Về không gian hyperbolic Brody padic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂM TUẤN DUY VỀ KHÔNG GIAN HYPERBOLIC BRODY P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM TUẤN DUY

VỀ KHÔNG GIAN HYPERBOLIC BRODY P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÂM TUẤN DUY

VỀ KHÔNG GIAN HYPERBOLIC BRODY P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học

TS Mai Văn Tư

NGHỆ AN - 2013

MỤC LỤC

Chương 1 Các kiến thức cơ sở 3

1.1 Trường các số p-adic 3

1.2 Định lí Nevanlinna – Cartan p-adic 9

Chương 2 Không gian hyperbolic Brody p-adic 11

2.1 Các định nghĩa và tính chất 11

2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic 13

2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic của phần bù các siêu phẳng) 13

2.2.2 Siêu mặt Fermat và các biến dạng của nó 14

2.2.3 Xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody p-adic bằng thuật toán 25

2.2.4 Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic 32

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về không gian hyperbolic xuất hiện vào những năm 70 của thế

kỉ trước, nó có nhiều ứng dụng quan trọng không những trong hình học mà cả trong số học hiện đại Có thể khẳng định rằng lý thuyết về không gian hyperbolic là chìa khóa nhằm giải quyết vấn đề về tính hữu hạn nghiệm nguyên của các phương trình Diophante Năm 1970, S Kobayashi giả thuyết rằng một siêu mặt tổng quát bậc đủ lớn trong P C n( p)và phần bù của nó là hyperbolic

Mục đích của đề tài này là tìm hiểu việc xây dựng các không gian hyperbolic p-adic

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của TS Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp đỡ cho tôi để hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành công cho khóa học

Xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Trung học cơ sở Long Bình – Phòng Giáo dục và Đào tạo quận 9 – TP Hồ Chí Minh, các đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận được sự đóng góp của thầy cô giáo và các đồng nghiệp

TÁC GIẢ

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

1.1.2 Sự phân loại các giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỉ Q

Giả sử p là một số nguyên tố và xQ x, 0, khi đó x có thể được viết dưới dạng:

1.1.3 Mệnh đề

Hàm số xác định trên Q bởi công thức (*) là hàm giá trị tuyệt đối phi

Ácsimét và nó được gọi là giá trị tuyệt đối p-adic

1.1.4 Định lý (Ostrowski)

thuộc) với giá trị tuyệt đối p-adic, trong đó p là số nguyên tố bất kì hoặc

thứ tự tốt) Suy ra tìm được R thỏa mãn: n0 n0

Chúng ta viết số n trong hệ đếm cơ số n0

m n là các số tự nhiên sao cho 1, 1.

Vậy khi q là số nguyên tố, khác p thì q 1. Giả sử a là một số nguyên tố bất kỳ và 1 2

khi p p i k a

1.1.6 Định lý

p

(Nghĩa là tồn tại một dãy cơ bản các phần tử của Q p nhưng không hội tụ)

Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của Q p, dãy  x n

được gọi là dãy không nếu lim n p 0.

1.2 Định lí Nevanlinna – Cartan p-adic

n

j i i

1.2.2 Định lí Nevanlinna – Cartan p-adic

Giả sử H H1, 2, ,H q là các siêu phẳng của P C n( p), ở vị trí tổng quát Nếu  ( ,1 2, , 1) :  n( )

Giả sử f là đường cong chỉnh hình không suy biến và rẽ nhánh ít nhất

là d j trên siêu phẳng H j(H1, ,H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát) Chúng ta có:

Ngoài ra, nếu f là đường cong hữu tỷ bậc e (mọi f z i i( ), 1, 2, ,n1 là

Chương 2 Không gian hyperbolic Brody p-adic

2 1 1

p

b a ab

d a b

b a ab

f a x f b  y và f b i( )i  f i1(a i1),i 1, 2, ,m 1,khi đó nửa khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm ,x yX được xác định bởi

hệ thức

1( , ) inf ( , ),

m kob x hyp i i

2.1.4 Định nghĩa

Không gian X được gọi là hyperbolic Brody p-adic nếu không tồn tại các ánh xạ chỉnh hình khác hằng số từ C p vào X

2.1.5 Hệ quả

(i) Mỗi ánh xạ chỉnh hình f : D  D có tính chất giảm đối với nửa

khoảng cách Kobayashi, nghĩa là: d D( ( ), ( ))f x f y d D( , ),x y x y, D.

(ii) Mỗi ánh xạ tự đẳng cấu của D là một phép đẳng cự

2.1.6 Định lý

đối với nửa khoảng cách Kobayashi

chỉnh hình và đơn ánh Khi đó nếu Y là không gian hyperbolic thì X cũng là không gian hyperbolic

2.1.9 Định lý

Giả sử X là không gian phức compact, khi đó X là không gian hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là không gian hyperbolic Kobayashi

2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic

2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic của phần bù các siêu phẳng)

Phần bù của n siêu phẳng tùy ý trong không gian xạ ảnh P C n( p) là không hyperbolic

Chứng minh

Giả sử H H1, 2, H nlà n siêu phẳng (không cần thiết ở vị trí tổng quát) Không mất tính tổng quát, chúng ta giả thiết rằng H H1, 2, H k k( n) là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Với mỗi m k,  m n,hệ {H H1, 2, ,H H k m} phụ

thuộc tuyến tính (chú ý rằng nếu k n thì dễ ràng chứng minh được rằng phần bù của các siêu phẳng này là không hyperbolic và định lí đã được chứng minh) Bởi phép biến đổi xạ ảnh thích hợp của các tọa độ sao cho các siêu phẳng H H1, 2, H k được xác định bởi các phương trình x1 0, ,x k 0

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng có ít nhất một điểm không nằm trong hợp của các siêu phẳng này Thực vậy, từ giả thiết của định lý suy ra rằng các siêu phẳng H k s,  s n, được xác định bởi các phương trình:

1

k s

s i i i





trong đó với mỗi s, có ít nhất hai hệ số s

i

a khác không Nếu k i1H i P C n( p),thì mỗi tập ( ,z z1 2, ,z z k, i 0,i1, ),k

tồn tại một chỉ số s sao cho

( , ,z z k) sao cho với mỗi k vectơ của tập hợp đó là độc lập tuyến tính Tất

cả các vectơ này đều nằm trong phần bù của các siêu phẳng H H1, 2, H k Do vậy với một siêu phẳng H s s, k tồn tại k vectơ của tập hợp này thỏa mãn

Do hệ vectơ (z1m, ,z k m),m 1, k độc lập tuyến tính nên hệ phương trình trên chứng tỏ a i s 0với mọi s 1, 2, , k Điều này mâu thuẫn, chứng tỏ tồn tại ( , ,z1 z k) là một điểm nằm trong phần bù của các siêu phẳng này, vì vậy ta có một ánh xạ chỉnh hình khác hằng số

1: p n( p) : ( , , )k

Định lí được chứng minh

2.2.2 Siêu mặt Fermat và các biến dạng của nó

Một đa tạp X của P C n( p) được gọi là siêu mặt Fermat bậc d nếu nó được xác định bởi phương trình

Từ giả thiết của bổ đề, suy ra rằng W( )f không đồng nhất 0

Bây giờ, chúng ta xác định các Wronskian logarit L i L f i( d)

0

( 1) ( 1) ( 1)

hoàn toàn tương tự, chúng ta xác định L i i, 1, 2, , ,n khi đó các ánh xạ xạ

với ( , ,k1 k n)là một hoán vị tùy ý của (0,1, ,n 1) Theo bổ đề 2.2.2.2 chúng

ta có thể viết số trên ứng với k i  i 1 như sau:

f  f  là mẫu số chung của các số hạng trong các

biểu thức khai triển của các định thức L0, ,L n vì vậy chúng ta có các ánh xạ

xạ ảnh bằng nhau

Bây giờ ta chứng minh định lý 2.2.2.1 Chúng ta thấy rằng f0d, , f n d

phụ thuộc tuyến tính Nếu điều này không xảy ra thì f là đường cong đa thức (theo bổ đề 2.2.2.3) bậc m

Khi đó ( , )h f t mt0(1) và ( 2 1) ( 1 ) 0(1)

2

n n t dmt n mt 

f

phụ thuộc tuyến tính với iI Mặt khác, cho phương trình với các hằng số khác 1, sau khi nhân các hàm f i với

các hằng số thích hợp, chúng ta đưa nó về phương trình Fermat thông thường

Vì vậy chúng ta có thể giảm bớt số n trong định lý 2.2.2.1 về một số nhỏ

hơn Và như vậy định lý 2.2.2.1 được chứng minh bằng quy nạp

Giả sử 1 1

1j jn1 ,1

M  z z  j s là các đơn thức bậc l với các lũy thừa

nguyên không âm Giả sử X là siêu phẳng bậc dl của không gian xạ ảnh

ta xác định đường cong chỉnh hình g trong P s2(C p) như sau:

Từ giả thiết d s s(  2) suy ra được bất đẳng thức trên không đúng khi

t  Bởi vậy hệ {M d j f : j1, ,s1} phụ thuộc tuyến tính Ta có hệ thức

2.2.2.5 Nhận xét

Có thể xem định lý 2.2.2.1 là trường hợp riêng của định định lý 2.2.2.4

2.2.2.6 Hệ quả (n2,s3,M j z j)

phương trình f d g d h d. Nếu d 3 thì các hàm f g h, , chỉ khác nhau một nhân tử hằng

Mệnh đề tương tự đối với đa thức chính là hệ quả của định lý Mason

Giả sử đa tạp xạ ảnh của n( )

Nhận xét: Trước khi đi vào chứng minh định lý ta nói sơ qua về ý nghĩa của nó Trong trường hợp phức một giả thuyết nổi tiếng của Green – Griffiths nói rằng mọi đường cong chỉnh hình trong siêu mặt kiểu tổng quát đều suy biến Nói riêng, các đường cong chỉnh hình trong siêu mặt bậc đủ lớn đều suy biến Có thể xem định lí 2.2.2.7 là câu trả lời khẳng định cho giả thuyết Green – Griffiths p-adic trong một trường hợp riêng

Chứng minh định lý Giả sử f ( ,f f1 2, , f n1) :C p X là ánh xạ chỉnh hình Chúng ta chứng tỏ rằng hệ

Rõ ràng các siêu phẳng H j và đường cong chỉnh hình g thỏa mãn giả

thiết của định lí Nevanlinna – Cartan Chúng ta có

2 1

j m m

2.2.3 Xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody p-adic bằng thuật toán

Việc xây dựng các siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh được tiến hành theo hai hướng Hướng thứ nhất là vận dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua bổ đề Borel và kĩ thuật xây dựng của Masuda – Noguchi Hướng còn lại, chủ yếu dựa vào định lí về tính suy biến của các đường cong chỉnh hình Để mô tả thuật toán xây dựng các siêu mặt hyperbolic, trước tiên chúng ta cần thấy rõ khi nào một siêu mặt không phải là hyperbolic

Giả sử siêu mặt X trong P n được xác định bởi phương trình

1

s d

j j j



Giả sử rằng f ( f1 f n1) :C p P C n( p) là đường cong chỉnh hình

khác hằng số sao cho f C( p) X, nghĩa là

( 1 1) log 1 ( 1 1) log 1 log ij, i ,j

Vì f khác hằng số nên hạng của ma trận các hệ số của hệ phương trình

trên n, bởi trong trường hợp ngược lại f j b f j 1, j2, ,n1, chứng tỏ

f là hằng số, điều này không thể xảy ra Bởi vậy, khi X không hyperbolic

thì hạng của ma trận các hệ số của hệ phương trình trên không cực đại Điều này gợi cho chúng ta xây dựng một dãy các đơn thức M j, j1, ,s bậc d

sao cho hạng của ma trận được xây dựng tương tự như trên là cực đại Trước hết chúng ta cần các khái niệm và kí hiệu sau

{M j} chấp nhận được với các biến tương ứng

( )ii Tập các đơn thức {M j : j1, , }s được gọi là k–chấp nhận được

nếu nó chấp nhận được đối với mọi cách chọn các biến ( 1, , )

hữu tỷ không âm Khi đó tồn tại các đơn thức phân biệt N k,1 k t, bậc 1 với tất cả các lũy thừa là các số hữu tỷ dương sao cho {M1, ,M N s, 1, ,N t}

bằng phương pháp quy nạp như sau Với cách chọn tùy ý các chỉ số

Giả sử {M j: j 1, , }s là tập k-chấp nhận được, trong đó kn, thì tồn

{{M j},{N k}} là tập ( k 1) chấp nhận được

2.2.3.5 Định lý

1 gồm các lũy thừa hữu tỷ, không âm sao cho { M j: j 1, , }s là tập

Giả sử rằng {j r k r} là tập tất cả các cặp của I sao cho j1   j l và

c M z z j s là các đơn thức phân biệt bậc l và

d là số nguyên dương Bổ đề sau cho phép chúng ta loại trừ các siêu mặt

không hyperbolic

2.2.3.7 Bổ đề

Với các kí hiệu như trên Nếu ds s(  2) thì X là không hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại các chỉ số 1  1 n' và một phân hoạch

'{1, , '}=s I của các chỉ số của các đơn thức 1 '

Giả sử  là hợp các tập con đại số {(( ), (c i A i))  (C)sP C n( )}, trong

đó ( ), (c i A i) được xác định trong bổ đề 2.2.3.7, đối với mọi cách chọn có thể của các biến, của các phân hoạch, trong đó A i 0 nếu (A i)  A.

Giả sử : (C)sP C n( )  (C)s là phép chiếu thứ nhất Chúng ta có một tập con đại số      (C)s

Từ các kết quả ở trên, ta có một thuật toán để xây dựng các siêu mặt

hyperbolic Cụ thể chỉ cần chọn X s j1c M j j, sao cho thỏa mãn hai điều kiện:

trận được xây dựng tương tự như 2.2.3.1 là cực đại

Nhận xét Hai điều kiện nêu trên hoàn toàn có tính chất đại số, không phụ thuộc vào trường cơ sở Vì quá trình xây dựng các siêu mặt hyperbolic chỉ dựa bổ đề Borel và hai điều kiện trên, nên trong trường hợp p-adic, chúng

ta hoàn toàn có quyền sử dụng hai điều kiện này cùng với bổ đề Borel p-adic

để xây dựng các siêu mặt phẳng hyperbolic p-adic trong P C n( p)

2.2.3.8 Các ví dụ

Sử dụng bổ đề Borel p-adic và thuật toán Masuda-Noguchi, chúng ta

xây dựng vài ví dụ về các siêu mặt hyperbolic p-adic trong không gian xạ ảnh

2.2.4 Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic

Sử dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến của các đường cong chỉnh hình chúng ta sẽ chứng tỏ các siêu mặt sau là

hyperbolic Brody p-adic

2.2.4.1 Định lý

Nếu d là số nguyên chẵn d  48 và t là số hữu hạn, khác không thì

t

3 Giả thiết j  0 là cần thiết Vì ngược lại nếu j 0 thì siêu mặt

là nghiệm của phương trình 2

hiểu các ví dụ về các đường cong trong P C2( p) với bậc d  15 mà phần bù là hyperbolic

KẾT LUẬN

Luận văn bước đầu tìm hiểu việc vận dụng lý thuyết Nevanlinna – Cartan p-adic vào việc xây dựng các không gian hyperbolic p-adic Các kết quả chính thu được:

1.Trình bày chi tiết phép chứng minh định lý Ostrowski Định lý này là

cơ sở quan trọng trong lý thuyết mở rộng trường số (định lý 1.1.4)

2 Bước đầu tìm hiểu quá trình xây dựng lớp các không gian hyperbolic Brody p-adic và các siêu mặt hyperbolic dựa vào định lí Nevanlinna – Cartan p-adic (Định lý 2.2.1; 2.2.2.1; 2.2.2.4; 2.2.2.7)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] W A Cherry (1993), Hyperbolic p-Adic Analytic Spaces, Ph D Thesis

Yaly University

[2] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), p-adic Nevanlinna theory,

Lecture Notes in Math 1351 pp: 135-152

[3] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan

theorem, Inter J Math Vol 6, No 5, pp: 719-731

[4] S Lang (1974), Hyperbolic and Diophantine proplems, Bull Amer Math