DE TOAN THI THU DH 2011 (11) CO GIAI

PHẦN CHUNG 7,0 điểm CâuI.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Giải phương trình: lncosx+ =1 ecosx−1 CâuIII.. Gọi I là trung điểm của cạnh AD.. Biết hai mặt phẳng SBI và

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC

Lần 01 – Năm học 2010-2011 MÔN: TOÁN, Khối A

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

PHẦN CHUNG (7,0 điểm)

CâuI (2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2−4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm các giá trị của m để phương trình x x( −3)2+ =7 log (2 m+37) có đúng 3 nghiệm phân biệt

CâuII (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: 3(2cos2x+cosx− + −2) (3 2cos )sinx x=0

2 Giải phương trình: ln(cosx+ =1) ecosx−1

CâuIII (1,0 điểm) Tính tích phân sau:

4

2 6

cot sin 1 sin

x

π

π

=

+

CâuIV.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB AD= =2 ;a CD a=

hai mặt phẳng (SBC và () ABCD tạo với nhau góc ) 0

60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai

mặt phẳng (SBI và () SCI cùng vuông góc với () ABCD , tính thể tích khối chóp ) S ABCD theo a

CâuV (1,0 điểm) Tìm m để phương trình x2−2x− x m m+ = có nghiệm duy nhất

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

A Theo chương trình Cơ bản

CâuVI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

( ) :d x−2y− =2 0, cạnh BC tạo với ( )d một góc 0

45 , đường cao kẻ từ B có phương trình

3 0

x y+ + = ; M(1;1) là trung điểm của AC Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

2 Tìm số hạng thứ 10 trong khai triển 2 0( )2 1( )2 1

−

* 0;

x≠ n∈¥ ) Biết rằng tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 32768

CâuVII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 4x+ +5 6x+10=x2+2x+4

B Theo chương trình Nâng cao

CâuVI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x2+y2 =1 Đường tròn (C’) tâm (2; 2)I

cắt (C) tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB= 2 Viết phương trình đường thẳng AB

2 Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 2 ( 2 1)n

P= x + −x biết n thoả mãn

(n −5)C n +2C n =2A n

CâuVII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 1

x

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh………., Số báo danh………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC

NĂM 2010 – 2011

)

∗ Tập xác định: ¡ )

∗ Sự biến thiên

)

gChiều biến thiên

2

y = − x + x= ⇔ =x x= ; y' 0> ⇔ < <0 x 2

Hàm số đồng biến trên (0; 2), nghịch biến trên (−∞;0) và trên (2;+∞)

0,25

)

g Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x CD =2; y CD = y(2) 0= Hàm số đạt cực tiểu tại x CT =0; y CT =y(0)= −4

)

g Giới hạn tại vô cực

0,25

)

gBảng biến thiên

x −∞ 0 2 +∞

y’ 0 + 0

+∞

y 0

-4

−∞

0,25

)

∗ Đồ thị

0,25

2

y= f x = − +x x − = − +x x− Xét g x( )= x x( −3)2 = −x x( −3)2 = f x( −1) Đồ thị (H) của hàm số y g x= ( ) được suy

ra rừ (C) như sau: Tịnh tiến (C) sang phải 1 đơn vị dọc Ox được ( )C , bỏ phần phía dưới 1

Ox của ( )C , lấy phần giữ lại đem đối xứng qua Ox được (H) như hình vẽ:1

0,50

Số nghiệm của phương trình x x( −3)2+ =7 log (2 m+37) bằng số giao điểm của đường

thẳng y=log (2 m+37) 7− với đồ thị (H)

Qua đồ thị ta thấy

khi log (2 m+37) 7 4− = ⇔log (2 m+37) 11= ⇔ =m 2011

thì phương trinh đã cho có đúng 3 nghiệm

0,50

1

−

4

−

4

4

3 1

Vậy m=2011 là giá trị cần tìm

II 1 Giải phương trình: 3(2 cos2x+cosx− + −2) (3 2 cos )sinx x=0

(2sinx 3)( 3 sinx cos ) 0x

⇔ − + =

3 sin

2 1 tan

3

x

x



=





⇔



0,50

2 3 2

3 6

 = +









 = − +



2 Giải phương trình: ln(cosx+ =1) ecosx−1

Đặt ln(cosx+ =1) t khi đó ta được

cos

cos

1

cos

x

t

t e

x e

 = −

 ⇒ + = +

 = −

Xét hàm ( )f t = +e t t có '( )f t = + >e t 1 0 ∀t nên từ (1) được t=cosx khi đó ta được

1

t

Xét ( )g t = − −e t t 1 có '( )g t = − = ⇔ =e t 1 0 t 0 Có BBT

Qua BBT thấy t 0

( ) 0

g t ≥ ∀t g’(t) - 0 +

g t = ⇔ =t

g(t)

0,25

2

x= ⇔ = +x π kπ k∈

4

2 6

cot sin 1 sin

x

π

π

=

+

∫

4

6

cot

x

π

π

=

+

x= → =π t x= → =π t

0,25

2

1 3

= − = = + = −

+ +

0

S

C

D I

I

H H

K

Hạ IH ⊥BC, gọi K là trung điểm của AB.

2

ABCD

2

ABI

S = AB AI =a ;

2 1

DCI

a

S = DC DI = suy ra 2

3 2

BIC ABCD ABI DCI

a

S =S −S −S = Mặt khác BC= BK2+KC2 =a 5 nên

5

BIC

IH

BC

= =

Do (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên giao tuyến SI của hai mặt phẳng đó

vuông góc với (ABCD) suy ra SI ⊥ IH

0

BC IH

BC SH SBC ABCD SHI

BC SI

⊥



0 3 15 tan 60

5

a

SI IH

⇒ = =

.

S ABCD ABCD

0,50

t= x m+ t≥ ⇒ = −x t m (1) khi đó (*) trở thành m2+ −(1 2 )t m t2 + −4 2t2− =t 0 0,25

m t t m t t

⇒ = + = − − Từ (1) suy ra (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

2

 = +



= − −

Xét f t( )= +t2 t có đồ thị là ( )P và 1 g t( )= − −t2 t 1 có đồ thị là ( )P trên 2 [0;+ ∞) như

hình vẽ:

Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của đường thẳng

y m= với đồng thời cả ( )P và 1 ( )P trên cùng một hệ2

trục toạ độ

Qua đồ thị ta thấy (2) có nghiệm duy nhất trên [0;+ ∞)

khi và chỉ khi 5

4

m= − hoặc 1− < <m 0

0,50

1

AC qua M(1;1) vuông góc với BH x y: + + =3 0 nhận

(1; 1)

BH

uuuur − làm vtpt có phương trình x y− =0

AC cắt ( ) :d x−2y− =2 0 tại A có toạ độ thoả mãn hệ

0,25

5 / 4

−

2

2 1

O

1

−

2

( ) P

1

( ) P

A

B

H

(1;1)

M

C

0 2

( 2; 2)

A

C đối xứng với A( 2; 2)− − qua M(1;1) nên C(4;4)

Dễ thấy đường thẳng ( ) :d x−2y− =2 0 không tạo với các trục toạ độ góc 450 nên BC

không song song với các trục toạ độ ( )d có hệ số góc bằng 1

2, gọi k là hệ số góc của BC

khi đó ta có

2

2

k

=





0,25

Với k =3 ta có BC y: =3(x− +4) 4 hay BC: 3x y− − =8 0 khi đó ( ;5 17)

3

k = − ta có BC x: +3y− =16 0 khi đó ( 25 19; )

2 2

2 Khi x2 =1 thì (1 1)+ n bằng tổng các hệ số trong khai triển nên 2n =32768⇔ =n 15 0,50

Số hạng thứ k+1 trong khai triển: 2 3

1 ( )

k

k n k

k n

T C x

x

− +

  do đó với n=15 thì số hạng thứ 10 trong khai triển là 6 6

15

C x

0,50

Giải phương trình: 4x+ +5 6x+10 =x2+2x+4 (*)

4

x≥ − Khi đó (*)⇔ 4x+ − +5 (x 2)  + 6x+ − +10 (x 3)=x2−1 0,25

2

1

x

4

x≥ − thì 4x+ + + >5 x 2 0 và 6x+ + + >10 x 3 0)

0,25

x

  ⇔ = ±x 1 (thử lại thấy thoả mãn) Vậy x= ±1 là nghiệm của phương trình

0,50

VI.b

1

(C) tâm O(0;0) bán kính R1=1 cắt Ox tại A1(1;0) và A2( 1;0)− cắt Oytại B1(0;1) và B2(0; 1)−

Dễ thấy I(2; 2) và O(0;0) cùng thuộc đường thẳng y=x

Do A B, là giao điểm của (C) và (C’) nên AB⊥OI Hay đường thẳng AB có hệ số góc k= −1

0,5

Mặt khác 1 1

1 1 2

A B

⊥





=

 ;

2 2

2 2 2

A B

⊥





=

AB

⊥





=

1 1

)AB A B

• ≡ có phương trình x y+ − =1 0

2 2

)AB A B

• ≡ có phương trình x y+ + =1 0

0,5

2 (n2−5)C n4+2C n3 =2A n3 ⇔ ⇔ = n 5 0,50

Khi n=5 ta có:

P= x + −x =C x +x −C x +x +C x +x −C x +x +C x + −x C

trong đó chỉ 4 2

5( )

C x +x và 5

3( 2 )2

C x +x có chứa x2 Do đó hệ số của x2 trong khai triển là

4 3

C −C = −

0,50

VII.b

Giải phương trình: 2 1

x

+ + = − + +

)

∗ Khi x>0 phương trình trở thành 12 3 2 12 3 4

x + + =x x + −x (1)

Đặt t 12 3 2 (t 0)

x x

(1)⇒ − − = ⇒ =t t 6 0 t 3 2 3 37

14

⇒ − − = ⇒ =

0,50

)

∗ Khi x<0phương trình trở thành 12 3 2 12 3 4

− + + = + − (2) Đặt t 12 3 2 (t 0)

x x

Từ (2)⇒ + − = ⇒ =t2 t 6 0 t 2 2

⇒ − − = 3 17

14

⇒ =

0,50

Chú ý:

- Câu hình thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm

- Các câu khác, thí sinh làm cách không như hướng dẫn mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa