2.Tìm m để đồ thị của hàm số 1 có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.. Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC cân đỉnh A.. Viết phương trình tổng quát của đường thẳ
Trang 1SỞ GD&ĐT Hng yªn
Môn Thi : TOÁN ; Khối :D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngµy thi: 20/2/2011
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
CâuI(2 điểm).
Cho hàm số: 1 3 2
(2 1) 3 3
y= x −mx + m− x− (1)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2.Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối
với trục tung
CâuII(2 điểm):
1 Giải phương trình: cos4x – cos3x + cos2x = 0
2 Giải phương trình: 3x− + 2 x− = 1 4x− + 9 2 (3x− 2)(x− 1)
CâuIII(2 điểm):
1 Giải hệ phương trình:
x y x y
x x y y y
+ + + =
2 Giải phương trình: log(2 2 5 2) 2
log log 2
x x x
+
CâuIV(3điểm) :
1 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC cân đỉnh A trọng tâm G(2; 2 − ) .
Đường thẳng BC có phương trình: x + y −1 = 0, đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh C
có phương trình: y + 2 = 0
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB
2 Cho hình chóp SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a 3
Đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = 2a, BAC· = 120 0
a.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)
b Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
CâuV(1điểm) :
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 thì
1 1 1 3( )
3a 3b 3c 3a 3b 3c
Hết
………….………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:
Trang 2Chữ kí giám thị:………
Híng dÉn chÊm TOÁN KHÓI D Câu Nội dung Điểm CâuI(2, 0đ) 1)1,0 đ 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1 1 x y x − = − 1 Tập xác định: D= ¡ \{1} 2 Sự biến thiên của hàm số * Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số 1 2 2 1 lim lim lim 2 1 1 1 x x x x x y x x →±∞ →±∞ →±∞ − − = = = − − => Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim ;lim lim 1 1 x x x x x x y y x x + − + → − → → → − − = = +∞ = = −∞ − − =>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng 0,25 * Lập bảng biến thiên 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − , y’ không xác định <=> x=1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị 0,25 bảng biến thiên x -∞ 1 +∞
y’ ||
-y 2 +∞
-∞ 2
0.25
3 Đồ thị
- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2
- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1
- đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng
0,25
I(1;2) 2
x
O
Trang 32)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
2 1
1
x
x m x
− = +
−
( x=1 không phải là nghiệm của (*))
2
x m x m
0,25
(m 3) 4(1 m) m 2m 5 0 m
Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x y B x y( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 vớix x là hai nghiệm của (1)1 , 2
0,25
Theo viét x1 + = −x2 3 m x x; 1 2 = − 1 m Vì A B, ∈ ( )d nên y1 = +x1 m y; 2 = +x2 m
AB = x −x = x +x − x x = m − m+
0,25
3
m
m
= −
0,25
Câu II:
(2,0đ) 1)Giải phương trình 3 cos 2x+ 2cosx(sinx− = 1) 0
⇔ 3 cos 2x+ sin 2x= 2cosx
cos 2 sin 2 cos
0,25
cos(2 ) cos
6
0,25
6
x x k
k
x x k
− = − +
¢
0,25
2
2
x k
k k x
= +
= +
¢
KL
0,25
1)1,0đ
2)Giải phương trình 22 1 4 2
2
2 log x 2 log log x (x )
x
ĐKXĐ:x>0
2
1 log x 2 log log x
x
0,25
Đặt t=log 2 x
Trang 42 3 2 0
1 2
t t
t t
− + =
=
⇔ =
t=1 ta có log 2 x=1 ⇔x=2
t=2 ta có log 2 x=2 ⇔x=4
kết hợp với ĐKXĐ ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4
0,25
Câu
III:
(1,0đ)
Tính tích phân
1
0
2 I
1
x dx x
= +
∫
Đặt t = x⇒ = ⇒x t2 dx= 2tdt
3
1 1
xdx t dt
t
x = + +
Nếu
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
0,25
2
t
0
1 1 4( ln 1 ) )
3t 2t t t
10
4 ln 2 3
Câu
IV:
(1,0đ)
A'
G
M' C'
B'
C
B A
Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là · 0
AA G= gọi M’là trung điểm B’C’ ⇒A’,G, M’ thẳng hàng
0,25
đặt x=AB
∆ A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ ' ' 3, ' 2 ' ' 3
A M = A G= A M =
Trong ∆ AA’G vuông có AG=AA’sin60 0 = 3
2
' ' os60
A G=AA c = = ⇔ =x
0,25
diện tích ∆ ABC là 1 0 2 3 3 3 2 3 2 3
.sin 60 ( )
ABC
Trang 5thể tích khối lăng trụ là ' ' ' . 3 3 2 3 9 3
2 16 32
Câu
VIa: 1.
(1,0đ)
Giả sử là I t( ; 1 − − ∈t) d2tâm của đường tròn (C)
Vì (C) tiếp xúc với d1 nên
3 4( 1 ) 20
d I d R + − − −
+
0,25
24 25
t
0,25
Với t= ⇒ 1 I1 (1; 2) − ta được phương trình đường tròn
( ) ( ) (2 )2
C x− + y+ =
0,25
Với t= − ⇒ 49 I1 ( 49; 48) − ta được phương trình đường tròn
( ) ( ) (2 )2
C x+ + y− =
0,25
2.
(1,0đ) (S): 2 2 2
x +y + −z x− y+ z− = (S) có tâm I(2;2;-1)
phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 2x y+ − 2z D+ = 0điều kiện D≠ 1(*)
0,25
( ,( )) 3
d I P = | 2.2 1.2 2( 1)2 2 2 | 3
2 1 ( 2)
D
+ + −
0,25
1
| 8 | 9
17
D D
D
=
⇔ + = ⇔ = −
Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17
0,25
Vậy phương trình của (Q) 2x y+ − 2z− = 17 0 0,25 Câu
VIIa:
(1,0đ)
VIIa Số khả năng lấy được 4 viên bi trong 15 viên là 4
15
TH1: lấy được 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng
Có : 2 1 1
5 3 7 210
C C C = (cách)
0,25
TH2: lấy được 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng
Có : 1 2 1
5 3 7 105
C C C = (cách)
0,25
TH3: lấy được 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng
Có : 1 1 2
5 3 7 315
C C C = (cách) Vậy xác suất lấy được 4 viên bi có đủ các mầu là:
210 105 315
46%
1365
P= + + =
0,25
VI.b 1 Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆ ,
=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)
Trang 6Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng 5 2 − 3 2 = 4
c c
d I
c
− + +
+ = − − (thỏa mãn c≠2) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y+ + 4 10 1 0 − = hoặc
3x y+ − 4 10 1 0 − =
log x+ 2m log x+ + = 2 4 m 1 log + x (1) Đk: x>0
Đặt: log 3x t khi= , x∈[ ]1;9 =>t∈[ ]0;2
( ) ( )
2 2
t m t m mt
t m
⇔ + = − +
Vì t∈[ ]0; 2 từ (2) 2 4
3
t m
t
+
⇔ = −
+ Đặt ( ) ( )
2
( )
( )
3 13
3 13
t loai
= − −
⇔
= − +
Ta có : f(− + 3 13)=2 13 6 − ; f(0)=-4/3; f(2)=-8/5
Vậy với 8; 2 13 6
5
m∈ − −
thì phương trình có nghiệm với mọi x∈[ ]1;9
0,25
0,25
0,25
0,25
