Một số tính chất của môđun giả nội xạ

Ki¸n thùc chu©n bà... Måi mæun ·u l mæun tüa li¶n töc... Vªy fM ch´ ra trong N.

MÖC LÖC 1

LÍI CƒM ÌN 3

MÐ †U 4

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 5

1.1 C¡c i·u ki»n (Ci) cõa mæun 5

1.2 Mæun nëi x¤, mæun tüa nëi x¤ li¶n töc 9

Ch÷ìng 2 Mët sè t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤ 16

2.1 Mæun gi£ nëi x¤ 16

2.2 Mët sè t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤ 19

K˜T LUŠN 24

T€I LI›U THAM KHƒO 25

CC K HI›U DÒNG TRONG LUŠN V‹N

A ⊆ Mm : A l  mæun con cõa M

A ≤e M : A l  mæun con cèt y¸u cõa M

Hom(N, M ) : Tªp t§t c£ c¡c çng c§u mæun tø N ¸n M

⊕ : Têng trüc ti¸p c¡c mæun

- ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè v  gia ¼nh ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëngvi¶n v  gióp ï t¡c gi£ º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc v  thüc hi»n ÷ñcluªn v«n n y.

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, song luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡cth¦y cæ gi¡o v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Xin tr¥n trång c£m ìn !

Ngh» An, th¡ng 06 n«m 2013

T¡c gi£

MÐ †U

Còng vîi sü ph¡t triºn cõa To¡n håc nâi chung v  sü ph¡t triºn cõa

¤i sè nâi ri¶ng, lþ thuy¸t mæun ang ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu v  ¤t

÷ñc nhi·u k¸t qu£ Trong lþ thuy¸t mæun, hai lîp mæun ÷ñc quan t¥mnghi¶n cùu nhi·u â l  lîp mæun nëi x¤ v  lîp mæun x¤ £nh

Trong c¡c h÷îng mð rëng mæun nëi x¤ th¼ mæun gi£ nëi x¤ l  mëttrong nhúng lîp mæun ÷ñc nghi¶n cùu nhi·u trong nhúng n«m g¦n ¥y(nh÷ S K Jain v  S Singh (1967), M L Teply (1975), A A Tuganbaer(1978), inh Quang H£i, )

Luªn v«n cõa chóng tæi düa tr¶n b i b¡o [3] cõa Hai Quang Dinh (2005),

A note on Pseudo-injective modules, Communications in Algebra, 33,

361-369 vîi möc ½ch t¼m hiºu v  nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤.Luªn v«n h» thèng mët sè v§n · li¶n quan ¸n mæun gi£ nëi x¤, tr¼nh

b y mèi quan h» giúa mæun gi£ nëi x¤ v  mæun tüa nëi x¤ Ngo i ph¦n

mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, luªn v«n ÷ñc chia l m 2 ch÷ìng.Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t v· c¡c i·u ki»n (Ci) cõa mæun,c¡c kh¡i ni»m, m»nh · v· mæun nëi x¤, mæun tüa nëi x¤ li¶n töc ºphöc vö cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2

Ch÷ìng 2 Mët sè t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c m»nh ·, ành lþ v· t½nh ch§tcõa mæun gi£ nëi x¤

CH×ÌNG 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀTrong luªn v«n n y, ta x²t v nh R l  v nh k¸t hñp câ ph¦n tû ìn và,k½ hi»u l  1 v  t§t c£ c¡c mæun x²t tr¶n v nh R ·u l  R-mæun tr¡i.Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, ành lþ, m»nh ·dòng º chùng minh c¡c k¸t qu£ v· c¡c t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤.

1.1 C¡c i·u ki»n Ci cõa mæun

1.1.1 ành ngh¾a C¡c i·u ki»n Ci cõa mæun

Cho M l  R-mæun, ta x²t c¡c i·u ki»n sau èi vîi M

i·u ki»n (C1): Vîi méi mæun con A cõa M, tçn t¤i mët h¤ng tû trücti¸p X cõa M º A cèt y¸u trong X

i·u ki»n (1 − C1): Vîi méi mæun con U cõa M v  U ·u, tçn t¤i mëth¤ng tû trüc ti¸p X cõa M º U cèt y¸u trong X

i·u ki»n (C2): N¸u mët mæun con A cõa M ¯ng c§u vîi h¤ng tû trücti¸p cõa M th¼ A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

i·u ki»n (C3): N¸u M1 v  M2 l  nhúng h¤ng tû trüc ti¸p cõa M sao cho

M1 ∩ M2 = 0 th¼ M1 ⊕ M2 công l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

X ⊆ Mm v  måi çng c§u ϕ : X −→ N ·u mð rëng ÷ñc th nh çng c§u

2 Z thäa m¢n i·u ki»n (1 − C1)

3 Z khæng thäa m¢n i·u ki»n (C2) (v¼ 2Z ∼=

M°t kh¡c, do πM2 ⊆ M1∗ n¶n ta sû döng luªt Modular, l§y giao hai v¸ cõa(*) vîi M∗

Nâi c¡ch kh¡c, M ÷ñc gåi l  âng trong A n¸u måi mæun con X 6= 0cõa A m  M ⊆ Xm th¼ X = M.

1.1.6 M»nh · Mæun M thäa m¢n i·u ki»n (C1) khi v  ch¿ khi måimæun con âng trong M ·u l  h¤ng tû trüc ti¸p

Chùng minh

i·u ki»n c¦n Gi£ sû mæun M thäa m¢n i·u ki»n (C1), ta c¦n chùngminh måi mæun con âng trong M ·u l  h¤ng tû trüc ti¸p Thªt vªyGåi A l  mæun con âng cõa M, v¼ M thäa m¢n i·u ki»n (C1) n¶ntçn t¤i B l  mæun con cõa M sao cho

B ,→ M, A⊕ ,→ B.∗

Do A âng n¶n A = B Tø â suy ra A ,→ M⊕

i·u ki»n õ Gi£ sû måi mæun con âng trong M ·u l  h¤ng tû trücti¸p, ta c¦n chùng minh M thäa m¢n i·u ki»n (C1)

Ta câ, vîi måi mæun con B kh¡c khæng cõa M luæn tçn t¤i bao âng

B cõa B Khi â B l  mæun con tèi ¤i, do â B âng trong M M  theogi£ thi¸t, måi mæun con âng ·u l  h¤ng tû trüc ti¸p n¶n B l  h¤ng tûtrüc ti¸p cõa M Vªy M thäa m¢n i·u ki»n (C1) 

1.1.7 M»nh · Mæun nëi x¤ thäa m¢n i·u ki»n (C1)

1.1.8 M»nh · Mæun tüa nëi x¤ l  mæun li¶n töc

Chùng minh Gi£ sû M l  mæun tüa nëi x¤, ta c¦n chùng minh M l mæun li¶n töc Hay ta i chùng minh M thäa m¢n i·u ki»n (C1) v  (C2)

¦u ti¶n ta chùng minh M thäa m¢n i·u ki»n (C1) Thªt vªy

N¸u N ⊆ Mm th¼ bao nëi x¤ I(M) cõa M chùa bao nëi x¤ I(N) = Ecõa N v  I(M) = E ⊕ G, vîi méi mæun con G Nh÷ng ta l¤i câ M =(M ∩ E) ⊕ (M ∩ G) M°t kh¡c, N ,→ E∗ n¶n N ,→ (M ∩ E)∗ i·u â chùng

tä r¬ng M thäa m¢n i·u ki»n (C1).

B¥y gií ta chùng minh M thäa m¢n i·u ki»n (C2)

Gåi A l  mæun con cõa M v  l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Ta câ

M = A ⊕ A0 Gåi π, i l¦n l÷ñt l  c¡c ph²p chi¸u

π : A ⊕ A0 −→ A

i : A −→ MGåi f : A −→ M l  ìn c§u v  °t N = f(A)

Theo gi£ thi¸t ta câ M l  tü nëi x¤ n¶n tçn t¤i h : M −→ M sao cho

hf = i Khi â πhf = 1A Do â N l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

B¥y gií, gi£ sû r¬ng N ∼= P ,→ M⊕ Tø M l  M-nëi x¤ n¶n ta suy ra P l 

P-nëi x¤ v  do â N l  M-nëi x¤ Khi â, ¡nh x¤ çng nh§t 1N : N −→ N

câ thº mð rëng th nh çng c§u δ : M −→ N v  do â, nâ ch´ ra, tùc l 

M = N ⊕ Kerδ

1.2 Mæun nëi x¤, mæun tüa nëi x¤ li¶n töc

1.2.1 ành ngh¾a Cho M v  N l  c¡c R − mæun

- Mæun M ÷ñc gåi l  N-nëi x¤ n¸u vîi måi mæun con X cõa N, måi

çng c§u f : X −→ M ·u mð rëng ÷ñc th nh çng c§u g : N −→ M,tùc l  biºu ç sau giao ho¡n:

g ◦ i = f, trong â i l  ph²p nhóng çng c§u

- Mæun M ÷ñc gåi l  tüa nëi x¤ n¸u M l  M-nëi x¤

- Mæun M ÷ñc gåi l  mæun nëi x¤ n¸u M l  N-nëi x¤ vîi måi mæun

N

- Hai mæun M v  N ÷ñc gåi l  nëi x¤ l¨n nhau n¸u M l  N-nëi x¤ v 

N l  M-nëi x¤.

- Bao nëi x¤ cõa mæun M, k½ hi»u l  E(M) l  mæun nëi x¤ b² nh§t saocho M cèt y¸u trong E(M)

1.2.2 M»nh · Cho M l  R-mæun tr¡i Khi â

(i) M l  nëi x¤ khi v  ch¿ khi M = E(M)

(ii) N¸u N ≤e M th¼ E(N) = E(M)

(iii) N¸u M ≤ Q v  Q l  mæun nëi x¤ th¼ Q = E(M) ⊕ E0

.(iv) N¸u L

AE(Mα) l  nëi x¤ (°c bi»t, n¸u A l  húu h¤n) th¼ E(L

(i) M l  tüa nëi x¤;

(ii) Mi l  tüa nëi x¤ v  M(I − i) l  Mi-nëi x¤ vîi måi i ∈ I

Chùng minh

(i) ⇒ (ii) Cho M l  mæun nëi x¤ L§y I l  i¶an tr¡i cõa R, f : I −→

M l  mët çng c§u mæun V¼ R l  R-mæun n¶n M l  R-nëi x¤ Do â,

L§y X l  mæun con tòy þ cõa N, g : x −→ M l  mët çng c§u b§t k¼,

ta chùng minh tçn t¤i çng c§u g∗ l  mð rëng cõa g

Ta chùng minh S thäa m¢n bê · Zorn.

L§y tªp con s­p thù tü tuy¸n t½nh cõa S sao cho

(T1, α1) ≤◦ (T2, α2) ≤◦ ≤◦ (Tn, αn) ≤◦ (1)

°t T =S∞

i=1 Suy ra T ≤ N

L§y α : T −→ M, vîi x ∈ T Suy ra ∃k : x ∈ Tk

Ta ành ngh¾a α(x) = αk(x) D¹ d ng kiºm tra ÷ñc α l  çng c§u Khi

â, (T, α) l  cªn tr¶n cõa d¢y (1) Theo bê · Zorn, S câ ph¦n tû tèi ¤i,k½ hi»u (B, β) ∈ S Ta chùng minh B = N v  g∗ = β

Thªt vªy, n¸u B ⊂ N, suy ra ∃a ∈ N\B °t H = B + Ra Suy ra

B ⊂ H (do a 6∈ B)

Ta x¡c ành çng c§u h : H −→ M cho bði h(b + ra) = β(b) + rm, trong

â m ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

Gåi I = {r ∈ R | ra ∈ B} Ta ho n to n kiºm tra ÷ñc I l  i¶an tr¡i cõa

R X¡c ành çng c§u g : I −→ M cho bði g(r) = β(ra), r ∈ I Nh÷ vªy,

do B ⊂ H v  theo c¡ch x¡c ành cõa h n¶n h l  mð rëng cõa β i·u n ym¥u thu¨n vîi t½nh tèi ¤i cõa (B, β)

Vªy B = N v  l§y g∗ = β Suy ra g∗ l  mð rëng cõa g 

1.2.4 M»nh ·.Mæun M l  nëi x¤ khi v  ch¿ khi vîi måi i¶an tr¡i Icõa R, måi çng c§u f : I −→ M th¼ tçn t¤i m ∈ M º f(x) = xm, ∀x ∈ I

1.2.5 M»nh · N¸u M l  N-nëi x¤ v  A ≤ N th¼ M l  A-nëi x¤ v N/A-nëi x¤.

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta chùng minh M l  A-nëi x¤ Thªt vªy, l§y

X ≤ A v  f : X −→ M l  çng c§u Ta công câ X ≤ N Do M l  N-nëix¤ n¶n f mð rëng th nh çng c§u g : N −→ M Khi â g|A l  mð rëngcõa f tr¶n A hay M l  A-nëi x¤

B¥y gií, ta chùng minh M l  N/A-nëi x¤ L§y X/A ≤ N/A v  α :X/A −→ M l  çng c§u Gåi π : N −→ N/A l  çng c§u tü nhi¶n

°t ϕ = ϕπ|X Do M l  N-nëi x¤ n¶n αϕ mð rëng th nh çng c§u

φ : N −→ M Ta câ

φ(A) = αϕ(A) = α(0) = 0Suy ra Kerπ ≤ Kerφ Do â, tçn t¤i çng c§u β : N/A −→ M sao cho

βπ = φ Vîi måi x ∈ X, ta câ

β(x + A) = βπ(x) = φ(x) = αϕ(x) = α(x + A)

Vªy β l  mð rëng cõa α hay M l  N/A-nëi x¤

1.2.6 M»nh · M l  N-nëi x¤ khi v  ch¿ khi ϕ(N) ≤ M vîi måi

°t α = π1|N, β = π2|N V¼ N ∩ M2 = 0 n¶n α l  ìn c§u v  do M2 l 

M1-nëi x¤ n¶n tçn t¤i çng c§u ϕ : M1 −→ M2 sao cho ϕα = β L§y

K = {m1 + ϕ(m1) | m1 ∈ M1}Vîi måi n ∈ N th¼ n = m1 + m2 Ta câ ϕα(n) = β(n) hay ϕ(m1) = m2

Tø ¥y ta suy ra n = m1 + ϕ(m1) ∈ K Do â N ≤ K N¸u câ m1 ∈ M1

°t H = {x − f(x) | x ∈ X} Khi â H l  mæun con cõa M v  hiºn nhi¶n

H ∩ M2 = 0 Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i mët mæun con H0

cõa M sao cho

M = H0 ⊕ M2 v  H ≤ H0

.L§y π : M = H0

⊕ M2 −→ M2 l  ph²p chi¸u °t g : π|M 1, ∀x ∈ X th¼g(x) = π(x) = π(x − f (x) + f (x) = f (x)

Vªy g l  mð rëng cõa f, hay M2 l  M1-nëi x¤ 

1.2.8 ành ngh¾a Mæun M ÷ñc gåi l  mët CS-mæun ·u n¸u méimæun con ·u l  mæun con cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p n o âcõa M

1.2.9 ành ngh¾a Mæun M ÷ñc gåi l  tüa nëi x¤ li¶n töc n¸u

nâ l  mët CS-mæun v  vîi hai h¤ng tû trüc ti¸p M1 v  M2 cõa M m 

M1 ∩ M2 = 0 th¼ M1 ⊕ M2 công l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

1.2.10.M»nh · Måi mæun ·u l  mæun tüa li¶n töc

Chùng minh

N¸u N = 0 th¼ 0 ,→ M⊕

N¸u N 6= 0 theo m»nh · måi mæun con kh¡c 0 cõa M l  cèt y¸u trong

M th¼ N ,→ M∗ M  N ,→ M⊕

Do â M thäa m¢n i·u ki»n l  CS-mæun, méi mæun con N cõa M ·u

câ mð rëng cèt y¸u l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M Ta chùng minh M thäam¢n i·u ki»n vîi hai h¤ng tû trüc ti¸p M1, M2 cõa M m  M1 ∩ M2 = 0th¼ M1 ⊕ M2 công l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M

Thªt vªy, n¸u M1 6= 0 v  M2 6= 0 th¼ do theo gi£ thi¸t M l  ·u n¶n ta

câ måi mæun con kh¡c 0 cõa M l  cèt y¸u trong M, tùc l 

M1 ,→ M, M∗ 2 ,→ M,∗

do â, M1 ∩ M2 6= 0 tr¡i vîi gi£ thi¸t, m¥u thu¨n vîi M1 ∩ M2 = 0.Vªy khæng thº x£y ra çng thíi M1 6= 0, M2 6= 0, ngh¾a l  ta luæn câ

M1 ⊕ M − 2 ,→ M∗

1.2.11 V½ dö C¡c R-mæun sau ¥y l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc v¼chóng l  ·u

1 C¡c R-mæun ìn

2 Cho v nh Z c¡c sè nguy¶n vîi p l  sè nguy¶n tè, n ∈ N∗ Khi â Z

mæun Z/Zpn l  ·u n¶n nâ l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc

3 Cho Q l  tªp sè húu t¿,QZ l  Z-mæun Khi â, méi mæun con kh¡c

0 cõa QZ l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc

4 Mæun ZZ l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc.

1.2.12 ành lþ Cho M l  R-mæun C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng:(i) M l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc

(ii) M = X ⊕ Y vîi méi c°p mæun X, Y cõa M m  chóng l  ph¦n bòcõa nhau

(iii) f(M) ⊂ M vîi méi lôy ¯ng f ∈ End(E(M))

(iv) N¸u E(M) = L

i∈I Ei th¼ M = L

i∈IM ∩ Ei.1.2.13 ành l½ èi vîi méi mæun M th¼ méi m»nh · sau l  t÷ìng

֓ng:

(i) M l  mæun tüa nëi x¤ li¶n töc

(ii) Vîi hai mæun con b§t k¼ M1, M2 cõa M m  M1 ∩ M2 = 0 th¼ méiph²p chi¸u ch½nh t­c πi : M1 ⊕ M2 −→ Mi, (i = 1, 2) ·u mð rëng ÷ñc

th nh mët çng c§u cõa M

CH×ÌNG 2 MËT SÈ TNH CH‡T CÕA MÆUN GIƒ NËI

X„

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi h» thèng hâa v  tr¼nh b y mët sè k¸t qu£

¤t ÷ñc v· vi»c chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤.2.1 Mæun gi£ nëi x¤

2.1.1 ành ngh¾a Cho M, N l  c¡c R-mæun tr¡i M ÷ñc gåi l  gi£ nëi x¤ n¸u vîi måi mæun con A cõa N, vîi måi ìn c§u f : A −→ M

N-·u mð rëng ÷ñc th nh çng c§u g : N −→ M

M ÷ñc gåi l  mæun gi£ nëi x¤ n¸u M l  M-gi£ nëi x¤

2.1.2 ành ngh¾a (i) Mët d¢y c¡c çng c§u R-mæun

(iv) Mët ìn c§u cõa c¡c R-mæun 0 −→ M −→ Nf ÷ñc gåi l  ch´ ran¸u tçn t¤i mët çng c§u g : N −→ M sao cho gf = 1M

(v) D¢y khîp ng­n

0 −→ M −→ Nf −→ K −→ 0g

÷ñc gåi l  ch´ ra n¸u Imf (ho°cKerg) l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa N

2.1.3 M»nh ·

(i) N¸u M l  N-gi£ nëi x¤ th¼ måi ìn c§u f : M −→ N ch´ ra

(ii) Mæun M l  nëi x¤ khi v  ch¿ khi M l  N-gi£ nëi x¤ vîi måi mæun

(vi) Gi£ sû A v  B l  hai mæun gi£ nëi x¤ l¨n nhau N¸u E(A) ∼= E(B)th¼ méi ¯ng c§u tø E(A) −→ E(B) trð th nh mët ¯ng c§u tø A −→ B,trong tr÷íng hñp A ∼= B Do â, A v  B l  hai mæun gi£ nëi x¤

Chùng minh

(i) Gi£ sû f : M −→ N l  mët ìn c§u v  f−1 : f (M ) −→ M l  nghàch

£o cõa f Khi M l  N-gi£ nëi x¤, câ mët çng c§u f0

: N −→ M l  mðrëng cõa f−1 °t u = f0

· f Vªy f(M) ch´ ra trong N

(ii) Tø (i), n¸u M l  mæun N-gi£ nëi x¤, ∀N, khi â méi ìn c§u

M −→ N l  ch´ ra Do â, M l  nëi x¤ Do â, M l  mæun nëi x¤ khi v ch¿ khi M l  N-nëi x¤, ∀N, khi v  ch¿ khi M l  N-gi£ nëi x¤, ∀N

(iii) Gi£ sû X l  mët mæun con cõa A v  f : X −→ M l  mët ìn c§u.Khi â, X công l  mët mæun con cõa N v  N-gi£ nëi x¤ cõa M, v  f mðrëng ÷ñc th nh çng c§u f∗ : N −→ M Thu hµp f∗|A cõa f∗ vîi A l mët çng c§u A −→ M công l  mët mð rëng cõa f

Do â, M l  mæun A-gi£ nëi x¤.

(iv) Gi£ sû M l  mæun N-gi£ nëi x¤, v  A l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa M,tùc l  M = A ⊕ B vîi B ≤ M Ta chùng minh A l  mæun gi£ nëi x¤.L§y X ≤ A v  f : X −→ A l  mët ìn c§u Khi â iAf : X −→ Mcông l  mët ìn c§u, trong â iA : A −→ M l  ph²p nhóng Do M l  gi£nëi x¤ n¶n iAf mð rëng ÷ñc th nh çng c§u ϕ : M −→ M °t φ = ϕ|A

v  π : M = A ⊕ B −→ A l  ph²p chi¸u L§y g = πφ : A −→ A, ta câ

giX = πφiX = πiAf = f,trong â, iX : X −→ A l  ph²p nhóng Vªy g l  mð rëng cõa f c¦n t¼mhay A l  mæun gi£ nëi x¤

(v) Gi£ sû M l  mæun N-gi£ nëi x¤, v  α : E(N) −→ E(M) l  mët

ìn c§u Ta ành ngh¾a

X = {n ∈ N |α(n) ∈ M }V¼ M l  mæun N -gi£ nëi x¤ n¶n α|X câ thº mð rëng rëng ÷ñc th nh

Hìn núa, vîi A l  B-gi£ nëi x¤ v  B ∼= A, ta câ A l  A gi£ nëi x¤ Tø âsuy ra A l  mæun gi£ nëi x¤.

2.2 Mët sè t½nh ch§t cõa mæun gi£ nëi x¤

2.2.1 ành lþ N¸u M1 ⊕ M2 l  mæun gi£ nëi x¤ th¼ M1 v  M2 nëix¤ l¨n nhau

Chùng minh Gi£ sû M1 ⊕ M2 l  mæun gi£ nëi x¤, ta chùng minh M1

l  M2-nëi x¤ v  M2 l  M1-nëi x¤

Thªt v¥y, gi£ sû A ⊆ M2 v  f : A −→ M1 l  mët çng c§u Ta ànhngh¾a g : A −→ M1 ⊕ M2 vîi g(a) = (f(a), a), vîi måi a ∈ A Khi â g l mët ìn c§u

Tø M»nh · 2.1.3 th¼ ta câ M1 ⊕ M2 l  M2-gi£ nëi x¤ Do â, g mð rëng

÷ñc th nh çng c§u g∗ : M2 −→ M1 ⊕ M2 Gåi π1 : M1 ⊕ M2 −→ M1

l  ph²p chi¸u tü nhi¶n cõa M1 ⊕ M2 v o M1 th¼ π1g : M2 −→ M1 l  mët

çng c§u mð rëng cõa f Do â, M1 l  M2-nëi x¤

Chùng minh t÷ìng tü ta công câ ÷ñc M2 l  M1-nëi x¤

N¸u Mn l  mæun gi£ nëi x¤ th¼ theo H» qu£ 2.2.2 M l  M-nëi x¤ v 

do â M l  mæun tüa nëi x¤

Ng÷ñc l¤i, n¸u M l  mæun tüa nëi x¤ th¼ Mn l  mæun tüa nëi x¤, v trong tr÷íng hñp °c bi»t Mn l  mæun gi£ nëi x¤

Trong tr÷íng hñp °c bi»t, chån MR = RR, th¼ H» qu£ 2.2.3 nâi r¬ng,måi sè tü nhi¶n n ≥ 2, mæun Rn

R l  gi£ nëi x¤ khi v  ch¿ khi R l  tüa nëix¤ hay R công l  tü nëi x¤

V¼ Mk(R)R ∼= Rk 2

R n¶n vîi méi sè nguy¶n k ≥ 2 th¼ mæun Mk(R)R ∼= Rk 2

R

l  gi£ nëi x¤ khi v  ch¿ khi R l  tüa nëi x¤

2.2.4 Nhªn x²t H» qu£ 2.2.3 chùng tä r¬ng (Pandeya v  Loirala, 2001,H» qu£ 2.10) l  khæng óng Pandeya v  Koirala (2001, H» qu£ 2.10) nâir¬ng: "N¸u M l  mæun gi£ nëi x¤ th¼ måi h¤ng tû trüc ti¸p húu h¤n cõa

M l  gi£ nëi x¤' Tuy nhi¶n, n¸u Mn l  mæun gi£ nëi x¤ vîi måi n ≥ 2,th¼ H» qu£ 2.2.3 ÷ñc ng¦m hiºu l  mæun M l  tüa nëi x¤ v  câ nhi·umæun gi£ nëi x¤ khæng l  mæun tüa nëi x¤

2.2.5 ành lþ Måi mæun gi£ nëi x¤ ·u thäa m¢n t½nh ch§t (C2).Chùng minh Gi£ sû M l  mæun gi£ nëi x¤ v  B l  mæun con cõa M

¯ng c§u vîi h¤ng tû trüc ti¸p A cõa M Ta ph£i chùng minh B l  h¤ng

tû trüc ti¸p cõa M

Thªt vªy, l§y f : A −→ B l  ¯ng c§u Khi â, f công l  mët ìn c§u

tø A −→ M V¼ M l  M-gi£ nëi x¤ n¶n theo m»nh · 2.1.3(iv) ta suy ra

A l  M-gi£ nëi x¤

Theo M»nh · 2.1.3(i) th¼ ìn c§u f ch´ ra Vªy B l  h¤ng tû trüc ti¸p

2.2.6 Nhªn x²t Mët mæun gi£ nëi x¤ khæng c¦n l  CS: Gi£ sû M l mët mæun m  d n cõa c¡c mæun con nh÷ sau

Ta câ, N1 6∼= N2 v  v nh tü çng c§u cõa Ni l  mët ¯ng c§u tø Z/(2) Sütçn t¤i c¡c mæun ÷ñc biºu thà b¬ng c¡c v½ dö cõa Hallett v  Teply, ÷ñctr¼nh b y trong Jain v  Singh (1975, p 364) Theo Jain v  Singh (1975, Bê