Lượng giác

Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm nếu có... Cách 2 D

LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Biểu diễn cung – góc lượng giác

Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2

n

p +

a (hoặc 0 k.360

a

n +

o ) với k Î ¢ , n Î ¥ thì +

có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau

Ví dụ 1 Nếu sđ ¼AM p3 k2

= + p thì có 1 điểm M tại vị trí p3 (ta chọn k = 0)

Ví dụ 2 Nếu sđ ¼AM 6p k

= + p thì có 2 điểm M tại các vị trí 6p và 7

6 p (ta chọn k = 0, k = 1)

Ví dụ 3 Nếu sđ ¼AM k2

= + thì có 3 điểm M tại các vị trí 4p, 11

12

p

và 19 12

p (ta chọn k = 0, k = 1 và k

= 2)

Ví dụ 4 Nếu sđ ¼AM 45 k.90 45 k.360

4

o

o o o thì có 4 điểm M tại các vị trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3)

Ví dụ 5 Tổng hợp hai cung x 6p k

3

p

= + p

Giải

Biểu diễn 2 cung x p6 k

= - + p

và x p3 k

= + p trên đường tròn

lượng giác ta được 4 điểm 6- p,

3

p

, 5

6

p

và 4

3

p

cách đều nhau

Vậy cung tổng hợp là:

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Hàm số lượng giác

1 Hàm số y = cosx

1) Miền xác định D = ¡

2) Miền giá trị G = [–1; 1]

3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T =2p

4) (cosx)/ = – sinx

5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy

2 Hàm số y = sinx

1) Miền xác định D = ¡

2) Miền giá trị G = [–1; 1]

3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = 2p

4) (sinx)/ = cosx

5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O

3 Hàm số y = tgx

1) Miền xác định D \ { k , k }

2

p

2) Miền giá trị G = ¡

3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p 4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 2

1 cos x. 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O

4 Hàm số y = cotgx

1) Miền xác định D = ¡ \ k , k{ pÎ ¢ }

2) Miền giá trị G = ¡

3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p 4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 12

sin x

5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O

5 Chu kỳ của hàm số lượng giác

5.1 Định nghĩa

Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa

f(x + T) = f(x)

Ví dụ 1 Hàm số y = sin5x có chu kỳ T 2

5

p

= vì:

( 2 )

sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x

5

p

Hơn nữa, T 2

5

p

= là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p

5.2 Phương pháp giải toán

5.2.1 Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx)

Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n Î ¢ có chu kỳ + T 2

n

p

Ví dụ 2 Hàm số y = cos7x có chu kỳ T 2

7

p

5.2.2 Hàm số y = sinxn và y = cosnx

Hàm số y sinx

n

= và y cosx

n

= , n Î ¢ có chu kỳ T+ = n2p

Ví dụ 3 Hàm số y = sinx3 có chu kỳ T =6p

5.2.3 Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx)

Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n Î ¢ có chu kỳ T+ = pn

Ví dụ 4 Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T 6p

5.2.4 Hàm số y = t gxn và y = cot gnx

Hàm số y = t gxn và y = cot gnx, n Î ¢ có chu kỳ T+ = np

Ví dụ 5 Hàm số y = t gx3 có chu kỳ T = 3p

5.2.5 Hàm số y = f(x)±g(x)

Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1

m T n

= p và 2

p T k

= p

Để tìm chu kỳ của hàm số y = f(x)±g(x) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Quy đồngm mk

n = nk ,

k = nk và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np.

Bước 2 Chu kỳ của y = f(x)±g(x) là T A

nk

Ví dụ 6 Tìm chu kỳ của hàm số y = cos 3x- t gx3

Giải

Hàm số y = cos3x, y = t gx3 có chu kỳ lần lượt là 2

3

p

và 3p

Ta có:

BCNN(2; 9)

3

3

ìï =

ï p = ïïî

Vậy chu kỳ của hàm số y = cos 3x- t gx3 là T = 6p

II Phương trình lượng giác cơ bản

1) cos x = cosa x k2 , k

é ê

Û ê = - +ê a p Ỵ Z

2) sin x = sina Û x k2 , k

é

ê = -p ap

3) t gx = t gaÛ x =a + k , kpỴ Z

4) cot gx = cot gaÛ x =a + k , kpỴ Z Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ

1) cos x 0 x p2 k , k

2) cos x = 1Û x = k2 , kpỴ Z

3) cos x = - 1 Û x = p+ k2 , kpỴ Z

4) sin x = 0 Û x = k , kpỴ Z

5) sin x 1 x p2 k2 , k

6) sin x 1 x 2p k2 , k

Ví dụ 1 Xét số nghiệm của phương trình cos x+ x = 0

Giải

Ta cĩ cos x+ x = 0 Û cos x = - x

Suy ra (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và y = - p (đi qua điểm (x p; – 1))

Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 Giải phương trình:

(cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)

0

2 cos x 1

-=

Giải

Điều kiện: 2 cos x 1 0 x 2 k2

3

p

Ta cĩ:

1

3

é

=

ê

So với điều kiện và tổng hợp

nghiệm (hình vẽ), phương trình

(2) có họ nghiệm là:

2

Chú ý:

Các họ nghiệm x k2

và x k2

3

p

= p+ cũng là các họ

nghiệm của (2)

III Các dạng phương trình lượng giác

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải toán

Bước 1 Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có).

Bước 2 Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Chú ý:

Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta

phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có)

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 sin x2 + sinx- 2 = 0 (1)

Giải

Đặt t = sinx, 1- ££t 1 ta có:

2

2

sin x sinp4

=

Vậy (1) có các họ nghiệm

4

, k 3

4

p

é = + p ê

ë

¢

Ví dụ 2 Giải phương trình 5(1+ cos x) = 2+ sin x4 - cos x4 (2)

Giải

Ta có:

(2) Û 3+ 5 cos x = sin x - cos x Û 2 cos x + 5 cos x+ 2 = 0

Đặt t = cosx, 1- ££t 1 ta suy ra:

2

2

cos x cos2

3

p

=

3

p

Vậy (2) có các họ nghiệm x 2 k2 , k

3

p

Ví dụ 3 Giải phương trình 32 2 3t gx 6 0

Giải

Điều kiện x p2 k

+

¹ p , ta có:

(3) Û 3(1+ t g x)+ 2 3tgx - 6 = 0 Û 3t g x + 2t gx- 3 = 0

Đặt t = tgx, ta suy ra:

2

3

t gx t g

3 3

ë

(thỏa điều kiện)

Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau

Vậy (3) có họ nghiệm là x 6p k , kp2

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sin x2 - sin x + m = (4) có nghiệm thuộc đoạn 0 7

;

Giải

Đặt t = sinx, ta suy ra:

2

Xét hàm số y = - t2 + t, ta có bảng biến thiên:

t –1/2 1/2 1 y

1/4 –3/4 0 Suy ra (4) có nghiệm x ; 7 3 m 1

Cách khác:

( )2

Ví dụ 5 Tìm m để phương trình t gx- mcot gx = (5) có nghiệm.2

Giải

Cách giải sai:

Đặt t = t gx Þ¹ t 0, ta suy ra:

2 m

t

Mặt khác: t ¹ 0 Þ m ¹ 0 (b)

Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm Û - 1£ m ¹ 0 (sai)

Cách giải đúng:

Đặt t = t gx Þ¹ t 0, ta suy ra:

2 m

t

Xét hàm số y = t2 - 2t, ta có bảng biến thiên:

t - ¥ 0 1 + ¥ y

+ ¥ + ¥

0 –1 Vậy (5) có nghiệm Û m ³ - 1

2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1 Chia hai vế (*) cho a và đặt b t g

a = a

Bước 2 (*) Û sin x + t g cos xa = ac Û sin(x + a) = accosa

Cách 2

Bước 1 Chia hai vế (*) cho a2 + b2 và đặt:

Bước 2.

c sin x cos cos x sin

+

c sin(x )

Chú ý:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

a2 + b2 ³ c2

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 sin x- cosx = (1).2

Giải

Cách 1

6

p

sin x( ) 2 cos sin x( ) 1

Cách 2

p

Vậy (1) có họ nghiệm x 2 k2 , k

3

p

Ví dụ 2 Giải phương trình sin 5x + 3 cos 5x =2 sin 7x (2)

Cách 1

(2) sin 5x t g cos 5x 2 sin 7x

3

p

Û

sin 5x( ) 2 cos sin 7x

Û

sin 5x( ) sin 7x 7x 5x2 3 k2

3

p

ê

ë

p

é = + p

ê

ê

ê

¢

Cách 2

(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x

p

3 2

3

p

ê

ê

ë

p

é = + p ê

ê

Vậy (2) có các họ nghiệm

p

é = + p ê

ê

¢

Ví dụ 3 Giải phương trình 3 sin 2x- 3 cos 2x = - 4 (3)

Giải

Do 32 + -( 3)2 < -( 4)2 nên phương trình (3) vô nghiệm

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình:

2 2m cos x- 2(m- 1) sin x cos x- 3m - 1= 0 (4) có nghiệm

Giải

Ta có:

(4) Û m cos 2x- (m- 1) sin 2x =2m + 1.

Suy ra:

(4) có nghiệm Û m2 + (m- 1)2 ³ (2m + 1)2 Û - 3 £ m £ 0

3 Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx

3.1 Đẳng cấp bậc hai

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1 Kiểm tra x k

2

p

= + p có là nghiệm của (*) không

Bước 2 Với x 2p k

+

¹ p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được:

(*) Û atg2x + btgx + c = 0

Cách 2

Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x

Ví dụ 1 Giải phương trình:

2 ( 3 + 1) sin x- ( 3- 1) sin x cos x- 3 = 0 (1)

Giải

Nhận thấy x p2 k

= + p không thỏa (1)

Với x p2 k

+

¹ p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

(1) Û ( 3+ 1)t g x- ( 3- 1)t gx- 3(1+ t g x) = 0

Û t g x2 - ( 3- 1)tgx - 3 = 0

3

p

é = - + p

=

=

Vậy các họ nghiệm của (1) là

3

p

é = - + p ê

ê

¢

Ví dụ 2 Giải phương trình sin2x + 2 3sinxcosx + 1 = cos2x (2)

Giải

2

ê

ë

Cách khác:

2

(2) Û sin x + 3 sin x cos x = 0 Û sin x 0

sin x 3 cos x 0

= é ê

ê

sin x 0

3

é

=

ê

Vậy (2) có các họ nghiệm là

, k 2

3

é ê

Î

ê

¢

Chú ý:

Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau

3.2 Đẳng cấp bậc cao

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1 Kiểm tra x p2 k

= + p có là nghiệm của phương trình không

Bước 2 Với x k

2

p +

¹ p , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx

Cách 2

Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích

Ví dụ 3 Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3)

Giải

Cách 1

Nhận thấy x k

2

p

= + p không thỏa (3)

Với x p2 k

+

¹ p , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được:

(3) Û 2+ 2t g x = +1 t g x + t g x(1+ t g x)

Û t g x5 - t g x3 - t g x2 + 1= 0

Û (t gx- 1) (t gx2 + 1)(t g x2 + t gx + 1) = 0

t gx 1 x p4 k p4 kp2

Cách 2

(3) Û cos x(2 cos x- 1) = sin x(1- 2 sin x)

Û cos x cos 2x3 = sin x cos 2x3 Û ê =éêëcos 2xt gx 1= 0

4

é = +

Vậy (3) có họ nghiệm là x 4p k , kp2

Chú ý:

2 cos x+ sin x = cos x + sin x

Û 2 cos x( 5 + sin x5 ) =(cos x3 + sin x)(cos x3 2 + sin x)2

Û cos x5 + sin x5 - cos x sin x3 2 - cos x sin x2 3 = 0 (đẳng cấp)

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Bước 1 Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x( )

4

p +

2

sin x cos x

2

Bước 2 Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.

Chú ý:

Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx

Ví dụ 1 Giải phương trình:

( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1)

Giải

Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ £t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được:

2

t + ( 2+ 1)t + 2 = 0 Û t = - 1Út = - 2

(1)

5

3

ë

Vậy (1) có các họ nghiệm:

x = p+ k2p, x p2 k2

4

p

= - + p (k Î ¢ )

Ví dụ 2 Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2).

Đặt t = sinx – cosx Þ - 2 £ £t 2 và

2

1 t sin x cos x

2

Thay vào (2) ta được:

2

1 t

= -é

ê

ê = +p p

ë

Vậy (2) có các họ nghiệm x = p+ k2p, x k2

2

p

= - + p (k Î ¢ )

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình m(cos x- sin x)+ sin 2x = 0 (3) có nghiệm thuộc khoảng ( ; )

4

p

p

Giải

Đặt t cos x sin x 2 cos x( ) sin 2x 1 t2

4

p

Ta có:

2 2 cos x( ) 0 2 t 0

4

p

Thay vào (3) ta được:

t

Xét hàm số f(t) t 1, t [ 2; 0)

t

/

2

1

t

= + > " Î

-t 0

2 f( 2) , lim f(t)

2 ®

Vậy (3) có nghiệm m 2

2

Chú ý:

Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f(t):

t - 2 0 /

f (t) +

f(t)

+ ¥ 2

2

-5 Dạng phương trình khác

Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải

Ví dụ 1 Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1).

Giải

(1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x

Û

cos 6x cos 2x

4

p

é =

=

Vậy (1) cĩ họ nghiệm là x k , kp4

Ví dụ 2 Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2).

Giải

(2) Û 2 sin 3x cos x = 2 sin 3x cos 3x Û sin 3x(cos 3x- cos x) = 0

2

p

é =

Vậy (2) cĩ họ nghiệm là x kp2

= , x k (kp3 )

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Bất phương trình lượng giác cơ bản

1 Bất phương trình cơ bản của cosx

1) cos x ³ cosa Û - a + k2p £ x £ a + k2 , kp Ỵ ¢ (hình vẽ) 2) cos x > cosaÛ - a + k2p< x < a+ k2 , kpỴ ¢

3) cos x £ cosa Û a + k2p £ x £ p a2 - + k2 , kp Ỵ ¢ 4) cos x < cosaÛa + k2p < x < 2p a- + k2 , kpỴ ¢

2 Bất phương trình cơ bản của sinx

1) sin x ³ sina Û a + k2p £ x £ p a- + k2 , kp Ỵ ¢ (hình vẽ) 2) sin x > sinaÛa + k2p < x < p a- + k2 , kpỴ ¢

3) sin x £ sina Û - p a- + k2p £ x £ a + k2 , kp Ỵ ¢ 4) sin x < sinaÛ - p a- + k2p< x < a + k2 , kpỴ ¢

3 Bất phương trình cơ bản của tgx

> aÛa + p< < + pỴ ¢

< aÛ - + p< < a + pỴ ¢

4 Bất phương trình cơ bản của cotgx

1) cot gx ³ cot ga Û kp< x £ a + k , kp Ỵ ¢ (hình vẽ) 2) cot gx > cot gaÛp k < x < a + k , kpỴ ¢

3) cot gx £ cot ga Û a + kp £ x < p+ k , kp Ỵ ¢ 4) cot gx < cot gaÛa + kp< x < p+ k , kpỴ ¢

Chú ý:

Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường trịn lượng giác để chọn nghiệm

Ví dụ 1 Tìm miền xác định của hàm số y = cos 2x

Giải

Ta cĩ:

4p k x p4 k

Vậy miền xác định là D k ; k , k

= -ê + p + pÎú

Ví dụ 2 Tìm miền xác định của hàm số y = sin 2x

Giải

Ta có:

sin 2x ³ 0 Û k2p £ 2x £ p+ k2p k x k

2

p +

Vậy miền xác định là D k ; k , k

2

p

= êp + pÎú

Ví dụ 3 Tìm miền xác định của hàm số y = t g3x

Giải

Ta có:

2

p

< +

< +

Vậy miền xác định là D k ; k ), k

é

Ví dụ 4 Giải bất phương trình sin x 2

2

Giải

2

p

Ví dụ 5 Giải bất phương trình cos x 3

2

< -

Giải

p

+ < < +

Ví dụ 6 Giải bất phương trình tgx > – 1.

Giải

t gx 1 t gx t g

4

p

+ < < +

Ví dụ 7 Giải bất phương trình cotgx £ 3

Giải

cot gx 3 cot gx cot g

6

p

6

p

Ví dụ 8 Giải bất phương trình sin x + (1- 2) cos x > 0

Giải

Ta có :

sin x + (1- 2) cos x > 0 Û sin x + cos x - 2 cos x > 0

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

sin x + (1- 2) cos x > 0 Û sin x + cos x > 2 cos x

4

p

ìï > + p ï

- >

>

p ïïî

2

p

> +

Nhận thấy x 3

2

p

= không thỏa bất phương trình

Ví dụ 9 Giải bất phương trình 3 cos x 1

Giải

Ta có:

cos x

5

cos cos x cos

5

ê

ê

Û ê pê +ê p££ p+ p

Ví dụ 10 Giải bất phương trình 1 sin x 2

Giải

Ta có:

sin x

3

5

é

+ p< < + p

ê

ê

Û ê pê-ê + p££ - p+ p.

Ví dụ 11 Giải bất phương trình (2 cos x - 1)(2 cos x - 3) ³ 0

Giải

Ta có:

(2 cos x- 1)(2 cos x- 3) ³ 0

cos x cos cos x cos

5

ê

ê

ê

ë

Ví dụ 12 Giải bất phương trình ( 2 sin x + 1)(2 sin x - 3) > 0

Giải

Ta có:

( 2 sin x + 1)(2 sin x- 3) > 0

sin x sin

4 sin x sin

3

p

-ê

ê

>

ê

ë

4

é + p< < + p

ê

ê

Û ê pê +ê p < < p+ p

Ví dụ 13 Giải bất phương trình 4 sin x2 - 2( 3+ 1) sin x + 3 £ 0

Giải

Ta có:

2

4 sin x - 2( 3 + 1) sin x + 3 £ 0

sin x

ê

ê

+

ë

Ví dụ 14 Giải hệ bất phương trình

1 cos x

2 1 sin x

2

ïïï íï

ï <

ïïî

Giải

Ta có:

1

2

p

ïî

7

ïïï

ïï - + p< < + p

ïïî

Ví dụ 15 Giải hệ bất phương trình

cos x 0

sin x

<

ìïï ïí

ï - < £

Giải

Ta có:

cos x 0

sin x

<

ìïï

ïí

ï - < £

ïïî

3

ïï

ï é

Û í êï êïï ê pïï ê +ïïî ë p£ < p+ p

II Hệ phương trình lượng giác

1 Hệ phương trình 1 ẩn

Phương pháp giải

Cách 1

Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình còn lại

Cách 2

Bước 1 Giải cả hai phương trình độc lập với nhau.

Bước 2 Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2 cos x 1 (1)

3 sin 2x (2)

2

= ìïï

ïí

Giải

Cách 1

3

p

= + p vào (2) ta được:

+ Thay x p3 k2

= - + p vào (2) ta được:

Cách 2

3

2 cos x 1

sin 2x

2

3

p

ìï = ± + p ïï

=

ïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm x p3 k2 , k

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

cot gx 1

2 sin x

2

= ìïï

ïí

Giải

Ta có điều kiện x ¹ kp

4 cot gx 1

sin x

4

p ìïï = + p ï

Vậy hệ phương trình có nghiệm x p4 k2 , k

Ví dụ 3 Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = 2

Giải

2 cos x- 3 sin 5x = 2 Û 3 sin 5x + 2 sin x = 0

sin x 0

5

ìï

=

Vậy hệ phương trình có nghiệm x = k , kpÎ ¢

Chú ý:

Khi giải hệ phương trình lượng giác 1 ẩn ta nên vẽ đường tròn lượng giác để giao nghiệm

2 Hệ phương trình 2 ẩn

Phương pháp giải

Không có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp thế hoặc cộng và trừ hai phương trình rồi dùng công thức biến đổi

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

sin x cos y 1 (1)

x y (2)

3

ïïï

Giải

Ta có:

-= Û

2 sin cosp6 x-2 y 1 x-2 y k2

Từ (2) và (3), ta suy ra hệ phương trình có nghiệm

6

p

ìï = + p

ïïî

¢

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

1 cos x cos y

2 1 sin x sin y

2

ïïï íï

-ïïî

Giải

Ta có: