mới

a1, ,a j1, ,a a j j1a a j, j2, ,an của G , ta tìm được một hệ sinh

Một cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh được kết luận trên cho

trường hợp k jk j1  k j Từ biểu thức của bj ta suy ra mbj 0 Do đó

b j m j a j

   

    , tức S S' trong  Điều này mâu thuẫn với tính cực

tiểu của S Vậy ta phải có

1

n

G i ai

Giả sử X là một nhóm aben hữu hạn sinh Khi đó nhóm con xoắn  X của X

là nhóm con gồm tất cả những phần tử có cấp hữu hạn của X Nếu

X = X 1 X n (*)

là một phân tích của X thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không

phân tích được thì dễ thấy rằng  X chính là tổng trực tiếp của các hạng tử

nguyên sơ, còn nhóm thương X/ X là tổng trực tiếp của những hạng tử

xyclic cấp vô hạn trong phân tích đó Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau

1.3.4 Hệ quả Nếu X là một nhóm aben hữu hạn sinh thì

(i) X X F , trong đó F là một nhóm con aben tự do của X (ii) X là một nhóm aben tự do nếu và chỉ nếu  X 0

Bây giờ ta xét nhóm aben hữu hạn sinh X và (*) là một phân tích của X

thành tổng trực tiếp các nhóm xyclic không phân tích được Các kết quả tiếp

theo sẽ chứng tỏ rằng phân tích dạng này của X là duy nhất sai khác một đẳng

cấu

Với mỗi số nguyên tố p, kí hiệu C p (X) là tập tất cả các phần tử của X có cấp là một lũy thừa của p và gọi là thành phần p-nguyên sơ của X Dễ thấy rằng C p (X) là một nhóm con của X và nó chính là tổng trực tiếp của tất cả các hạng tử nguyên sơ có cấp là một lũy thừa của p xuất hiện trong phân tích (*) của X Bây giờ ta sắp xếp lại các hạng tử trong phân tích (*) như sau: đầu tiên

gom tất cả các hạng tử xyclic nguyên sơ, nếu có, mà có cấp là lũy thừa của

cùng một số nguyên tố p vào cùng một cụm, để được thành phần p-nguyên sơ Sau đó liệt kê các thành phần p-nguyên sơ theo thứ tự tăng dần của các số

nguyên tố, cuối cùng là cụm gồm các hạng tử xyclic cấp vô hạn Trong mỗi

thành phần p-nguyên sơ, ta lại viết các nhóm con xyclic nguyên sơ theo thứ tự

có cấp giảm dần Sau khi phân tích (*) đã được sắp xếp theo cách ấy thì (*)

được gọi là một phân tích tiêu chuẩn của của X

Chẳng hạn, nhóm X =  6 12 có phân tích tiêu chuẩn là

2 2 3 3 2

Nhóm này có hạng 2 và có các thành phần nguyên sơ là C2(X) = 22  2 và

C2(X) = 3 3

Từ Hệ quả 1.3.4 ta suy ra rằng để phân loại các nhóm aben hữu hạn sinh thì ta chỉ cần phân loại các nhóm xoắn hữu hạn sinh Định lý sau đây cho thấy có thể phân loại các nhóm xoắn hữu hạn sinh dựa trên dạng phân tích tiêu chuẩn của chúng

1.3.5 Định lý Giả sử X , Y là những nhóm xoắn hữu hạn sinh đẳng cấu Nếu X , Y có phân tích tiêu chuẩn lần lượt là

1

X X  Xn ; Y Y  1 Ym , thì mn và X i Y i , với mọi i1, ,n Chứng minh Giả sử h X: Y là một đẳng cấu Vì h không làm thay đổi cấp

của mọi phần tử của X, nên với mỗi số nguyên tố p h chuyển thành phần ,

pnguyên sơ C X p  của X một cách đẳng cấu lên thành phần pnguyên

sơ C X p  của Y Do vậy, ta có thể coi X và Y là những nhóm pnguyên

sơ, tức là X C X p và Y C Y p  Khi đó cấp của các nhóm Xi và Yj là

những lũy thừa của p, giả sử X p i

h N X p N Y p , nên ta phải có n p p m , hay nm

Bây giờ giả sử tồn tại k1, ,nsao cho k k Giả thiết thêm rằng k là

số nhỏ nhất có tính chất đó, tức là i i  với mọi ik Và không làm mất

tính tổng quát ta có thể giả sử k k Gọi C p X k



 tương

ứng là các nhóm con của X và Y gồm các phần tử chia hết cho pk Khi đó

1.3.6 Định lý Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều có một phân tích tiêu chuẩn

duy nhất, sai khác một đẳng cấu

1.3.7 Định nghĩa Cho một nhóm aben hữu hạn sinh X Khi đó cấp của các hạng tử xyclic nguyên sơ trong phân tích tiêu chuẩn của X được gọi là các

bất biến nguyên sơ của X

Như vậy, hai nhóm aben hữu hạn sinh có cùng hạng và cùng bất biến nguyên sơ thì đẳng cấu

1.3.8 Bổ đề Giả sử G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b theo thứ

tự Khi đó G H là một nhóm xyclic nếu và chỉ nếu G và H là các nhóm xyclic và a, b nguyên tố cùng nhau

Chứng minh Vì G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b nên tổng trực tiếp của hai nhóm xyclic được xem như là tích trực tiếp của G và H

Giả sử G x có cấp là a và H y có cấp là b với  a b, 1 Ta sẽ

chứng minh rằng G H là nhóm xyclic sinh bởi phần tử  x y, Vì G có a

phần tử và H có b phần tử nên G H có ab phần tử hay cấp của G H bằng

ab Ta có:  x y, abx ab ab,y e e G H, 

Nếu  x y, k e e G H,  thì x y k k, e e G H, x k e G và k y eH Suy ra k a và k b Vì  a b, 1 nên k ab Do đó ord x y , ab và bằng cấp

G H Vậy G H là nhóm xyclic sinh bởi phần tử  x y ,

Đảo lại, giả sử G H là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử  x y k l,Gọi M là bội chung nhỏ nhất của a và b Ta có

x y k l,  M  x kM lM,y e e G H,  Mchia hết cho cấp của x y hay k l, 

M chia hết cho ab Vậy  a b, 1 

Ngoài phân tích tiêu chuẩn của nhóm aben hữu hạn sinh như trong Định lý 1.3.6 thì ta còn có phân tích sau đây

1.3.9 Định lý Với mỗi nhóm aben hữu hạn X , tồn tại duy nhất một số nguyên không âm r và n ( n0) số nguyên dương , , t1 tn lớn hơn 1 thỏa mãn ti chia hết 1 ti với mọi i1, 1n sao cho X có phân tích

1

X X  X nF , trong đó F là một nhóm aben tự do hạng r, còn Xi là một nhóm xyclic cấp ti Chứng minh Tồn tại phân tích và các số nguyên r và , , t1 tnđược suy ra từ

Mệnh đề 1.3.2 Số r là duy nhất vì nó chính là hạng của nhóm X Ta còn phải chứng minh tính duy nhất của các số , ,t1 tn Muốn vậy, ta hay phân tích

nhóm con xoắn  X của X dưới dạng tiêu chuẩn và gọi ji

pi với 1, , , 1, ,

i k j li là những bất biến nguyên sơ của X với

1, 1, ,

     Đặt N X  l max /1l i  i k, và với mỗi i