Phương trình lượng giác ôn thi CĐ ĐH 2011

Trang 1

Bài 1: Giải phương trình:

sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x+ + + = + + +

Giải:

sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x+ + + = + + +

(sinx cosx) (sin x cos x2 2 ) (sin x cos x3 3 ) (sin x cos x4 4 ) 0

(sinx cosx) (sin x cos x2 2 ) (sinx cosx) (1 sinxcosx) (sin x cos x2 2 ) 0

(sinx cosx) (2 2(sinx cosx) sinxcosx) 0

0

sinx cosx

sinx cosx sinxcosx



Với sinx cosx− =0 ;

4

x π k k Zπ

Với 2 2+ (sinx cosx+ )+sinxcosx=0 1( )

Đặt t sinx cosx= + với t∈ − 2, 2 và 2 1

2

t sinxcosx= − ( )

1

4 3 0

3

t

t loai

= −



⇔ + + = ⇔  = −

cos x π  cos π

2

in x π  in π 

2

; 2 2

m Z

= +





 = − +



Kết luận:

4

2 ; , 2 2

 = +



= − +





2cos x cos x3 2 2 + =1 1

Giải:

( )

1

2

2cos x3 4 cos x 1 1

2cos x3 3 4sin x 1 2

Nhận xét rằng x k= π(k Z∈ ) không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

( )

2

3

2cos x sinx3 3 4sin x sinx

2cos xsin x sinx3 3

6

sin x sinx

2

m x

x x m

x

π π

 =



= +





Trang 2

Chọn nghiệm x k≠ π(k Z∈ )

5

m

hay k= +2l 1 hay m= +7l 3;l Z∈

Vậy phương trình có nghiệm 2 ;( 5 )

5

m

x= π m≠ t

; 2 ;( 7 3 ; , ,)

m

x= +π π m≠ +l m l t Z∈

2 1

cos x cosx

sinx sinx cosx

−

+

Giải:

sinx cosx+ ≠ ⇔ cos x −π≠ ⇔cos x −π ≠ ⇔ ≠ +x π k k Zπ ∈

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

1−sin x cosx− =1 2 1+sinx sinx cosx+

(1 sinx) (1 cosx sinx sinxcosx) 0

(1 sinx) (1 cosx) (1 sinx) 0

; , 2

1

2

thoadk m l Z cosx



= −

Vậy phương trình có nghiệm là 2

2

x= − +π mπ

;x= +π 2 ; ,l m l Zπ ∈ .

2

2sin x sin x sinx cosx− 2 + + − =1 0

Giải:

( ) 1

2

2sin x 2sinxcosx sinx cosx 1 0

2

2sin x 2cosx 1 sinx cosx 1 0 2

Xét phương trình (2) là phương trình bậc 2 theo sinx, ta có:

2cosx 1 8 cosx 1 4cos x 12cosx 9 2cosx 3

Phương trình (2) có nghiệm là: sin x = 0,5 hoặc sinx = cosx - 1

Với

2

; 5

2 6

π

 = +



 = +



4

sinx cosx= − ⇔sinx cosx− = − ⇔ sin x −π = −

2 2

; 3

2

x l

π

=



Vậy

3sin x cosx2 2 + + =1 2 cos x cos x3 + 2 −3cosx

Giải:

Trang 3

( )

1

3sin x cosx2 2 1 cos x cosx3 cos x2 1 2cosx 1

3sin x cosx2 2 1 2sin x sinx2 2sin x 2cosx 1

3sin x cosx2 2 1 4sin x cosx 2sin x 2cosx 1

3sin x cosx2 2 1 2sin x cosx2 1 2cosx 1

2cosx 1 3sin x2 2sin x 1 0

2

cosx

sin x sin x

+ =





Với

2 2

2 3

 = +



 = − +



Với ⇔ 3sin x2 +2sin x2 + =1 0

⇔ 3sin x cos x2 + 2 = −2

3 2 1 2 1

2 sin x 2cos x

6

sin x π

2 2

;

6

x π l l Zπ

Vậy

2cos x cos x sinx cos x x R5 3 + = 8 ; ∈

Giải:

( ) 1

cos x cos x sinx cos x

2

1 2sin x sinx 0

2 2 1

2 ; 1

6

2 6

sinx

 = +











9sinx+6cosx−3sin x cos x2 + 2 =8

Giải:

( ) 1

2

9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8

(6cosx 6sinxcosx) (2sin x2 9sinx 7) 0

6cosx 1 sinx sinx 1 2sinx 7 0

(1 sinx) (6cosx 2sinx 7) 0

Trang 4

( ) ( 2 2 2)

sinx

cosx sinx VN





2

2cos x6 +2cos x4 − 3cos x sin x2 = 2 + 3

Giải:

( ) 1

2

4cos xcosx5 2sinxcosx 2 3cos x

2cosx cos x sinx2 5 3cosx 0

0

cosx

cos x sinx cosx

=





; 2

5

cos x sinx cosx



⇔



; 2

5

6

cos x cos x

π



⇔



; 2

24 2

2

42 7

k x



⇔ = − +





4

cos xcosx+ +sin x = cos  x+π 

Giải:

( )

1

2

cos x cos x sin x  cos x π 

cos x sin x cos x sin x

sin x π sin x π 

6

sin x π cosx

2

6

18 3

x



=



⇔  + = ⇔ 

Trang 5

4 4

4

sin x cos x

cos x tanπ −x tan+ π +x =

Giải:

Điều kiện:

k

x≠ +π π

tanπ −x tan π +x=tanπ −x cot π −x=

( ) 1

42 42 44

sin x cos x cos x

1

2sin x cos x

1

2 cos x cos x

2cos x cos x4 4 1 0

( )

2

4

2

cos x

π



= −



Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ;

2

x k= π k Z∈

5

12

cos π −x sinx =

Giải:

sin x π sin π

2

sin x π  sin π sinπ

2

sin x π  sinπ sin π

5

sin x π  cos sinπ  π  sin π 

5

k Z

2

2 2

sin x

sinx cosx

π

Giải:

Điều kiện: sinx≠ ∧0 sinx cosx+ ≠0

Khi đó: ( )

2

cosx sinxcosx

cosx sinx cosx

sinx

+

Trang 6

2 2

0 2

cosx cos x

sinx cosx

sinx

+

0 2

cosx cosx

sinx cosx sinx

+

0

4

cosx cosx

sinx sin x π

2 4

0

4

sin x cosxsinx

cosx

sinx sin x

π

2 4

0

4

sin x sin x

cosx

sinx sin x

π π

0

4

cosx

sin x π sin x

=







2

cosx= ⇔ = +x π k π k Z∈

g

2

;

t

n

π

 g

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2 ;

2

x= +π k π k Z∈

; 2 ;

t

x= +π π t Z∈

2

sin x

cos x sin x tanx

+

Giải:

Điều kiện:

2

k

x≠ π

Khi đó: ( )1 ( )

2

2 tan x sin x2 cotx

2 2

s

sin x cos x

inxcosx

+

2

3tan x 2tanx 3 0

3

1

k Z





Trang 7

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ;

k

x= +π π k Z∈

tan x− tan x tan x+ = với x∈(0, 2π)

Giải:

Điều kiện: cos x3 ≠0,cos x4 ≠0,cos x5 ≠0

Khi đó: ( )1 8 2 4 0

sin x sin x cos xcos x cos x

2

0

sin xcos x sin xcos xcos x

cos xcos xcos x

−

cos x cos xcos x

sin x

cos xcos xcos x

cos x cos x cos x sin x

cos xcos xcos x

2 2

sin x sin x

cos xcos xcos x

2

4

0

k

sinx

π



=

Do x∈(0, 2π) nên phương trình có nghiệm là:

x=π x=π x= π x= π x= π

sinx sin x

Giải:

Điều kiện: sin x2 ≠0

( ) 1

sin x sinxsin x cosx cos x

(1 sin x22 ) 2sin xcosx cosx2 2cos x2

cos x cosx sin x cos x

2

cos x cosxcos x cos x

cos x cos x cosx

( )

2

cos x

cos x cosx VN

=





cos x

2

x π k k Zπ

Trang 8

k

4

sin x+ +cos x sinx− sin  x+π =

Giải:

( ) 1

2

sin x sinx sinxcos x cos x π 

sin x sinx sin x sin x sin x

1

sinx

2 ;

2

x π k π k Z

1 2

3

sinx cosx

sinx sinx

−

=

Giải:

Điều kiện: sinx≠1 và sinx≠ 12( )∗

Khi đó: ⇔ −( )1 (1 2sinx cosx) = 3 1 2( + sinx) (1−sinx)

cosx sinx sin x cos x

2

cos x π  cos x π

2

x π k π

x= −π +k π k Z∈

Kết hợp với (*) ta được nghiệm phương trình: 2 ;( )

x= −π +k π k Z∈

1 2+ sinx cosx= +1 sinx cosx+

Giải:

( )

1

2

1 4sinx 4sin x cosx 1 sinx cosx

2

4sinxcosx 4sin xcosx sinx 1 0

2sin x2 2sin xsinx2 sinx 1 0

2sin x2 1 sinx sinx 1 0

(sinx 1 2) ( sin x2 1) 0

1

1 0

1

2

sinx sinx

= −

 + =

2 2

5

k Z

 = − +



 = + ∨ = +



Trang 9

( 3 )

sinx cosxsin x+ + cos x= cos x sin x+

Giải:

( ) 1

3

sinx sin x cosxsin x cos x cos x

1 2sin x sinx cosxsin x2 3cos x3 2cos x4

sinxcos x cosxsin x cos x cos x

sin x cos x cos x

6

cos x π  cos x

6

2 6

3cos x5 −2sin xcos x sinx3 2 − =0

Giải:

( )

1

3cos x5 sin x sinx5 sinx 0

2 cos x 2sin x sinx

5

3

sinπ x sinx

π − = − +π π

18 3

x π kπ

x= − +π kπ k Z∈

1 4

sinx cos x sin x

cosx tanx

π

+

Giải:

Điều kiện: cosx≠0 và 1 tanx+

Khi đó: ( )1 2 (1 2 ) (1 )

4

sin x π  sinx cos x tanx cosx

(sinx cosx) (1 sinx cos x2 ) sinx cosx cosx

cosx

+

sinx cos x

2

2sin x sinx 1 0

1

sinx

⇔ = (loại) hoặc 1

2

sinx

2 6

6

cos cos + sinx− x=

Trang 10

2cos x4 8sin x2 5 0

2

4sin x2 8sin x2 3 0

3

2

sin x

⇔ = (vô nghiệm) hoặc 2 1

2

sin x

12

x π kπ

⇔ = + hoặc 5 ;( )

12

x π kπ k Z

(sinx+cosx)cosx+2cos 2x sinx− =0

Giải:

( ) 1

2

2sinxcos x sinx cos xcosx2 2cos x2 0

cos xsinx cosx cos x

(sinx cosx 2)cos x2 0

2 0

sinx cosx

⇔ + + = (vô nghiệm) hoặc cos x2 =0

;

x π kπ k Z

sin x− x+ sinx cosx− − =

Giải:

( )

1

2

2sinxcosx cosx 1 2sin x 3sinx 1 0

(2sinx 1) (cosx sinx 2) 0

2 0

sinx cosx

⇔ + + = (vô nghiệm) hoặc 1

2

sinx= 2

6

x π k π

6

x= π +k π k Z∈

4

2

sinx sin x

π

Giải:

Điều kiện: sinx≠0 và 3 0

2

sin x − π ≠

Khi đó: ( )1 1 1 2 2 s( )

s

inx cosx

inxcosx

sinx cosx+ =0

g

4

x π kπ

⇔ = − + 1

2 2 0

s inxcosx+ =

2

sin x

8

x π kπ

8

x= π +kπ k Z∈

Trang 11

3 3 3 2 2

sin x− cos x= sin x

Giải:

( ) 1 1 3

2sin x 2 cos x sin x

3

sin x π  sin x

3

 − = +



⇔ 

 − = − +



2

k Z

 = +





sin x− cos x sinxcos x= − sin xcosx

Giải:

( )

1

sinx cos x sin x cosx cos x sin x

cos x sinx cosx

cos x

sinx cosx

=





cos x= ⇔ = +x π kπ k Z∈

g

sinx+ cosx= ⇔sin x +π = ⇔ = − +x π kπ k Z∈

g

2sinx 1+cos x2 +sin x2 = +1 2cosx

Giải:

( ) 1

2

4sinxcos x sin x2 1 2cosx

(2cosx 1) (sin x2 1) 0

2 1 0

cosx

sin x

+ =



⇔  − =

cosx+ = ⇔cosx= − ⇔ = ±x π +k π k Z∈

g

4

sin x− = ⇔sin x= ⇔ = +x π kπ k Z∈

g

1+sin x cosx+ +1 cos x sinx= +1 s 2in x

Giải:

Trang 12

( )

1

2 1

sinx cosx sinxcosx sinx cosx

(sinx cosx) (1 sinx) (1 cosx) 0

2

sin x sinx cosx

π





2

2sin x sin x2 − 7 − =1 sinx

Giải

( ) 1

2

sin x inx sin x

2cos xsin x cos x4 3 4 0

cos x sin x

1

3

k Z sin x





2

Giải

( ) 1

1 sinx 3cosx 2

1 s

co x π  cosπ

2

0

2 2

cos x sin x sinxcosx

sinx

=

−

Giải

Điều kiện: sinx≠ 22 ( )∗

( )

1

2 cos x sin x sinxcosx 0

2

4sin x 2sin x

2

3sin x sin x2 2 4 0

Trang 13

2 1

sin x

; 4

x π kπ k Z

Kết hợp (*) nên 5 2 ;( )

4

x= π + mπ m Z∈

2

x cotx sinx+  +tanxtan =

Giải

Điều kiện: 0, 0, 0 ( )

2

x simnx≠ cosx≠ cos ≠ ∗

( ) 1

2

x sin

sinx

x

2

cosxcos sinxsin cosx

sinx

x

+

4

cosx sinx

sinx cosx

2

sin x sinxcosx

5

12

k Z

 = +



 = +



, thỏa mãn (*)

cos x cos x cosx+ − − =

Giải

( ) 1

2

2sin xsinx2 2sin x 0

sinx sin x sinx

sin x cosx

0

sinx

cosx

=



sinx= ⇔ =x kπ k Z∈

g

2 ;

cosx= − ⇔ = ±x π +k π k Z∈

g

cos xcos x cos x− =

Giải

( )

1

1 cos x cos x6 2 1 cos x2 0

Trang 14

6 2 1 0

cos xcos x

cos x cos x

2

2cos x cos x4 4 3 0

3

2

cos x

=





⇔



2

1+sinx cosx sin x cos x+ + 2 + 2 =0

Giải

( ) 1

2

sinx cosx sinxcosx cos x

sinx cosx cosx sinx cosx

(sinx cosx) (2cosx 1) 0

0

sinx cosx

cosx



sinx cosx+ = ⇔sin x +π= ⇔ = − +x π kπ k Z∈

g

2 ;

cosx= − ⇔ = ±x π +k π k Z∈

g

cos x sin x cos x+ +  −π sin x−π − =

Giải

( ) 1

sin xcos x sin x π sin x

2

2 sin x cos x sin x2 4 2 3 0

sin x sin x sin x

sin x sin x

s 2 2( )

in x

in x l

=



⇔  = −

4

5sinx− =2 3 1−sinx tan x

Giải

Điều kiện: 0 ;( ) ( )

2

cosx≠ ⇔ ≠ +x π kπ k Z∈ ∗

( )

2 1

2

3

1

sin x

− 2

2sin x 3sinx 2 0

Trang 15

s

2

inx



⇔

= −



(2cosx−1 2) ( sinx cosx+ )=sin x sinx2 −

Giải

( )

1

2cosx 1 2sinx cosx 2sinxcosx sinx

(2cosx 1 2) ( sinx cosx) sinx cosx(2 1)

(2cosx 1) (sinx cosx) 0

0

cosx

sinx cosx

− =



1

2 ;

cosx= ⇔ = ± +x π k π k Z∈

g

sinx cosx+ = ⇔sin x +π= ⇔ = − +x π kπ k Z∈

g

2

cos x

tanx

+

Giải

Điều kiện: ( )

0 0 0

sinx

cosx

tanx

≠







1

cos x sin x cosx

sinx sinx cosx sinx

sinx

cosx

−

+

cosx sinx

cosx cosx sinx sinx sinx cosx sinx

−

(cosx sinx) (1 sinxcosx sin x2 ) 0

2

0

cosx sinx

sinxcosx sin x





4

cosx sinx= ⇔tanx= ⇔ = +x π kπ k Z∈

2

sinxcosx sin x sin x sin x sin x cos x VN

g

2

4 2

2

cotx tanx sin x

sin x

Giải

Trang 16

Điều kiện: sinx cosx≠00 ( )∗

≠



4 2

2

cosx sinx

sin x

4 2

2

cos x sin x

sin x

−

4 2

cos x

sin x

2

2cos x2 4sin x2 2

2

2cos x cos x2 2 1 0

; 1

2

3 2

x k cos x

k Z

cos x

π

=





= ± +

= −

Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là ;( )

3

x= ± +π kπ k Z∈

sin  −π tan x cos− =

Giải

Điều kiện: cosx≠ ∗0( )

( )

2 1

2

sin x

cos x

π

(1 sinx sin x) 2 (1 cosx cos x) 2

(1 sinx) (1 cosx) (1 cosx) (1 cosx) (1 sinx) (1 sinx)

(1 sinx) (1 cosx sinx cosx) ( ) 0

2

1

4

sinx

tanx

 = +



=







Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là 2 ;( )

4

k Z

= +



 = − +



23 24 25 26

sin x cos x sin x cos x− = −

Giải

( ) 1 1 6 1 8 1 10 1 12

(cos x cos x12 10 ) (cos x cos x8 6 ) 0

cosx cos x cos x

cos s 9x in xsin x2 0

Trang 17

( )

9

2

x k

π π

 =



 =



Bài 43: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình:

cos x− cos x+ cosx− =

Giải

( )

1

cos x cosx cos x

4cos x 8cos x 0

2

4cos x cosx 2 0

0

cosx

;

2

x= +π kπ k Z∈

x∈ ⇔ = ∨ = ∨ = ∨ =k k k k

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	0,92 MB