Chuyên đề Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên.. Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường tru

c b

a B

A

C H

HB

* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, t duy độc lập sáng tạo

II/ Nội dung:

c = b.TgC = b.CotgB

- Nếu biết 1 góc nhọn  thì góc còn lại là 900 - 

- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc  Tìm góc đó bằng cách tra bảng

- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn

c = a SinC = a CosB  a =

SinC

C

=

CosB C

30 Ví dụ minh hoạ

=

10

8 6

= 4,8

1

16B

A

CH

B

A

CH

Do Bˆ vµ Cˆ lµ hai gãc phô nhau

VÝ dô7: Cho  ABC ( Aˆ = 1v) ; AB = 6 ; Bˆ=  tg =

12

5

TÝnh a) AC = ?

 AC =

AC

AB

5

=

12

5 6

= 2,5 (cm)b) Pi ta go ABC ( Aˆ = 1v)

BC = AB 2 AC2 = 6  2 ( 2 , 5 ) 2 = 42 , 25

= 6,5 (cm)

4) sin - sin cos2  = ?

5) sin4  + cos4  + 2sin2  cos2  = ?

6).Không dùng bảng số và máy tinh Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620

Gợi ý

a) sin2  + cos2  = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2 

b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 

c) Đs : = 2d) đặt thừa số chung Đs : sin3 

18 12

? 9 20

(Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)

Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm.

Tính độ dài AH.

Lời giải sơ lược:

Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được:

AB2 = BH BC hay 202 = x(x + 9).

Thu gọn ta được phương trình : x2 + 9x – 400 = 0 Giải phương trình này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu

Lời giải sơ lược:

AB = 2.2,5 = 5cm

Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm

Diện tích tam giác ABC = 10 3cm

10 cm

1cm D C B

2x 12 15,6

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác Biết rằng AD = 1cm;

BD = 10cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Bài giải sơ lược

Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm

Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = x 2 9.

Do AD = 1 nên DC = x 2 9 – 1 x Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác Biết AD = 4cm;

BD = 4 10cm Tính diện tích tam giác ABC.

(Nhập kết quả dưới dạng phân số)

- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3 Chú ý nhập kết quả

theo yêu cầu

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường

cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của

hình thang cân đó.

Bài giải sơ lược:

Kẻ AH  CD ; BK  CD Đặt AH = AB = x  HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)

Vậy : AH = 2 5

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài

15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC.

Bài giải sơ lược:

Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5

Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :

A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1

222

Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – 1

2 b) C = tg210 tg220 tg230 tg2870 tg2880 tg2890

c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2

Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108

Từ x – y = 3 Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1)

Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441  x + y = 21 Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9

Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm

Cách 2: Từ x – y = 3  y = x – 3 thay vào đẳng thức x y = 108 ta được phương trình:

x (x – 3) = 108  x2 – 3x – 108 = 0 (1)  x2 – 12x + 9x – 108 = 0

 ( x – 12)(x + 9) = 0

Nghiệm dương của phương trình x = 9 Từ đó tìm y và trả lời kết quả.

Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.

= = //

b c

a //

//

2 1 1

M

D I

C B

A

A

/ /

Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên S ADEF 4

DIC  , từ đó chứng minh được BC = 2CD

và AB = 2AD Xử dụng tính chất đường phân giác BDkết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa

Vậy AB = 2AD hay c = 2AD (2)

Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)

Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c =

2

b

(4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = 5

4 ): (1.4) : (

3

4.4) = 5 : 4 : 3

Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3

Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa

đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm

Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5

Trả lời: AB = 2 5 cm

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm Tính cos A

Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK Từ tính chất của tam giác cân

169

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9

 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b c = a h

h2 = b ' c '1

BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông

là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm Hãy tính các cạnh góc của tam giác này?

F E

H B

C A

BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH Chu vi của tam giác ABH là 30 cm

và chu vi tam giác ACH là 40 cm Tính chu vi tam giác ABC

HD: Gọi chu vi AHB CHA CAB, , lần lượt là p 1 ,p 2 , p 3

Từ đó tính được chu vi ABC bằng 50 cm

BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF Biết BD = 3cm, DC = 4

cm Tính các cạnh của tam giác ABC ?

HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì

BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với

AB, AC Chứng minh rằng:

AC CF BC

 ( 4) tỪ (3) VÀ (4) Ta có

BE CF =

4

+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác

+ Nếu a 2 < b 2 + c 2 thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )

+ a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA ; b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB ; c 2 = b 2 + a 2 – 2ba.cosC

+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong AHB có AH = c.sin B

2ac.sinB Đối với các góc khác thì tương tự

c

b c

1 4 c m

b c

Giải phương trình này ta có c1 = 15 , c2 = 13 Từ đó tính được b

BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE Chứng

BT 3: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c ( như cách gọi thông thường ) Tính

diện tích tam giác theo a,b,c ?

HD: Vẽ đường cao AH vuông góc BC, gọi BH = x thì HC = a – x Áp dụng Pytago cho tam giác AHB và AHC ta có :

11a

b c

A

b c

Đây chính là công thức Heron

BT 4: Cho tam giác ABC có C B  900 , AH là đường cao kẻ từ A Chứng minh AH2 = HB

+ cách 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng ( HS về nhà nghiên cứu )

BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + 3 , B 450 ; C 600.

a) Tính độ dài đườnh cao AH?

b) Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?

c) Từ các kết quả trên, tính cos 750 ?

HD:

6 0

4 5

C H

 Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác

Áp dụng cho hình thang Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông

BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là

3cm và 14 cm Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm Tính diện tích hình thang ABCD ?

HD: Cần vẽ thêm BE // AC , để có hình bình hành ABEC

13

C B

Lúc này ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17

cm Áp dụng Pytago đảo thấy BDE vuông tại B ( HS tự thử lại Lại ve thêm đường cao

BH, áp dụng hệ thức lượng cho BDE thì BH == BD BE : DE = 8.15 : 17 = 120

BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai

đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?

HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vuông tại B

BT 3: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 1250 Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q

a) Chứng minh APB và CQD là những tam giác vuông?

A B = 900 , do đó APB vuông tại P Tương tự CQD vuông tại Q

b) Trong APB có AP = AB cos PAB = 25 cos 62030’= … (HS tự tính được )

và BP = AB sin PAB = 25 sin 62030’ =… ( HS tự tính được )

Vẽ thêm PH  AD ; PK  AB; PM  BC QL  BC , từ đó chứng minh được LC = AH =

AK , BM = BK

Ta có PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm

Đáp số : PA  11,54 cm; PB 22,17 cm ; PQ =10 cm

BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chu vi và diện tích

hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm

A

Do tính chất hình thang cân , vẽ thêm AH vuông góc với CD; BK vuông góc với CD, ta có HD

= ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm

Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm

ĐS: Chu vi hình thang bằng 124 cm, diện tích hình thang bằng 768cm 2

BT 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi AB = a , CD = b, AD =d , BC = c Chứng

Đờng kính và dây của đờng tròn

I./ Mục tiêu:

* Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lợng giác

* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, t duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao

* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, t duy độc lập sáng tạo

*Tâm đối xứng : Là tâm đờng tròn đó

* Trục đối xứng : Là đờng kính

2) vị trí tơng đối của hai đơng tròn

1) Hai đờng tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r2) Hai đờng tròn tiếp xúc nhau

a Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r

b Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 03) Hai đờng tròn không giao nhau:

H 0 A

a Hai đờng trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r

b Hai đờng tròn đựng nhau: OO’ < R – r

3) Các Ví Dụ minh hoạ:

Ví dụ1: ABCD là hình vuông O giao 2 đờng chéo , OA = 2 cm Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm A,B, C, D , O Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đờng tròn ?

Vậy : AD là đờng kính (O)

b)  ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD  OC =

0 BA

HB = OB.SinOˆ = 3.Sin600 = 3

2 3

Vậy : BC = 2.BH = 2

2

3 3

Vẽ đờng kính NOC Chứng minh rằng : MC//AO

Tính độ dài các cạnh AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm

A E

F C

M N

I

Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đờng kính AB , qua C nửa đờng tròn Kẻ tiếp tuyến d của nửa đờng tròn Gọi E, F lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng

Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA

a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ?

b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I Tính độ dài CI , biết OA = R

Ví dụ 9: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB Vẽ các đờng tròn (I ; IA) và (B ; BA)

a) (I) và (B) có các vị trí tơng đối nh thế nào ? vì sao ?

b) Kẻ một đờng thẳng đi qua A , căt các (I) và (B) theo thứ tự tại M và N So sánh các độ dài

nên MI là đờng trung tuyến của AB

  AMB vuông tại M  AMB = 900

Mà  ABN cân tại B ( BA = BN = R )

Có BM là đờng cao , nên là đờng trung tuyến  AM = MN

Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đờng tròn (

B i 1 ài 1 : Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O) đường kớnh AD Gọi H là

trực tõm của tam giỏc

a) Tớnh số đo gúc ABD b) Tứ giỏc BHCD là hỡnh gỡ? Tại sao?

c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH.

Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp đường trũn (O) Đường cao AH cắt

đường trũn ở điểm D

a) AD cú phải là đường kớnh của đường trũn (O) khụng ? Tại sao?

b) Chứng minh: BC2 = 4AH DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tớnh bỏn kớnh của đường trũn (O).

Bài tập 3 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB Gọi H là trung điểm OA Dõy

CD vuụng gúc với OA tại H.

1 Tứ giỏc ACOD là hỡnh gỡ? Tại sao?

2 Chứng minh cỏc tam giỏc OAC và CBD là cỏc tam giỏc đều.

D C

B O

3 Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân.

Bài 5 Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một

khoảng bằng 3 cm

1 Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O).

2 Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B Tính độ dài dây AB.

3 Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) Tính độ dài BC và số đo CAB (làm tròn đến độ).

4 Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M Tính độ dài BM.

Bài 6 Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở

M Gọi H là giao điểm của BM và CN.

1 Tính số đo các góc BMC và BNC.

2 Chứng minh AH vuông góc BC.

3 Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.

Bài 7 Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho

0 60

ˆB 

A

M Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.

1 Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):

2 Chứng minh MN2 = 4 AH HB

3 Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.

4 Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.

Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng

Bài 8 Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới

đường tròn (B là tiếp điểm).

1 Tính số đo các góc của tam giác OAB.

2 Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm trên

đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3 AO cắt đường tròn (O) tại G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 9 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là

hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OA và BC.

1 Chứng minh OA  BC và tính tích OH OA theo R

2 Kẻ đường kính BD của đường tròn (O) Chứng minh CD // OA.

3 Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE.

Chứng minh K là trung điểm CE.

Bài 10 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C

là các tiếp điểm) Kẻ BE  AC và CF  AB ( E AC F, AB), BE và CF cắt nhau tại H.

1 Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.

2 Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.

3 Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).

Bài 11 Cho đường tròn (O ; 3cm) và điểm A có OA = 6 cm Kẻ các tiếp tuyến AB

và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC

21

1 Tính độ dài OH.

2 Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt

AB và AC theo thứ tự tại E và F Tính chu vi tam giác ADE.

3 Tính số đo góc DOE.

Bài 12 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By là các tia vuông

góc với AB( Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB) Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

1 Tính số đo góc MON

2 Chứng minh MN = AM + BN.

3 Tính tích AM BN theo R (sách bài tập toán 9- trang 135)

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình

chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.

1 Chứng minh AD AB = AE AC

2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH Chứng minh DE

là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE).

3 Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH.Giả sửAB = 6cm,

AC = 8 cm Tính độ dài PQ.

Bài 14 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến

chung ngoài của hai đường tròn ( với C  (O) và D  (O’) ).

1 Tính số đo góc CAD.

2 Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm.

ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh rằng :

1 MNQP là hình thang cân.

2 PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O’)

3 MN + PQ = MP + NQ