Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F.. Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH.
Trang 1Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 8 Ngày thi : 05-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1 : (4 điểm)
1, Cho x,y thoả mãn y x y( + ) ≠ 0 v xà 2 − xy 2y = 2 Tính 3 y
x
x A
y
−
=
Bài 2 : (4 điểm)
1, Tìm a,b sao cho f x( ) = ax 3 + bx 2 + 10x 4 − chia hết cho đa thức g x( ) = x 2 + − x 2
2,Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số nguyên tố
Bài 3 : (3 điểm)
Giải phương trình : 2 25 2
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia
BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH
1, Chưng minh rằng : 3 2
.
4
2, Tính số đo góc GOH
Bài 5 : (3 điểm)
Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho
&
BC =C = AB BC < Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện x + y + z =1 Chứng minh rằng : 2 2 2
3 3 3 1
HẾT
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)
ĐÁP ÁN Bài 1 : (4 điểm)
1, Từ: y x y( ) 0 x y 0
y 0
+ ≠
( ) ( )
x − xy 2y = → → + x y x-2y = 0
Vì x+ ≠ y 0 Nên x-2y= → = 0 x 2y
Ta có :A 3.22yy y 53y 53
−
Trang 22, Tính : ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
Với n≥ 1 , ta có
( )
( )
2 2
1
n
n
n n
Áp dụng vào bài toán ta có : 12 12 12 12 12 12 1 12 9999
Bài 2 : (4 điểm)
1, Ta có : g x( ) = x 2 + − x 2= x 1 x 2( − ) ( − )Vì f x( ) = ax 3 + bx 2 + 10x 4 − chia hết cho đa thức
( ) 2
g x = x + − x 2 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
3 2
ax bx 10x 4= x-2 x-1 q x
Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 1( )
Với x=-2 → 2a-b+6=0 2( )
Thay (1) vào (2) Ta có : a=2& b=4
2,Ta có : a 4 + 4= a -2a+2 a +2a+2( 2 ) ( 2 )
Vì a c ∈ → a -2a+2 c;a +2a+2 c 2 ∈ 2 ∈
a +2a+2= a+1 + ≥ ∀ 1 1 a
Và 2 ( )2
a -2a+2= a-1 + ≥ ∀ 1 1 a
Vậya 4 + 4 là số nguyên tố thì a +2a+2=1 2 hoặc a - 2a+2=1 2
Nếu a -2a+2=1 2 → =a 1 thử lại thấy thoả mãn
Nếu a +2a+2=1 2 → = −a 1 thử lại thấy thoả mãn
Bài 3 : (3 điểm)
Điều kiện : x≠ − 2
Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 2 25 2
Với x≠ 0 phương trình 2 25 2
( )
2 *
4
4 2
y x
x
Điều kiện : y≠ 2 &y≠ − 2
3 0
y
y
=
x
4
x
x x
= −
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − −{ 1; 4}
Bài 4 : (4 điểm)
1, Chứng minh ∆BCG đồng dạng ∆DHF
Trang 3.
.
2, Theo định lý Pythagos tính được
4
Ta có ∠GBO= ∠HDO= 30 0 Nên ∆BGO đồng dạng ∆DOH
Suy ra ∠GHO= 30 0
Bài 5 : (3 điểm)
Qua N kẻ NQ //AB ( Q thuộc BC ) , theo định lí Thales ta có :
( )
;
( )
;
Gọi I, K là trung điểm của MQ và MN Suy ra IK là đường trung bình của tam giác MNQ
Gọi G là giao điểm cua AI và PK theo Thales có 1
2
GA= GP = PA=
Suy ra G là trọng tâm của tam giác MNP và G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 6 : (2 điểm)
2
x
2
y
2
z
+
Trang 4Lại có :( ) (2 ) (2 )2 2 2 2
0
x y− + −y z + −z x ≥ →x +y + ≥z xy yz zx+ +
Nên
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện x + y + z =1 Chứng minh rằng : 2 2 2
3 3 3 1
2 2 2
Dấu bằng xảy ra khi x= = =y z 1