2 Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ ur≠0r đợc gọi là véc tơ chỉ phơng vtcp của đờng thẳng ∆ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng ∆... Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng.. Biện luận
Trang 1PHƯƠNG PH P TO Á Ạ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyên đề 1 : Véc tơ v t à ọa độ véc tơ.
A tóm tắt lí thuyết.
I Hệ Trục toạ độ
II Tọa độ véc tơ.
1 Đị nh ngh ĩ a
( ; )
ur= x y ⇔ = +u xi y jr r r
2 Các tính ch ấ t
Trong mặt phẳng Oxy cho ur=( ; );x y vr=( '; ')x y , ta có :
a u vr r+ = +(x x y y'; + ')
b kur=( ; )kx ky
c .u v xxr r= '+yy'
d ur2 =x2+x'2 ⇒ =ur x2+x' 2
e ur⊥ ⇔vr u vr r = ⇔0 xx'+yy' 0.=
f ,u vr r cùng phương
' '
x y
x y
'
x x
u v
y y
=
r r
3 Ví d ụ
Ví dụ 1 Tìmm tọa độ của véc tơ sau :
;
ar= −ri br=5 ;rj cr= −3ri 4 ;rj 1( );
2
d = j i−
er=0,15 1,3 ;ri+ rj urf =πri−(cos 24 ) 0 rj
Ví dụ 2 Cho các véc tơ : ar=(2;1);br=(3; 4);cr=(7; 2)
a Tìm toạ độ của véc tơ ur=2ar− +3b cr r.
b Tìm toạ độ của véc tơ xr sao cho x a b cr r r r+ = − .
c Tìm các số ,k l để c ka lbr= r+ r
Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các véc tơ : ar=(3; 2);br= −( 1;5);cr= − −( 2' 5)
a Tìm toạ độ của véc tơ sau
ur= a br r+ − cr vr= − +ar 2br+5cr ; w 2(uur= a br r+ +) 4 cr
b Tìm các số ,x y sao cho c xa ybr= r+ r
c Tính các tích vô hướng ; ; (a b b c a b c b a cr r r r r r r r r r+ ); ( − )
Ví dụ 4 Cho 1 5 ; 4
2
ur= ri− r rj v ki= −r rj Tìm k để , u vr r cùng phương
III Toạ độ của điểm.
1.
Đị nh ngh ĩ a .
Trang 2( ; ) ( ; )
M = x y ⇔OMuuuur= x y ⇔OMuuuur= +xi y jr r
2 M ố i liên h ệ gi ữ a to ạ độ đ i ể m v to à ạ độ c ủ a véc t ơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A x y B x y C x y Khi đó:( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3
AB= x −x y −y ⇒ AB = x −x + y −y
b Toạ độ trung điểm I của đoạn AB l : à ( 1 2; 1 2)
x x y y
c Toạ độ trọng tâm G của ∆ABC l : à ( 1 2 3; 1 2 3)
x x x y y y
d Ba điểm , ,A B C thẳng h ng à ⇔uuur uuurAB AC, cùng phương
3 Ví d ụ
Ví dụ 1 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A − B C −
a Chứng minh ba điểm không thẳng h ng.à
b Tính chu vi ABC∆
c Tìm tọa độ trực tâm H
Ví dụ 2 Cho ba điểm ( 3; 4), (1;1), (9; 5)A − B C −
a Chứng minh , ,A B C thẳng h ng.à
b Tìm toạ độ D sao cho A l trung à điểm của BD
c Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho , , A B E thẳng h ng.à
Ví dụ 3 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A − B C −
a Chứng minh ba điểm , ,A B C tạo th nh tam giác.à
b Tìm toạ độ trọng tâm ∆ABC
c Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE l hình bình h nh.à à
đờng thẳng
Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.
A kiến thức cơ bản.
I Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ nr≠0r đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng ∆ nếu nó có giá ⊥ ∆
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ ur≠0r đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng ∆ nếu
nó có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng ∆
* Chú ý:
- Nếu ;n ur r là véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng ∆ thì ∀ ≠k 0 các véc tơ kn kur r; cũng tơng ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng ∆
- Nếu nr=( ; )a b là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng ∆thì véc tơ chỉ phơng là ur=( ;b a− ) hoặc ( ; )
ur= −b a
- Nếu ur=( ; )u u1 2 là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng ∆thì véc tơ pháp tuyến là nr=( ;u2 −u1) hoặc nr= −( u u2; )1
Trang 3II Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ pháp tuyến
)
;
( b a
nr= Khi đó phơng trình tổng quát của ∆ đợc xác định bởi phơng trình :
a(x−x0)+b(y−y0)=0 (1) ( a2 +b2 ≠0.)
III Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ chỉ phơng ur=(u1;u2) Khi đó phơng trình tham số của ∆ đợc xác định bởi phơng trình :
+
=
+
=
t u y y
t u x x
2 0
1 0 (2) (
R
* Chú ý : Nếu đờng thẳng ∆ có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phơng là ur=( k1; )
IV Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng quát và ph ơng trình tham số
1 Nếu đờng thẳng ∆ có phơng trình dạng (1) thì nr∆ =( b a; ) Từ đó đờng thẳng ∆ có vtcp là
)
;
(b a
ur∆ = − hoặc ur∆ =(−b;a)
Cho x=x0 thay vào phơng trình (2) ⇒ y= y0.Khi đó ptts của ∆ là :
−
=
+
=
at y y
bt x x
0
0 (t∈Ă ).
2 Nếu đờng thẳng ∆ có phơng trình dạng (2) thì vtcp ur∆ =(u1;u2) Từ đó đờng thẳng ∆ có
vtpt là nr∆ =(u2;−u1) hoặc nr∆ =(−u2;u1) Và phơng trình tổng quát của ∆ đợc xác định bởi :
u2(x−x0)−u1(y−y0)=0
* Chú ý :
- Nếu u1 =0 thì pttq của ∆ là : x−x0 =0
- Nếu u2 =0 thì pttq của ∆ là : y− y0 =0
B bài tập cơ bản.
I Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M x y và có một vtcp ( ; )0 0 ur=( ; )u u1 2 .
Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng ∆ trong các trờng hợp sau :
a Đi qua M(1; 2)− và có một vtcp ur=(2; 1)−
b Đi qua hai điểm (1; 2)A và (3; 4)B ; ( 1; 2)A − và ( 1; 4)B − ; (1; 2)A và (3; 2)B .
c Đi qua M(3; 2) và // :d x 1 2t (t )
y t
= +
d Đi qua M(2; 3)− và ⊥d: 2x−5y+ =3 0
II Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M x y và có một vtpt ( ; )0 0 nr=( ; )a b .
Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng ∆ trong các trờng hợp sau :
a Đi qua M(1; 2) và có một vtpt nr=(2; 3)−
b Đi qua (3; 2)A và // : 2d x y− − =1 0
c Đi qua (4; 3)B − và d: x 1 2t (t R)
y t
= +
= −
Trang 4III Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M x y và có hệ số góc k cho trớc.( ; )0 0 + Phơng trình đờng thẳng∆ có dạng y kx m= +
+ áp dụng điều kiện đi qua M x y( ; )0 0 ⇒m.
Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng ∆ trong các trờng hợp sau :
a Đi qua M( 1; 2)− và có hệ số góc k=3
b Đi qua (3; 2)A và tạo với chiều dơng trục Ox góc 45 0
III Luyện tập.
1 Viết phơng trình đờng thẳng ∆ trong các trờng hợp sau :
a Đi qua (3; 2)A và ( 1; 5)B − − ; M( 3;1)− và (1; 6)N − ;
b Đi qua A và có vtcp ur, nếu :
+ (2;3)A và ur= −( 1; 2)
+ ( 1; 4)A − và ur=(0;1)
c Đi qua (3; 1)A − và // : 2d x+3y− =1 0
d Đi qua M(3; 2) và nr=(2;2)
e Đi qua (1; 2)N và ⊥ với :
+ Trục Ox
+ Trục Oy
f Đi qua (1;1)A và có hệ số góc k =2
g Đi qua (1; 2)B và tạo với chiều dơng trục Ox góc 0
60
2 Viết phơng trình các cạnh ∆ABC biết :
a (2;1); (5;3); (3; 4).A B C −
b Trung điểm các cạnh là : M( 1; 1); (1;9); (9;1).− − N P
c ( 4; 5)C − − và hai đờng cao (AH) : 5x+3y− =4 0;(BK) : 3x+8y+ =13 0
d (AB) : 5x−3y+ =2 0 và hai đờng cao (AH) : 4x−3y+ =1 0;(BK) : 7x+2y−22 0=
e (1;3)A hai trung tuyến (BM) :x−2y+ =1 0;(CN) :y− =1 0
f (4; 1)C − đờng cao (AH) : 2x−3y=0 trung tuyến (BM) : 2x+3y=0
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A tóm tắtlí thuyết.
I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng ∆ ∆1; 2 có phơng trình
a x b y c a b
a x b y c a b
Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng nhau ?
Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II Phơng pháp.
1 Cách 1:
Nếu 1 2
a a
b ≠ b thì hai đờng thẳng cắt nhau.
Nếu 1 2 1
a a c
b = b ≠ c thì hai đờng thẳng song song nhau.
Trang 5Nếu 1 2 1
a a c
b = b =c thì hai đờng thẳng trùng nhau.
2 Cách 2:
Xét hệ phơng trình 1 1 1
0 0
a x b y c
a x b y c
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau
Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi (x y thì hai đờng thẳng trùng nhau.; )
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b bài tập cơ bản.
I Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:
a) ∆1:x y+ − =2 0; ∆2: 2x y+ − =3 0
1 4
2 2
x y t
= −
c) 1
II Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
1: (m 3)x 2y m 1 0; 2: x my (m 1) 0
Tìm m để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1:mx y 1 m 0; 2: x my 2 0
Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
III Luyện tập.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:
a) ∆1: 8x+10y− =12 0; ∆2: 4x+3y− =16 0
5
3 2
x t
x y t
= +
c) 1
6 5 '
2 4 '
10 5
2
x t
=
Bài 2: Biện luận theo m vị trí các cặp đờng thẳng sau
a) ∆1:mx y+ −2m=0; ∆2:x my m+ − − =1 0
b) ∆1:mx y+ + =2 0; ∆2:x my m+ + + =1 0
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.
A tóm tắt lí thuyết.
Trang 6I Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng ∆ ∆1; 2 cắt nhau Khi đó góc giữa ∆ ∆1; 2 là góc nhọn và
đợc kí hiệu là: (∆ ∆1, 2)
* Đặc biệt:
- Nếu (∆ ∆ =1, 2) 90o thì ∆ ⊥ ∆1 2
- Nếu (∆ ∆ =1, 2) 0o thì ∆ ∆1// 2 hoặc ∆ ≡ ∆1 2
II Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đờng thẳng ∆ ∆1; 2 có phơng trình
a x b y c a b
a x b y c a b
Khi đó góc giữa hai đờng thẳng (∆ ∆1, 2) đợc xác định theo công thức:
a b a b
+
∆ ∆ =
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phơng của chúng
b bài tập cơ bản.
I Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ: Xác định góc giữa hai đờng thẳng
1: 4x 2y 6 0; 2:x 3y 1 0
7 5
x t
x y t
=
'
'
5 5
2 2
x t
x t
t t
=
II Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng cho trớc
một góc cho trớc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng : 3d x−2y+ =1 0 và M( )1; 2
Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o
Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân đỉnh A Biết ( )AB x y: + + =1 0; BC( ): 2x−3y− =5 0
Viết phơng trình cạnh AC biết nó đi qua M( )1;1 .
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết A(− −3; 2) và ( )BD : 7x y+ −27 0=
Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại
III Luyện tập
Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đờng thẳng sau
a) ∆1:x−2y+ =5 0; ∆2: 3x y− =0 b) ∆1:x+2y+ =4 0; ∆2: 2x y− + =6 0 c) ∆1: 4x−2y+ =5 0; ∆2:x−3y+ =1 0 Bài 2: Cho hai đờng thẳng
1: 3x y 7 0; 2:mx y 1 0
Trang 7Tìm m để (∆ ∆ =1, 2) 30o.
Bài 3: Cho đờng thẳng : 2d x y− + =3 0 và M(−3;1)
Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o
Bài 4: Cho ABC∆ cân đỉnh A , biết:
( )AB : 2x y− + =5 0 ; AC( ): 3x+6y− =1 0
Viết phơng trình BC đi qua M(2; 1− )
Bài 5: Cho hình vuông tâm I( )2;3 và ( )AB x: −2y− =1 0
Viết phơng trình các cạnh, các đờng chéo còn lại
Bài 6: Cho ABC∆ cân đỉnh A , biết:
( )AB : 5x+2y− =13 0 ; BC x y( ): − − =4 0
Viết phơng trình AC đi qua M(11;0).
Bài 7: Cho ABC∆ đều, biết: A( )2;6 và BC( ): 3x−3y+ =6 0
Viết phơng trình các cạnh còn lại
Đờng tròn
A Tóm t ắ t lý thuy ế t
1 Ph ươ ng trình chính t ắ c
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm ( ; ) I a b bán kính R Khi đó phương trình chính tắc
của đường tròn l : à
(x a− ) + −(y b) =R
2 Ph ươ ng trình tổng quát.
L phà ương trình có dạng :
x +y + Ax+ By C+ = VớiA2+B2 >C Khi đó tâm (I − −A B; ), bán kính 2 2
R= A +B −C
3 B i toán vi à ế t ph ươ ng trình đườ ng tròn.
Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB , với (1;1), (7;5) A B
Đáp số : 2 2
(x−4) + −(y 3) =13 hay 2 2
x +y − −x y+ =
Ví dụ 2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, với ( 2; 4), (5;5), (6; 2)A − B C −
Đáp số : x2+y2−4x−2y−20 0=
Ví dụ 3 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm ( 1; 2)I − và tiếp xúc với đường thẳng
:x 2y 7 0
Đáp số : 2 2 4
5
x+ + −y =
Ví dụ 4 Viết phương trình đường tròn qua ( 4; 2)A − v tià ếp xúc với hai trục toạ độ
Đáp số : 2 2
(x+2) + −(y 2) =4 hoặc 2 2
(x+10) + −(y 10) =100
Trang 84 Bài toán tìm tham số để phương trình dạng x2+y2+2Ax+2By C+ =0 là phương trình của một đường tròn.
Điều kiện : A2+B2 >C
VÝ dụ 1 Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, phương tr×nh n o l phà à ương tr×nh của một đường trßn X¸c định t©m v tÝnh b¸n kÝnh.à
a x2+y2−4x+2y+ =6 0 c x2+y2+6x−8y+ =16 0
b x2−y2+4x−5y+ =1 0 d 2x2+2y2− − =3x 2 0
§¸p số : c ) ( 3;4), I − R=3. d) ( ;0),3 5
I R=
VÝ dụ 2 Cho phương tr×nh : x2+y2+6mx−2(m−1)y+11m2+2m− =4 0
a T×m điều kiện của m để pt trªn l à đường trßn
b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn
VÝ dụ 3 Cho phương tr×nh x2+y2+(m−15)x−(m−5)y m+ =0
a T×m điều kiện của m để pt trªn là đường trßn.
b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn
VÝ dụ 4 Cho phương tr×nh (C : m) x2+y2+2(m−1)x−2(m−3)y+ =2 0
a T×m m để ( C là phương tr×nh của một đường trßn m)
b T×m m để ( C là đường trßn t©m (1; 3) m) I − Viết phương tr×nh đường trßn này
c T×m m để ( C là đường trßn cã b¸n kÝnh m) R=5 2. Viết phương tr×nh đường trßn này
d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (C m)
II BÀI TẬP.
1 T×m phương tr×nh đường trßn ( )C biết rằng :
a ( )C tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã b¸n kÝnh R=3
b ( )C tiếp xóc với Ox tại (5;0) A và cã b¸n kÝnh R=3
c Tiếp xóc với Oy tại (0;5) B và đi qua (5; 2)C .
2 T×m phương tr×nh đường trßn ( )C biết rằng :
a T×m (1; 5)I − và qua gốc toạ độ
b Tiếp xóc với trục tung và tại gốc O và cã R= 2
c Ngoại tiếp ∆OAB với (4;0), (0; 2)A B −
d Tiếp xóc với Ox tại (6;0)A và qua (9;3)B .
3 Cho hai đi ểm ( 1;6), ( 5; 2)A − B − Lập phương tr×nh đường trßn ( )C , biết :
a Đường kÝnh AB
b T©m O và đi qua A ; T©m O và đi qua B
c ( )C ngoại tiếp ∆OAB
Trang 94 Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba điểm :
a (8;0) , (9;3) , (0;6)A B C .
b (1; 2) , (5;2) , (1; 3)A B C −
B Bài tập cơ bản
1 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C cã t©m là điểm I(2;3) và thoả m·n điều kiện sau :
a ( )C cã b¸n kÝnh R=5
b ( )C tiếp xóc với Ox
c ( )C đi qua gốc toạ độ O
d ( )C tiếp xóc với Oy
e ( )C tiếp xóc với đường th¼ng ∆: 4x+3y− =12 0
2 Cho ba điểm A(1; 4) , ( 7; 4) , (2; 5)B − C −
a Lập phương tr×nh đường trßn ( )C ngoại tiếp ABC∆
b T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh
3 Cho đường trßn ( )C đi qua điểm A( 1; 2) , ( 2;3)− B − v cã t©m à ở trªn đường thẳng : 3x y 10 0
∆ − + =
a T×m toạ độ t©m của đường trßn ( )C .
b TÝnh b¸n kÝnh R
c Viết phương tr×nh của ( )C .
4 Lập phương tr×nh đường trßn ( )C đi qua hai điểm A(1; 2) , (3; 4)B v tià ếp xóc với đường thẳng ∆: 3x y+ − =3 0
5 Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau :
a A( 1;1) , (5;3)− B b A( 1; 2) , (2;1)− − B
6 Lập phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với c¸c trục toạ độ v à đi qua điểm M(4; 2).
7 T×m tọa độ t©m v tÝnh b¸n kÝnh cà ủa c¸c đường trßn sau :
a 2 2
x +y − x− y=
b 2 2
(x−5) + +(y 7) =15 e 2 2
x +y + x− y+ =
c 2 2
x +y − x− y= f 2 2
x +y + x+ y+ =
8 Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau :
a A(7; 3) , (1;7)− B b A( 3; 2) , (7; 4)− B −
9 Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC∆ biết : A(1;3) , (5;6) , (7;0)B C
10 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và :
a Đi qua A(2; 1).−
b Cã t©m thuộc đường th¼ng ∆: 3x−5y− =8 0
11 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với trục ho nh tà ại điểm A(6;0) v à đi qua điểm (9;9)
B
12 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C đi qua hai điÓm A( 1;0) , (1; 2)− B v tià ếp xóc với đường thẳng ∆ − − =:x y 1 0