Dao động điều hòa biến dạng c số

Nhóm lượng tử và đại số lượng tử được nhiều nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu, với hi vọng rằng nhóm lượng tử sẽ giúp ta đưa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

HO V T Ý _

HOÀNG HỒNG NGỌC

D O ĐỘNG ĐIỀU HÒ BIẾN DẠNG C – SỐ

HÓ U N TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

PGS.TS Nguyễn Thị Hà oan

Hà Nội, 2015

ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Hoàng Hồng Ngọc

ỜI C M ĐO N

Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất

kỳ một tác giả nào Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Hoàng Hồng Ngọc

MỤC ỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Bố cục của khóa luận 3

NỘI DUNG 4

Chương 1: Dao động tử điều hòa 4

1.1 Dao động tử Boson 4

1.2 Dao động tử Fermion 11

Chương 2: Dao động tử biến dạng c – số 13

2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 13

2.1 Dao động tử Fermion biến dạng q 19

Chương 3: Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số 22

3.1 Phân bố thống kê của dao động tử điều hòa 22

3.1.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson 22

3.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion 26

3.2 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số 28

3.2.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q 28

3.2.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q 30

ẾT U N 33

TÀI IỆU TH M HẢO 34

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vật lý lý thuyết Ngôn ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tử làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây Lý thuyết nhóm Lie như là công cụ toán học của

lý thuyết đối xứng, đóng vai trò quan trọng trong việc thống nhất và tiên đoán các hiện tượng vật lý Nói riêng, nhóm Lie đã trở thành công cụ chủ yếu trong lý thuyết trường và hạt cơ bản

Nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh vực của Vật lý Nhóm lượng tử và đại số lượng tử được nhiều nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu, với hi vọng rằng nhóm lượng tử sẽ giúp ta đưa ra được những mô hình vật

lý tổng quát hơn, có những bổ sung chính xác với thực nghiệm hơn và việc nghiên cứu hạt cơ bản có hiệu quả hơn là sử dụng khái niệm nhóm thông thường Ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng

Trong những năm gần đây, dao động tử biến dạng lượng tử đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà vật lý bởi những ứng dụng của chúng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang – Baxter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với những thống kê phân số,

lý thuyết siêu đối xứng,… Đặc biệt nó được ứng dụng nhiều để nghiên cứu cấu trúc đại số của nhóm lượng tử và hữu hiệu hơn trong việc nghiên cứu lý thuyết thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lý lượng tử, Vật lý các môi trường đậm

đặc, Vật lý hạt nhân nguyên tử,… Dao động tử điều hòa chính là trường hợp đặc biệt của dao động tử biến dạng q, khi q  1 thì dao động tử biến dạng q trở về dao động tử điều hòa Hiện nay việc nghiên cứu đại số biến dạng q được kích thích thêm sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt cơ bản như hạt Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein, hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac, ngoài ra còn các hạt tuân theo các thống kê khác như: thống kê para, thống kê vô hạn,…

Đại số dao động biến dạng q này có thể đưa đến một loại mới của lý thuyết trường ở đó có sự vi phạm nhỏ của nguyên lý loại trừ Pauli và sự sai lệch

từ những thống kê Bose có thể được thảo luận Những hệ quả của cấu trúc đại số biến dạng q trong các mẫu cụ thể cũng đã được nghiên cứu

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài: “Dao động điều hòa biến dạng c – số” nghiên cứu một cách có hệ thống lý thuyết dao động tử biến dạng khi tham số là

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Xây dựng lý thuyết biến dạng khi tham số là c – số, nghiên cứu về dao động tử điều hòa biến dạng q

- Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử biến dạng q, xây dựng toán tử năng lượng của hệ dao động biến dạng q, giải phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử biến dạng q, so sánh với dao động tử điều hòa thông thường và đưa ra những kết luận vật lý

- Chỉ ra hàm phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng q

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Dao động tử Boson và dao động tử Fermion

- Dao động tử Boson và dao động tử Fermion biến dạng q

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng

- Phương pháp giải tích toán học

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp vật lý thống kê

6 Bố cục của khóa luận:

- Tên đề tài: Dao động điều hòa biến dạng c – số

- Khóa luận gồm 3 phần chính:

MỞ ĐẦU

B NỘI DUNG

Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Dao động tử điều hòa Chương 2: Dao động tử biến dạng c – số Chương 3: Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số

C KẾT U N

NỘI DUNG

CHƯƠNG I

D O ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về hình thức luận dao động tử

điều hòa, bao gồm dao động tử điều hòa Boson và dao động tử điều hòa

Fermion Chương I chính là cơ sở lý thuyết để chúng tôi thực hiện khóa luận

a a

a: là toán tử hủy dao động tử

a a aa a

a a a aa a

,

Xét không gian Fock là không gian mà vectơ cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock, trạng thái chân không 0 được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0 thỏa mãn điều kiện:

a0 0 (1.5)

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong không

gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

N 

Thật vậy, ta có :

n a a n

a a n







  0

!

a n n

  0

!

n

a n



n n Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng :

 

    1

a n a

a a

aa aa a k aa   a k  a k a

   k   k

a a a a

k k

a k

a ka a

a k a a

Vậy phương trình (1.7) đúng với n = k + 1

Suy ra (1.7) đúng với mọi n

a

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử

xung lượng P liên hệ với các toán tử sinh, hủy dao động a , 

Q Pi  a a a a 

,2

Q m P

n H

n E n

12

nhất (mức cơ bản) có giá trị khác không:

Từ hệ thức (1.9) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:

41

24

2 2 2

n Q n Q

 2  2

Q Q

n N n m

24

2 2 2

lượng P có giá trị xác định, thì tọa độ Q của trạng thái đó hoàn toàn bất định, ngược lại, tọa độ Q xác định thì xung lượng P bất định, hoặc cả hai đại lượng P

b b

b là toán tử hủy dao động tử

b là toán tử sinh dao động tử 

Tương tự, toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

b b N

,

,

(1.16) Trạng thái chân không thỏa mãn hệ thức:

(n = 0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli)

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động N:

n n n

N  n = 0, 1

Khi ấy tác dụng của toán tử b , 

b lên các vectơ trạng thái n như sau:

01

10

01

00

CHƯƠNG II

D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ

2.1 Dao động tử Boson biến dạng q:

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy

và sinh dao động tử a , 

a thỏa mãn hệ thức giao hoán không chuẩn, phụ thuộc

vào một tham số biến dạng q như sau:

N

q a qa

aa     (2.1) Trong đó:

a tác dụng trong không gian Fock với cơ sở là các vectơ

trạng thái n như sau: q

 

 

00

11

n a

n n n

a

q q

q

q q

N  (2.2)

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

a a N

,

,

(2.3)

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử được thực hiện trong không

gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

q q n

n n

q (2.5) Thật vậy, ta có:

q

q a a n n

a a n

n n

n 



n n q

Dễ dàng chứng minh được rằng:

 

 q q q

q q q

n n

n aa

n n n

a a

 1 0

1

q

a a a a a

01

a qa q

q

a a a qa a

q     



 2 1  2 ! 0

1

q q

aa a qa a

   0

!22

2 1

a qa q

a q

1

2 1

q

q

q q

a q q

Như vậy, phương trình (2.6) đúng với n = 0, 1, 2

Giả thiết phương trình (2.6) vẫn đúng với n = k, tức là:

 q q

q k k k

a 1  1 1

Ta có:

  q q

k

a a k

q

k aa k

a 





1

   N  q

q

k a qa q

q

k

k k k

a q k k

q a

1 1

q q q k

q q

k k

k k k

a q

k k

a q

q

k k k

k k

k q

q

q q

k q q

q q q q

11

1

1

1

1 1

N

q a qa

aa    

N N

q q

q

q q

q

q N N

N 1q

Trong không gian Fock với véctơ cơ sở là vector trạng thái n thì: q

 

 q

q

N aa

N a a

Q Pi  a a a a 

,2

a a a

a i

,,

2

i N 1  q  N q (2.8) Toán tử Haminton được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và xung lượng P

và liên hệ với các toán tử a , 

a như sau:

2 2 2

2

12

1

Q m P

12

121

2 



, những mức tiếp theo không cách đều nhau và khi 0 < q < 1 thì n càng

lớn các mức càng sít nhau hơn và tới một giá trị n đủ lớn thì  



, tức

là E tiến đến một giá trị xác định Và các mức năng lượng này không suy biến, n

hay bậc suy biến của các mức năng lượng g = 1

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở

về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều (1.11):

2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao động tử 

b và hủy dao động tử b như sau:

q b qb

b b N

,,

(2.13)

Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng như sau:

q

q n n n

q q

n

n n n

q (2.16) Khi q = 1 thì n q n

Trong không gian Fock với vectơ cơ sở là vectơ trạng thái n thì: q

 

q

N bb

N b b

Khi q = 1 thì ta có dao động tử Fermion điều hòa (1.14):

ết luận:

Trong chương II chúng ta đã khảo sát hệ các dao động tử Boson và Fermion biến dạng q: Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử biến dạng, xây dựng toán tử năng lượng của các dao động tử biến dạng, giải phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của các

dao động tử Boson và Fermion biến dạng q, so sánh kết quả với các dao động tử điều hòa Boson và Fermion thông thường

Từ đó ta có nhận xét rằng: Khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động tử biến dạng sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động tử điều hòa

CHƯƠNG III PHÂN BỐ THỐNG Ê CỦ

D O ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG C – SỐ

3.1 Phân bố thống kê của dao động tử điều hòa

3.1.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson

Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định

nghĩa qua công thức:

Tr Z

F  1  N ˆ (3.1) Trong đó: Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ và có dạng:

 N

e Tr

n n N

n m





Sử dụng các biểu thức trên ta được:

n

n n

n

n n e

n e n

nhân lùi vô hạn với công bội q có giá trị bằng

q



1

1 Vậy:

T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ



 10   2  2   

e e

I 

 

nx x

x x

n nx

ne e

e e

n e

0

ne e

x x x

nx x

x x

e e

e e e

e e

e e

1 3

2

3 2

e e e

x

x x x x

e

e e e e

e

e Z a a

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng 

được gọi là phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson

3.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion

Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định

nghĩa qua công thức:

Tr Z

F  1  N ˆ Trong đó: Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ

Vì các dao động tử Fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli nên n chỉ có thể nhận hai giá trị 0 và 1 Do đó, hàm phân bố Z có dạng:

 N

e Tr

n b b e n b

b e

n n

Đây chính là công thức xác định số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng  được gọi là phân bố thống kê Fermi – Dirac cho hệ đồng nhất các hạt Fermion

3.2 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng c – số

3.2.1 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q

Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định

nghĩa qua công thức:

Tr Z

n N e

n Z

n n e n Z

n n n e Z

n e Z

q q

q q e Z

11

n n

q e q

e q

q Z





            

e q qe

q q

1

11

11

1 1

1

11

e e

q q

e q q q

e a

Khi giới hạn q = 1 thì phân bố thống kê trên trở về phân bố thống kê Bose – Einstein trong cơ học lượng tử mà ta đã biết:

a (3.4)

3.2.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q:

Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q là phân bố thống

kê của b b :

e b b

Tr Z b

n N e

n Z

n n e

n Z

n n n e Z

n e Z

n

n n n

n

q q

q q

e Z





n n

q e

q e q

q Z

q q

q

11

11

1

1 1

   



2 1

1 1

1

11

e e q q

e q q q

e b

b (3.6)

ết luận chương III:

Trong chương III chúng ta đã xây dựng được phân bố thống kê Bose - Einstein và phân bố thống kê Fermi – Dirac bằng cách sử dụng phương pháp GIBBS và phương pháp lý thuyết trường lượng tử

Phương pháp GIBBS là phương pháp truyền thống có nhiều ưu nhược điểm được coi là phương pháp cơ bản của vật lý thống kê, xong phương pháp này chỉ áp dụng cho hệ các dao động tử điều hòa

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử có phạm vi áp dụng rộng hơn, khi

áp dụng phương pháp biến dạng sẽ giải quyết được bài toán của dao động tử phi điều hòa Từ đây ta xây dựng được các phân bố thống kê của các hạt Boson và Fermion biến dạng q Trong trường hợp khi giới hạn q = 1 thì các phân bố thống

kê đó lại trở về phân bố thống kê Bose – Einstein và phân bố thống kê Fermi – Dirac đã biết

ẾT U N

Khóa luận nghiên cứu một số vấn đề về dao động tử điều hòa biến dạng và phân bố thống kê của các dao động tử điều hòa biến dạng Các vấn đề trên mở ra một hướng mới trong nghiên cứu quang lượng tử, vật lý chất rắn và vật lý hạt nhân,…

Các kết quả chính của khóa luận là:

- Nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa đơn mode biến dạng q: Đưa ra biểu diễn dao động tử lượng tử của các toán tử năng lượng và xác định phổ năng lượng của các dao động tử Boson và Fermion biến dạng q

- Tính phân bố thống kê của các dao động tử điều hòa biến dạng q Các kết quả thu được sẽ trở về các phân bố thống kê quen thuộc, thống kê Bose – Einstein hoặc thống kê Fermi – Dirac trong trường hợp đặc biệt khi tham số biến dạng q  1