CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNI.. Tính các giá trị lượng giác còn lại:... Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: a.. Tính các giá trị biểu thức a... Chứng minh biểu thức không phụ
Trang 1CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ:
1 Hai cung đối nhau: -x và x
− =
− = −
− = −
− = −
2 Hai cung bù nhau: π−x và x
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3 Hai cung phụ nhau:
π − và x
4 Hai cung hơn kém nhau Pi: π +x
và x
π π π π
+ = − + = − + = + =
5 Các hằng đẳng thức trong lượng giác
2
2
1
cos 1
sin
x
x
6 Các công thức cộng:
tan tan
1 tan tan tan tan
1 tan tan
e x y
x y
f x y
x y
+
−
−
+
7 Công thức nhân đôi:
sin 2 2sin cos
=
=
2
2 tan tan 2
1 tan
x x
x
=
−
8 Công thức nhân 3 :
3 3
2 2
(3 tan ) tan tan 3
1 3tan
x
x
−
=
−
9 Công thức hạ bậc:
Trang 22
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
x x
x x
−
=
+
=
3 3
3sin sin 3 sin
4
cos
4
x
x
−
=
+
=
10 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
2 1
2
1
2 1
2
11 Công thức biến đổi tổng thành tích:
tan tan
cos cos
tan tan
cos cos
cot cot
sin sin sin( ) cot cot
cos cos
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y x
x y
+
−
+
−
12 Công thức rút gọn:
2 cot tan
sin 2 cot tan 2cot 2
x
13.Công thức tính sinx, cosx, tanx theo tanx/2:
nếu đạt t = tan(x/2) thì
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
2 2
1 cos 1
t t
−
= +
2
2 tan
1
t x
t
=
−
II BÀI TẬP
A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
câu1 Tính các giá trị lượng giác còn lại:
Trang 3a. Cho
1
4
3 tan 2 &
2
1
câu2 Chứng minh rằng
1 sin
x
x
x + = cox
+
+
+
c.
d.
3
sin cos
cos
x
+
f.
2
2
sin cos
+
câu3 Đơn giản các biểu thức:
(1 sin ) tan (1 sin )
A= + x x − x
b.
sin (1 cot ) cos (1 tan )
c.
(tan cot ) (tan cot )
C = x+ x − x− x
d.
(1 sin ) cot 1 cot
D= − x x+ − x
e.
2 2
E
câu4 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x:
a.
b.
B= x+ x− x− x+ x
c.
C = x x+ x− x+ x
d.
e.
E
f.
2 2
cot
1 tan
F
x x
−
=
−
câu5 Tính các biểu thức sau
a. Cho sinx=2/3 Tính cot tan
cot tan
A
−
=
+
b. Cho tanx=3 Tính sin cos & 4sin3 cos3
c. Cho cotx= - 3 Tính
D
=
câu6 Tính các giá trị biểu thức
a.
cos10 cos 20 cos160 cos180
b.
2 0 2 0 2 0 2 0 sin 15 sin 25 sin 65 sin 75
Trang 4sin 10 sin 20 sin 180
d.
0
sin( 234 ) cos 216
tan 36 sin144 cos 216
−
câu7 Rút gọn biểu thức
A= π + −x π − +x π − +x π −x
2
B= x− π x− π + x+ π − x−π
cos(270 ) 2sin( 450 ) cos( 900 ) 2sin(720 ) cot(540 )
câu8 Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
A B+ = C
b. tan(2A B C+ + ) tan= A
2
A B C
C
B
B CÔNG THỨC CỘNG:
câu1.
a. Cho sinx=5/13 và (π/2<x<π), cosy=3/5 và (0<y<π/2) Tính sin(x+y), cos(x+y), tan(x+y)
và cot(x+y)
b. Cho sinx= 1
5 và siny =
10
1 Tính x+y
câu2 Cho a+b = π/4 Tính A =(1+tana).(1+tanb)
câu3 Tính giá trị các biểu thức:
25 tan 20 tan 1
25 tan 20 tan
−
+
=
0 0
0
0 tan40 3tan20 tan40 20
=
C
11 sin 19 sin 11 cos 19 cos
20 sin 10 cos 10 sin 20 cos
−
+
=
C
câu4 Chứng minh:
4 sin(
b. Sin(a+b).sin(a-b) =sin 2 a-sin 2 b =cos 2 b-cos 2 a
3 sin(
)
3 sin(
4 sin(
) 4
câu5 Rút gọn biểu thức:
A
x y x y
=
b. B= tantan(a a b+tan)b−tantan(a a b−tan)b
sin sin
x y x y C
=
+
d.
D
=
Trang 5câu6 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x
a. A= cosx+ cos(x+2
3
π
)+ cos(x+4
3
π
)
b. B= sinx + sin(x+2
3
π ) + sin(x+4
3
π )
c. C= cos 2 x + cos 2 (x+2
3
π
) + cos 2 (x+4
3
π
)
d. D= sin 2 x + sin 2 (x+2
3
π ) + sin2(x+4
3
π )
câu7 Cho tam giác ABC chứng minh:
a. cosB.cosC – sinB.sinC + cosA = 0
b. tanA + tanB + + tanC = tanA.tanB.tanC ( với ABC có 3 góc nhọn )
2
A
tan 2
B
+tan 2
B
tan 2
C
+tan 2
A
tan 2
C
= 1
2
A
+ cot 2
B
+ cot 2
C
= cot 2
A
cot 2
B
cot 2
C
e. cotA.cotB + cotB.cotC + cotA.cotC = 1
C CÔNG THỨC NHÂN:
câu1 Tính giá trị biểu thức:
a.
8
cos 4
cos 8
=
A
b.
8 tan 8 tan
π
π
−
=
B
c. C =sin100sin500sin700
d. D=sin60sin420sin660sin780
e. E =16cos200cos400cos600cos800
câu2 Tính các giá trị biểu thức:
a. cho tan
2
x
= - 2 Tính 3sin 4cos
cot 3tan
A
+
=
+
b. cho sinx = -4/5, và 3 2
π < < π
Tính cos(x/2) và sin(x/2)
c. cho tanx = 1/15 Tính sin 2
1 tan 2
x B
x
= +
d. cho sinx + cosx = 7
2 và 0 < x <
6
π
Tính tan(x/2)
e. cho tan(x/2) = -1/2 Tính 2sin 2 cos 2
tan 2 cos 2
C
−
=
+
câu3 Chứng minh:
a. cotx – tanx = 2cot2x
b. sin 4 x + cos 4 x = 3 1cos 4
Trang 6c. 4sinx.sin(60 0 – x).sin(60 0 + x) = sin3x
d. 4cosx.cos(60 0 – x).cos(60 0 + x) = cos3x
e. tanx.tan(60 0 – x).tan(60 0 + x) = tan3x
f. 3 – 4cos2x + cos4x = 8sin 4 x
g. cos 3 x.sinx – sin 3 x.cosx = sin 4
4
x
h. 2(sinx + cosx +1) 2 (sinx + cosx – 1 ) 2 = 1 – cos4x
câu4 Đơn giản biểu thức
a. A = sin8x + 2cos 2 (4x +
4
π )
b. B = cos3 cos3 sin3 sin 3
c. C = cos 4 x – sin 4 (x + π)
d.
2
4cos 2
x x
D
x
π
=
e.
sin 2 4cos
4 sin 2 4sin
E
+
=
f. F = sin(
2
π
- x).sin(π - x) cos2x
D CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
câu1 Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích các biểu thức sau:
a. sin(π/5).sin(π/8)
b. 2sina.sin2a.sin3a
c. Sin10 0 + Sin11 0 + Sin16 0 + Sin15 0
d. Sinx+sin2x+sin3x+sin4x
e. Cosx+cos2x+cos3x+cos4x
f. 1-cosx+sinx
g. 2cos2a - 3
h. 1+2sina-cos2a
i. 9sina+6cosa-3sin2a+cos2a-8
j. Sin 2 3a-cos 2 4a-sin 2 5a+cos 2 6a
k. 1+2cosx
câu2 Tính các giá trị biểu thức:
a. A = cos85 0 + cos35 0 – cos25 0
9
7 cos 9
5 cos 9
5
8 cos 5
6 cos 5
4 cos 5
2
d. D = sin10 0 sin30 0 sin50 0 sin70 0
e. E = sin20 0 sin40 0 sin80 0
0 4sin70 sin10
g. G = cos 2 x – sin(30 0 +x) sin(30 0 -x)
Trang 7h. H = cos10 0 cos30 0 cos50 0 cos70 0
x x
x x
4 cos 6 cos
4 cos 6 cos
+
−
câu3 Chứng minh đẳng thức:
x x
x
x x
x
3 tan 5
cos 3 cos cos
5 sin 3 sin
+ +
+ +
8
3 8
5 sin
c.
câu4 Cho tam giác ABC chứng minh :
a. sinA + sinB + sinC =
2
cos 2
cos 2 cos
b. cosA + cos B + cosC = 1 +
2
sin 2
sin 2 sin
c. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
d. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1+ cosA.cosB.cosC)
e. cos2A + cos2B + cos2C = -1 – 4cosA.cosB.cosC
f. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
E NHẬN DẠNG TAM GIÁC:
câu1 Chứng minh tam giác ABC vuông nếu:
sin B sin C
cos B cos C
+
+
câu2 Chứng minh tam giác ABC can nếu :
2
câu3 Chứng minh tam giác ABC đều nếu :
câu4 Chứng minh tam giác ABC can hoặc vuông nếu :
2 2
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
-câu5 Nhận dạng tam giác biết :
cos B
câu6 Tìm các góc của tam giác ABC biết:
a.
0 60 1 sin sin
2
B C
− =
0 120
3 1 sin cos
4
B C
+ =
=
III ÔN TẬP CHƯƠNG
Trang 8câu1 Tính giá trị các biểu thức A = sina.cosa và B = cos4 a + sin 4 a theo t biết t = sina + cosa
câu2 Tính sin(15π - a) biết
a. sina = 4/5 và (π/2) < a < π b. tana = 1/15
câu3 Tính 1 0 3 0
sin10 cos10
A= − và 1 cos cos2 cos6
B= + π + π + + π
câu4 Chứng minh các đẳng thức:
a. 3 – 4coss2x + cos4x = 8sin 4 x
2 cos
x
x
x+ =
d. cot 22 1 cos8 cot 4 sin 8
2cot 2
x
x
e.
2 6
x x
cos 4 sin 2 cos 2
x
−
+
câu5 Chứng minh 1 cot cot
a
a
a = − và áp dụng tính 1 1 1
sin sin 2 sin 2n
T
câu6 Cho sina.cosa = 3
4 và 0 < a < 45 0 Tính tan cot
tan cot
A
− +
câu7 Biến đổi thành tích
2
1 sin 4 1 2cos 2 3
câu8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c
a A= sina.sin( b – c ) + sinb.sin( c – a ) + sinc.sin( a – b )
b B = cos(a + b).sin( a – b ) + cos( b+ c).sin( b – c ) + cos(c + a).sin( c – a )