Độ đo hữu hạn và phân phối xác suất trong không gian banach

Một ánh xạ d: XXX được gọi là mêtric khoảng cách trên X nếu, với mọi x, y,z thuộc X Cặp X = X, d trong đó d là mêtric trên X, gọi là không gian mêtric.. Giả sử X là một không gian mêtri

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HÌNH THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS-TS.Đậu Thế Cấp

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS.Nguyễn Bá Thi

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS-TS.Nguyễn Anh Tuấn

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 29 tháng 08 năm 2009

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Lê Phú Hải Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 21/10/1958 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV: 02407704

I- TÊN ĐỀ TÀI

ĐỘ ĐO HỮU HẠN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

Đọc các tài liệu về độ đo, tích phân, xác suất và các kiến thức về tôpô, giải tích hàm có liên quan Viết phần kiến thức chuẩn bị (chương I)

Từ các tính chất của độ đo xác suất và độ đo tổng quát, chứng minh một số tính chất của độ đo hữu hạn (chương II)

Viết phần phân phối xác suất trong không gian Banach theo một chủ đề hoàn chỉnh (chương III)

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2008

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/06/2008

V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Phó giáo sư - Tiến sĩ Đậu Thế Cấp

PGS – TS ĐẬU THẾ CẤP PGS –TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô của Bộ môn Toán ứng dụng của trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ em trong hai năm học cao học tại Trường

Em xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô ở Phòng quản lý khoa học, Phòng đào tạo sau đại học của trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh

đã tạo điều kiện tốt cho em học tập và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn thầy Phó Giáo Sư - Tiến Sĩ Nguyễn Đình Huy

đã thường xuyên động viên, khích lệ em trong học tập và tạo điều kiện tốt cho em học tập và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn thầy Phó Giáo Sư - Tiến Sĩ Đậu Thế Cấp đã

dành nhiều thời gian và nhiều công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn này Tôi cũng xin được cảm ơn lãnh đạo Phòng Giáo Dục Quận Gò Vấp, Ban Giám Hiệu Trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Du Quận Gò Vấp và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt mấy năm học cao học

TP.HCM, tháng 6 năm 2008

Lê Phú Hải

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Lý thuyết xác suất trên không gian Banach là một lĩnh vực mới được phát triển mạnh mẽ gần đây và đã có nhiều ứng dụng cả trong lý thuyết và thực tiễn Luận văn của chúng tôi đặt vấn đề học tập và tìm hiểu lý thuyết quan trọng này Luận văn có ba chương Chương I trình bày một số kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm

và độ đo Không gian xác suất là một không gian độ đo ( Ω, F, ) có (Ω) = 1 là một

độ đo hữu hạn đặc biệt Do vậy chương II của luận văn đã khảo sát với chứng minh đầy đủ các tính chất cơ bản của độ đo hữu hạn Đây là một phần quan trọng của luận văn Cuối chương II khảo sát sự hội tụ yếu của độ đo Chương III xem xét một

số vấn đề của phân phối xác suất trong không gian Banach bao gồm tính chất của phần tử ngẫu nhiên, các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên, nhận giá trị trong không gian Banach Cuối chương III cũng là cuối luận văn chúng tôi đã đề cập đến luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên

Do kiến thức, năng lực còn hạn chế nên mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng chúng tôi chắc chắn rằng luận văn cũng còn nhiều thiếu sót Kính mong được các quý thầy cô chỉ giáo và bổ sung

TP.HCM, tháng 6 năm 2008

Lê Phú Hải

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

§ 1 GIẢI TÍCH HÀM 7

§ 2 ĐỘ ĐO 13

CHƯƠNG II ĐỘ ĐO HỮU HẠN 17

§1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON 17

§ 2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO 23

CHƯƠNG III PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH 29

§ 1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 29

§ 2 CÁC DẠNG HỘI TỤ 33

§ 3 LUẬT SỐ LỚN 42

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§ 1 GIẢI TÍCH HÀM

1.1 Không gian mêtric

1.1.1 Định nghĩa Cho X ≠ ∅ Một ánh xạ d: XXX được gọi là

mêtric (khoảng cách) trên X nếu, với mọi x, y,z thuộc X

Cặp X = (X, d) trong đó d là mêtric trên X, gọi là không gian mêtric

1.1.2 Ví dụ Với mọi tập X, đặt d(x,y) = là một mêtric,

gọi là mêtric rời rạc trên X

1 nếu x≠ y

0 nếu x = y

Mọi tập đều có thể xem là không gian mêtric với mêtric rời rạc

1.1.3 Hình cầu đóng, hình cầu mở

Giả sử X là một không gian mêtric, x0 ∈X và r>0

Tập B (x0, r) = {x∈X : d (x, x0) <r }, gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r Tập Β(x0, r) = {x∈X: d (x, x0)≤ r }, gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r

1.1.4 Tập mở, tập đóng

Giả sử X là không gian mêtric,Α⊂Χ

Tập A⊂X gọi là mở trong X nếu mọi x ∈ A, tồn tại r > 0 sao cho B(x,r) A ⊂ Tập A ⊂ X được gọi là đóng trong X nếu Αc = X\A là tập mở trong X

1.1.5 Định lí Giả sử X là một không gian mêtric, khi đó

i) Hợp một số tùy ý các tập mở trong X là một tập mở trong X

ii) Giao một số hữu hạn các tập mở trong X là một tập mở trong X

1.1.6 Định lí Giả sử X là một không gian mêtric, khi đó

i) Giao một số tùy ý các tập đóng trong X là một tập đóng trong X

ii) Hợp một số hữu hạn các tập đóng trong X là một tập đóng trong X

1.2 Không gian mêtric đủ

1.2.1 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Giả sử là một dãy trong không gian mêtric X, x0 ∈ X Dãy (xn)n

được gọi là hội tụ về x0 trong X, nếu d(xn,x0) = 0 Lúc này ta gọi x0 là giới hạn

của dãy (xn)n và kí hiệu

Giới hạn của dãy (xn) nếu có là duy nhất

Nếu (xn)n X hội tụ và có giới hạn tại x⊂ 0 ∈ X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ và có cùng giới hạn là x0

1.2.2 Định nghĩa Giả sử (X,d) là không gian mêtric

Dãy (xn)n X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

⊂0 ) ,

1.2.3 Định nghĩa Không gian mêtric X được gọi là đủ nếu mọi dãy cơ bản

trong X đều hội tụ

1.2.4 Tập compăc

Trong không gian mêtric X

Tập A ⊂ X được gọi là compăc nếu mọi dãy (xn)n A đều tồn tại dãy con ⊂( ) ( )

k

n k n n

x ⊂ x hội tụ về một điểm x0 ∈ Α

Nếu X là tập compăc thì ta nói X là không gian compăc

Một không gian mêtric compăc thì đầy đủ

A là tập compăc thì A đóng trong X

Nếu X là không gian compăc thì mọi tập con đóng của nó đều là tập compăc

1.2.5 Định nghĩa Tập F của một không gian tôpô gọi là tập có tính chất nếu F là giao đếm được của các tập mở

δ

G

1.2.6 Định lí Trong không gian mêtric mọi tập đóng đều có tính chất Gδ

Chứng minh Giả sử F là tập đóng của không gian mêtric X

Đặt r = a

n −

1thì mọi y∈Β( , )x r theo bất đẳng thức tứ giác d(y,F) ≤d x y( , )+ ( ,d x F)

< r + a =

n a a n

G

Với mọi n ∈ , x ∈F ta có d(x, F) = 0 <

n

1 nên x ∈Gn hay x ∈ ∩

Do đó F ⊂ ∩ (1)

∞

=1

n n

G ⊂

Từ (1) (2) suy ra F = ∩∞

=1

n n

G

Vậy F có tính chất Gδ

1.3 Không gian định chuẩn – không gian Banach

1.3.1 Định nghĩa Cho E là không gian vectơ Một chuẩn trên E là một ánh

xạ : Ε ⎯⎯ → thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x,y ∈ E, λ∈

i) ||x|| ≥ 0

ii) ||x|| = 0 ⇔ x = 0

iii) ||λx|| = |λ| ||x||

iv) ||x+y|| ≤||x|| + ||y||

Không gian vectơ E cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định

chuẩn

Đặt d(x,y) = ||x-y|| với mọi x y, ∈Ε Ta có d là một mêtric từ E

Không gian định chuẩn được coi là không gian mêtric với mêtric nói trên Không gian định chuẩn (E, || ||) được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đủ với mêtric sinh bởi chuẩn || ||

1.3.2 Ví dụ về không gian định chuẩn và không gian Banach

a Xét không gian vectơ n

( n, ||.||) là không gian Banach với chuẩn||x|| = 2

1 2

b Gọi C[a,b] là không gian vectơ các hàm liên tục từ đoạn [a,b] , C[a,b]

là không gian vectơ với phép toán hàm

⊂

C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn

f = sup f (x)

x∈ [a ,b]

C[a,b] còn là không gian Banach

1.3.3 Định nghĩa Giả sử E là không gian Banach

Ký hiệu E* = { f :Ε ⎯⎯→ ; là tuyến tính liên tục} f

Ta gọi E* là không gian liên hợp của E

Với f ∈Ε* ta gọi chuẩn của , ký hiệu || ||, được xác định bởi công thức f f

|| f || = sup| ( )|

1

x f

x≤

Ta có | f (x)|≤ f|| ||.||x|| với mọix∈Ε

1.3.4 Sơ chuẩn - nửa chuẩn

Giả sử E là một không gian vectơ và p: E ⎯⎯→ là một hàm thực

Khi đó pđược gọi là một sơ chuẩn nếu

i) p(λx)=λp(x) ∀λ>0, ∀ ∈Εx

ii) p(x+ ) y ≤ p(x)+ p(y) ∀x y, ∈Ε

Giả sử E là một không gian vectơ và p:E ⎯⎯→ là một hàm thực

Khi đó pđược gọi là một nửa chuẩn nếu

i) p(x)≥ 0 ∀ ∈Εx

ii) p(λx) | | ( )= λ p x ∀ ∈Εx , λ∀ ∈

iii) p(x+y) ≤ p x( )+p y( ) ∀x y, ∈Ε

1.3.5 Định lí (Hahn - Banach) Giả sử E là không gian vectơ, p là một

sơ chuẩn xác định trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thỏa mãn f (x) ≤ p( )x với mọi x∈F thì tồn tại phiếm

hàm tuyến tính f xác định trên E sao cho f |F = f và f ( )x ≤p( )x với mọi x∈Ε

1.3.6 Hệ quả định lí (Hahn – Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian con F của không gian định chuẩn E đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên lục f trên E sao cho f |F = f và f = f

Mọi vectơ trong không gian định chuẩn E, x ≠ 0, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f =1 và f( ) || ||x = x

1.4 Không gian tôpô

1.4.1 Định nghĩa Cho X≠ ∅ Một họ T các tập con của X gọi là một tôpô

trên X nếu thỏa các tính chất sau:

U

iii) U, V ∈T thì U∩ ∈V T

Tập X cùng một tôpô trên X được gọi là không gian tôpô, kí hiệu là X hoặc (X, T )

1.4.2 Tính chất

Giả sử (X, T) là không gian tôpô Khi đó mỗi tập U∈T gọi là tập mở, phần

bù của tập mở là tập đóng: Uc = X\U là tập đóng

Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, T), khi đó tập con đóng bé nhất

chứa A được gọi là bao đóng của A Kí hiệu Α

1.4.3 Định nghĩa Tập A ⊂ Χ được gọi là trù mật trong X nếu Α= X

Không gian tôpô (X, T) được gọi là không gian khả li nếu nó có tập con

Không gian tôpô (X, T) gọi là không gian compăc nếu từ mọi phủ mở

của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn

§ 2 ĐỘ ĐO 2.1 σ - đại số

2.1.1 Định nghĩa Cho X khác rỗng P (X) là tập hợp các tập con của X và

M P (X), M khác rỗng Họ M gọi là một ⊂ σ - đại số các tập con của X (hoặc

σ - đại số trên X) nếu M đóng với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù có

nhất chứa ξ Ta gọi M (ξ ) là σ - đại số sinh bởi ξ

2.1 2 σ - đại số Borel

Cho X là không gian mêtric ( hay tôpô ) Ta gọi σ - đại số Borel trên X là

σ - đại số sinh bởi họ các tập mở của X, kí hiệu là B(X)

Mỗi phần tử thuộc B(X) gọi là tập Borel

Tập Borel bao gồm các tập mở, tập đóng, giao đếm được các tập mở, hợp đếm được các tập đóng…

2.2 Độ đo

2.2.1 Định nghĩa Cho tập X và một σ - đại số M trên X Ta gọi độ đo

trên M (hoặc trên (X,M) hoặc trên X) là một ánh xạ μ : M thỏa mãn các điều kiện sau

μ⎛⎜ ∞ Ε ⎞⎟ = ∞ μ Ε

⎝∪ ⎠ ∑ )

Độ đo theo định nghĩa trên được gọi là độ đo cộng tính đếm được

Nếu thay ii) bởi iii)

iii) Nếu E1, E2,…,En là các tập đôi một rời nhau trong M thì

1 1

thì μ được gọi là cộng tính hữu hạn

Tập X cùng một σ - đại số M trên X gọi là một không gian đo được, kí

hiệu là (X,M) Mỗi E ∈ M gọi là tập đo đuợc

μ là một độ đo trên (X,M) thì (X,M, μ ) được gọi là không gian độ đo, M

là miền của độ đo μ

Giả sử (X,M, μ ) là không gian độ đo

Độ đo μ được gọi là hữu hạn nếu μ (X) < ∞

Độ đo μ được gọi là xác suất nếu μ (X) = 1

2.3 Tập trụ

2.3.1 Định nghĩa Giả sử E là không gian Banach, E* là không gian liên hợp của E

Tập A ⊂ Ε được gọi là tập trụ nếu tồn tại n ∈ *, f f1, , ,2 f n∈E*,

2.3.2 Ví dụ 1 Lấy f ∈Ε*,a∈ thì A = {x∈Ε : f x( ) = ∈a } là tập trụ

2 Lấy, f f1, 2∈E*, a, b ∈ thì A = { x ∈Ε : f1(x) = a , f2(x) = b}

là tập trụ

2.3.3 Định lí i) F(E) là một đại số

ii) Nếu E là không gian Banach khả li thì M (F( ))Ε =B (E)

Chứng minh i) Ta kiểm tra điều kiện đai số của F(E)

Mặt khác Α = ∈E{x : f( )x ∈Αˆ}= f− 1( )Αˆ với Αˆ∈B( )R n nenˆ Α∈B (E)

Từ đó suy ra F( )Ε ⊂ B (E), nên M (F( )Ε ⊂ ) B (E)

Ngược lại giả sử U mở trong E, do E là không gian mêtric khả li nên E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai

Do đó ( ) (

1

,

n n n

n n

x r n

CHƯƠNG II ĐỘ ĐO HỮU HẠN

§1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON

1.1 Độ đo chính quy

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô μ là một độ đo trên

B(X) khi đó μ được gọi là chính quy trong nếu với mọi A∈B(X) thì

μ được gọi là chính quy nếu μ là chính quy trong và μ là chính quy ngoài

1.1.2 Định lí Nếu µ là độ đo hữu hạn thì ba điều kiện sau tương đương

i) µ chính quy trong ii) µ chính quy ngoài iii) µ chính quy

Chứng minh i) ⇒ ii) Đặt μ( )Χ =m với 0 < m < ∞

Giả sử μ là chính quy trong và A∈B(X) khi đó v ới ε > 0, tồn tại Fε⊂ Αcsao cho

μ(Fε)≥μ( )Α −C ε Đặt Gε = Χ \Fεthì Gε mở, Gε⊃ Αvà

μ (Gε)= −m μ(Fε) m - ≤ μ( )Α + =C ε μ( )Α +ε

Do đó μ( )Α = inf{μ(G): G mở ⊃ Α } nên μ chính quy ngoài

ii) ⇒i) hoàn toàn tương tự

B( )

⇔ ∀Α ∈ X , ∀ >ε 0, tồn tại Fεđóng ⊂ Αsao cho µ (Fε) ( )

2

εμ

> Α − và tồn

tại Gε mở ⊃ Αsao cho μ(Gε ) ( )

2

εμ

1.1.4 Định lí Giả sử X là không gian tôpô sao cho mọi tập đóng của nó đều

có tính chất Gδ khi đó mọi độ đo hữu hạn trên B(X) là chính quy

n∞ F Cε n Fε

= = =

∪ ∪ Vì C K ↑F nên theo tính liên tục của μ thì tồn

tạilim ( )k µ (F) Do đó tồn tại k0 để µ (F)

−

1 n n n n

ε =+

1

n n

Từ các chứng minh trên ta suy ra U = B(X)

Vậy μ là độ đo chính quy

1.1.5 Hệ quả Mọi độ đo hữu hạn, đặc biệt mọi độ đo xác suất trong không

gian mêtric đều là độ đo chính quy

2.2 Độ đo Radon

2.2.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và μ là độ đo xác định trên

B(X) khi đó μ được gọi là độ đo Radon nếu

( ) sup{ ( ) : compac },

μ Α = μ Κ Κ ⊂ Α ∀Α∈B(X)

2.2.2 Định lí Giả sử µ là độ đo hữu hạn, khi đó µ là độ đo Radon khi và chỉ

khi µ chính quy và mọi ε >0, tồn tại Kε compăc sao cho µ(Χ Κ < \ ε) ε

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử độ đo hữu hạn μ là độ đo Radon Khi đó

μ là độ đo hữu hạn nên μ chính quy

Vì μ là độ đo Radon, X∈ B( )Χ nên μ( )Χ =sup{μ( )Κ Κ: compac } Do đó mọi ε > 0tồn tại Κεcompac sao cho μ( ) ( )Χ <μ Κε +ε hay μ(Χ \Κε)<ε

Điều kiện đủ Giả sử μ chính quy và μ thoả mãn mọi ε >0, tồn tại

< Khi đó với ε nói trên, theo giả thiết điều kiện đủ

tồn tại Κεcompac sao cho ( \ )

2

ε

ε

μ Χ Κ < Đặt K = Fε∩Κεthì do K đóng trong Κεnên K compăc và Κ ⊂ Α,đồng thời

( \ ) \(Fε ε) ]

μ Α Κ =μ⎡⎣Α ∩Κ

= μ⎡⎣(Α\Fε) (∪ Α Κ\ ε)⎤⎦ ≤μ(Α \Fε)+μ(Α Κ \ ε) <ε +ε =ε

2

Suy ra μ( )Α <μ( )Κ +ε Do đó μ( )Α =sup{μ( )Κ Κ: conpac }

Vậy μ là độ đo Radon

2.2.3 Định lí Mỗi độ đo hữu hạn trong không gian mêtric đủ và khả li đều

là độ đo Radon

Chứng minh Giả sử X là không gian mêtric và khả li còn μ là độ đo hữu

hạn trên B(X)

Vì μ là độ đo hữu hạn nên μ chính quy

Giả sử ε > 0bất kỳ Vì X khả li nên với mỗi n = 1,2, … ta có

1

,

n n i

1

i n

≤∑∞ ( )

=

ΧΧ

§ 2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO

Trong mục này ta ký hiệu:

(X, ρ ) là không gian mêtric khả li

M B (X) là tập hợp các độ đo hữu hạn trên B (X)

Cb (X) là tập hợp các hàm thực liên tục, bị chặn trên X

U (X) là tập hợp các hàm liên tục đều, bị chặn trên X

2.1 Định nghĩa Giả sử µn ,µ∈M B (X) ta nói µn hội tụ yếu đến µ khi kí hiệu µn

fd n

Χ Χ

∞

lim μ μ ∈ U ( )Χ và F đóng trong X

Vì X là không gian mêtric nên F có tính chất tức là F = , với G n mở

),()

(

F x G

x

G x x

n

c n

ρ+

n μ

→∞ (F) μ≤ (F) và

G là tập hợp mở bất kỳ trong X, khi đó ta có

) ( ) (

n μ G

≥m−μ(G c) =μ(G) Vậy có iii)⇒i )ν và hoàn toàn tương tự có iv) ⇒iii)