Không gian metric nón lồi và điểm bất động

Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động Không gian metric nón lồi và điểm bất động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Đức Vượng

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Hà Đức Vượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giảhoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Quản Minh Thọ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Không gianmetric nón lồi và điểm bất động” do tôi tự làm Các kết quả và tàiliệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Quản Minh Thọ

Mở đầu 4

1.1 Không gian metric 8

1.2 Không gian metric đầy đủ 10

1.3 Không gian vectơ tôpô 15

1.4 Không gian Banach 17

1.5 Nguyên lý ánh xạ co Banach 21

2 Không gian metric nón 25 2.1 Không gian metric nón 25

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 28

2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón 34

2.4 Cấu trúc lồi trong không gian metric nón 39

2.5 Điểm bất động trong không gian metric nón lồi 40

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Ta xét ánh xạ T : M → M với M là một tập hợp tùy ý khácrỗng Nếu có x ∈ M thỏa mãn T x = x thì x được gọi là điểm bấtđộng của ánh xạ đơn trị T trên tập hợp M

Chẳng hạn như T : M → M được xác định bởi T x = 3x2−x−1,khi đó x = 1 ∈ R ta có T 1 = 1 Vậy x = 1 là điểm bất động củaánh xạ T trên R

Vậy x = 0 ∈ T 0.

Do đó x = 0 là điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên X

Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thu hút sựquan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Các kết quả nghiêncứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động”(fixed point theory) gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớnnhư Banach, Brouwer, Shauder, Sadovski, Tikhonov, KyFan,

Trong đó có các kết quả kinh điển mang tính mở đường như Định

lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)

và Định lý điểm bất động Nadler (1969) mở rộng nguyên lý ánh xạ

co sang lớp ánh xạ đa trị

Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian là hai nhà toán họcngười Trung Quốc đã giới thiệu khái niệm không gian metric nónbằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric thông thườngbằng một nón định hướng trong không gian Banach thực Các tác giả

đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ của dãy, tính đầy đủ của khônggian Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất độngcho lớp ánh xạ đơn trị trong lớp không gian này

Sau đó thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và cáckết quả về điểm bất động trong không gian metric nón đã được công

bố Năm 2012, R Krishnakumar và M Madudai là hai nhà toán họcngười Ấn Độ đã nghiên cứu về cấu trúc lồi trong không gian met-ric nón và công bố kết quả về điểm bất động cho lớp không gian

này qua bài báo: “ Cone Convex Metric Spaces and Fixed

Point Theorems” trên tạp chí International Journal of

Mathemat-ics Analysis (2012)

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của một ánh

xạ đặc biệt là trên lớp không gian metric nón lồi, được sự hướng dẫn,

giúp đỡ của TS Hà Đức Vượng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:

“Không gian metric nón lồi và điểm bất động”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một số kết quả về điểm bấtđộng trong không gian metric nón lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric nón lồi và điểm bất động trênlớp không gian này

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

Chương 2 chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, metric nón,không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón.Đồng thời trình bày chi tiết các kết quả về điểm bất động của ánh

xạ co trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày

về cấu trúc lồi, không gian metric nón lồi và một số kết quả về điểmbất động trong không gian metric nón lồi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian vectơ tôpô,không gian Banach và nguyên lý ánh xạ co Banach

Khi đó, (X, d) là một không gian metric

Nhận xét 1.1.1 Cho (X, d) là một không gian metric Khi đó

ta có:

1. d (x1, xn) ≤ n−1∑

i=1

d (xi, xi+1) , ∀xi ∈ X, i = 1, n, n ∈ N∗ ;

Dưới đây là một vài ví dụ về không gian metric:

Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, , xk), y =

(y1, y2, , yk), thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó).

Ta đặt:

d (x, y) =

vuu

là một không gian metric.

Ví dụ 1.1.3 Cho tập hợp X ̸= ∅ Với hai phần tử bất kì x, y ∈

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂

X và điểm x0 ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới điểm x0 nếu:

lim

n →∞d (xn, x0) = 0.

Khi đó, ta viết lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞.Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn}

Định nghĩa 1.2.2. [1] Cho không gian metric(X, d) Dãy{xn} ⊂

X được gọi là dãy Cauchy, nếu:

lim

m,n →∞d (xm, xn) = 0.

0 |xn(t) − xm(t) |dt +

∫ 1

4 +1n

1 4

1

4 +n1

1 4

∫ 1

4 +n1

1 4

|xn(t) − xm(t) |dt 6

∫ 1

4 +1n

1 4

Định nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là đầy

đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.2 Cho không gian Rk với metric xác định bởi:

d(x(n), x(m)) =

vuu

Ví dụ 1.2.3 Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x(t) liên tục

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong X.

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằngphương pháp phản chứng

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X

hay tồn tại x ∈ X sao cho lim

Từ (1.2) cho n → ∞ ta được | x (t)e − x (t)| = 0, ∀t ∈ R, suy ra

Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian

(X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d). Do đó (X, d)

là không gian metric không đầy đủ



1.3 Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho X là một tập hợp tùy ý Ta gọi mộttôpô trên X là lớp các tập hợp con τ của X thỏa mãn:

Ví dụ 1.3.1 Cho X ̸= ∅ là một tập hợp tùy ý Khi đó τ =

X, gọi là tôpô rời rạc.

Ví dụ 1.3.2 Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với

tôpô τ là lớp tất cả các tập hợp mở trong không gian metric, được gọi là tôpô sinh bởi metric hay tôpô metric.

Chẳng hạn đường thẳng thực R1 với metric thông thường:

là một không gian metric.

Họ τ gồm tất cả các khoảng là một tôpô trên R1 (tôpô tự nhiên).

Do đó, R1 là một không gian tôpô.

Định nghĩa 1.3.2 [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X.Điểm x ∈ A được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại mộthình cầu mở B(x, r) ⊂ A.

Tập hợp A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểmtrong của A. Quy ước rằng ∅ là tập hợp mở

Tập hợp A được gọi là tập hợp đóng nếu phần bù của A trong X

ký hiệu X \A là tập hợp mở

Định nghĩa 1.3.3 [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X.

Ta gọi là lân cận mở của A là một tập hợp mở chứa A;

Ta gọi là lân cận của A là một tập hợp chứa một lân cận mở của A;

Điểm x ∈ A được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại mộtlân cận V của x sao cho V ⊂ A.

Định nghĩa 1.3.4. [1] Cho không gian tôpô X, A ⊂ X,

Điểm x ∈ X được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu với mọi lân

Tập hợp tất cả các điểm biên của tập hợp A gọi là biên của tập hợp

A.

Ví dụ 1.3.3 Cho X = R1 và A = (1, 1) thì A là một tập mở Mọi số thực x thỏa mãn −1 < x < 1 đều là điểm trong của A.

Định nghĩa 1.3.5 [1] ChoX là một không gian vectơ trên trườngK( thực hoặc phức) Trên X có một tôpô tương thích với cấu trúc

đại số được gọi là không gian vectơ tôpô( hay không gian tuyến tínhtôpô).

Ví dụ 1.3.4 Cho X = R1, hiển nhiên X là không gian vectơ thực Họ các khoảng trên R1 là một tôpô trên X. Khi đó ta có X

là không gian vectơ tôpô thực.

Định nghĩa 1.4.1. [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường

K (thực hoặc phức) Một ánh xạ ∥·∥ : X → R được gọi là một chuẩnnếu thỏa mãn các tiên đề sau:

Ví dụ 1.4.1 Không gian C[a,b] các hàm bị chặn trên đoạn [a, b]

ký hiệu là C[a,b] với chuẩn ∥x∥ = max

định chuẩn.

Nhận xét 1.4.1 Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều

là không gian metric với d (x, y) = ∥x − y∥.

Định nghĩa 1.4.2 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm

lim

Kí hiệu: lim

n →∞xn = x, hay xn → x khi n → ∞.

Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm

Ví dụ 1.4.2 Cho không gian véctơ l2 Đối với véctơ bất kỳ x =

(xn) ∈ l2 ta đặt:

∥x∥ =

vuu

t∑∞

n=1

|xn|2

> 0, ∀x ∈ l2.

∥x∥ = 0 ⇔

vuu

Do đó l2 là không gian định chuẩn

Bây giờ ta chứng minh l2 là không gian định chuẩn đầy đủ

Thật vậy, giả sử x(n) = (

x1(n), x2(n), , x(n) k , )

, n = 1, 2, 3,

là dãy Cauchy tùy ý trong l2 Theo định nghĩa dãy Cauchy

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀m, n > n0 ta có:

vuu

6 ( x(n)

k − xk + x(n)

k

= a |x1 − x2|

Vì 0 < a < 1 nên T là ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ

R1 Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ T có điểm bất độngduy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



Chương 2

Không gian metric nón

Khái niệm không gian metric nón đã được đưa ra và nghiên cứubởi hai nhà toán học Huang Long – Guang và Zhang Xian Sau đó,

sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian metricnón đã được nhiều người quan tâm, nghiên cứu và thu được nhiềukết quả Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm vềnón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nóntrong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày về kháiniệm metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong khônggian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bấtđộng của ánh xạ co trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.1.1 [4] Cho E là không gian Banach thực và P làmột tập con của E P được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điềukiện sau:

1 P là tập đóng, khác rỗng và P ̸= {0};

2 Với mọi x, y ∈ P, ∀a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có ax + by ∈ P;

3 Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0

Định nghĩa 2.1.2 [4] Cho E là không gian Banach thực, P làmột nón trong E Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “6p”xác định bởi nón P như sau:

x 6p y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P,

trong đó int(P) là phần trong của P.

Định nghĩa 2.1.3 [4] Cho E là không gian Banach thực và P làmột nón trong E Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số

Ta kiểm tra 3 điều kiện của nón

1 Hiển nhiên P không rỗng, P đóng và P ̸= {0}.

2 a, b ∈ R, a, b > 0 và x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ P thì

ax + by = a(x1, x2) + b(y1, y2)

= ax1 + by1 + ax2 + by2 ∈ P.

3 x = (x1, x2) ∈ P và −x = (−x1, −x2) ∈ P ⇒ x = 0 cónghĩa là P ∩ (−P ) = {0}.



Từ đây, ta luôn xét P là một nón trong không gian Banach thực

E với int(P) ̸= ∅ và quan hệ thứ tự “6p” trên E xác định bởi nón

P

Định nghĩa 2.1.4 [4] Cho X là tập khác rỗng

Ánh xạ dp : X × X → E thỏa mãn:

1 dp(x, y) p> θ, ∀x, y ∈ X, dp(x, y) = θ ⇔ x = y, (kí hiệuphần tử không là θ);

Định nghĩa 2.2.1 [4] Cho (X, d) là một không gian metric nón,

{xn} là một dãy trong X và x ∈ X Dãy {xn} được gọi là hội tụ(hội tụ nón) tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 ≪p c, tồn tại số tự nhiên

N sao cho ∀n > N sao cho d(xn, x) ≪p c. Khi đó x được gọi làgiới hạn( giới hạn nón) của dãy {xn} và ta ký hiệu

n →∞dp(xn, x) = 0

Chứng minh.

Giả sử {xn} là một dãy trong X và hội tụ tới x ∈ X

Do đó với mọi số thực ε, chọn c ∈ E sao cho 0 ≪p c và K ∥c∥ < ε.Khi đó tồn tại số tự nhiên N sao cho:

Định lý 2.2.2 [4] Cho (X, dp) là không gian metric nón Nếu dãy

{xn} trong X hội tụ đến x và y thì x = y

Chứng minh.

Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau:

Nếu q thuộc P và q ≪p ε với mọi ε thì q = 0. Thật vậy, cố định c

thuộc P với 0 ≪p c Khi đó, từ giả thiết suy ra q ≪p

Định nghĩa 2.2.2 [4] Cho (X, dp) là một không gian metric nón,

{xn} là một dãy trong X Nếu với bất kì c ∈ E, 0 ≪p c, tồn tại số

tự nhiên N sao cho ∀n, m > N, dp(xn, xm) ≪p c, thì {xn} đượcgọi là dãy Cauchy trong X

Định nghĩa 2.2.3 [4] Không gian (X, dp) được gọi là không gianmetric nón đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X

Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và dãyCauchy

Định lý 2.2.3 [4] Cho (X, dp) là không gian metric nón và {xn}

là một dãy trong X. Nếu {xn} hội tụ tới x thì {xn} là dãy Cauchy

Với mỗi ε > 0, ta chọn c thuộc E sao cho:

lim

n →∞dp(xn, yn) = dp(x, y).



2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian

metric nón

Định lý 2.3.1. [4] Cho (X, dp) là không gian metric nón đầy đủ,

P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Giả sử, ánh xạ T :

X → X thỏa mãn điều kiện co:

Vậy {xn} là dãy Cauchy.

Vì X là không gian metric nón đầy đủ nên ta có lim

Vậy x∗ là điểm bất động của T

Bây giờ, ta chứng minh điểm bất động là duy nhất

Giả sử y∗ cũng là điểm bất động của T thì:

dp (x∗, y∗) = dp(T x∗, T y∗) 6p kdp(x∗, y∗)

Vì k ∈ [0, 1) nên d (x∗, y∗) = 0, do đó x∗ = y∗

Vậy điểm bất động của T là duy nhất



Định lý 2.3.2 [4] Cho (X, dp) là không gian metric nón đầy đủ,

P là nón chuẩn tắc với hệ số chuẩn tắc K Với c ∈ E mà 0 6p c

Định lý 2.3.3 [4] Cho (X, dp) là không gian metric nón đầy đủ,

P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K.

Giả sử ánh xạ: T : X → X thỏa mãn điều kiện co:

xn+1 = T xn = Tn+1x0

Ta có:

dp(xn+1, xn) = dp (T xn, T xn −1)

Bây giờ, ta sẽ chứng minh điểm bất động là duy nhất.

Giả sử y∗ cũng là điểm bất động của T. Ta có:

Cho E = R2 là không gian Euclide,

Khi đó, T thỏa mãn điều kiện co với ∀(x1, x2), (y1, y2) ∈ X:

d (T ((x1, x2)) , T ((y1, y2))) 6p kd ((x1, x2), (y1, y2))

trong đó k = 3

4 ∈ [0, 1)

Rõ ràng rằng T có điểm bất động duy nhất là (0, 0) ∈ X.

Định nghĩa 2.4.1 [9] Cho (X, dp) là một không gian metric nón

là cấu trúc lồi nếu với mỗi (x, y, λ) ∈ X × X × I và u ∈ X:

dp(u, R(x, y, λ)) 6p λdp(u, x) + (1 − λ)dp(u, y).

Không gian metric nón X cùng với một cấu trúc lồi R được gọi làkhông gian metric nón lồi

Một tập con khác rỗng M của X được gọi là lồi nếu:

Ví dụ 2.4.1 Nếu X là không gian tuyến tính với metric d là phép tịnh tiến thỏa mãn:

dp(λx + (1 − λ) y, 0) 6p λdp(x, 0) + (1 − λ) dp(y, 0))

thì X là một không gian metric nón lồi.

Định nghĩa 2.4.2. [9] Cho D là một tập con lồi, đóng, khác rỗngcủa không gian metric nón lồi đầy đủ X và giả sử T : D → D là

một ánh xạ liên tục T được gọi là một ánh xạ tựa không giãn nếu:

ở đây F (T ) là tập hợp các điểm bất động của ánh xạ T.

Định nghĩa 2.4.3 [9] Cho (X, dp) là một không gian metric nónlồi, x ∈ X và {xn} là một dãy trong X Khi đó:

1 Dãy {xn} hội tụ tới x khi với mỗi c ∈ E mà 0 ≪p c có một số

tự nhiên N sao cho d(xn, x) ≪p c với ∀n ≥ N.

2 {xn} là một dãy Cauchy khi với mỗi c ∈ E mà 0 ≪p c có một

số tự nhiên N sao cho d(xn, xm) ≪p c, ∀n, m ≥ N

Định nghĩa 2.4.4 [9]. (X, dp) được gọi là một không gian metricnón lồi đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy là hội tụ tới x trong X

Nhận xét 2.4.1 Ta có thể nhận thấy (X, dp) là một không gian metric nón đầy đủ. R là một cấu trúc lồi trên X thì (X, dp) là không gian metric nón lồi đầy đủ.

Định lý 2.5.1 [9] Cho D là tập con đóng, khác rỗng của khônggian metric nón lồi đầy đủ (X, dp) và S, T : X → X là các ánh xạthỏa mãn:

dp(Sx, T y) 6p k [dp(x, y) + dp(x, T y) + dp(y, Sx)]

Định nghĩa 2.1.1... 2

Không gian metric nón< /b>

Khái niệm khơng gian metric nón đưa nghiên cứubởi hai nhà toán học Huang Long – Guang Zhang Xian Sau đó,

sự tồn điểm bất động ánh xạ khơng gian metricnón... y).

Không gian metric nón X với cấu trúc lồi R gọi làkhơng gian metric nón lồi

Một tập khác rỗng M X gọi lồi nếu:

Ví