Chuyên đề: Phương trình - hệ phương trình

- Cách giải phương trình bậc nhất Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho... Chú ý: - Khi

Chuyên đề:

phương trình

hệ phương trình bất phương trình

phương trình bậc nhất

một ẩn

HÖ thèng lý thuyÕt:

- Phương trình 1 ẩn:

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó

vế trái A(x) và vế phải B(x) là 2 biểu thức của cùng 1

- Cách giải phương trình bậc nhất

Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

a

= −

HÖ thèng bµi tËp:

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số

Bài tập:

Bài 11<SGK – 13> :Giải các phương trình:

)3 2 2 3 b)3 4 24 6 27 3c)5 ( 6) 4(3 2 )

d) 6(1,5 2 ) 3( 15 2 )e)0,1 2(0,5 0,1) 2( 2,5) 0,7

Bài 10 <SGK - 13> : Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải cho đúng

Bài 13 <SGK - 13> : Bạn Hoà giải phương trình

Loại 2: Phương trình chứa phân thức

Cách giải:

B1: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu

B2: Thực hiện các phép tính và chuyển vế để đưa phư

x + + x + = x + + x +

Bài 20<SBT - 6> : Giải các phương trình sau

Bài 22<SBT - 6>: Giải các phương trình sau

Bài 25<sbt - 7>: Gải các phương trình sau

Chú ý:

- Khi giải một phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi để đưa phương trình đó về dạng đã biết cách giải (đơn giản nhất là dạng ax+b=0 hay ax=-b) Việc

bỏ dấu ngoặc hay quy ồng mẫu chỉ là những cách thường dùng để nhằm mục đích đó Trong một vài trưòng hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản

hơn

- Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là

hệ số của ẩn bằng 0 Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x

Loại2: Phương trình chứa hằng đẳng thức

Cách giải:

+ Thực hiện các phép tính về hằng đẳng thức và phép

nhân đa thức ở cả hai vế

+ Biến đổi phương trình về dạng ax=c

+ Giải phương trình rồi kết luận

Loại 3: Phân tích vế trái được thành nhân tử

Cách giải:

B1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái, rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử

B2: Giải phương trình tích rồi kết luận

3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

B1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

B2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

B3: Giải phương trình vừa nhận được

B4: Kết luận <các giá trị nhận được ở B3 thỏa mãn

ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho>

(a) 2( 3) 2 2 ( 1)( 3)

4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

B3: Trả lời: Kiểm tra xem trong cácnghiệm của phương

trình, nghiệm nào thỏa mãnđiều kiện của ẩn,

nghiệm nào không, rồi kết luận

- Kiểm tra lại, ta thấy x = 22 thỏa mãn các điều kiện của

ẩn Vậy số gà là 22 (con) Từ đó suy ra số chó là

36-2 4(36 ) 100 2 144 4 100

44 2 22

x x

⇔ =

2x + 4(36 − =x) 100

bất phương trình bậc

nhất một ẩn

HÖ thèng lÝ thuyÕt

1 ĐN bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a b,

a b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là

vế phải của bất đẳng thức.

2 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một

bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới

cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b và c ta có:

Nếu a < b thì a+c < b+c; Nếua b thì a+c b+c

Nếu a > b thì a+c > b+c; Nếu a b thì a+c b+c

- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: khi nhân cả

hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất

đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

Với ba số a,b và c mà c < 0 ta có:

Nếu a < b thì ac > bc; Nếu a b thì ac bcNếu a > b thì ac < bc; Nếu a b thì ac bc

≤≤

4 Tính chất bắc cầu của thứ tự

Với ba số a,b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c

Tương tự, các thứ tự lớn hơn ( >), nhỏ hơn hoặc bằng( ), lớn hơn hoặc bằng ( ) cũng có tính chất bắc cầu.

5 Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

≤≤≤≤

6 Bất phương trình tương đương

Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “ ” để chỉ sự tương đương

8 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số: Khi nhân 2 vế của BPT với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều của BPT nếu số đó dương;

- Đổi chiều BPT nếu số đó âm.

9 Giải BPT bậc nhất một ẩn : ax + b < 0 ( )

- Nếu a> 0 ta có nghiệm của BPT là: x <

Nếu a< 0 ta có nghiệm của BPT là: x>

-Tương tự cho các BPT: ax+b >0; ax+b 0;

ax+b 0

10 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

T a phá dấu giá trị tuyệt đối theo quy tắc:

b a

b

a

b a

HÖ thèng bµi tËp

Dạng 1:So sánh

1.1 Phương pháp giải: Dựa vào tính chất về liên

hệ giữa thứ tự và phép cộng và liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1.2 Ví dụ: Cho a< b, hãy so sánh:

12a<15a; 4a<3a; -3a> -5a

15 + ≤ + a 15 b

Bµi 6(SBT8,tËp2-T42) Víi sè a bÊt k×, so s¸nh:

a víi a-1 b) a víi a+2

Dạng 2: Chứng minh

Phương pháp giải: Dựa vào liên hệ giữa thứ tự

và phép cộng và liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, tính bắc cầu của thứ tự để giải

Ví dụ: Cho a> b Chứng minh a+2> b-1

Bµi 17(SBT8,tËp2-T43) Cho a>0, b>0, nÕu a<b

Bài 30(SBT8,tập2-T44).

a) Chứng tỏ

b) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên

tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Dạng 3: Giải bất phương trình

Phương pháp giải:

Giải BPT bậc nhất một ẩn : ax + b < 0 (a 0 )

Nếu a> 0 ta có nghiệm của BPT là: x <

Nếu a< 0 ta có nghiệm của BPT là: x>

-Tương tự cho các BPT: ax+b >0; ax+b 0;

ax+b 0

≠

b a

b a

≤

≥

Ví dụ: Giải bất phương trình: 3x+5 < 5x-7

⇔ + < − −

⇔ − < −

⇔ >

Dạng 4: Giải và biện luận bất phương trình

a

⇔ > −

b x

a

⇔ < −

≤

VÝ dô: Gi¶i vµ biÖn luËn theo m BPT

Mét sè bµi tËp

Bµi 1 Gi¶i vµ biÖn luËn theo m c¸c BPT:

Bµi 2 Gi¶i vµ biÖn luËn theo m c¸c BPT:

2 2

b

m m

−

≤

+ +

D¹ng 5: T×m sai lÇm trong lêi gi¶i bµi to¸n gi¶i

Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ

Giải phương trình:

Giải: Ta có

Do đó ta quy về giải 2 phương trình sau:

+) x-3 = 9-2x với điều kiện

+) -(x-3) = 9-2x víi ®iÒu kiÖn x < 3

III HÖ hai PT bËc nhÊt hai Èn

1 KN PT bậc nhất hai ẩn

PT bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng ax+by=c Trong đó a, b, c là các số đã biết ( a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 )

2 Nghiệm của PT bậc nhất hai ẩn

- Trong PT ax+by=c nếu giá trị của vế trái tại x x = 0 và

được biểu diễn bởi điểm có toạ độ ( , ) x y0 0

- PT ax+by=c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm

đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành.

- Cho hai PT bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a’x+b’y=c’ khi

đó ta có hệ PT bậc nhất hai ẩn

(d) ( )

' ' ' (d')

ax by c I

• Giải hệ PT là tìm tất cả các nghiệm ( tìm tập nghiệm) của nó

- Tập nghiệm của hệ (I) được biểu điểm bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d’)

–Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất

–Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm

–Nếu (d) trùng (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm

- Hai hệ PT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

4 Phương pháp giải hệ PT bậc nhất hai ẩn

* Quy tắc thế

Bước 1: Từ một PT của hệ đã cho ( coi là PT thứ nhất) ta

biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào PT thứ hai để được một PT mới ( chỉ còn một ẩn)

Bước 2: Dùng PT mới ấy để thay thế cho PT thứ hai trong hệ ( PT thứ nhất cũng được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một

2) Giải PT một ẩn vùa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ PT bằng PP thế, ta thấy

2)áp dụng quy tắc cộng đại số để được PT mới, trong đó có một PT mà hệ số của 1 trong 2 ẩn bằng 0 ( tức là PT 1 ẩn)3)Giải PT vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

5 Giải bài toán bằng cách lập hệ PT

Bước 1: Lập hệ PT

- Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các điều kiện chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập 2 PT biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải hệ 2 PT nói trên

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ PT

nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

Dạng 1: Xác định cặp số đã cho có phải là nghiệm của

PT bậc nhất hai ẩn ax+by=c

VT=3.1+5.1=8 =VP

Vậy là nghiệm của PT đã cho

+) Thay và vào PT đã cho ta có

Vậy không là nghiệm của PT đã cho

Dạng 2: Cho PT bậc nhất 2 ẩn có chứa tham số m, tìm giá trị của tham số để điểm thuộc PT đường thẳng

PP giải

- Thế tọa độ điểm vào PT đường thẳng đã cho, khi

đó ta được PT mới ẩn m

- Giải PT ẩn m ta tìm được giá trị của m

VD: Tìm giá trị của m để điểm thuộc đường thẳng

GiảiThay vào PT đương thẳng ta được

Vậy với thì thuộc đường thẳng

− =

7

Dạng 3: Cho PT đường thẳng (d) chứa thanm số m Tìm điểm

cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m

PP giải

- Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m là

- Thay vào PT đường thẳng (d), chuyển vế để vế phải của PT đường thẳng (d) bằng 0 để được PT ẩn m

VD: Cho đường thẳng , m là tham số Tìm

điểm cố định đường thẳng (d) đi qua với mọi m

Giải Gọi là điểm cố định cần tìm Khi đó ta có

D¹ng 4: ViÕt PT ®­êng th¼ng AB ®i qua hai ®iÓm vµ

VD: Cho 2 ®iÓm vµ ViÕt PT ®­êng th¼ng AB

Gi¶iGäi PT ®­êng th¼ng AB cã d¹ng

D¹ng 5: Gi¶i hÖ PT bËc nhÊt hai Èn

x y

=



 =



Dạng 6: Cho hệ Pt chứa hệ số, xác định các hệ số để hệ PT nhận làm nghiệm

a b

Dạng 7: Giải hệ PT đưa về hệ PT bậc nhất hai ẩn

PP giải

- Đặt các biểu thức tương ứng của hệ đã cho bằng ẩn X, Y

đẻ đưa hệ đã cho về hệ PT bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ Pt bậc nhất hai ẩn tìm được X,Y

- Thay X,Y vào biểu thức tương ứng đã đặt, giải hệ tìm được nghiệm của hệ đã cho

x y I

10 5

x =





 =

Bµi tËp

Bµi 27(sgk9-tËp2-tr20); bµi 41b(sgk9-tËp2-tr27); bµi 24(sbt9-tËp2-tr7); bµi 27,30(sbt9-tËp2-tr8)

Dạng 8: Giải các bài toán thức tế bằng cách lập hệ PT

PP giải

Bước 1: Lập hệ PT

- Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các điều kiện chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập 2 PT biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượngBước 2: Giải hệ 2 PT nói trên

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của

hệ PT nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

VD: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số

hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngước lại thì được số mới ( có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Giải

- Gọi chữ số hàng chục cần tìm là a, chữ số hàng đơn vị là b

- Khi đó số cần tìm là 10a+b

- Vì hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1

đơn vị ta có PT: 2.b-a=1 hay a-2b=-1

- Khi viết hai chữ số ngược lại ta được số 10b+a

Bµi tËp

Bµi 28,29,30(sgk9-t©p2-tr22); bµi

31,32,33,34,35,36,37,38,39 (sgk 9- tËp2-tr23,24,25); bµi 43,44,45,46(sgk9-tËp2-tr27)

phương trình bậc hai

A .Kiến thức

I.Định nghĩa

Phương trình bậc hai môt ẩn(nói gọn là phương trình bậc hai )là phương trình có dạng

VD.gi¹i pt

Pt v« nghiÖmVD2.gi¶i pt

III Hệ thức vi-et va ứng dụng

Nếu là hai nghiệm của phương trình

thì

Muốn tìm hai số u vá v,biết u+v=s,uv=p ta giải pt

(Điều kiện để có u,v la )

x x

a

− + =

NÕu a+b+c=0 thi pt

1

x

c x

1

x

c x

a

= −

−

=

H£ THèNG C¸C BµI TËP VÒ PH¦¥NG

TR×NH BËC HAI 1.D¹ng 1:

• Bài1:Dùng công thưc nghiệm của pt bậc hai để giai pt(sgk 9tâp1)

Pt có hai nghiệm phân biệi

2

1 2

1 4.6.( 5) 121 05

61

a x x

x x

12

1 2

)5 4 1

2 5.( 1) 91

51

x x

Bai3:Dïng ®iÒu kiÖn a+b+c=0 hoÆc a-b+c=0

50 )2 5 3 0

2 5 3 0 3

1;

a b c x

BT:gi¶i pt bËc hai(sbt l¬p 9 tËp 2)

2222

)16 8 1 0 )5 24 9 0 )6 10 1 0 )3 2 5 0

D¹ng2: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

VD:Tìm 2 số u và v trong mỗi trường hợp saua)u+v-2, uv=9 b)u+v=-8,uv=-105

Giải:a)u,v là nghiệm của pt

X − X + =

= − − = −

V

2 ,

1 2

8 105 0

16 105 121 7,

15

X X

• BT:T×m hai ssè u, v()

• a)u+v=14, uv=40 b)u+v=-5, uv=-24

• c)u+v=10 ,uv=24 d)u+v=4 ,uv=19

• D¹ng3:Gi¶i va biÖn luËn pt hai ch­a tham sè m

• VD:Giai va biÖn luËn pt

• Nªu pt cã hai nghiÖm pb

2

x = x = − =m

x t t

t t

a b c t

• Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Cách giải: B1Tỉm đk xác định của pt

B2:Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử

mẫu thức B3:Giải pt vừa nhận được

B4: Tìm giá trị thoả mãn đk

20 0 4

5

x x

x x x x

x x x x x

+ + − = + =

x a

• Dạng5: Giai bài toán bằng cách lập phương trình

VD(sgk 9 tâp 2) Tìm hai số biêt tổng bằng 17 và

tổng bình phương của chúnh là 157

Giải: gọi số thứ nhất là x(x>17)

Số thứ hai là 17-x Tổng bình phương 2 số là 157 ta có

• BT(sgk 9 tập 2) bai41: Trong lúc họp nhóm,bạn

Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Mai mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5và tích của chúng bằng 150, vậy hai bạn Minh và Mai phải chọn những sồ nào

CÁC THÀNH VIÊN

Nguyễn Duy Tân Nguyễn Mạnh Hùng Trần Thi ̣ Nhung Nguyễn Thi Thanh Nhung

Đỗ Thi Thơm Triệu Hoài Nam