Phương pháp toạ độ trong không gian và bài tập hình học

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và các bạn sinh viên trong khoa.. Dấu hiệu nhận b

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận này là bước đầu tiên em làm quen với việc nghiên cứu khoa học. 

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và các bạn  sinh  viên trong khoa.  Đặc  biệt, em  gửi  lời cảm ơn  sâu  sắc  tới thầy  giáo 

Bùi Văn Bình, thầy  đã  trực  tiếp  giảng  dạy,  giúp  đỡ,  hướng  dẫn  em  hoàn 

thành khóa luận. 

Do điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, năng lực của bản thân nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự chỉ  bảo  nhận  xét  đóng  góp  của  thầy  cô  cũng  như  bạn  bè  sinh  viên  để  khoá luận này được hoàn thiện hơn. 

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên  

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành là do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, đặc biệt là thầy 

Bùi Văn Bình. 

Khoá luận này là do em viết và những kiến thức dẫn trong khoá luận là trung thực. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên  

MỤC LỤC

Trang

Phần I: MỞ ĐẦU   1

1. Lí do chọn đề tài   1 

2. Mục đích nghiên cứu   1 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu   2 

4. Phương pháp nghiên cứu   2 

5. Cấu trúc khoá luận   2 

Phần II: NỘI DUNG   3 

CHƯƠNG  1: CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ  TRONG KHÔNG GIAN   3 

A Các khái niệm   3 

1. Định nghĩa   3 

2. Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ   4 

3. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ   4 

4. Các tính chất   4 

B Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian bằng phương pháp  toạ độ……….   8 

C Phương pháp toạ độ trong không gian   9 

1. Nội dung chính   9 

2.  Mục  đích  yêu  cầu  của  việc  giảng  dạy  “Phương  pháp  toạ  độ  trong  không  gian”  9 

3. Phương pháp giải toán bằng tọa độ   10 

D Cách chọn hệ tọa độ đối với mỗi lại hình   11 

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP   22 

C Một số ví dụ   47  Phần III: KẾT LUẬN   52  TÀI LIỆU THAM KHẢO   53

Xuất  phát  từ  bản  thân  muốn  học  hỏi,  tìm  tòi,  nghiên  cứu  sâu  hơn  về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về phần này để chuẩn bị tốt cho việc giảng dạy sau này, cùng với sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình mà 

em chọn đề tài: “Phương pháp toạ độ trong không gian và bài tập hình học”. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Quan  sát  điều  tra  là  những  phương  pháp  tri  giác  một  hiện  tượng  giáo dục nào đó để thu lượm những số liệu, sự kiện cụ thể, đặc trưng cho quá trình diễn biến của hiện tượng. 

Tổng kết kinh nghiệm là đánh giá và khái quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu. 

5 Cấu trúc khoá luận

Khoá luận bao gồm 2 phần: 

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung, bao gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở của không gian và phương pháp toạ độ trong không gian

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN

VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

điểm M đối với trục đã cho. 

2, Toạ độ của vectơ đối với hệ tọa độ

,  j, k  

 + y. j + 

 = x. i + y. j + z.k  thì bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm M. 



c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 

x a



'

z c

B) Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ 

Trong hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz với cơ sở trực chuẩn (i; j; k) Những  bài  toán  hình  học  không  gian  có  phần  giả  thiết  ở  những  dạng khác sau có thể dùng phương pháp toạ độ để giải: 

 Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông. 

 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật,… 

 Hình lập phương, hình chữ nhật,  

 Hình  đã  cho  có  một  đường  thẳng  vuông  góc  với  mặt  phẳng,  trong mặt phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi,… 

 Khối hình đều: hình chóp đều, lăng trụ đều,… 

Các dạng khác nhau mà có thể tạo được các tam diện vuông như: nếu hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc. 

C Phương pháp toạ độ trong không gian 

 Phương trình tham số là: 

o o o

Khi học xong chương trình này, học sinh cần làm tốt các bài tập trong sách giáo khoa và các bài kiểm tra trong chương. 

3, Phương pháp giải toán bằng toạ độ

D Cách chọn hệ tọa độ đối với mỗi loại hình

CB 

1.2, Hình chóp SABC có đáy SA vuông góc với đáy ABC

Các trường hợp của đáy: 

B 

x

x 

z 

C 

A 

y 

S 

* Trường hợp 1: Đáy là 

tam giác vuông tại A. 

  Cách chọn hệ tọa độ là: 

       tia Oz  AS      

  S  C  A  O  B  O  y  x  Cách 3:   O  A  Tia Ox  Ax  trong  đó  Ax   (ABC)  và  vuông góc với AC.  Tia Oy  AC, tia Oz   tia  qua A và có cùng phương  chiều với tia O’S.    M  z  S  C  A  B  O  x  M  O  Cách 2:       

O  M – trung điểm BC       

tia Ox  MA       

tia Oy  MB       

cùng  phương chiều với  tia O’S. 

z 

y 

Trường hợp 2: đáy là tam giác cân tại A. 

Có hai cách chọn hệ tọa độ: 

O  A, tia O x  A x,       

I - là trung điểm BC     tia Oy  AI       

2.2, Hình chóp SABCD có SA(ABCD)

Có các trường hợp của đáy là: 

  b, Đáy là hình thang vuông tại 

A và B  (tương tự tại C và D). 

2.3, Hình chóp SABCD có đáy ABCD, tâm O, SO (ABCD) 

+ Nếu ABCD là hình vuông thì có 3 cách chọn tọa độ: 

3, Hình lăng trụ 

3.1, Hình lăng trụ tam giác

Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ 

Các trường hợp của đáy: 

A 

C’ 

C 

B 

B’ 

y 

z 

Cách 2 chọn hệ tọa độ là: 

Cách 3:  

D 

C 

B 

A 

S 

x 

O 

Cách 2:      

Chọn gốc O  A,       

Tia Ox  AB, Oy  AD;       

tia Oz  tia qua O và có cùng        phương, chiều với tia SO. 

z 

D 

C 

B 

A 

y 

S 

x 

O 

z 

y 

x 

A 

Chương II: HỆ THỐNG BÀI TẬP

 Nội dung chương trình: 

Chương 3: phương pháp toạ độ trong không gian      (20 tiết) Bài 1: Hệ toạ độ trong không gian      (5 tiết) 

 = [AB

;n

] = (0;2;2) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 

b, Đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông  góc với hai mặt phẳng có  phương trình: 

Bài toán 4:  Cho 3 điểm A(0;1;2); B(2;-2;1); C(-2;0;1) 

a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C. 

b. Tìm điểm M thuộc mp: 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.       (Đề thi ĐH khối B – 2008) 

Bài toán 5: 

Trong không gian Oxyz cho mp (P): x – 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng:        

  x    

2 11 2

-ïï = ïïï í -

ï =ïï

11

; 2

; 2

n ; P n Q

cos  = 

5 1 4

2

2 2

B A

Trong  không  gian  Oxyz  cho  tam  giác  ABC  có  A(1;1;0);  B(0;2;1)  và 

vuông góc với mp(ABC). 

      (Đề thi ĐH, CĐ khối A, B, D – 2009) 

Lời giải Điểm G(0;2;-1) là trọng tâm của tam giác ABC. 

3

2 1 2

3

0 1 0

C C C

z y x

         C (-1; 3; -4)      

1 1

Lời giải Gọi I(x, y, z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Khi đó ta có hệ phương trình: 

 IA2 = IB2      (x-1)2 + (y-1)2 + z2 = x2 + (y-2)2 + (z-1)2 

 IA2 = IC2               (x-1)2 + (y-1)2 + z2 = (x-1)2 + y2 + (z-2)2 

 IA2 = ID2      (x-1)2 + (y-1)2 + z2 = (x-1)2 + (y-1)2 + (z-1)2  -2x + 2y + 2z = 3      x =

1

; 2

3

và R = ID =

2 2 2

2

1 2

3 2

35 

Do đó phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 

35 2

1 2

1 2

Viết  phương  trình  mặt  cầu  đi  qua  3  điểm  A,B,C  và  có  tâm  thuộc  mp (P). 

      (Đề thi ĐH khối D – 2004) 

Lời giải Phương trình tổng quát của mặt cầu là: 

Mp  có  tâm  nằm  trên  mặt  phẳng:  x  +  y  +  z  –  2  =  0  và  đi  qua  3  điểm A,B,C nên ta có hệ phương trình sau: 

-ïï = ï í

= ïï

-ï =ïî

1

; 2

1

; 2

3

;  F = 1  ; 1 ; 0 

0 3

1

0 3

4

z y

z y

1

; 3

4

Bài toán 13

Cho  tứ  diện  OABC  có  góc  tam  diện  đỉnh  O  là  tam  diện  vuông  OA  = 

OB  =  OC  =  1.  Gọi  M,  N  lần  lượt  là  trung  điểm  các  cạnh  AB,  OA.  Chứng 

3. Lời giải

 Vecter nối hai điểm của đường thẳng trên là: 

   

1

0 2

1 2

1 2 1

2

1 1 2

1 0 1 0

0 2 1

1 0 2 1

0 2

1 2 1

1 0 0

,

.

; ,

2 2

OC CN OM CN

 Lời giải

 

 Phương trình mặt phẳng (AO’O1) qua A(0;0;a) và có VTPT

n 

= [AO'

,AO1] = -

;

; 2

; 2

1

a a a AO

a a a AO

  Thấy IM

+IN

. Suy ra: IJ

= 2KC 1

. Lời giải  

 Khi đó: 

 theo thứ tự là vectơ chỉ 

  Mặt phẳng (MNE) có pháp tuyến là: 

.

     

2 cos cos 2

    

z b

i n

.

.

2 2

2 2 2

2

1 1 1

1

a c c b b a

c b c

b a

a c c b b a

a c



2 2

a c c b b a

b a

BM SA BM SA

3 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( 0 2

2 ).

2 2 ( ) 1 (

0 ) 1 (

2

2 2

2 2

d  

6 2 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 (

0 ).

2 ( 1 0 ) 2 (

2 2 (

;

, ,

2 2 2

AB BM SA BM

Bài toán 12 

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ với các điểm A(0,0,0); B(1,0,0); D(0,1,0); A’(0,0,1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

; 2

1

; 0

; 0

; 2

1 1 0 1

1 0 2

1

;

; '

2 2

C A

,

; cos cos

6

1

b a b a

b a k

n

k n k n

b a

Tuy nhiên có những  bài toán giả thiết không cho ở những hình không gian quen thuộc nhưng ta vẫn có thể thiết lập được hệ tọa độ thích hợp. Sau đây là một vài ví dụ về bài toán giả thiết không cho ở những hình không gian quen thuộc. 

C Một số ví dụ

Ví dụ 1:

Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng đường thẳng qua G và đi qua một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy. 

; 3

4 3 2 4 3 2 4 3

3

; 4

3

; 12

3 1 2 3 4 1 2 3 4 1

4 3

Cho  mặt phẳng  (P)  và  hai điểm  A,B  cố định  có  hình  chiếu  trên  (P)  là 

D 

A  A’ 

Chứng  minh  rằng:  Tập  hợp  những  điểm  M  là  đường  tròn  với  tâm  và bán kính xác định. 

BB M A

AA

1 1 1

1 



2 2

2

y a x

a y

(x – 2a)2 + y2 = 2a2      (*) 

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 

; 2

; 2

a a

; 2

; 2

a a a

; 0

; 2

a a

S sao cho SB = a. 

a, Chứng minh tam giác SAC vuông. 

b, Chứng minh mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau. 

Lời giải Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. 

; 0

; 3

; 0

; 2

a a

; 2

; 2

a a a

A 

S 

SA SC

2

; 3

2

; 3

2

;

2 2

2 2

2

; 3

2

; 3

2

;

2 2

2 2

; 3

a a

; 3

a a

SAB SAD

n n n

Chứng  minh  rằng  đường  chiếu  vuông  góc  d’  của  d  lên  mặt  phẳng  (α) 

2 2

1 1

2 2

1

.

.

.

a

a a a

a a a a

a a a

2 2 2

2 2 1 2 1

1 1 2

2 2 2

2 2 2 1 2

1

1 1

.

yy xx y

x y x

yy xx y

x

yy xx y x

yy xx

R y

; 2

h y y x

Ta có: O O1 ( 0 , 0 ,h) ; AB (x Bx A;y By A;h) nên: 

0

1IK 

O

0 IK 

Phần III: KẾT LUẬN  

Một bài toán hình học có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán đều có thể tìm được một cách giải tối ưu. Trước một bài toán HHKG, tìm được một cách giải tối ưu là một vấn đề khó. Giải bài toán HHKG bằng PPTĐ là một trong những phương  pháp  giúp giải bài toán HHKG ngắn, đơn giản và nhanh hơn 

so với phương pháp tổng hợp. 

Khóa  luận  góp  phần  làm  sáng  tỏ  sự  cần  thiết  của  việc  giải  bài  toán HHKG bằng phương pháp tọa độ. 

Đề tài là bước đầu giúp các em làm quen với phương pháp tọa độ trong chứng  minh các  bài  toán  HHKG. Cho  em  hình dung được PPTĐ là  gì? Với những bài toán như thế nào thì có thể áp dụng được? và đặc biệt cho các em hiểu được mối quan hệ giữa HHKG và hình học giải tích trong không gian. 

Do điều kiện thời gian, nên bài khóa luận chỉ dừng lại ở đây nhưng với phương  pháp  tọa  độ  ta  có  thể  mở  rộng  theo  những  hướng  khác  như  sau:  sử dụng  phương  pháp  tọa  độ.  Để  giải  các  dạng  toán  khác  của  HHKG,  các  bài toán hình học phẳng, bài toán sơ cấp,  

Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắc chắn khóa luận còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý, trao đổi của các thầy 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng (1990) - “360 bài toán chọn lọc hình học không gian” – NXB Đồng Nai. 

2 Nguyễn Tiến Quang, Phạm Khắc Ban (2002) – “Toán nâng cao hình học 11” – NXB Giáo Dục. 

3 Lê Duy Ninh – “ Rèn luyện kĩ năng giải Toán hình học không gian lớp 11 bằng phương pháp toạ độ” 

4 Đào  Tam  (2005)  –  Giáo trình hình học sơ cấp  –  NXB  Đại  học  Sư