Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất c
Trang 1H phng trình có cha tham s
I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai
Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ
có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm
Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm
Bài 1 Cho hệ phương trình
−
=
−
=
−
1 2
3 2
m xy x
y x
A,tìm m để hệ có nghiệm
B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x1,y1),(x2,y2) thoả mãn
P = x2
1 + x2
2 + y2
1 + y2
2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a- Hệ pt ⇔
=
− +
−
−
=
0 1 6
3 2
m x x
x y
Hệ có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm ⇔ ∆, =10−m≥0 ⇔m 10≤
b- Theo Viét : x1 +x2=6 , x1.x2=m-1 Nên
p = (x1+x2)2
-2x1.x2+(x1-3)2
+(x2-3)2
=-4m+46 6≥ (m ≤ 10)
6 min =
⇒ p khi m=10
Bài 2 Cho hệ phương trình ;
= +
= +
) 2 ( 5
3
) 1 ( 5 3
2 2
b y x
a y x
a-Tìm a,b để hệ có nghiệm
b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b∈[−1,2]
c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a∈[−1,2]
Giải
a-Từ(1)
5
3x
a
⇔ thay vào (2)ta có :24x2
-6ax+a2
-5b=0(3) Hệ có nghiệm
⇔pt(3) có nghiệm ⇔ ∆, =−15a2 +120b≥0⇔b
8
2
a
≥ b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm
c-Hệcó nghiệm với mọi a∈[−1,2]⇔b ≥ max )
8 (
2
a
≥ mọi a∈[−1,2]
2
1
≥
⇔ b Các bài tập tương tự
1- Giải và biện luận h ệ phương trình :
= +
−
= +
2 2 2 2
x y x
m y x
Trang 22- Cho hệ phương trình :
= +
=
−
b y ax
y
x2 4 2 1
a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5
b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
3- Cho hệ phương trình
=
− +
=
− +
0
0 2 2
x y x
a ay x
a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai
nghiệm(x1,y1)(x2,y2)Chứng minh rằng (x1
-x2)2
+(y1-y2)2
1
≤
4- Cho hệ phương trình:
= +
= +
−
− 2
0 1 2 2
y x
m xy x
a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt
b-hệcó hai nghiệm(x1,y1)(x2,y2)Tìm mđể:(x1-x2)2
+(y1-y2)2
=4
5- Cho hệ phương trình:
−
=
−
=
−
1 2
3 2
m xy x
y x
a- Tìm m để hệ có nghiệm
b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x1,y1),(x2,y2) thoả mãn
P = x2
1 + x2
2+y1+y2 đạt giá trị nhỏ nhất 6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau :
=
− +
−
= +
0 3 4
25 2 2
m y
mx
y x
7- Cho hệ pt:
=
−
= + + +
b x y
b y x y x
a( 2 2)
có nghiệm với mọi b CMR:a=0
II-Hệ đối xứng loại một
Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s2
p
4
≥ )Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau
Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất Sau đây là một số ví dụ minh hoạ
Trang 3Bài1-Chohệ phương trình:
=
− +
−
=
− +
4 4 ) ( 5
1
xy y x
m xy
y x
Tìm m để hệ có nghiệm Giải Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s2
p
4
≥ )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1
Hệ có nghiệm ⇔ s2
p
4
≥ ⇔m 1≥ hoặc m
4
1
≤
Bài 2- Chohệ phương trình:
= +
= + +
m y x
m xy y x
2
2 Tìm m để hệ có nghiệm Giải
Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s2≥4p)Khiđóhệphươngtrình:
=
−
= +
m p s
m p s
2 2
+ +
+
=
+
−
−
=
⇔
1 3 1
1 3 1
m m
p
m s
hoặc
+
− +
=
+ +
−
=
1 3 1
1 3 1
m m
p
m s
(với m
3
1
−
≥ )
Hệ có nghiệm ⇔ s2
p
4
+
− +
≥ + +
−
+ +
+
≥ +
−
−
) 1 3 1 ( 4 ) 1 3 1 (
) 1 3 1 ( 4 ) 1 3 1
2 2
m m
m
m m
m
0
≥
⇔ m (TMĐK)
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :
−
= +
= +
2 3
4 4
2 2
m y x
m y x
Giải
Đặt s=x2+y2,p=x2 2
y (ĐK:s,p≥0)
Khiđóhệpt ⇔
−
=
−
=
2 3 2 2
m p s
m s
⇔
+
−
=
=
2
2 3
2
m m p
m s
Hệcónghiệm
⇔
≥
≥
≥
0
0
4
2
p
s
p
s
+
≤
≤
≤
≤
⇔
5 3 2
1 0
m m
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :
=
− +
−
= +
4 1
x
m y x
Giải
Đặtu= x−4,v= y−1(đK:u,v 0≥ ,x 4≥ ,y 1≥ )Khiđóhệpt:
+
=
+
=
+
5 3
4
2
2
m
v
u
v
u
−
=
= +
⇔
2
3 21
4
m uv
v u
Hệcónghiệm u 0≥ ,v 0≥ ⇔
≥ +
≥
≥ +
uv v
u uv
v u
4 ) ( 0 0
2
≥
−
−
≥
⇔
0 3
21
) 3 21
(
2
16
m
m
7 3
13
≤
≤
Trang 4Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm :
= + +
= + + +
m y
x xy
y x y x
) 1 )(
1 (
8 2 2
Giải
Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u
4
1 , 4
1
≥
≥ v )Khiđóhệ:
=
= +
m uv
v
nên u,v là nghiệm pt
bậc hai: X2-8X +m=0 (u,v
4
1
≥ )Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn
bằng
4
1
⇔ Hai đồ thị hai hàm số y=x2-8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có
hoành độ
4
1
≥ Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16
16
31
−
≤
≤ m
Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt
−
=
−
= +
) (
1 3 3
y x m y x
y x
Giải
Hệpt
=
− + +
−
= +
⇔
o m xy y x y x
y x
) )(
(
1 2 2
=
−
= +
⇔
0
1
y x
y x
v
=
− + +
= +
0
1 2 2
m xy y x
y x
⇔
−
=
=
+
=
=
m
xy
y
x
y
x
1
1
2
1
Hệ có ba nghiệm phân biệt khi
−
=
= +
m xy
y x
1
1
có hai nghiệm phân biệt x
,y
2
1
≠ ⇔ pt X2-X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
≠ ⇔ ∆=4m−3〉0
4
3 >
⇔ m
(m=
4
3
ptcó nghiệm kép X=0,5)
Bai7-Cho hệ phương trình :
+
= +
+
= + +
m m y x xy
m xy y x
2 ) (
1 2
a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình :
+
=
+
= +
m m sp
m p s
2 1 2
=
+
=
+
=
=
⇔
) 2 ( 1
) 1 ( 1
m p
m s
m p
m s
a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s2≥4pvới mọi m)
b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất ⇔s2 =4p ⇔(m+1)2 =4m ⇔ m=1
Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1
Trang 5Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện
đủ
Bài8-Tìm mđể hệ pt
=
− +
−
− +
+
= +
1 ) 1 (
1
1
2 2
y x m y
x
xy y x
có nghiệm duy nhất
Giải
* Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0
* Với m=0 hệ pt :
=
− +
+
= +
1 1
1
2 2
y x
xy y x
⇔
= +
=
− +
2
1 2 2
y x
xy y
x
=
− +
=
− +
⇔
2 2 ) (
1 2
xy y
x
xy y x
=
=
⇔
=
= +
−
=
= +
⇔
1
1 1
2
) ( 1 0
y
x xy
y x
VN xy
y x
Vậy :m=0
Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất
`Bài tập
1-cho hệ pt :
−
−
= +
+
= +
3 2
1 2 2
2
m m xy
y x
m y x
a-Giải hệ pt khi m=3
b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m
2- Cho hệ pt :
= +
+
= + +
m xy y x
m y xy x
2 2
1
a-Giải hệ pt khi m=2
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0
3- Cho hệ pt :
= + +
+
= + +
m y xy x
m xy y x
2 2
6 2
2
a- Giải hệ khi m=-3
b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
4- Tìm m để hệ :
− +
= +
−
= +
3 2
1 2 2 2 2
m m y x
m y x
có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất
5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :
= +
+
= +
4 ) (
2 2
2
2 2
y x
m y
x
Trang 6
6- Cho hệ pt :
−
= +
= +
2 2
2
6 m y
x
m y x
a- Giải hệ khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất
7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :
= + + +
−
= + +
m y x y x
m y
x xy
2 2 2
6 5 ) 2 )(
2 ( 2 2
8- Tìm m để hệ :
−
= +
= + +
m y
x
m xy y x
2 3 2
2 có 4 nghiệm phân biệt
9- Giải biện luận hệ pt:
−
= +
= + +
m y
x
m xy y x
2 3 2 2
10-Tìm m để hệ có nghiệm :
= +
=
− +
m y x
m xy y x
III-Hệ đối xứng loại hai
+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại
+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ
+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một Bài1-Chohệpt:
+
=
+
=
mx y y
my x x
3
3
2
2
Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Giải
Trừ hai vế của của hai pt ta có :
+
=
=
−
my x x
y x
3
0
⇔
=
=
−
−
y
x
m y
⇔
+
=
=
=
=
m y
x
y x
3
0
Hệ có hai nghiệm phân biệt
⇔m+3≠0⇔m≠−3
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
+
=
−
+
=
−
x my x y
y mx y x
2 2
2 2
2 2
Giải
Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ:
+
=
−
= +
− +
−
y mx
y
x
m y x
y
x
2
2
2
0 ) 1 3
3
)(
(
) 1 (
2 2 2
+
=
−
=
⇔
x my x y
y x
2
0 1 3
3
2 2
+
=
−
= +
− +
x my x y
m y x
Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0⇔ m=−1 khi đó hệ (2) vô nghiệm Vậy m=-1
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
−
= +
−
= +
) 1 (
) 1 (
2 2
x m y xy
y m x xy
Giải
Trang 7Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy
nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x2−mx+m=0có nghiệm duy nhất khi m=0 v
m=8
Vớim=0hệlà:
= +
= +
0
0
2 2
y xy
x xy
⇔
=
= 0
0
y
x
hoặc
= +
= +
0 ) (
0
y x x
x y
(hệcóvôsốnghiệm)
Với m=8 hệ:
−
= +
−
= +
) 1 ( 8
) 1 ( 8
2 2
x y
xy
y x
xy
2
=
=
⇔ x y (hệ có nghiệm duy nhất) Vậy m=8
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
=
− + +
=
− + +
m x y
m y x
6 1
6 1
Giải : Đ K :-1≤x,y≤6
Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có
nghiệm duy nhất thì
−
=
−
=
y y
x x
5
5
⇔x=y=
2
5 thay vào hệ ta có m= 14 Với m= 14hệ pt:
⇔
=
− +
+
=
− +
+
14 6
1
14 6
1
x y
y x
=
− + + +
− + +
=
− + +
14 2 6
1 6
1
14 6
1
y y
x x
y x
Mà 1+x+ 6−x + 1+ y + 6−y ≤2 14dấu bằng xảy ra ⇔ x=y=
2
5 (thoả
mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=
2 5
Vậy m= 14
Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm
=
− +
+
=
− +
+
m x
y
m y
x
2 1
2 1
Giải
ĐK :x,y 2≥
Hệ ⇔
=
− + +
−
− +
=
−
− +
m y
x
y y
x x
2 1
2 1
2 1
⇔
=
− + +
− + +
=
− + +
m y
x
y y
x x
2 1
) 1 ( 2 1
3 2
1 3
Hàm số f(t)=
2 1
3
− +
t nghịch biến trong khoảng (2,+ ∞ ) Nênpt(1) ⇔ x=ythay vào pt kia ta có pt: x+1+ x−2 = m
2
=
− + +
≥
≥
Min m
Vậy:m≥3
Trang 8Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
− +
=
− +
=
my y x y
mx x y x
2 2 3
2 2 3
7
7
Giải
Trừ haivế của hai pt ta có:
− +
=
= + +
− + +
−
mx x y x
m y x xy y x y x
2 2 3
2 2
7
0 ) ) ( 6 )(
(
⇔ x=y=0 V
) ( ) 1 ( 0 8
m y
y
y
x
= +
−
=
7
) 2 ( 0 )
( 6
2 2 3
2 2
II my
y x y
m y x xy y x
− +
=
= + +
− + +
ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có
nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm ⇔ pt(1) vô nghiệm ⇔ ∆,<0⇔m>16
ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2)⇔ y2 +(x−6)y+x2 −6x+m=0 Là pt bậc hai
ẩn y có ∆=−3(x−2)2 −4(m−12)<0với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm ⇒ hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm
Vậy :m>16
Bài tập
1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
+
= +
+
= +
m x y
m y x
2 2
) 1 (
) 1 (
2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất
a-
+
−
=
+
−
=
mx x x
y
my y y
x
4
4
3
2
2 3
2
b,
+
=
− +
+
=
− +
1 1
1 1
m x y
m y x
c,
= + +
= + +
m x y
m y x
2
2
2
2
d,
=
−
−
=
−
−
m x
y
y
m y
x
x
2
2
2
2
3-Tìm m để hệ có nghiệm :
=
− +
=
− +
m x
y
m y
x
1 2
1 2
IV-Hệ đẳng cấp bậc hai
Xét hệ có dạng :
= +
+
= +
+
) 2 (
) 1 (
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1
d y c xy b x a
d y c xy b x a
Cách giải
Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không
Trang 9+Với x≠0 đặt y=tx thay vào hệ pt :
= +
+
= +
+
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2
) (
) (
d t c t b a x
d t c t b a x
chia hai vế của hai
pt cho x2cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x
khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t
Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn X2ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x2,rút x
theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng
phương giải được ẩn x
Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự
dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y
Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo
mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau
Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m:
=
−
= +
−
) 2 ( 4 3
) 1 ( 4
2
2 2
xy y
m y xy x
Giải
Nhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacó
pt:2y4-(40-9m)y2-16=0(3)Đặt t=y2(t 0≥ )
Ta có pt:2t2-(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn
có nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM)
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm :
+
= + +
= + +
m y
xy x
y xy x
17 3
2
11 2
3
2 2
2 2
Giải
+x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y=± 11,m=16
+x≠0(haym 16≠ )Đặty=tx thay vào hệ :
⇔
+
= +
+
= +
+
m t
t
x
t
t
x
17 ) 1 2
3
(
11 ) 3 2
(
2
2
2
2
⇔
= + +
+
= + +
+ +
11 ) 3 2 (
11
17 3 2
1 2 3
2 2 2 2
t t x
m t
t
t t
= +
+
= + + + +
−
) 4 ( 11 ) 3 2
(
) 3 ( 0 40 3 ) 6 ( 2 )
16
(
2
2
2
t
t
x
m m
t
m
Ta có :t2+2t+3=(t+1)2+2>0 với
mọitnên hệ có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔∆, =2(m2 −10m−338)≥0⇔
5-11 3≤ m≤5+ 3
Bài 3-Tìm m để hệ :
+
= +
+
− +
−
= +
+ + +
) 2 ( 1 )
5 2 ( ) 1 (
) 1 ( 1 )
2 ( ) 1 (
2 2
2 2
m y m xy m x
m y m xy m x
có 4 nghiệm phân
biệt
Giải
Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x=
y
y m
2
2 ) 3 ( + 2 −
thay vàopt(1)tacó:(3m2 4
) 23
18m + y
+ -12(m+1)y2+4=0
Trang 10Đặt t=y (Đ K:t 0≥ )Ta có:(3m +18m +23)t -12(m+1)t+4=0 (3)
Hệ có 4nghiệm phân biệt ⇔ pt(3)có2nghiệm dương phân biệt
⇔
3 7
0 23 18 3
1
0 23 18 3
0 ) 23 18 3
( 4 ) 1 (
36
2
2
2 2
>
⇔
>
+ + +
>
+ +
>
+ +
− +
m
m m
m
m m
m m
m
Bài tập
1-Tìm m để hệ có nghiệm :
= +
− +
= + +
m my xy m x
m y my x
2 2
2 2
) 1 (
2-Tìm m để hệ có nghiệm :
= + +
= + +
2
2 3
2 2
2 2
y xy x
m y xy x
V-Một số hệ khác
1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn
Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai
Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm :
−
≤
− +
+
−
≥
− +
) 2 ( 2 5
10 3
) 1 ( 1
1 7 2
2 3
2 2
y xy x
m
m y
xy x
Giải
*ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên Khi đó nhân cả hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có: x
1
4 9
2
+
−
≤ +
+
m y xy
1
4 )
3
+
−
≤ +
⇔
m y
*ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có : 1
1
2 1 1
1
−
<
+ +
−
= +
−
m m
m
Xét hệ pt:
−
=
− +
+
−
>
−
=
− +
2 5
10 3
1
1 1 7
2
2 2
2 2
y xy x
m
m y
xy x
⇔
−
=
= 5 , 1
5 , 0
x
y
V
−
=
= 5 , 0
5 , 1
y
x
⇒ Hệ có
nghiệm Vậy : m<-1
Bài tập
1- Tìm m để hệ có nghiệm
a-
+
−
≤ + +
≥ +
−
5 2
1 2 2
4 7
3 2 4 5
2 2
2 2
m
m y
xy x
y xy x
b-
≤ + +
+
+
≥ + +
1 3
2
1 3 2 7 5
2 2
2 2
y xy x
m
m y
xy x