toán tử đa trị đơn điệu và điểm bất động

TOÁN TỬ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Nguyễn Hữu Khánh Khoa Khoa học TÓM TẮT Bài viết này trình bày các kết quả mới nhận được về điểm bất động cho toán tử đa trị đơn điệu và áp dụng

TOÁN TỬ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐIỂM

BẤT ĐỘNG Nguyễn Hữu Khánh

Khoa Khoa học

TÓM TẮT

Bài viết này trình bày các kết quả mới nhận được về điểm bất động cho toán tử đa trị đơn điệu và áp dụng chúng cho bao hàm thức Lx ∈ Nx Các kết quả đã được dùng để giải phương trình elliptic dạng

Lu = f(x,u,Lu)

Từ khoá: toán tử đa trị đơn điệu, điểm bất động, nón

1 PHẦN GIỚI THIỆU

Các định lý về điểm bất động cho toán tử đơn trị đơn điệu trong không gian sắp thứ tự đã được

nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng một cách có hiệu quả vào quá trình giải quyết các bài toán về phương trình vi phân Tuy nhiên nó không đủ mạnh để giải quyết một số bài toán liên quan đến

phương trình đạo hàm riêng

Toán tử đa trị đơn điệu, mở rộng của trường hợp đơn trị, đầu tiên được nghiên cứu bởi Nishnianidze Các toán tử này là đối tượng mới có thể giúp ta vượt qua được các khó khăn trên Bài viết này đóng góp thêm một số kết quả về toán tử đa trị đơn điệu thông qua việc mở rộng của các định lý về điểm bất động của toán tử đơn trị ra cho trường hợp đa trị Định lý 4 là sự mở rộng của định lý Tarskii và làm chính xác định lý của Nishnianidze Trong bài viết, các không gian được xét là các không gian Banach với quan hệ thứ tự sinh bởi nón

2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Phần này trình bày các khái niệm về các nón trong không gian Banach với quan hệ thứ tự sinh bởi chúng Trước hết ta xét một số khái niệm cơ bản

Cho X là không gian Banach và K là tập con của X Tập K được gọi là nón nếu:

i) K đóng, khác rỗng và K ≠{0}

ii) a,b ∈ R; a, b ≥ 0; x,y ∈ K ⇒ ax + by ∈ K

iii) x ∈K vaì - x ∈ K ⇒ x = 0

Ví dụ: K = {(ξ1,ξ2, , ξn): ξi∈ Rn,, ξi≥ 0, i = 1,2, ,n} là nón trong Rn

Trong không gian Banach X với nón K ta xét quan hệ ≤ như sau:

∀x,y∈X, x ≤ y ⇔ y - x ∈ K

Ta định nghĩa <x,y> = {z∈X: x ≤ z ≤ y}

Quan hệ ' ≤ ' là quan hệ sinh bởi nón K Khi đưa vào K một vài tính chất ta có các loại nón đặc biệt như nón minihedral mạnh, nón chuẩn, nón đều,

2.1 Nón Miniheral mạnh

Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón minihedral mạnh nếu mọi tập M bị chặn trong X đều tồn tại supM

2.2 Nón chuẩn

Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 sao cho ∀x, y ∈ X,

0 ≤ x ≤ y thì 7x7 ≤ N7y7

2.3 Nón đều

Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón đều (nón chính quy) nếu mọi dãy đơn điệu tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ

3 TOÁN TỬ ĐA TRỊ VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Phần này trình bày các kết quả mới về toán tử đa trị đơn điệu Qua đó cho thấy vai trò của toán tử đơn điệu, toán tử compact đơn điệu và toán tử compact đơn điệu nghiêm ngặt tới hạn trong việc hình thành điểm bất động Trong phần này có một số khái niệm mới được đưa ra: quan hệ p, quan hệ <, quan hệ <<, toán tử đơn điệu ‘<’, toán tử đơn điệu nghiêm ngặt Các kết quả nhận được là công cụ chủ yếu được dùng để nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng

3.1 Khái niệm về toán tử đa trị

- Toán tử A là toán tử đa trị nếu A cho ứng phần tử x∈X với một tập con duy nhất B của X Kí hiệu A: X → 2X

- x* là điểm bất động của toán tử đa trị A: X → 2X nếu x*∈ A(x*)

3.2 Toán tử đa trị tuyến tính dương

Định nghĩa 1 Cho hai không gian Banach X1, X2 với nón K1, K2 và toán tử đa trị A: X1→ i) A gọi là toán tử tuyến tính nếu

αA(x) + βA(y) ⊂ A(αx + βy); ∀α,β∈R , ∀x, y∈ X1

ii) A gọi là toán tử dương nếu ∀x∈K1 thì A(x) ⊂ K2

Định lý sau đây nói về tính liên tục của toán tử đa trị:

Định lý 1 Cho hai không gian Banach X 1 , X 2 với nón K 1 , K 2 Giả sử

i) A: X 1 → là toán tử tuyến tính dương

ii) K 1 là nón tách, K 2 là nón chuẩn

Khi đó A thỏa điều kiện ∃ k > 0 sao cho

A(x) ⊂ B(A(0), k7x7), ∀x ∈ X 1 (với B(Ω, r) = { x ∈ X 2 : d(x, Ω) ≤ r } , Ω ⊂ X 2 )

3.3 Toán tử đa trị đơn điệu

Định nghĩa 2 Cho không gian Banach được sắp bởi nón K

i) Với B, C ∈ 2X, ta định nghĩa B p C nếu

ii) Toán tử A: M ⊂ X → 2X được gọi là đơn điệu nếu

∀x, y ∈ M, x ≤ y ⇒ A(x) p A(y)

Định lý 2 Cho hai không gian Banach X 1 , X 2 với các nón K 1 , K 2 và A: X 1 → là toán tử đa trị tuyến tính

i) Nếu A là toán tử chặt, dương thì A là toán tử đơn điệu

ii) Nếu A là toán tử đơn điệu và A(0) = { } thì A là toán tử dương

Định lý 3 Cho hai không gian Banach X 1 , X 2 với các nón K 1 , K 2 Giả sử:

i) A: X 1 → là toán tử đa trị tuyến tính đơn điệu

ii) A(0) = { }

iii) K 1 là nón tách K 2 là nón chuẩn

Khi đó A thoả điều kiện ∃ k > 0 sao cho A(x) ⊂ B( ,k7x7), ∀x ∈ X 1

Từ định lý 3, mở rộng ra ta nhận được các định lý sau:

Định lý 3a Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K, M ⊂ X và A: M→2 M là toán tử đa trị đơn điệu tăng sao cho:

i) A(x) đóng ∀x∈M,

ii) {x 0 } < A(x 0 ) với một vài x 0 ∈M,

iii) ∃ k ∈ [ 0,1) ∀x,y ∈M , x ≤ y thoả mãn

A(x) ⊂ A(y) - K∩ (θ, k7y - x7), trong đó (θ,r) = { x : 7x7 ≤ r }

Khi đó A có điểm bất động trong M

Định lý 3b Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K, M ⊂ X là một tập con đóng và A:

M→2 M là toán tử đa trị đơn điệu tăng thỏa mãn giả thiết i), ii) của định lý 3a Giả sử giả thiết sau được thêm vào:

iii) Tồn tại toán tử tuyến tính L: X →X với bán kính phổ r(L) < 1, L(K) ⊂ K và thỏa mãn x ≤ y thì

∀u∈ A(x), ∃v ∈ A(y): 0 ≤ v - u ≤ L(y - x)

Khi đó A có điểm bất động trong M

Định nghĩa 3 Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K

i) Với B, C ∈ 2X, ta định nghĩa B<C nếu ∀b∈B, ∃c∈C sao cho b ≤ c

ii) Toán tử A: M ⊂ X → 2X được gọi là ‘< ’ đơn điệu nếu

∀x, y∈ M, x ≤ y ⇒ A(x) < A(y) Định lý sau đây là mở rộng của định lý Tarskii:

Định lý 4 Giả sử

i) K là nón miniheral mạnh

ii) A: M = <u,v> → 2 M là toán tử đa trị đơn điệu ‘< '

iii) sup A(x) ∈ A(x), ∀x ∈ M

Khi đó A có điểm bất động trong <u,v>

Chú ý: Nishnianidze đã mở rộng định lý của Krasnoselskii ra đốI vớI toán tử đơn điệu đa trị Phát

biểu định lý của ông giống như định lý 4 nhưng không có mệnh đề iii) Ví dụ sau cho thấy định lý của ông sẽ không đúng nếu không có mệnh đề iii)

Trong R với quan hệ thứ tự tự nhiên xác toán tử A xác định trên đoạn [0,1] như sau

Ax =

A là toán tử đơn điệu nhưng không có điểm bất động nào cả

Định lý 5 Giả sử

i) K là nón miniheral mạnh

ii) A: M = <u,v> → 2 M là toán tử đa trị đơn điệu

iii) infA(x) ∈ A(x), ∀x ∈ M

Khi đó A có điểm bất động trong <u,v>

3.4 Toán tử đa trị đơn điệu co

Định lý sau đây là dạng mở rộng của nguyên lý ánh xạ co:

Định lý 6 Giả sử X là không gian Banach và A: X → 2 X là toán tử đa trị thỏa

i) A(x) đóng ∀x ∈ X

ii) A đơn điệu và ∃x 0 ∈k sao cho x 0 p A(x 0 )

iii) A co theo nghĩa ∃q∈(0,1) sao cho nếu x ≤ y thì

A(y) - A(x) ⊂ B({0}, q7y - x7) Khi đó A có điểm bất động x * với x * ≥ x 0

3.5 Toán tử đa trị compact đơn điệu

Định nghĩa 4 Cho không gian Banach được sắp bởi nón K

i) Với B, C ∈ 2X ta định nghĩa quan hệ sau:

B << C ⇔ ii) Toán tử đa trị A: X → 2X được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu

∀B, C ∈ 2x, B << C thì A(B) << A(C)

Định nghĩa 5 Toán tử A: M ⊂ X → 2X được gọi là compact đơn điệu (nghiêm ngặt) nếu

i) A đơn điệu (nghiêm ngặt)

ii) Nếu (xn) n là dãy đơn điệu thì từ dãy (Axn)n có thể lấy dãy hội tụ với

yn∈A(xn)

Định lý 7 Giả sử

i) K là nón chuẩn

ii) u p A(x) p v, ∀x∈<u,v>

iii) A compact đơn điệu nghiêm ngặt

Khi đó A có điểm bất động trong <u,v>

Định lý 8 Giả sử

i) K là nón đều

ii) A: M = <u,v> → 2 M là toán tử chặt, đơn điệu nghiêm ngặt

Khi đó A có điểm bất động trong <u,v>

Định lý 9 Giả sử

i) K là nón chuẩn

ii) A: M = <u,v> → 2 M

là toán tử chặt, đơn điệu nghiêm ngặt và là toán tử compact

Khi đó A có điểm bất động trong <u,v>

3.6 Toán tử đa trị compact đơn điệu nghiêm ngặt tới hạn

Định nghĩa 6 Toán tử đa trị A: M →2M được gọi là compact đơn điệu nghiêm ngặt tới hạn nếu: i) A đơn điệu nghiêm ngặt

ii) Từ mỗi dãy dạng x p A(x1) p A2(x2) p p An(xn) p có thể lấy dãy hội tụ (yn) n sao cho yn∈ A (xn)

Định lý 10 Giả sử

i) K là nón chuẩn

ii) A: M=<u 0 ,v 0 > → 2M là toán tử compact đơn điệu nghiêm ngặt tới hạn

iii) A n (x) compact, ∀x∈M, ∀n

Khi đó A có điểm bất động trong <u 0 , v 0 >

4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BAO HÀM THỨC

Phần này giới thiệu các định lý về điểm bất dộng của toán tử đa trị đơn điệu tăng đối với bao hàm thức Lx ∈ Nx

Cho W là tập khác rỗng và X là không gian metric sắp thứ tự

Giả sử L: W → X là toán tử đơn trị và N: W → 2X/{φ} Ta sẽ thiết lập các kết quả cho sự tồn tại bao hàm thức Lu ∈ Nu

Định lý 11 Giả sử

N1) L là toàn ánh thoả Lu ≤ Lv thì Mu < Nv

N2) Với mỗi u∈W thì tập Nu định hướng trên theo nghĩa sau:

∀y 1 , y 2 ∈ Nu ∃ y∈ Nu sao cho y 1 ≤ y, y 2 ≤ y N3) Tập W 0: = {u∈W: Lu < Nu} khác rỗng

N4) Nếu dãy {u n }⊂ W 0 , y n ∈Nu n thỏa mãn nếu {Lu n } vaì {y n } tăng thì {y n } häüi tuû

N5) MỗI dãy tăng trong L(W 0 ) có một chặn trên trong L(W 0 )

Khi đó bao hàm thức Lu∈Nu có nghiệm

Định lý 12 Kết quả của định lý trên vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện N5 bởi điều kiện sau

đây:

N6) Tập Nu đóng với mỗi u∈W

5 KẾT LUẬN

Phần lớn các định lý trên được chứng minh bằng bổ đề Zorn Các kết quả nhận được là công cụ lý thuyết để giải quyết các bài toán về phương trình đạo hàm riêng Các kết quả trên đã được áp dụng

để giải bài toán giá trị biên eliptic dạng

Lu = f(x,u,Lu) trong Ω

u = 0 trên Ω

trong đó Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 3) và L là toán tử elliptic Bằng cách chỉ ra tập Nu, bài

toán được qui về việc tìm nghiệm của bao hàm thức Lu ∈ Nu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

l Heikkila S and Lakshmikantham V., 1994 Monotone Interative Techniques for Discontinuous Nonlinear Differential Equations, Dekker, NewYork

l N B Huy, N H Khanh, 2000 Fixed point for multivalued increasing perators, J math.Anal

Appl 250, 368-371

l N B Huy, N H Khanh, Đ B Dung, 2001 On a class of inclusions in ordered spaces, J math Anal Appl JMAA 2001-0564 (preprint)

l Nishnianidze Z G., 1984 Fixed points of monotonic multiple-valued operators, Bull Acad

Sci Georgian SSR 114, 489-491 [In Rusian].