on thi TN-DH

Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương I.. Phương trình mặt cầu.. Các dạng bài tập.. lập phương trình mặt cầu.. Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.. t

Chủ đề : mặt cầu trong Oxyz Người thực hiện: Lâm Thành Phương

I Định nghĩa:

( S ) = { M(x,y,z) /IM −R(const)} I ( a , b c ) cố định.

Diện tích mặt cầu : S = 4 πR 2

Thể tích khối cầu : V =

3

4 πR 3

II Phương trình mặt cầu

1.phương trình chính tắc : (S) có tâm I ( a.b,c), bán kính R

(S) : ( x – a) 2 + ( y – b) 2 + ( z – c) 2 = R 2

Khai triển (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz +d = 0 ( d = a 2 + b 2 + c 2 – R 2 ))

2.Dạng: (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là mặt cầu khi ta có:

a 2 + b 2 + c 2 –d 〉0 và khi đó R = a2 +b2 +c2 −d

III Các dạng bài tập.

1 lập phương trình mặt cầu.

a) lập phương trình mặt cầu nhận I (1 , 3, -2 ) làm tâm và đi qua M ( 2 ,1 ,3 ).

*M ∈ (S) nên : IM = R = ( 2 − 1 ) 2 + ( 1 − 3 ) 2 + ( 3 − ( − 2 )) 2 = 30

*Mặt cầu (S): ( x – 1) 2 + ( y – 3) 2 + ( z -+ 2) 2 = 30

b) Cho A (1 , 0 ,3) , B (-2 ,1 ,4) Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.

• AB là đường kính nên tâm I là trung điểm AB ⇒ I ( ,72

2

1 , 2

1

−

)

2

AB

=

2

) 3 4 ( ) 0 1 ( ) 1 2

2 11

• (S): (x +

2

1

) 2 + (y -

2

1

) 2 + (z -

2

7

) 2 =

4 11

c) Cho A (2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 4 , 3) , D (2 , 2 , -1) Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D.

• (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0

• A , B, C , D ∈ (S) Ta có :













= + +

−

−

= +

−

−

−

= + +

−

−

= + +

−

−

0 2

4 4 9

0 6

8 4 29

0 2

8 2 18

0 2

8 4 21

d c b a

d c b a

d c b a

d c b a

⇔









=

− +

=

− +

=

−

0 20 8 4

0 11 8 2

0 3 2

c b

c a a

2

3

, b =3 , c =1 , d =7

• (S): x 2 + y 2 + z 2 – 3x – 6y – 2z + 7 = 0

d) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A (3 , 2 , 6) , B (3 , -1 ,0) ,

C (0 , -7 , 3) , D (-2 , 1 , -1) ( tương tự bài trên).

e) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (0 , 4 , 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):

2x + y -2z +8 = 0

• (S) có bán kính R = d (I , (P) ) = 2 2 2

) 2 ( 1 2

8 3 ).

2 ( 4 0 2

− + +

+

− + +

= 2

• (S) : (x – 0) 2 + (y – 4) 2 + (z – 3) 2 = 4

•

f) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm : A (0, 8 , 0) , B (4, 6 , 2) , C (0 , 12 , 4) và có tâm trên (Oyz).

* ( Oyz) có phương trình : x = 0

* I ∈ (Oyz) : I (0 , b , c).

* (S) qua A , B , C nên ta có :









=

=

2 2

2 2

IC IA

IB IA

⇔







=

−

−

= +

−

96 8 8

8 4 4

c b

c b

⇔







=

=

5

7

c b

* I(0 , 7 , 5) , R= IA = 0 2 + 1 2 + ( − 5 ) 2 = 26

* (S) : ( x – 0) 2 + ( y – 7) 2 + ( z – 5) 2 = 26

g) Lập phương trình mặt cầu có R = 2 và tiếp xúc (Oyz), tâm I trên Ox

• I ( a , 0 , 0)

• (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = IO = 2 chứng tỏ I (2 , 0 , 0)

• (S) : ( x – 2) 2 + (y – 0) 2 + (z – 0) 2 = 4

h) Lập phương trình mặt cầu có tâm I (1 , 2 , 3) và tiếp xúc (Oyz)

• (S) tiếp xúc (Oyz) nên R = d ( I , (Oyz) )

• ( Oyz) : x = 0 ⇒ R =

1

1

= 1

• (S) : (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 3) 2 =1

l) Lập phương trình mặt cầu tâm I (1 , -2 , 3) và tiếp xúc (P) : x – y + 2z – 1 =0

( tương tự câu e) )

2 Bài toán liên quan vị trí của (S) với (P) , với d.

* Cần nhớ :

• (S) : I , R

• (P) : Ax + By + Cz + D = 0

+ d ( I , P ) = R thì (P) tiếp xúc (S) tại 1 điểm ( tiếp diện ).

+ d ( I , P ) 〉 R thì (P) và (S) không có điểm chung.

+ d ( I , P ) 〈 R thì (P) cắt (S) bởi (C) : tâm H , bán kính r

a) xét vị trí tương đối của (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x – 2y + 4z +5 = 0 và mặt phẳng (P) :

x + 2y + + z – 1 = 0

* (S) : I ( 3 , 1 , -2) , R = 3

* d( I , P ) = 2 2 2

1 2 1

1 ) 2 ( 1 2 3

+ +

−

− + +

=

6

2

〈 R nên (P)  (S) = C ( H , r )

* Tìm r , H : r 2 = R 2 – d 2 ( d = d (I , P) )

H = ∆ ∩(P) với ∆ đi qua I và ⊥ (P)

b) cho (α ) : 2x -2y – z +9 = 0

(S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x +4y - 2z – 86 = 0 chứng tỏ (α ) cắt (S) theo 1 đường tròn

(C ) tâm H bán kính r Tìm H , r.

* Cần nhớ :

Cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

d :











+

=

+

=

+

=

ct z z

bt y y

at x x

0 0

0

thay x , y z vào (S) ta được PT : At 2 + Bt + C = 0 (1)

* Nếu (1) vô nghiệm thì : d và (S) không có điểm chung.

* Nếu (1) có 1 nghiệm thì d tiếp xúc (S).

* Nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì d cắt (S) tại 2 điểm.

c) cho A (1 -1 , 0) , B (1 , 3 , 2) , C (4 , 3 , 2) , D (4 , -1 , 2) Lập phương trình mặt cầu qua A , B , C , D Viết phương trình tiếp diện tại của (S) tại A

* (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 5x -2y – 2z + 1 =0

* I (

2

5

, 1 , 1) ; R =

2 29

* (P) tiếp xúc (S) nên ⊥ IA : IA=(

-2

3

, -2 , -1) là PVT, ta có : (P) : 3x + 4y + 2z + 1 - 0

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d :







 +

=

−

=

+

=

t z

t y

t x

4 1

2 1 1

và (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4y – 6z =0

Thay x , y , z của d vào (S) : 21t 2 – 12t – 9 =0 ⇔ 





−

=

=

7 3

1

x x

Ta có : M (2 , -1 , 5) ; N (

7

5 , 7

13 , 7

e) Lập phương trình mặt cầu qua A (0 , 1 , 0) , B (1 , 0 , 0) , C (0 , ,0 , 1) và có tâm I trên Mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0

• (S) qua A , B , C ; I trên (P) nên ta có :













=

−

−

−

−

= + +

= + +

= + +

0 3

0 2

1

0 2

1

0 2

1

C B A

D C

D B

D A

⇔













=

−

=

−

=

−

=

1 1 1 1

D C B A

• (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 2y – 2z + 1 = 0

f) Cho mặt cầu (S) : ( x -

2

3

) 2 + ( y – 3) 2 + ( z – 1) 2 = (

2

21) 2 Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó song song mp ( ABC) với A ( 2 , 4 , -1) , B (1 , 4 , -1) , C (2 , 2 , -1).

• (S) : I ( , 3 , 1

2

3

) , R =

2 21

• Tiếp diện (P) nhận [AB, AC] làm PVT , viết dạng PT ( chưa biết D )

• Dùng d ( I , (P) ) = R tìm D

g) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên đường thẳng d :









−

=

=

=

1

0

z y

t x

và tiếp xúc với

hai mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 3 = 0 ; (Q) : 2x + 2y – z + 39 = 0

• I ∈ d nên : I ( t , 0 , -1)

• d ( I , (P) ) = d ( I , (Q) ) ⇔

16 9

3 3

+

+

t

=

1 4 4

9 1 2

+ +

+ +

t

⇔ 9 (t+1 ) = 5 ( 2t +40 ) hoặc

9 ( t+ 1) = 5 ( -2t – 40) ⇒ t = -191 hoặc t = -11

* t = -191 , (S 1 ) có I 1 (-191, 0 ,1) R 1 = 114

* t = -11 , (S 2 ) có I 2 (-11, 0 , 1) R 2 = 6

h) Viết phương trình mặt cầu có tâm trên d :







=

− +

−

= + + +

0 1

0 1

z y x

z y x

và tiếp xúc 2 mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 =0

* (P) // (Q) nên d ( P , Q) = 2R , gọi I (x 0 , y 0 , z 0 )

* I ∈ d và d (I ,P) = d ( I, Q) nên :

{

3

7 2 2 3

3 2 2

0 1

0 1

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

+ + +

= + + +

=

− +

−

= + + +

z y x z

y x

z y x

z y x

*











+ + +

−

= + + +

=

− +

−

= + + +

) 7 2 2 ( 3 2 2

0 1

0 1

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

z y x z

y x

z y x

z y x

⇔











−

=

−

=

=

3 1

3

0 0

z y x

i) cho (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0 viết phương trình tiếp diện của (S) biết tiếp

diện chứa d :







=

−

=

−

−

0 1

0 1 2

z

y x

• (S) có I ( -1 , 2 , 3) , R = 3

i) Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc d :







=

−

=

− +

0 2

0 1

y

z x

và cắt (P) : y – z = 0 theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4

• (S) có R = 4 , I ∈ (P) và I ∈d nên ta có hệ với I ( x , y , z ):









=

−

=

=

− +

0 2

0 1

z y y

z x

⇔









=

=

−

=

2 2 1

z y

x

⇒ (S) : ( x + 1)2 + ( y – 2)2 + ( z – 2)2 = 16

l) Cho (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0 , (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và d :







= + +

−

=

− +

−

0 3

0 3 2

z y x

z y x

Viết phương









=

− +

−

= + +

−

=

− +

−

0 6 4

5

0 3

0 3 2

z y x

z y x

z y x

⇔









=

=

=

1 0 1

z y x

1 1 4

7 1 2

+ +

+ +

=

6

10

• r2 = 20 ; R2 = h2 + r2 = 1006 + 20 = 1103

• (S) : ( x – 1)2 + ( y – 0 )2 + ( z – 1)2 =

3 110

BÀI TẬP TỰ LÀM

1) Tìm tâm và bán kính đường tròn :







= +

− +

= +

− +

− + +

0 1 2 2

0 1 2 2 6

2 2 2

z y x

z y x z y x

2) Cho (S) : x2 + y2 + z2 -2z =0 và (P) : y + z – 1 =0

a) chứng tỏ (P) cắt (S)

b) Xác định tâm , bán kính đường tròn giao tuyến ( C )

3) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d :

4 1

1 1

x

=

+

=

−

−

và tiếp xúc mặt Cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0