Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HỒNG NHUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN

TỬ h - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

THỰC VỚI HAI NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2014

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớithầy hướng dẫn PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trựctiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện

đề tài nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy chuyên ngành toán giảitích đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luậnvăn tốt nghiệp

Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và người thân vì đãluôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho em học tập, nghiên cứu,hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội,tháng 8 - 2014Học viên

Vũ Thị Hồng Nhung

Lời cam đoan

Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động của toán tử h - cực trịtác dụng trong không gian Banach thực với hai nón” được hoànthành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS,GVCC Nguyễn Phụ Hy

Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và khôngtrùng với bất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác

Hà Nội,tháng 8 - 2014Học viên

Vũ Thị Hồng Nhung

Mục lục

1.1 Không gian Banach thực 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 12

1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất 12

1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực 18 1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 19

1.2.4 Phần tử thông ước và tập Ku0 26

1.3 Không gian Lp(p > 1) nửa sắp thứ tự 28

1.3.1 Không gian tuyến tính thực Lp 28

1.3.2 Không gian Banach Lp 31

1.3.3 Quan hệ thứ tự trong không gian Lp 34

1.3.4 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 trong không gian Lp 36

1.3.5 Phần tử thông ước và tập K(u0) trong không gian Lp 37

2 Toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực nửa

sắp thứ tự với hai nón 382.1 Toán tử (K, u0) - Lõm chính qui 382.1.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 382.1.2 Toán tử (K, u0) - Lõm chính qui trong không gian

Lp với hai nón 422.2 Toán tử h - cực trị 462.2.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản 462.2.2 Toán tử h cực trị trong không gian Lp (p > 1) với

hai nón 50

3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử h cực trị trong

3.1 Định lý 523.2 Ví dụ áp dụng 57

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giảitích hàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 20 các nhà toánhọc trên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng vàtrở thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra

Năm 1956 nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiêncứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gianBanach thực với một nón cố định Năm 1962 ông mở rộng cho toán tửlõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong

đó một nón là tập con của nón kia [9]

Sau đó GS-TSKH I.A.Bkhatin đã mở rộng các kết quả trong côngtrình [9] cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0) - lõm lần lượt tác dụng trongkhông gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banachthực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng [10]

Các lớp toán tử được các nhà bác học Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiêncứu đều có tính chất u0 - đo được

Năm 1987 và những năm tiếp theo 2012, 2013 PSG-TS Nguyễn Phụ

Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phituyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có

tính chất u0 - đo được và toán tử tác dụng trong không gian Banachthực nửa sắp thứ tự với một nón cố định [1,2,5,6].

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ

sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC NguyễnPhụ Hy, tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Điểm bất độngcủa toán tử h - cực trị tác dụng trong không gian Banach thựcvới hai nón", trong đó toán tử được xét vừa có tính chất (K, u0) - lõmchính qui vừa có tính chất h - cực trị, còn trong [7] toán tử được xét cótính chất lõm chính qui và h - cực trị tác dụng trong không gian với mộtnón cố định

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử

h - cực trị tác dụng trong không gian Banach với hai nón cố định, trong

đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về toán tử h - cực trị trong không gian Banach nửa sắpthứ tự với hai nón

- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử h - cực trị trongkhông gian Banach nửa sắp thứ tự với hai nón

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả vềtoán tử h - cực trị, điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không

gian Banach với hai nón.

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nướcngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử h - cực trị trong khônggian Banach thực với hai nón

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động củatoán tử h - cực trị trong không gian Banach thực với hai nón

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày một hệ thống những kiến thức về không gian Banach nửasắp thứ tự, một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bấtđộng của toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ

tự với hai nón, các kết quả thu được có thể mở rộng một số lớp toán tửkhác Áp dụng các kết quả đạt được trong không gian Banach thực tổngquát vào không gian Banach thực Lp (p > 1) Luận văn có thể sử dụnglàm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác

Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn trên E là một ánh xạ

từ E vào tập hợp số thực R, kí hiệu là k k (đọc là chuẩn), thỏa mãncác tiên đề sau:

Ví dụ 1.1.1

Xét không gian tuyến tính thực

Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R, i = 1, , n}, n ∈ N∗

Với bất kỳ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn ta đặt

k x k=

vuut

Vậy, công thức (1.1) là một chuẩn trên X

Chuẩn (1.1) còn được gọi là chuẩn Eukleides, nên không gian tuyến tính

thực Rn cùng với chuẩn (1.1) thường được gọi là không gian Eukleidesthực.

kí hiệu

lim

n→∞xn = xhay xn → x (n → ∞)

Định nghĩa 1.1.3

Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm {xn}∞n=1 ⊂ E gọi là dãy

cơ bản trong không gian E, nếu

lim

n,m→∞ k xn− xm k= 0hay (∀ε > 0), (∃n0 ∈ N∗) sao cho (∀n, m ≥ n0) ta có k xn− xm k< ε.Định nghĩa 1.1.4

Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy

cơ bản trong E đều hội tụ

tới điểm x = (x1, x2, , xn) trong Rn Theo định nghĩa,

∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗ : ∀m ≥ m0 sao cho

k x(m)− x k=

vuut

Chứng tỏ rằng với mỗi i = 1, , n dãy số thực cơ bản (x(m)i ) hội tụ tới

xi khi m → ∞ Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(m) = (x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n ), m = 1, 2, hội

tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2, , xn) trong Rn Theo định nghĩa,

∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃mi, ∀m ≥ mi, |x(m)i − xi| ≤ √ε

n.Đặt m0 = max{m1, m2, , mn} thì

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian Rn

Bây giờ ta sẽ chứng minh không gian Rn là không gian Banach.Thật vậy, giả sử x(m) = (x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n ), m = 1, 2, , là dãy cơ bảntùy ý trong không gian Rn Theo định nghĩa dãy cơ bản

∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗ : ∀m, p ≥ m0, k x(m) − x(p) k< ε

Các bất đẳng thức này chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy (x(m)i ) là dãy

số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn

lim

m→∞x(m)i = xi (i = 1, , n)

Đặt x = (x1, , xn) thì dãy (x(m)) ⊂ Rn đã hội tụ theo tọa độ tới x,nghĩa là dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn

Vậy không gian Rn là không gian Banach

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất

Định nghĩa 1.2.1

Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con khác rỗng củakhông gian E Tập con K được gọi là nón, nếu tập K thỏa mãn các điệukiện sau

N1: K là tập đóng trong không gian E;

N2: Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;

N3: Với x ∈ K, α ∈ R+ ta có αx ∈ K;

N4: Với x ∈ K, và x 6= θ ta có −x /∈ K, (θ là kí hiệu phần tửkhông của không gian E)

Do đó tx + (1 − t)y ∈ K 

Định lý 1.2.2

Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E Nếu F

có các tính chất bị chặn, đóng, lồi và không chứa phần tử θ thì tậpK(F ) = {x ∈ E, x = tz, t ∈ R+, z ∈ F } là một nón

Bất đẳng thức thứ nhất sẽ chứng minh như sau

Nếu

inf

z∈F k z k= 0,thì tồn tại một dãy

{zn}∞n=1 ⊂ F, lim

n→∞ k zn k= 0hay

Hiển nhiên, nếu u = θ thì u = 0, z ∈ F , nên u ∈ K(F ) Giả sử u 6= θ.Theo định nghĩa giới hạn, với

(ε = 1

2 k u k> 0), (∃n0 ∈ N∗) sao cho ∀n ≥ n0,

k un − u k< 1

2 k u k Khi đó

| k un k − k u k | ≤k un − u k< 1

2 k u k,nên

1

2 k u k≤k un k< 3

2 k u k, ∀n ≥ n0 (1.3)Mặt khác, do un ∈ K(F ), nên un = tnzn, tn ≥ 0, zn ∈ F (n = 1, 2, ).Theo (1.3)

1

2 k u k<k tnzn k= tn k zn k< 3

2 k u k,nên từ (1.2) ta nhận được

12M k u k< tn < 3

2m k u k, tức là t0 > 0Xét dãy con (zni)∞i=1 ta có

t0 zni − 1

t0u

k

Giả sử tồn tại u0 ∈ K(F ) sao cho u0 6= θ và −u0 ∈ K(F ).

Khi đó u0 = t,1z1,, trong đó t,1 > 0, z1, ∈ F và −u0 = t,2z2,,

với t,2 > 0, z2, ∈ F Do

θ = u0 + (−u0) = t,1z1, + t,2z2, = ( t

, 1

t,1 + t,2z

,

1 + t

, 2

t,1 + t,2z

,

2)(t,1 + t,2) ∈ K(F )

θ = t1

t1 + t2z1 +

t2

t1 + t2z2 ∈ F (do t1 + t2 > 0),trái với giả thiết F không chứa phần tử không

Vậy K(F ) thỏa mãn điều kiện 4) về nón và ta có K(F ) là một nón trong

Trong K lấy tùy ý dãy x(m) tùy ý, x(m) = (x(m)i ) m = 1, 2, 3, , trong

đó x(m)i ∈ R+, ∀i = 1, 2, , n, ∀m và x(m) → x khi m → ∞, x = (xi)ni=1

Ta sẽ chứng tỏ x ∈ K Vì sự hội tụ trong không gian Rn tươngdương với sự hội tụ theo tọa độ, nên từ x(m) → x khi m → ∞ ta có

x(m)i → xi khi m → ∞ và ∀i = 1, 2, , n Nhưng vì mỗi i = 1, 2, , n ta

txi ≥ 0 ∀i = 1, 2, , n mà (txi)ni=1 nên tx ∈ K.

+) ∀x ∈ K, xk 6= 0 ⇒ ∃xk 6= 0, k = {1, 2, , n} hay xk > 0

Mặt khác −x = (−xi)ni=1, trong đó −xk < 0, nên −x /∈ K

Vậy từ các điều kiện đã chỉ ra ở trên ta kết luận K là một nón.

2} Ta có:

Với phần tử bất kỳ y = (yi)ni=1 ∈ S

d(y, y(0)) =

vuut

Tiếp theo ta chứng minh K là nón chuẩn tắc

∀e1, e2 ∈ K, e1 = (xi)ni=1, e2 = (yi)ni=1 :k e1 k=k e2 k= 1

Khi đó

vuut

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,

u0 là phần tử khác không cố định thuộc nón K Phần tử x ∈ E gọi là u0

-đo được, nếu tồn tại hai số thực không âm t1, t2 sao cho −t1u0 ≤ x ≤ t2u0.Định lý 1.2.5

Tồn tại các số

α = α(x) = inf{t1 ≥ 0 : −t1u0 ≤ x},

β = β(x) = inf{t2 ≥ 0 : x ≤ t2u0}sao cho −αu0 ≤ x ≤ βu0

Do K là tập đóng trong không gian E nên f−1(K) là tập đóng trongkhông gian R Vì ta chỉ xét t ≥ 0 nên ∃ inf f−1(K) = α và f−1(K) đóng

Chứng minh

+) Với mọi x, y ∈ Eu0 ta chứng minh x + y ∈ Eu0

Do x, y ∈ Eu0 nên tồn tại các số thực t!, t2, t3, t4 ∈ R+ sao cho

Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và

−(−λ)t1u0 ≥ (−λ)x ≥ (−λ)t2u0 ⇔ −(−λ)t2u0 ≤ λx ≤ (−λ)t1u0

−(−λ)t1u0 ≤ (−λ)x ≤ (−λ)t2u0 ⇔ −(−λ)t2u0 ≤ λx ≤ (−λ)t1u0

Ta có:

inf(−λt2) = −λinft2 = −λβ(x)inf(−λt1) = −λinft1 = −λα(x)nên suy ra

k λx ku0 = max{(−λ)β(x), (−λ)α(x)}

= (−λ)max{β(x), α(x)}

= (−λ) k x ku0= |λ| k x ku0 Tóm lại, ∀x ∈ Eu0, ∀λ ∈ R ta có k λx ku 0= |λ| k x ku0

+) Với ∀x, y ∈ Eu0 ta sẽ chứng minh k x + y ku0≤k x ku0 + k y ku0

Do x, y ∈ E ⇒ ∃t1, t2, t3, t4 ∈ R+ : −t1u0 ≤ x ≤ t2u0, −t3u0 ≤ y ≤ t4u0,Suy ra −(t1 + t3)u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4)u0

Từ inf(t1 + t3) ≤ t1 + t3 ⇒ inf(t1 + t3) ≤ inft1 + inft3

Tương tự ta có: inf(t2 + t4) ≤ inft2 + inft4

Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng bất đẳng thức (1.6)không xảy ra, nghĩa là (∀n ∈ N∗) (∃yn ∈ K\{θ}) (∃xn ∈ Eyn), sao cho

k x kE> n k xn kynk yn kE⇒ xn 6= θ và k xn kyn< k xn kE

n k yn kE (1.7)Theo định nghĩa chuẩn trên không gian Eyn

xn

k xn kE

yn

n k yn kE

và