Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại i dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại i dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Mục lục

1.1 Toán tử đơn điệu 7

1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 11

Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I 20 2.1 Hiệu chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 20

2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 21

2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 25

2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh 27

2.2.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều 27

2.2.1 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều 32

2.3 Một phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh 34

2.3.1 Sự hội tụ 34

2.3.2 Ví dụ 35

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Nguyễn Thị ThuThủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tácgiả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báucủa các giáo sư của Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc việnKhoa học và Công nghệ Việt Nam, của các thầy cô giáo trong Đại học TháiNguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cácThầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học

và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tậptại Trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãluôn theo sát động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để

có được điều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Vũ Đình Chiến

Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t

Mở đầu

sao cho

Khi toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, bài

nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ, kinh tế dẫn tới bàitoán đặt không chỉnh Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bàitoán đặt không chỉnh là các nhà toán học A N Tikhonov, M M Lavrentiev,

V K Ivanov Do tính không ổn định của bài toán này nên việc giải sốcủa nó gặp khó khăn Lí do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán

có thể dẫn đến một sai số bất kỳ của nghiệm Để giải loại bài toán này, taphải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữkiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng củabài toán xuất phát Năm 1963, A N Tikhonov [7] đã đưa ra một phươngpháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh

được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế.Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việctìm phần tử cực tiểu xh,δ

cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f).Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếmhàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần

của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phương pháp

phương pháp này, Nguyễn Bường [6] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử loại I (0.1) trên cơ sở giải phương trình

Bản luận văn này nhằm mục đích trình bày phương pháp hiệu chỉnh chophương trình toán tử loại I (0.1) trong không gian Banach phản xạ thực

Trình bày phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều và mộtphương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh

Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, phần kết luận

và danh mục các tài liệu tham khảo Chương 1 giới thiệu một số kiến thứccơ bản nhất về toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đặt không chỉnh, sựtồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm của phương trình toán tử loại

I Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử loại I dựa trên toán tử tuyến tính đơn

Browder-điệu mạnh Trình bày sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trêncơ sở tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm Chúng tôi cũng trình bày

phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh và ở phần cuối củachương là một phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh cùng với ví dụ minhhọa.

Chương 1

Phương trình toán tử loại I

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cơ bảnnhất về phương trình toán tử loại I với toán tử đơn điệu Chúng tôi cũngtrình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và đưa ra một vài ví dụ vềphương trình toán tử đặt không chỉnh Các kiến thức của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [4]

1.1 Toán tử đơn điệu

Khái niệm về toán tử đơn điệu cũng có thể được mô tả dựa trên đồ thị

Định nghĩa 1.1.3 Nếu Gr(A) không bị chứa một tập đơn điệu nào khác

Khi đó toán tử I − A là toán tử đơn điệu, ở đây I là toán tử đơn vị trongkhông gian Hilbert H

với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu

không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn

điệu mạnh

Ví dụ 1.1.3 Hàm hai biến:

liên tục theo từng biến riêng biệt tại (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0)

Do đó nó h-liên tục tại (0, 0)

? Nhận xét: Một toán tử đơn điệu và h-liên tục trên X thì d-liên tục

limkxk→∞

hAx, xi

Us(x) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗ks−1.kxk = kxks, s ≥ 2}

(U x)(t) = kxk2−p|x(t)|p−2x(t), t ∈ Ω

Trong không gian Lp(Ω), ánh xạ đối ngẫu Us có tính chất đơn điệu đều vàliên tục Holder, vì

ở đây C(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max{kxk, kyk}(xem [3])

Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệuchặt

và Browder đã chứng minh độc lập trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.9 Cho X là không gian Banach phản xạ, f : X → R làmột phiếm hàm lồi, chính thường trên X

lim inf

• Ta định nghĩa ∂f(x) bởi

gọi là dưới vi phân của f tại x

Dưới vi phân của một hàm lồi là một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệucực đại là Cụ thể ta có định lý sau

Định lý 1.1.2 (xem [4]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ,

chính thường, nửa liên tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂f là một

tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho

limλ→+0

f (x + λy) − f (x)

và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x, kí hiệu là f0(x)

Định nghĩa 1.1.11 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach

điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho:

A(x + h) = A(x) + T h + O(k h k),với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo

1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử loại I

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gianBanach Y, f là phần tử thuộc Y

Đầu thế kỉ 20, J Hadamard đã đưa ra định nghĩa (xem [1] và tài liệudẫn):

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm duy nhất;

3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán

? Nhận xét:

1) Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f),

được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 có thể tìm

kfδ − f k ≤ δ Giả sử xδ là nghiệm của (1.3) với f thay bởi fδ (giả thiết

Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử A mà (1.3) là bài toán đặtkhông chỉnh

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó

tụ yếu đến x, xn * x, xn 6→ x và yn = A(xn), y = A(x) Khi đó, do tính

không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán

tử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) củatoán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh

Ví dụ 1.2.2 Phương trình tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt khôngchỉnh Thật vậy, xét phương trình

A : L2[a,b] → L2[a,b]

ϕ(s) 7→ f0(x) =

bZ

aK(x, s)ϕ(s)ds

[a,b], tức

là khoảng cách giữa hai hàm f1(x) và f0(x) trong L2

[a,b] xác định bởi

ρL2 [a,b](f0, f1) =

f1(x) = f0(x) + N

bZ

aK(x, s)sin(ωs)dsthì nghiệm là

ϕ1(s) = ϕ0(s) + N sin(ωs)

Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong

2dx

a

2dx

Ví dụ 1.2.3 Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ(y) = y trên đoạn thẳng

đây λ0 và y0 là những số cho trước và y0 > 0 Giả sử λ0 = 0 và thay cho

λ0 ta có λδ : |λδ − λ0| < δ Ta xét các trường hợp:

* Trường hợp 1: λδ > 0

hàm ϕ(y) trên một phần của d1 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt đượctại điểm (0, y0) Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thì ϕ(0) = y0.

y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λ2x + y0 Do λδ < 0 cho nên đườngthẳng d2 cắt trục Ox tại một điểm x2(δ)nào đó Giá trị cực tiểu của phiếm

tại điểm (x2(δ), 0), tức là tại x = x2(δ) ta có ϕ(x2(δ)) = 0 Như vậy với

Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.3) được cho trong định lýsau

Định lý 1.2.1 (xem [4]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức

Chứng minh Do A là toán tử bức, cho nên tồn tại một hàm thực không âm

ánh xạ liên tục và đơn điệu Hơn thế nữa

haf(x), xi = hA(x), xi − hf, xi ≥ ||x||(δ(||x||) − ||f ||)

Suy ra tồn tại một số dương Mf sao cho với ||x|| ≥ Mf thì haf(x), xi ≥ 0.Vì vậy tồn tại một phần tử x0 sao cho A(x0) = f

2Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A + λU là toàn

Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, h-liên tục và

Định lý 1.2.3 (xem [4]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ,

là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệucực đại

Tính bị chặn của toán tử B sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của

nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau

Định lý 1.2.4 (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và

tại Ta có định lý sau (xem [4])

Ax = f Khi đó S0 là tập lồi và đóng trong X∗

Chứng minh Lấy f1, f2 ∈ Ax Vì A là toán tử đơn điệu nên ta có:

và

(1.6) với (1 − t) rồi cộng lại ta được:

⇔ hf − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA

2

Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.3), nên ta cầnphải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng nghiệm

Chương 2

Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I

Chương này đề cập đến một số phương pháp hiệu chỉnh cho phương trìnhtoán tử loại I trong không gian Banach phản xạ thực vô hạn chiều và đượctrình bày trong 3 mục Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày phương pháphiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I dựa trên việc

sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một

số kết quả cơ bản về sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ củanghiệm hiệu chỉnh được trình bày trong mục này Mục 2.2 đề cập đến việcxây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của phương trìnhtoán tử loại I Một phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh của phương trìnhtoán tử loại I được trình bày trong mục 2.3 cùng với một ví dụ minh họa.Các kết quả của chương này được tham khảo trong hai bài báo của NguyễnBường và Nguyễn Thị Thu Thủy [6], [8]

2.1 Hiệu chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

Xét phương trình toán tử

trong đó A là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ không gian Banach phản

mạnh thì bài toán (2.1), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh

cũng giả sử đối với X tồn tại một toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh B sao

cho S0 ⊂ D(B) với D(B) ≡ X.

2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Để hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1), chúng taxét phương trình hiệu chỉnh (xem [6])

giới nội và h-liên tục Do đó, theo Định lý 1.2.3 ta có A + αB cũng là một

Mặt khác vì B là một toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử A + αBcũng là một toán tử bức Thật vậy

h(A + αB)(x), xi = hA(x) + αB(x), xi

= hA(x) − A(θ) + A(θ) + αB(x), x − θi

= hA(x) − A(θ), x − θi + hA(θ), x − θi+ αhB(x), x − θi

h(A + αB)(x), xi

Theo Định lý 1.2.1, phương trình (2.2) có nghiệm với mỗi α > 0

Bây giờ ta chứng minh (2.2) có nghiệm duy nhất bằng việc chỉ ra A+αB

là toán tử đơn điệu mạnh Thật vậy, ta có

hA(xδα) − A(x) + f − fδ, x − xδαi + αhBx, x − xδαi

= αhB(x − xδα), x − xδαi, ∀x ∈ S0

Do A là toán tử đơn điệu và B là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh nên

Do phần tử x1 ∈ S0 thoả mãn (2.4) là duy nhất cho nên cả dãy {xδ

α} hội tụmạnh đến x1

Các lập luận còn lại tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1.1.

2

2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

hợp tức là B∗ = B

Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh ta sử dụng bất đẳngthức Young (xem [2] và tài liệu dẫn):

a, b, c ≥ 0, k > t, ak ≤ bat + c =⇒ ak = O(bk/(k−t) + c)

Qui ước viết vô cùng bé: Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi

h → 0 Nếu tồn tại một số α > 0 và hằng số M > 0 sao cho:

Ta có kết quả sau (xem [6])

Định lý 2.1.3 Giả sử rằng các điều kiện sau thỏa mãn:

i) A là khả vi Fréchet trong lân cận nào đó của S0;

ii) Tồn tại một hằng số L > 0 thoả mãn

kA0(x) − A0(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x ∈ S0, y thuộc lân cận của S0;iii) Tồn tại phần tử z ∈ D(B) thoả mãn A0∗(x1)z = Bx1;

Chứng minh Từ (2.1), (2.5) và tính đơn điệu của A, Ah và B ta có

≤ (hg(kxταk) + δ)kxτα− x1k + αkzk(hg(kxταk) + δ)+ αhz, αBxταi + αkzkL

2kxτα− x1k2.Hay

2kzk)kxτα− x1k2 ≤ (hg(kxταk) + δ)kxτα− x1k

+ α

kzk(hg(kxταk) + δ) + αkBzkkxταk

Do tham số hiệu chỉnh α được chọn thoả mãn α ∼ (h + δ)à, 0 < à < 1 vàdãy xδ

k xδα− x1 k2≤ C1(h + δ)1−à k xδα− x1 k +C2(h + δ)à,

trong đó C1, C2 là các hằng số dương áp dụng bất đẳng thức Young chobất đẳng thức cuối cùng ta được

22.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh

2.2.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều

αcủaphương trình hiệu chỉnh (2.2) bằng phương pháp Galerkin

ở đây An = Pn∗APn, Bn = Pn∗BPn, fδn = Pn∗fδ, Pn là phép chiếu tuyến

của phương trình

Vì vậy, với ε đủ nhỏ bất kỳ ta có thể chọn được giá trị α sao cho với mọi

≥ αhB(xδαn− Pnxδα), xδαn− Pnxδαi

kxδαn− Pnxδαk(kA(xδα) − A(Pnxδα)k)

+ kxδα− Pnxδαk × (kA(xδα)k + kfδk + αkBxδαk)+ αhBxδα− BPnxδα, xδαn − Pnxδαi

≥ αmBkxδαn− Pnxδαk2

(2.11)

Tõ tÝnh chÊt cña to¸n tö B ta cã

hBxδα− BPnxδα, Pnxδα− xδαni ≤ C0kxδαn− Pnxδαk,

giíi néi cña d·y {xδ

αn} Kh«ng lµm mÊt tÝnh chung, ta gi¶ thiÕt {xδ

Ta cã kÕt qu¶ sau (xem [6])

§Þnh lý 2.2.2 Gi¶ sö:

i) C¸c ®iÒu kiÖn i) vµ ii) cña §Þnh lý 2.1.3 tháa m·n;

ii) α = α(h, δ, n) → 0 sao cho h/α, δ/α → 0 vµ

γn(x) + Lk(I − Pn)xk2
α−1 → 0, ∀x ∈ S0,

khi n → ∞, ở đây γn(x) được định nghĩa bởi

γn(x) = kA0(x)(I − Pn)xk

Khi đó, dãy {xh,δ

αn} hội tụ đến x1.Chứng minh Từ (2.1), (2.12) và tính chất của An

≤ (δ + hgkxk)kxh,δαn − xnk+ hA(x) − A(xn), xh,δαn − xni+ αhPn∗Bxn, xn− xh,δαni

với hP∗

nBxn, xn − xh,δ

αn ≤ ˜ckxh,δαn − xnk Kết hợp với điều kiện của định lý

hA(xn) − fδ+ αBnxn, xn− xh,δαni + hgkxh,δαnk.kxn− xh,δαnk ≥ 0, ∀x ∈ D(B).Cho h, δ, α → 0 và n → +∞ trong bất đẳng thức này ta nhận được

Từ bổ đề Minty suy ra x1 ∈ S0

htBx1 + (1 − t)Bx, x − x1i ≥ 0, ∀x ∈ S0, t ∈ (0, 1)

Cho t → 1 trong bất đẳng thức này ta nhận được

hBx1, x − x1i ≥ 0, ∀x ∈ S0

αn} hội tụ yếu đến x1.Thay xn = xn1 = Pnx1 trong (2.14) ta suy ra dãy {xh,δ

i) Các điều kiện i)-iii) của Định lý 2.1.3 thỏa mãn;

ii) α được chọn bởi α ∼ (h + δ + γn)à1 + βn, ở đây γn = k(I − Pn)x1k.Khi đó,

kÕt hîp víi (2.14) ta nhËn ®­îc

αmBkxh,δαn − xn1k ≤ (δ + hgkx1k + γn+ Lγn2/2

+ αβn)kxh,δαn − xn1k + αhBx1, xn1 − xh,δαni (2.15)MÆt kh¸c,

kxh,δαn − x1k = O (h + δ + γn)µ2 + βn1/2

2