Về các mô đun nội xa suy rộng

chơng I các kiến thức cơ sởTrong chơng này chúng tôi đa ra một số định nghĩa, kí hiệu, ví dụ và tính chất cơ sở của khái niệm môđun trên một vành R cho trớc.. Tơng tự ta có khái niệm môđ

trờng đại học vinh

Cán bộ hớng dẫn khoá luận: ts chu trọng thanh

Sinh viên thực hiện: Hoàng Thị Thu Hiền

Vinh 2003

-  * 

-mục lục

5 ch¬ng 2: m« ®un néi x¹ vµ c¸c m« ®un néi x¹ suy réng 10

10 tµi liÖu tham kh¶o 29

Lời nói đầu

Trong chơng trình đào tạo cử nhân khoa học ngành toán, Lí thuyết Môđun đợc giới thiệu một cách ngắn gọn trong một học phần Trong nghiên cứu Toán, đặc biệt là trong việc nghiên cứu đặc trng các lớp vành, kiến thức về môđun có một vị trí hết sức quan trọng

Khái niệm môđun nội xạ và môđun xạ ảnh đã đợc nghiên cứu nhiều trong các công trình của Vamos và Sharpe, Frobenius, Faith, Kash, Nhiều kết quả đã đợc sử dụng vào mô tả các đặc trng cho các vành nửa

đơn, vành nơte, vành artin Trong những năm gần đây có nhiều công trình nghiên cứu về các khái niệm đợc khái quát từ khái niệm môđun nội xạ Trong những môđun này có môđun tựa nội xạ, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun CS

Với mong muốn đợc mở mang kiến thức, thời gian qua chúng tôi đã tìm đọc một số tài liệu về các môđun đợc xây dựng từ khái niệm môđun nội xạ Các môđun này đợc gọi chung là môđun nội xạ suy rộng theo nh cách gọi của [ 4] Các mệnh đề, các định lí trình bày trong khoá luận này đợc tổng hợp từ các tài liệu mà chúng tôi đã tìm đọc và nghiên cứu Danh mục các tài liệu đó đợc liệt kê ở phần tài liệu tham khảo cuối khoá luận.

Lí thuyết môđun là một lĩnh vực còn quá mới mẻ đối với tác giả do đó trong quá trình tìm hiểu đề tài này tác giả đã gặp không ít khó khăn Những điều trình bày trong khoá luận này chỉ là những kiến thức mà tác giả bớc đầu tìm hiểu qua sách báo nhằm

bổ sung hiểu biết của bản thân trên con đờng học tập và tập sự làm công tác nghiên cứu toán

Tác giả xin cảm ơn sự dạy dỗ, dìu dắt của các thầy, cô giáo đã dành cho tác giả trong suốt thời gian học tập từ thuở còn thơ ấu đến những ngày tháng học tập trên giảng đờng

đại học

Vinh, 5 tháng 5 năm 2003

Tác giả

chơng I các kiến thức cơ sở

Trong chơng này chúng tôi đa ra một số định nghĩa, kí hiệu, ví dụ và tính chất cơ

sở của khái niệm môđun trên một vành R cho trớc Trong khóa luận này tất cả các vành

đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị nếu không nói gì thêm Nhiều định lí dẫn ra trong chơng này không trình baỳ chứng minh vì là các kiến thức cơ sở Một số định lí

mà chung tôi nhận thấy chứng minh có kỉ thuật và là kiến thức tơng đối sâu sắc sẽ có trình bày chứng minh kèm theo

1.1 môđun và môđun con

1.1.1 Môđun

Giả sử R là một vành Một nhóm aben M kí hiệu theo lối cộng cùng với ánh xạ:

một R- Môđun trái) nếu các điều kiện sau đây đợc thoả mãn:

(i) r’(rm) = (r’r)m

(ii) r(m+m’) = rm + rm’

(iii) (r+r’)m = rm + r’m

(iv) 1.m = m

Ta sẽ gọi vành R trong định nghĩa trên là vành cơ sở còn các phần tử của R đợc gọi là

phép nhân các phần tử của M với các vô hớng

Trong định nghĩa trên điều kiện (iv) đợc gọi là điều kiện đơn nguyên (unita)

Tơng tự ta có khái niệm môđun phải M trên vành R trong đó các nhân tử vô ớng(phần tử của vành R) đợc viết bên phải các tích và các điều kiện (i) đến (iv) nêu trên đợc sửa đổi chút ít cho thích hợp

h-Ký hiệu môđun phải M trên vành R là MR

Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các môđun trái trên vành R cho trớc nếu không nói gì thêm

Ví dụ: a) Giả sử R = Z là vành các số nguyên mỗi nhóm aben A có cấu trúc Z -

n.a = a + a + + a , (n lần), nếu n là số nguyên dơng;

= 0, nếu n = 0;

= -a - a - - a, (-n lần), nếu n là số nguyên âmb) Giả sử R = K là một trờng, mỗi không gian véc tơ trên K là một K- Môđun) (c) Mỗi vành R luôn luôn đợc xét nh môđun trái (và môđun phải) trên chính vành

đó với phép nhân với các vô hớng chính là phép nhân của R

1.1.2 Môđun con

Định nghĩa: Giả sử M là một R- môđun trái Tập con A của M đợc gọi là môđun

con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân với vô hớng của M hạn chế trên A

Định lí (dấu hiệu nhận biết): Giả sử M là một R- môđun trái, nếu A là tập con

khác rỗng của M thì các điều kiện sau là tơng đơng:

A

Ví dụ: a) - Tập các số nguyên chẵn với phép cộng các số và nhân các số trên vành

1.1.3 Tổng các môđun con

Định nghĩa: Cho M là một R-môđun, A và B là các môđun con của M

Khi đó tập hợp các phần tử của M có dạng a + b, trong đó a thuộc A, b thuộc B làm

thành một môđun con của M và ta gọi nó là tổng của các môđun con A và B, kí hiệu la

A + B

Định nghĩa này có thể mở rộng cho một họ tuỳ ý các môđun con của M nh sau :

Một trờng hợp quan trọng của tổng các môđun con của M là tổng trực tiếp trong của một họ môđun con

Định nghĩa : Cho M là một R-môđun và {A i, i∈ I} là một họ môđun con của M Tổng của họ môđun con đã cho đợc gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con { AiiεΙ } nếu Aj∩Σj ≠ i ∈ I A i = 0, ∀j ε Ι

Môđun con A của môđun M đợc gọi là một hạng tử trực tiếp cua M nếu tồn tại môđun

Định nghĩa: Cho một họ những R-môđun {Aii ∈ I} khi đó tích đề các:

hớng theo thành phần

(ai + bi) = (ai + bi)(ai) r = (ai r)

∏i ∈ IAi là AIphép chiếu pj: ∏i ∈ I Ai→ Aj là một R- đồng cấu với mọi j ∈ I

Định nghĩa: (Tổng trực tiếp ngoài)

Cho họ (Ai i ∈ I) là một họ những R- mô đun Mô đun con của ∏i ∈ I Ai

trực tiếp ngoài của họ (Ai i ∈ I) và ký hiệu ⊕ i ∈ I Ai

Mối liên hệ giữa tổng trực tiếp trong tổng trực tiếp ngoài

Định lý: Cho {Mi}i ∈ I là họ R-mô đun bất kỳ và A = ⊕ i ∈ I Ai là tổng

trực tiếp ngoài của họ môđun đó Khi đó

(ii) Tồn tại tổng trực tiếp trong ⊕ i ∈ I M’i và A = ⊕ i ∈ I M’i

1.1.4 Môđun sinh bởi một tập.

Định lý Giao của một họ khác rổng bất kỳ những môđun con của R- môđun M là một

môđun con của M

Định nghĩa: Giả sử X là một tập con của R - môđun M Môđun con bé nhất A của M

chứa X đợc gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A Trong trờng hợp A = M ta nói X là một hệ sinh của M và M là một hệ sinh bởi X Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R- môđun hữu hạn sinh

Từ định lí về giao của một họ khác rổng tuỳ ý các môđun con của môđun M ta thấy ngay rằng môđun con của M sinh bởi tập hợp X cua M chính là giao của họ tất cả các môđun con của M chứa X (Họ này khác rổng vì bản thân M là một phần tử của họ

đó)

Định nghĩa: Giả sử X là một tập con của R- môđun M Nếu X ={x} thì môđun sinh bởi {x} đợc gọi là môđun xyclic sinh bởi phần tẻ x và kí hiệu là <x> Nếu trong môđun M, tồn tại phần tử x mà <x> = M thì ta nói M là môđun xyclic sinh bởi x

1.1.5 Môđun thơng.

Định nghĩa: Cho A là môđun con của R- môđun M Khi đó A là nhóm con chuẩn tắc

của nhóm cộng giao hoán M Do đó ta có nhóm thơng M/A cũng là nhóm cộng giao hoán Ta xét phép nhân với các vô hớng cho bởi:

Nếu N = M thì f đợc gọi là một tự đồng cấu của M

Nếu đồng cấu f là đơn ánh thì f đợc gọi là đơn cấu

Nếu đồng cấu f là toàn ánh thì f đợc gọi là toàn cấu

Nếu đồng cấu f là song ánh thì f đợc gọi là đẳng cấu

Đối với một R-môđun M cùng với môđun con A cho trớc các ánh xạ sau đây là đồng cấu :

Trong các đồng cấu trên, ε là tự đẳng cấu, i là đơn cấu (và đợc gọi là đơn cấu chính tắc hoặc phép nhúng tự nhiên A vào M) còn p là một toàn cấu (và ta goị p là toàn cấu chính tắc hoặc phép chiếu tự nhiên M lên môđun thơng M/A).

Đối với một đồng cấu môđun f: M → N, ta gọi f(M) là ảnh của f kí hiệu là Imf và tạo ảnh toàn phần của phần tử 0 của N là hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf Chúng

ta nhắc lại một số định lí về đồng cấu môđun

1.2.2 Các định lí.

Định lí 1: Cho Đồng cấu Môđun f : M →N, U, V tơng ứng Môđun con của M và N khi

đó

(1) f(U) là Môđun con của N

Định lý 2: Nếu đồng cấu R- Môđun ϕ: A → B thì ta có sự phân tích:

f

p f’

là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu

Định lý 3 (định lí đồng cấu cảm sinh):

ánh xạ f cho bởi f(x) = a Khi đó f là đồng cấu

Ta có: f (x 1 + x 2 ) = f ((a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 )) = f ((a 1 +a 2 ) + (b 1 +b 2 )) = a 1 + a 2 = f (x 1 ) + f (x 2 )

∀λ ∈ R ta có f ( λ x 1 ) = f ( λ (a 1 + b 1 )) = f ( λ a 1 + λ b 1 ) = λ a 1 = λ f(x 1 )

Vậy f là đồng cấu

Ta chứng minh f là toàn cấu và kerf = B

phần tử (a + b) + A ∈ A + B/A đặt ứng với phần tử b + A ∩ B của B/ A ∩ B.

Khi đó f là một ánh xạ Hơn nữa f còn là một đẳng cấu môđun

Định lí trên cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí đẳng cấu thứ nhất Muốn vậy ta xét phép chiếu tự nhiên

Theo định lý đẳng cấu mô đun thứ nhất, ta có:

toàn cấu) Do đó theo định lý 1

Môđun nội xạ và các môđun nội xạ suy rộng.

2.1 Môđun con cốt yếu, Môđun con bé

2.1.1 Môđun con cốt yếu:

Định nghĩa: Cho mô đun con N của mô đun M đợc gọi là mô đun con cốt yếu trong M

i ∈ t

i ∈ F

i ∈ F

i ∈ F

tồn tại và sự biểu diễn đó là duy nhất.

Định lí 3: Nếu M là R- mô đun, K là mô đun con cốt yếu của M, với mỗi a∈ M thì tồn

Ta có r'a, ra ∈ K ⇒ ra + r'a∈ K → (r + r')a ∈ K ⇒ r + r' ∈ L.

a Nếu A là mô đun con của M thì Z(A) = A ∩ Z (M)

Chứng minh:

Hay Z(A) = A ∩ Z(M)

Định lí 5: (a) f: A → B là đồng cấu thì f(Z(A)) ⊆ Z (B)

M

Chứng minh:

Mặt khác f(xI) = f(x).I = 0 (do f đồng cấu)

Suy ra I ∩ X = 0 (1) do xI ⊆ I mà I ∑ *RR → I ∩ X ≠ 0 (2) mâu thuẫn với (1) Vậy

Định lí 6 :

Định nghĩa: Mô đun con bé A của M đợc gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với mỗi mô

Ví dụ: 1, Đối với mỗi mô đun M ta đều có 0 ∑oM

2, trong Z- mô đun tự do chỉ có mô đun tầm thờng 0 gọi là đối cốt yếu.

I

Khi đó a biểu diễn chung nhất dới dạng.

a = ei1x1 + ei2x2 + + eimxm 0 ≠ xi ∈ Z

E = ⊕ ei Z + ei1n Z

là mô đun con của đối cốt yếu của F

2.2 Mô đun suy biến

2.2.1 Môđun con suy biến

Định nghĩa: Cho M là R-mô đun Khi đó

suy biến của M

Z(M) = 0 thì M đợc gọi là mô đun không suy biến

Z(M) = M thì M đợc gọi là mô đun suy biến

không suy biến

Ví dụ 1: Z -mô đun Z là mô đun không suy biến.

Vậy chứng tỏ Z (Z) = 0 hay Z -mô đun Z là không suy biến

Ví dụ 2 : Z-mô đun Z5 là mô đun suy biến

Thật vậy trên vành Z có 5Z là Ideal cốt yếu của vành Z.

là I = { 0, 2} và J = Z4

i ≠ i1

Do đó Z ( Z4) = {x ∈ Z4{I.x = 0 hoặc J.x = 0}

{0; 2}

phải suy biến

Do n không có ớc chính phơng nên n = m t ; (m,t) = 1

t Zn = {0, t, 2t, , (m -1)t } ⇒ m Zn ∩ t Zn = 0 vì

a, Mô đun con, mô đun thơng, tổng của các mô đun suy biến là mô đun suy biến

b, Mô đun con, tích trực tiếp, mở rộng cốt yếu của mô đun không suy biến là mô

đun không suy biến,

c, Nếu B và A/B không suy biến thì A không suy biến (mở rộng của mô đun không suy biến là mô đun không suy biến)

Chứng minh:

a, Hiển nhiên mô đun con của mô đun suy biến là mô đun suy biến

- Mô đun thơng: cho mô đun M suy biến, xét mô đun thơng M/K

môđun suy biến Ta có thể xem các môđun của họ là môđun con của một môđun M nào

đó

Xét ∑ Ai (Ai ∑ M ∀i ∈ F)

Lấy phần tử bất kỳ a ∈∑ Ai thì a = a1 + a2 + + an (ai ∈ Ai, i ∈ F) Khi đó tồn

vậy

- Giao của các mô đun: Giao của các mô đun suy biến là môđun con của mỗi môđun trong giao đó, vì vậy phải là môđun suy biến

b) Hiển nhiên thấy mô đun con của mô đun không suy biến là mô đun không suy biến

Mở rộng cốt yếu của mô đun không suy biến

M của A là không suy biến

Thật vậy Z (A) = A∩ Z (M) mà Z(A) = 0 nên A ∩ Z(M) = 0 mà A cốt yếu trong

M Suy ra Z (M) = 0

c) Nếu B và B/A không suy biến ta phải chứng minh A không suy biến

nên Z(A) ⊆ B Điều này suy ra Z(A) ⊆ Z(B) Mà B không suy biến nên Z(B) = 0 Vì vậy Z (A) = 0 hay A không suy biến.

2.2.2 Mô đun suy biến bậc hai

Cho M là mô đun có mô đun con suy biến là Z(M)

con suy biến của môđun thơng M/Z(M), tức là:

đợc gọi là mô đun con suy biến cấp hai của M

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay rằng nếu M là môđun không suy biến, tức Z(M) =

suy biến cấp hai chỉ đạt đợc những tính chất khác với việc nghiên cứu môđun con suy biến cua môđun trong trờng hợp bản thân môđun đó không phải là môđun suy biến

Z2( Z6) / Z ( Z6) = Z ( Z6 / Z (Z6)) = Z (Z6 / {0}) = Z6

Định lí 3: Đối với mô đun M bất kỳ thì Z (M)∑ *Z2(M)

Chứng minh: Thật vậy, giả sử 0 ≠ m ∈ Z2(M) Khi đó trong mô đun thơng M/Z(M) ta

Do đó tồn tại Idean trái cốt yếu I của R

sao cho I (m + Z (M)) = 0 (phần tử không trong mô đun thơng M/Z (M)) Vì vậy

Định lí 4.

M

Chứng minh: Ta chứng minh Z2(M) đóng trong M

Nếu x ≠ 0 thì tồn tại một Idean trái cốt yếu I của R sao cho

2.3 Mô đun nội xạ

2.3.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa: Môđun N đợc gọi là môđun nội xạ nếu với môđun M bất kì,với mỗi mô

Ví dụ 1 : R là trờng thì các môđun trên R (tức là các R-không gian vec tơ) đều nội xạ

Chứng minh: Giả sử M-không gian véc tơ trên trờng K, A là không gian vectơ

bất kỳ trên trờng K, X là không gian con bất kỳ của A Khi đó X là hạng tử trực tiếp

f’(x) = f(a) Khi đó ta có f’ là mở rông của f thành ánh xạ tuyến tính từ A đến M Vậy

M là A-nội xạ Vì A là môđun bất kì nên ta có A nội xạ

Xét các môđun trên vành Z Ta gọi Z-môđun M là chia đợc nếu với mọi phần tử

a thuộc M, mọi số nguyên n khác 0, tồn tại phần tử x thuộc M sao cho n.x = a Rõ ràng Z-môđun Q các số hữu tỷ là chia đợc Theo [], Z- môđun M là nội xạ khi và chỉ khi nó chia đợc

Có một tiêu chuẩn nhận biết đợc phát biểu qua vành cơ sở nh sau :

R-môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu f từ I đến

2.3.2 Tính chất.

Đối với các môđun nội xạ có thể dẫn ra một số tính chất sau:

Định lí 1 : Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđun nội xạ.

Chứng minh : Giả sử A = B ⊕ C là R-môđun nội xạ và N là R-môđun bất kì Giả sử X là môđun con bất kì của N và f là một đồng cấu từ X đến B Khi đó f cũng là

đồng cấu từ X đến A Vì A môđun nội xạ nên các đồng cấu f mở rộng đợc thành đồng

từ N đến B Ta có h là một mở rộng của f thành đồng cấu từ N đến B Do đó B là môđun nội xạ

Định lí 2 : Tích trực tiếp của một họ tuỳ ý các R-môđun nội xạ cũng là một môđun nội

xạ

Chứng minh : Giả sử {Ai}i ∈ I là một họ các R-môđun nội xạ và A = Πi ∈ IAi Ta chứng minh A là môđun nội xạ Giả sử N là một môđun bất kì và X là môđun con của N và f

Điều này chứng tỏ A là môđunnội xạ

2.3.3 Hệ quả : Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các môđun nội xạ là môđun nội xạ

2.4 Mô đun CS và CS suy rộng

2.4.1 Môđun con bù , môđun con đóng.

Định nghĩa. Cho M là một R-môđun và A là một môđun con của M Khi đó trong M

gọi là môđun con bù giao của A trong M

Mệnh đề Nếu A’ là bù giao của A trong M thì A ⊕ A’ cốt yếu trong M

Chứng minh: Giả sử X là môđun con khác 0 của M Ta cần phải chứng minh (A ⊕

giả thiết A’ tối đại trong các môđun con của M có giao với A bằng rổng

Định nghĩa Môđun con của M đợc gọi là đóng nếu nó là bù giao của một môđun con

nào đó của M

Chú ý rằng mỗi môđun con A của M có thể có nhiều môđun con bù giao trong M Tất cả các môđun con bù giao của A trong M đều là môđun con đóng Khái niệm

môđun con đóng còn đợc định nghĩa (tơng đơng) bởi điều kiện: không có mở rộng cốt

yếu thực sự trng M.

2.4.2 Mô đun với điều kiện C 1 , C 2 , C 3

Cho M là R mô đun trái Ta xét các điều kiện sau:

với B Khi đó B là hạng tử trực tiếp của M

hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa Môđun M thoả mãn điều kiện (C1) đợc gọi là môđun mở rộng

Ví dụ: Z - Mô đun ZZ thoả mãn điều kiện C1 vì bất kỳ A ∑ Z thì A = mZ mà mZ ∑*

Ngời ta chứng minh đợc rằng mọi môđun nội xạ đều là môđun tựa nội xạ ; mọi môđun tựa nội xạ đều là môđun liên tục ; mọi môđun liên tục đều là môđun tựa liên tục và hiển nhiên mọi môđun tựa liên tục đều môđun CS.

Ta sẽ gọi các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS và các mở rộng khác từ môđun nội xạ là các môđun nội xạ suy rộng

Mỗi khái niệm môđunnói trên có thể đợc định nghĩa bằng những cách khác nhau Sau đây là một số định nghĩa tơng đơng của chúng

Mệnh đề 1 Các phát biểu sau đây về môđun M là tơng đơng :

(i) M là CS môđun

(ii) Mỗi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M

(iii) Mỗi môđun con A của M có tất cả các môđun con bù giao của A trong M là hạng tử trực tiếp của M