Trên tia đối của tia DB lấy M sao cho D là trung điểm của BM.. Trên tia đối của tia CE lấy N sao cho E là trung điểm của CN.. gv: Nguyễn Quang Sáng sưu tầm... Từ đó chứng minh B là trung
Trang 1Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 7 Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1 : (2 điểm)
a/ Cho 1 1 1 1 & 2011 2011 2011 2011
1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
Chứng minh rằng : A
B là một số nguyên b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : C= 24 4 1 24 − − x
Bài 2 : (4 điểm)
a/ Cho ba số a,b,c thoả mãn :
2009 2010 2011
a = b = c
Tính giá trị của biểu thức : ( ) ( ) ( )2
M = a b b c− − − −c a
b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x)
Bài 3 : (3 điểm)
Cho hai đa thức :
1
2 5
2
a/ Tìm đa thức C x A( ) = ( )x B − ( )x
b/Tìm nghiệm của C(x)
Bài 4 : (2 điểm)
So sánh A & B Biết ( 99 99)100 ( 100 100)99
100 99 & 100 99
Bài 5 : (5 điểm)
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE cắt nhau tạu G Trên tia đối của tia DB lấy
M sao cho D là trung điểm của BM Trên tia đối của tia CE lấy N sao cho E là trung điểm của CN Chứng minh
a/ A là trung điểm của đoạn NM
2
BD CE+ > BC
c/ Các đường thẳng AG, BN , CM đồng quy
Bài 6 : (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có góc A bằng 30 độ , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
A vẽ tam giác đều BCD Chứng minh rằng : AD2 =AB2 +AC2
HẾT
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)
Trang 2Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 7 Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1 : (2 điểm)
a/ Cho
1.2 3.4 5.6 99.100 1 2 3 4 5 6 99 100
= + + + + ÷− + + + + ÷
= + + + + ÷− + + + + ÷
= + + + + ÷ − + + + + ÷
= 1 1 1 1
51 52 53 100
2011 2011 2011 2011 1 1 1 1
Do đó A 2011
B = là một số nguyên
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : C= 24 4 1 24 − − x
Với mọi x ta có : 1 24 − x ≥ → − − 0 4 1 24x ≤ 0
Do đó C= 24 4 1 24 − − x ≤ 24
C = 24 khi và chỉ khi 1 24 0 1
24
Vậy giá trị lớn nhất của C = 24 khi và chỉ khi 1
24
x=
Bài 2 : (4 điểm)
a/ Từ
2009 2010 2011
a = b = c Suy ra :
2009 2010 2011 2009 2010 2010 2011 2011 2009 1 1 2
a = b = c = a b− = b c− = c a− = a b− =b c− =c a−
Từ đó suy ra : 2
2
c a
a b
c a
b c
−
− = −
−
− = −
4 4
c a
M = a b b c− − − −c a = →M =
b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x)
xy= y x− → y− −x xy= → → y+ −y =
Vì x, y nguyên dương nên y + 3 là ước của 9 , y 3 3 + > → + = → = y 3 9 y 6
Khi đó x = 2
Khi x = 6 , y = 2 thoả mãn
Trang 3Vậy (x;y) = (2;6)
Bài 3 : (3 điểm)
a/ Kết quả C x A( ) = ( )x B − ( )x 2 = x2 + 2x− 4
1 0
x
x
+ =
Vậy đa thức C(x ) có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
Bài 4 : (2 điểm)
Hs chứng minh bài toán tổng quát ( n n)n 1 ( n 1 n 1)n
a +b + > a + +b + với mọi a,b nguyên dương Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b
Ta có :
.
n
Vậy ( n n)n 1 ( n 1 n 1)n
a +b + > a + +b +
Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều phải chứng minh
Bài 5 : (5 điểm)
a/ A là trung điểm của đoạn NM
Chứng minh AM = AN
Chứng minh A,M,N thẳng hàng
b/ Chứng minh BG GC BC+ >
3BD CE BC+ > →BD CE+ > 2BC
c/ Gọi I là giao điểm của BM và CN
Chứng minh tam giác ABN bằng tam giác
CIB (g.c.g) Từ đó chứng minh B là trung
điểm của IN
Tương tự C là trung điểm của IM
Suy ra G là trọng tâm của tam giác IMN
Suy ra GI là trung tuyên của tam giác IMN
mà A là trung điểm của MN nên IG đi qua
A hay A,G,I thẳng hàng
Kết luận : Các đường thẳng AG, BN , CM
đồng quy
Trang 4Bài 6 : (2 điểm)
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ
đoạn thăngAE sao cho AE vuông vớí AC và
AE = AC
Chứng minh tam giác AEC cân có một góc
bằng 60 độ
Suy ra góc ACE bằng 60 độ
Chứng minh được tam giác ACD bằng tam
giác ECB (c.g.c)
Lí luận được BE2 =AB2 +AE 2 Rồi suy ra điều
phải chứng minh
HẾT
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)