So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích tam giác ABC... Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật tác giả không đa trực tiếp v ít à truy cập trang đó, nếu có lỗi trong quá trình biên
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 9
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Giải phơng trình:
2 x - x+ 1 = 2
Bài 2: (2,5đ)
a) Chứng minh rằng:
A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
chia hết cho 24 với mọi n ∈ N
b) Chứng minh rằng các số có dạng:
n4 – 4n3 – 4n2 + 16n
với n chẵn và lớn hơn 4 thì chia hết cho 384
Bài 3: (2,5đ)
Tìm ba số x , y , z biết:
a)
5 4
;
3
2
z y
y
x = = với x + y z =– 10
b)
8
3
y
x = với 2x +3y = -30.
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC, N là trung điểm của đoạn AB , M là trung điểm của đoạn
AC P và Q nằm trên BC sao cho BP = PQ = QC BM cắt NP và AQ tại K và L
So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích tam giác ABC
-Hết đề
Trang 2thi -Đáp án đề Toán 8 9 Bài 1 : (2đ)
Ta có: x = x nếu ≥ 0
-x nếu x<0
và x+ 1 = x+1 nếu x≥ − 1
-(x+1) nếu x<-1 0,5đ
Ta lập bảng sau đây:
-∞ -1 0 +∞
2 x -2x -2x 0 2x
1
+
x -(x+1) 0 x+1 x+1
2 x - x+ 1 -2x +(x+1) -2x –(x+1) 2x-(x+1)
0,5đ
Do đó ta có:
1) Với x<-1
-2x +(x+1) = 2 ⇔ x = - 1 (loại)
2) - 1 ≤ x < 0
0,5đ
3) Với x ≥ 0
0,5đ
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm số là -1 và 3
Bài 2: (2,5đ)
a) 1 đ
Ta phân tích thành nhân tử :
A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ
Đa thức phân tích đợc là tích của bốn nguyên liên tiếp nên bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4 Thật vậy:
Trang 3Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k+1) do đó:
- Khi k chẵn thì n 4 còn n + 2 2
- Khi k lẻ thì n + 2 4 còn n 2
- Tơng tự nh vậy, nếu ta xét n + 1 = 2k thì trong hai số n + 1 và n + 3
có một số chia hết cho 4, số kia chia hết cho 2
Do đó: A(n) =n(n+1)(n+2)(n+3) 2.4 = 8
Ta lại có: n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
mà (3;8) =1 nên A(n) 3.8 = 24 (đpcm) 0,5đ b) 1,5đ
Ta phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử:
A = n(n-2) (n+2) (n- 4) 0,5đ Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 (k >1) và biểu diễn theo k, ta có: A = (2k + 2) (2k) (2k + 4) (2k -2) 0,5đ
= 16k(k-1)(k+1(k+2)
= 16(k-1)k(k+1(k+2)
Ta nhận thấy (k-1)k(k+1(k+2) là tích của bốn số nguyên dơng liên tiếp, tích này chia hết cho 24
Vậy tích A chia hết cho 16.24 = 384 (đpcm) 0,5đ
Bài 3: (2,5đ)
a) 1,5đ
Từ
3
2
y
12 8
y
x = 0,5đ
15 12
5
4
z y
z
y = ⇒ =
5
10 15 12 8 15 12
− +
− +
=
=
x
0,5đ
Vậy x = 8 2 = 16
y= 12 2 = 24
z = 15 2 =30 0,5đ
Trang 4
b) 1đ
1 30
30 24
6
3 2 8 3
3 3
.
2
2
8
+
+
=
=
=
x
0,5đ
Suy ra : x = 3.(-1) = -3
y = 8.(-1) = -8 0,5đ
Bài 4: (3đ) Vẽ hình 0.5 đ
Kẻ CG//AQ cắt BM kéo dài tại G, suy ra BK = KL = LG
Gọi diện tích tam giác BKP là S1 ta có S1 =
4
BLQ
S
(đáy và đờng cao của tam giác BLQ đều tăng 2 lần so với tam giác BKP) Suy ra SKPQL = 3S1(1) 0,5đ
và S1 =
9
BGC
S
(lý do tơng tự nh trên) Suy ra SLQCG = 5S1 (2) 0,5đ
Ta lại thấy: SALM= SMGC.Suy ra SAQC = SLQCG =
3
S
(3) (S là diện tích tam giác ABC, cùng chiều cao, đáy QC=1/3 đáy BC) 0,5đ
Từ (2) và (3) suy ra S1 =
15
S
(4)
Từ (1) và (4) ta suy ra: SKPQL = 3S1 = 3
15
S
=
5
S
(đpcm) 0,5đ
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
A
M L
N
s1
G
Q P
K
Trang 5Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít à truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh–