Vậy x=2 là nghiệm của phương trình đã cho... Mà O là trung điểm của AD nên đường thẳng d là đường trung bình của ∆SAD⇒ d qua trung điểm I của SD.. Vậy trung điểm I của SD là tâm mặt cầu
Trang 1Câu Đáp án tóm tắt đề thi thử đợt 3 khối A- năm học 2010-2011. Điểm
I 1/ Với m= 1 ta có y= x -2x +1.4 2
Tập xác định: R
Sự biến thiên:
+ Giới hạn: lim
→±∞ = +∞
1
x
y x x y
x
=
x −∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 1 +∞
0 0
Hàm số nghịch biên trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) à (0;1)v
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (1;+∞) Hàm số đạt cực đại tại x=0; y(0)=1
Hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1; ( 1) 0y ± =
Đồ thị hàm số:
+ Điểm uốn " 12 2 4; " 0 1
3
y” đổi dấu khi qua các điểm
1 3
x= ±
Do đó 1,2 1 4;
9 3
± là 2 điểm uốn của đồ thị hàm số + ĐTHS nhận Oy làm trục đối xứng
0,25
0,5
0,25
-1
y
x 1
1
O
Trang 2III
2- Phương trình cho hoành độ giao điểm của ĐTHS (1) và trục Ox: x -2mx +1=04 2 (1)
Đặt t x= 2 điều kiện t 0 có t≥ 2−2mt+ =1 0 (2)
Đồ thị hàm số (1) cắt tia Ox tại 2 điểm p/b có hoành độ x x1, t/m x2 2 =2x1 Khi và chỉ
khi phương trình (2) có nghiệm dương t ,t1 2 phân biệt thỏa mãn t =4t2 1
Điều kiện để (2) có 2 nghiệm phân biệt dương là
2
m
P
Áp dụng định lý Viet có: 1+ 21 2 ( )**
t t =2m
t t =1
Từ
1
2
1 2
2m
t = 5 8m
5
t = 4t
t t = 2m
2
(loa
5 m= (t/m)
=1
-5
4
⇔
Đáp số: m = 5
4
Giải các phương trình: Điều kiện: cos2x 0≠
2cos x + cos4x + 2cos 3x - 2 = cos4x(2sin2x + 1)
⇔
(2cos x-1)+(2cos 3x-1)=2cos4x.sin2x
⇔
cos 4 0 2cos 4 cos 2 2cos 4 sin 2
tan 2 1
x
x
=
=
8
k
k Z
x
k x
k x
π
π
∈
= +
k
x= +π π ∈
là nghiệm của phương trình đã cho
2) Điều kiện: x>0
Phương trình ⇔(5log 2x)2 =x 52 log 2x+5log 2x
Đặt y = log x2 ⇔x=2y phương trình trở thành:
2y y y y
5 = 4 5 +5
1
÷ ÷
Nhận xét y= 1 là một nghiệm của phương trình (3)
Mặt khác vế trái của (3) là hàm nghịch biến; vế phải là hàm hằng nên phương trình
(3) có nghiệm duy nhất y =1 Khi đó ta có x=2 (Thỏa mãn)
Vậy x=2 là nghiệm của phương trình đã cho
sin
1 os
xdx x dx I
c x
+ +
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 3x
x
π
π
+
0
dx
sinx
1 os x
x I
c
π
= ∫ + đặt x= −π t; dx=-dt
0
0
t
I
π π
π
0
dt t
sin π
t I
c
π
= ∫ + đặt cost = tany
2 2
1 -sindt = dy = (1+tan y)dy
cos y
*)
3
=
(1 tan )
y dy
π π π
−
−
= =
+
*)
I =π −I ⇔I =π
Vậy
2 2
4
I I I = + = +π − +π
Từ giả thiết ta có SA (ABCD) VSABCD= SA.dt1 ABCD
3
Ta có: ∆ABC vuông tại B nên: AC = AB +BC2 2 =a 5
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CK⊥ADtại K
0,5
0,25
0,25
y
4
π
4
π
−
2a
S
a
2a
C a
B
2a 5S
I
O
Trang 4VI-a
ABCK
⇒ là hình chữ nhật ⇒AK= BC= a; CK=2a
Mặt khác trong tam giác vuông CKD có:
2
1
2
ABCD
2 3 ABCD
• Nhận xét: ∆ACD vuông tại C nên trung điểm O của AD là tâm đường tròn
ngoại tiếp ∆ACD
• Từ O dựng đường thẳng ( ) (d ⊥ ACD)vì (ACD) (⊥ SAD).⇒( ) (d ⊂ SAD)
Lại có SAD∆ vuông tại A; nên SA⊥ AD⇒d/ /SA Mà O là trung điểm của AD nên
đường thẳng (d) là đường trung bình của ∆SAD⇒ (d) qua trung điểm I của SD
Vậy trung điểm I của SD là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Xét vế trái của bất đẳng thức: ( )2 ( )2 ( )2
VT
Vì a 2; b 2; c 2 ó c 1 1 1 a+b ab
a b
( ) (2 ) (2 )2
VT
Đặtx l= og ; 2a y l= og ; 2b z l= og 2c
Vì
a b c c x y z VT
y z z x x y
2
2
2
4
4 4
x
y z
y
z x
z y
+
+
2
x y z
y z z x x y
+ +
y z z x x y
+ +
VT 3
2
Dấu “=” xảy ra khi a= b= c= 2
B- Phần riêng:
Theo chương trình chuẩn:
1/ Phương trình AB: x-2y+2=0 Vì AB= 2CD nên d(I, AD)= d(I, BC)=2d(I, AB)= 5
Như vậy : AD; BC là hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB và cách điểm I
một khoảng h= 5 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB và cách điểm I một
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Trang 5khoảng h= 5 có phương trình dạng: 2x+ y+c =0 (r)
6 5
c c
c
=
Với c= 4 đường thẳng có phương trình: 2x+ y+ 4= 0 cắt AB tại điểm (-2; 0)
Với c=-6 đường thẳng có phương trình: 2x+ y -6= 0 cắt AB tại điểm (2; 2)
Do xA< 0 nên A(-2; 0); B(2; 2)
Vì I là trung điểm của AC và BD ta có:C(3; 0); D(-1; -2)
Vậy A(-2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(-1; -2)
2/ Nhận xét: Giả sử đường thẳng (c) qua điểm P(1;-1;2) vuông góc với đường thẳng
(a) và cắt đường thẳng (b) khi đó (c) là giao tuyến của hai mặt phẳng:
Mặt phẳng (P) qua điểm P vuông góc với đường thẳng (a) và mặt phẳng (Q) đi qua
điểm P và đường thẳng (b)
Mp(P) nhận VTCP (1; 2;3)ur − của đường thẳng (a) là 1VTPT
Đường thẳng (b) qua điểm Q(1;-9;-12) và 1VTCP (1; 2; 1)vr − Mp(Q) qua điểm
P và đường thẳng (b) có 1VTPT là :nr=PQ vuuur r, =(18; 7; 4− ).Đường thẳng (c) là giao
tuyến của 2 mp(P) và mp(Q) nên có 1VTCP c= u, nr r r = (13; 50; 29)
Suy ra đường thẳng (c) có phương trình là:
1 13
2 29
= +
= +
.( thỏa mãn)
Vậy đường thẳng (c) có phương trình là:
1 13
2 29
= +
= +
3/ Ta có: D= -21- 23i ; Dx= 2- 44i; Dy= 23- 21i
x 1 i z 1 i
y i
= +
Gọi w= a+bi là căn bậc 2 của số phức Z=1-i ta có:
2 2
w
w
a b ab
m
Vậy căn bậc 2 của số phức Z là:w 2 2 2 2 2 2
Theo chương trình nâng cao:
1/ (C) có tâm I(1;3) và bán kính R=2 ; IM= 2 5 R〉 ⇒M nằm ngoài (C).Nên qua điểm
M luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến đường tròn (C)
Tiếp tuyến với đường tròn (C) tại Mo(xo;yo) nhận véc tơ IM (x -1; y -3)uuuur0 0 0
là một VTPT nên tt có phương trình dạng: (x0−1)(x-1)+(y0−3)(y-3)=4.(1)
Áp dụng ta có tiếp tuyến ME có pt: (x E −1)(x-1)+(y E −3)(y-3)=4
dt
M∈ ME⇔(x E −1)(-3-1)+(y E −3)(1-3) = 4⇔2x E +y E − =3 0(3)
0,25
0,25 0,25
0,25
0,5
0,25
0.5
0,5
0,25
0,25
Trang 6Tương tự ta cũng có: 2x F +y F − =3 0(4)
Từ (3) và (4) ta thấy hai điểm E và F cùng thuộc đường thẳng có pt: 2x+y-3=0
Hay đường thẳng EF có phương trình: 2x+y-3=0
2/ Nhận xét: Đường thẳng AB song song với đường thẳng (d) nên đt AB và đt(d)
cùng thuộc một mặt phẳng (R)
Gọi H hình chiếu của A trên đường thẳng (d) và A’ là điểm đối xứng của A qua đường
thẳng (d) Ta có IA=IA’⇔IA+IB=IA’+IB≥A’B (Áp dụng BĐT tam giác)
Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của A’B và đường thẳng (d), điểm I nằm
trong đoạn A’B Dấu bằng luôn xảy ra vì trong mặt phẳng (R) hai điểm A; B cùng phía
đối với đt (d) suy ra A’; B khác phía đối với đt (d) Vậy IA+IB đạt GTNN bằng A’B
khi I là giao điểm của A’B và đường thẳng (d)
Mặt phẳng (T) qua điểm A vuông góc với đường thẳng (d) nhận VTCP (3; 2;2)ur − của
đường thẳng (d) là một VTPT suy ra pt mp(T) có phương trình là: 3x-2y+2z+3=0
H là giao điểm của đường thẳng (d) và mp(T)
Đường thẳng (d) có ptts:
1 3
2 2
= − +
= +
;H∈(d)⇔H( 1 3 ; 2 2 ;2 2 )− + t − t + t mà
H∈(T)⇔3(-1+3t)-2(2-2t)+2(2+2t)+3=0⇔t=0⇒ H(-1;2;2)
Vì H là trung điểm của AA’ nên ta có A’(-3;2;5)
Đường thẳng A’B qua A’ có 1VTCP 1 ' (5; 2; 1)
2uuuurA B= − −
Ptđt A’B là:
3 5
5
= − +
= −
I là giao điểm của (d) và A’B⇒ I∈A B' ⇔ − +I( 3 5 ; 2 2 ;5s − s −s)
( 3 5 ; 2 2 ;5 ) ( )
1 (2;0; 4)
−
⇔ = ⇒
Vậy (2;0; 4)I là điểm cần tìm.
3/ Xét:
( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 2
1
−
n + − +n n− + − =n n+ −
Hết
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,5
