Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic

Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã được nhiều thạc sĩ cũng như sinh viên nghiên cứu, như thạc sĩ Nguyễn Thị Bích Hằng đã nghiên cứu về “H ọ S- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình v

Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã được nhiều thạc sĩ cũng

như sinh viên nghiên cứu, như thạc sĩ Nguyễn Thị Bích Hằng đã nghiên cứu về

“H ọ S- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Hyperbolic của các không gian

ph ức” Thạc sĩ Tô H ải Bình đã nghiên cứu về “Một số lý thuyết thác triển lý thuy ết hàm hình học”

2 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Trong quá trình học tập ở trường phổ thông và những năm đầu ở đại học chúng em chỉ biết đến hai loại hình học Đó là hình học Euclide và hình học giải tích, các đối tượng được đề cập đến là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách, diện tích, Nhưng khi hoàn thành chương trình năm thứ hai của đại học

em đã biết kiến thức ẩn chứa trong hình học vô cùng phong phú, mỗi một loại hình học có một nền tảng và cái hay riêng của nó, vì hình học được xây dựng từ nhiều hướng khác nhau như hình học đại số, hình học tôpô, hình học lồi,

3 MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

3.1 Mục tiêu của đề tài

Hệ thống các kiến thức cơ sở về không gian phức, không gian tôpô, đa tạp phức,…

Chứng minh chi tiết một số tính chất, tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản, một số khái niệm cơ bản và tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Không gian phức Hyperbolic

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số tính chất và tiêu chuẩn để nhận biết không gian phức Hyperbolic

5 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nội dung chính: Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề

tài gồm 44 trang, bao gồm

Chương 1 Kiến thức cơ sở

1.1 Không gian metric

3

1.9 Định lý thác triển Riemann

1.10 Định lí Ascoli

1.11 Phủ chỉnh hình

1.12 Không gian phân thớ

1.13 Hàm đa điều hòa dưới

1.14 Lân cận đa đĩa

1.15 Phân hoạch

Chương 2 Không gian phức Hyperbolic

2.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức

2.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

2.3 Không gian phức Hyperbolic

2.4 Một số tiêu chuẩn nhận biết tính Hyperbolic của không gian phức

2.5 Không gian phức Hyperbolic đầy

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc các tài liệu liên quan đến không gian phức Hyperbolic để hiểu được và biết được vai trò của không gian phức

Hyperbolic

2 Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: tổng hợp và hệ thống hóa

các kiến thức liên quan đến không gian phức Hyperbolic một cách đầy đủ và khoa học

3 Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: tham khảo trực tiếp ý kiến từ thầy hướng

dẫn và một số thầy cô trong chuyên ngành giải tích

4

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

Cho E là một tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d X: ×X →R thỏa mãn:

1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y X (tính phân biệt dương)

d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y X (tính đối xứng)

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z X (bất đẳng thức tam giác) Khi đó d được gọi là kho ảng cách hay một metric trên X và cặp (X,d) được

gọi là một không gian mêtric Không gian metric (X,d) thường được viết

là X với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn

Ví dụ: Hàm số ρ(x y, )= x− y là một metric trên tập số thực R, và gọi là metric thông thường trên R Từ nay ta gọi tập số thực R với metric thông thường là đường thẳng thực

1.1.2 Tập compact

Tập con A của một không gian metric X gọi là một tập compact nếu một

dãy bất kỳ { }x n những phần tử của A đều có một dãy con { }x n k hội tụ đến một

5

iii) Tập A là compact tương đối khi và chỉ khi bao đóng A của nó là một tập compact

1.1.4 Không gian đầy

a) Định nghĩa dãy Cauchy

Cho không gian metric (X d, ) Dãy { }x n n ⊂ X được gọi là dãy cauchy (dãy cơ bản) nếu ,lim ( m, n) 0

[ ]0,1

C Việc chứng minh L1[ ]0,1 có tiêu chuẩn Cauchy hơi khác so với chứng minh thông thường vì:

Dãy Cauchy trong L1[ ]0,1 chưa chắc là dãy hội tụ

b) Định nghĩa không gian đầy

Không gian metric (X,d) được gọi là không gian metric đầy nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ

Vậy X đầy ⇔ ∀{ }x n n là dãy Cauchy { }n , : lim n

→∞

6

Ví dụ: Trong giải tích cổ điển ta đã biết đường thẳng thực R là một không gian đầy Vì sự hội tụ trong không gian Euclid k

R là sự hội tụ theo tọa độ nên từ

tính đầy của R dễ dàng suy ra k

R là không gian đầy

Cho { }f n là một dãy hàm số liên tục trên không gian metric X sao cho

{ }f n hội tụ đều trên X về hàm số f, nghĩa là ∀ >ε 0, có n0 >1 sao cho

7

e) Định lý 1.2

Cho ánh xạ f : X→Y Khi đó ba điều kiện sau tương đương:

i) f liên t ục trên X

ii) Ngh ịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là một tập đóng trong X

iii) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y là một tập mở trong X

1.1.6 Đồng liên tục

Định nghĩa 1.3

Giả sử X là tập con compact của một không gian metric và Y là không

gian metric đầy. L (X, Y) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup

được gọi là đồng liên tục tại một điểm x0∈X nếu với mọi ε >0, tồn tại δ >0sao cho với mọi x∈X mà d x x( , 0)<δ, thì:

Ví dụ: Một tập con X của L (X, Y) gồm hữu hạn phần tử luôn là đồng

liên tục Thêm vào đó nếu các phần tử của X là liên tục đều thì X là đồng liên tục

chỉnh hình φ 1 , φ 2 , , φ m trên V sao cho:

X∩V={x∈V|φ i (x) = 0,i = 1, ,m}

Giả sử f :X→ Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y f được gọi là

chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y, hàm hợp

g f là hàm chỉnh hình trên f -1(V)

Kí hiệu Hol(X,Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị tôpô compact mở Kết quả cơ bản sau được chứng minh trong [G-R]: Giả sử

{ f n: X→ Y} là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X,Y Nếu

{ f n} hội tụ đều tới f trong Hol(X,Y) thì f là ánh xạ chỉnh hình

Các khái niệm hàm độ dài, khoảng cách sinh bởi hàm độ dài trong không

gian phức X được định nghĩa tương tự như đối với đa tạp

1.2.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị

Giả sử X là không gian phức

Một điểm a∈ X được gọi là điểm chính quy của X nếu a có một lân cận U trong Z sao cho U∩X là đa tạp phức Tập các điểm chính quy của X được kí hiệu là X reg

Một điểm a∈X được gọi là điểm kỳ dị của X nếu nó không là điểm chính quy Tập các điểm kỳ dị của X được kí hiệu là X sin

Định lý 1.3

Trong không gian phức X tập các điểm chính quy X reg là một đa tạp phức

mở và tập các điểm kỳ dị X sin là một không gian phức với IntX sin = ∅

Khi đó f z( ) có thể viết dưới dạng ( ) ( )m ( )

f z = z−a ϕ z ,với ( )a 0;m

N ếu f z( ) gi ải tích trong và trên một đường cong kín C ngoại trừ tại một

s ố hữu hạn cực, nếu f z( )không có zero nào n ằm trong C và nếu Γlà qu ỹ tích của w= f z( ) thì số lần Γquẩn quanh O trong mặt phẳng w được cho bởi:

tập hợp X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô

Kí hiệu (X, τ)

Ví dụ: kí hiệu P X( ) là tập tất cả các tập con của X Khi đó τ =P X( ) là

một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc trên X

1.3.2 Không gian tôpô con

Cho (X,τX) là một không gian tôpô, Y ⊂ X Khi đó họ

11

Nếu tất cả các tập thuộc U là các tập mở U thì là một phủ mở của B

1.3.4 Không gian compact

a) Định nghĩa 1.6

Không gian tôpô (X,τ) được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở

của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn

Ta có: (X,τ) là không gian compact

b) Không gian compact địa phương

Không gian tôpô X là không gian compact địa phương nếu với mỗi x thuộc X đều tồn tại một lân cận đóng và compact

)

n i i

Điểm bất thường cô lập z = a của hàm chỉnh hình f(z) được gọi là

a) Cực điểm của f(z) nếu lim

Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong miền D⊂ C nếu tồn tại một

tập hợp điểm ( hữu hạn hoặc vô hạn ) các điểm cô lập { ai }i∈I, ai∈ D, ∀i ∈ I sao

cho mỗi điểm trong tập đó là một cực điểm của hàm f(z) và f là hàm chỉnh hình trên D\{a i}i I∈ Nói cách khác trong hàm f không có các điểm bất thường nào ngoài cực điểm Nếu D = C thì ta nói f(z) phân hình trên C hay đơn giản f(z) là

14

1.5.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức

Giả xử M , N là các đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M→ N được gọi là

chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọi bản đồ địa phương ( V, ψ ) của N sao cho f(U) ⊂ V thì ánh xạ

ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N

1.5.4 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức

Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và D là đĩa đơn vị trong C Giả sử (U, , m)

z z là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x

Đặt zα =xα +iyα, trong đó xα và yα là các giá trị thực Khi đó ( 1, , m, , ,1 m

x x y y ) là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được xem như là đa tạp khả vi 2m chiều Giả sử T M x là không gian vectơ thực 2m chiều,

là một cơ sở của T M x Kí hiệu T M x ⊗R C là phức hóa c ủa T M z

khi đó (1) cũng là một cơ sở của không gian véc tơ phức T M x ⊗R C

Ta định nghĩa phép chiếu :TMπ →M bởi điều kiện (π T M x )= x

Khi đó TM có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình Cụ thể hơn, giả sử ( 1, , m

z z ) là hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định trên một tập con mở U của M Khi đó ta có

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của TM

Ta gọi TM là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M

1.6 Cung tham số

1.6.1 Định nghĩa 1.8

Cho M là không gian phức, mỗi ánh xạ ρ: G→M từ một tập mở G⊂ς

vào M được gọi là cung tham số trong M

Cho ánh xạ (khả vi) f U: →V (Umở thuộc M, V mở thuộc N) với mỗi

p U∈ có ánh xạ, kí hiệu T f T U p : P →T f p( )V xác định bởi: cho αP∈T U P , coi

( )0

α =ρ ρ → là một cung tham số, thì T f p ( )αp =( f ρ)'( )t0 Khi p

đã rõ thì ta kí hiệu f∗ thay cho T f p Ánh xạ T f p gọi là ánh xạ tiếp xúc tại p của

f

Chú ý: f∗ là một ánh xạ tuyến tính

b) Ánh xạ f∗(“kéo lùi” dạng vi phân hay ánh xạ đối “tiếp xúc”)

f là một ánh xạ khả vi từ tập mở U ⊂M vào tập mở V ⊂ N thì mỗi 0,1,2,

U là tập mở trong M, một dạng vi phân bậc hai w trên U là việc đặt ứng

với mỗi p U∈ , một ánh xạ R − song tuyến tính phản đối xứng

w :p T U p ×T U p → ℝ

18

khi đó ta ký hiệu tập hợp các dạng vi phân bậc hai trên U là 2( )

U

1.7 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm

1.7.1 Tô pô compact mở

Giả sử X, Y là các không gian tô pô Gọi F là một họ các ánh xạ từ X vào

Y

+ Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không gian Y,

ta định nghĩa: W(K,U)={f \ f(K)⊂ U}

Họ tất cả các tập W(K,U), trong đó K là một tập con compact bất kì của X

và U là một tập mở trong Y, là một tiền cơ sở của tô pô compact mở C trên F

Do đó họ tất cả các giao hữa hạn các tập hợp dạng W(K,U), trong đó K và

U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tô pô compact mở trên F Một

phần tử tùy ý của cơ sở đó có dạng {W( ,∩ K U i i i =1, , }n trong đó mỗi K ilà

tập con compact của X và mỗi U i là một tập con mở của Y

+ Giả sử { }f n là một dãy trong F Ta nói dãy { } f n hội tụ tới f ∈ F đều trên các tập con compact của X ( hay hội tụ theo tôpô compact mở ) nếu với mỗi tập con

compact K của X và mỗi tập mở U của Y thỏa mãn f(K) U⊂ , tồn tại n o > sao 0

cho với mọi n ≥ n0 ta có ( )f K n ⊂U

1.7.2 Compact hóa một điểm

Giả sử X là một không gian tôpô không compact Cặp ( Y, ϕ ), trong đó Y

là một không gian compact, : Xϕ → là một phép nhúng đồng phôi X vào Y Y

sao cho ( )ϕ X trù mật trong Y, gọi là một compact hóa của X

Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian compact Giả sử Y là một không gian tôpô không compact và ∞ là một điểm không thuộc Y Đặt

{ }

Y+ =Y ∪ ∞ Ta trang bị cho Y+ một tôpô τ như sau :

- Nếu G là một tập hợp trong Y+ không chứa ∞ , tức là G ⊂ Y, thì G ∈ khi τ

và chỉ khi G mở trong Y

- Nếu G là một tập hợp trong Y+ chứa ∞ thì G∈ khi và chỉ khi τ Y+ \G là

một tập hợp đóng và compact trong X

+ Giả sử Z là đa tạp thức và E là phân thớ véctơ phức trên Z

Hàm độ dài trên E là một hàm H từ E vào tập các số thực không âm thỏa mãn

i) H(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0

ii) Với mọi số phức c ∈ C, ta có:

H(cv) = c H v ( )

iii) H là hàm liên tục

Ta cũng kí hiệu H(v) bởi v H hoặc v nếu H đã được xác định

+ Hàm H : E →R≥0 được gọi là hàm nửa liên tục trên nếu với v ∈ E và

ε > 0, tồn tại lân cận W của v trong E sao cho với mọi w ∈ W ta có

ii) d(x,y) = d(y,x)

iii) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Nếu d chỉ thỏa mãn ii), iii) và d(x,y) ≥ 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X

c) Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài

20

Giả sử TZ là phân thớ tiếp xúc của đa tạp z Giả sử H là hàm độ dài trên TZ

mà ta cũng gọi là hàm độ dài trên Z

Nếu :[ , ]γ a b → là đường cong lớp Z C−1 trên Z, thì ta định nghĩa

và gọi L H là độ dài của đường cong γ ứng với hàm độ dài H

Với x,y ∈ X, ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữa hạn các đường cong

d) Ánh xạ khả vi và hàm độ dài

Giả sử f : Y →Z là ánh xạ khả vi giữa các đa tạp, khi đó có ánh xạ tiếp xúc

df = f TY∗: →TZ ,

và ta có thể kéo lùi hàm độ dài H trên TZ thành một hàm độ dài, ký hiệu là

f H∗ , trên TY bởi công thức

Giả sử X là đa tạp phức và A là tập con giải tích trong X Khi đó, nếu f: X \

A → C là chỉnh hình và f bị chặn địa phương trên X thì tồn tại duy nhất thác triển chỉnh hình F : X → C của f

khi đó f đạt các giá trị 0 và 1 trên hai thành phần của X, do đó f không thể thác

triển chỉnh hình được qua gốc (0,0)

1.10 Định lý Ascoli

1.10.1 Định nghĩa 1.11

Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y Họ F được gọi là liên tục đồng đều (even continuous) từ x ϵ X tới y

ϵ Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của điểm x và

lân cận W của điểm y sao cho

Nếu f (x)∈W thì f (V)⊂ U với mọi f ∈ F

nếu F là liên tục đều với mọi x∈ X và mọi y∈Y thì F được gọi là liên tục đều từ

X đến Y

1.10.2 Định lý Ascoli (đối với họ liên tục đồng đều)

22

Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y) từ không gian chính quy compact địa phương X và không gian Hausdorff Y và C(X,Y) có tôpô compact mở Khi đó F là compact tương đối trong C(X,Y) nếu và chỉ nếu hai

điều kiện sau được thỏa mãn:

i) F là h ọ liên tục đều

ii) V ới mỗi x∈X, tập hợp F x ={ f (x) | f ∈F} là compact tương đối trong Y

1.11 Phủ chỉnh hình

Ánh xạ chỉnh hình π:X'→X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi

x∈X, có lân cận mở U chứa x mà π-1(U) là hợp rời rạc những tập mở U α của 'X

khi đó X' gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi x∈ X,

π-1(x) gọi là thớ trên x của phủ π

1.12 Không gian phân thớ

1.12.1 Phân thớ véc tơ

Ánh xạ liên tục π: E→ X giữa các không gian Hausdorff được gọi là phân thớ K-vectơ bậc τ nếu các điều kiện sau thỏa mãn

i) Với mỗi p∈ X, Ep :=π-1(p) là K-không gian vectơ τchiều (E p được

gọi là thớ trên p) và gọi là compact hóa 1 điểm hay compact hóa Alếchxanđrốp

của Y

ii)Với mỗi p∈X tồn tại lân cận U của p và một đồng phôi

h: π-1 (U)→ U× Kτthỏa mãn h(E P)⊂ {P}× Kτvà h p, xác định bởi phép hợp thành

h p : E ph→ {p}× Kτ procj→ Kτ,

là đẳng cấu K-không gian vectơ (cặp(U,h) được gọi là một tầm thường hóa địa

phương)

1.12.3 Phân thớ kéo lùi

Giả sử π :E→ Y là phân thớ vectơ và f :X→ Y là ánh xạ chỉnh hình giữa

các không gian phức Khi đó có phân thớ vectơ ( f -1 E,π ' , X), trong đó

f -1E:= {(x,e)∈ X× E; thỏa mãn f (x) = π(e)},

và π-1=pτ1 là phép chiếu lên thành phần thứ nhất Phân thớ (f -1 E,π’,X) được

gọi là phân thớ kéo lùi (phân thớ pull-back) của phân thớ (E,π,Y) bởi ánh xạf

1.12.5 Tổng Whitney của hai phân thớ

Giử sử πv : V→ X, π w : W→ X là hai phân thớ vectơ Khi đó :

V ⊕ W := V ×X W = {(v,w)∈ V × W : π V (v) = π w (w)}

có cấu trúc phân thớ vectơ được xác định như sau :

Gỉả sử {U i } là một phủ mở của X với các tầm thường hóa địa phương

Φi : V| U i→ U i× Cτvà Ψ : W|U i→ U i× C k

Tầm thường hóa địa phương của V ⊕ W được xác định bởi

(V⊕W) |U i ={(v,w)∈ V× W ; π V (v) = π W (w)∈ U i}→Ui ×Cτ+k

(v,w)֏ (π v (v),pτ1 Φi (v), pτ2 Φi (w))

phân thớ vectơ π:V⊕W→ X ; π(v,w) := πv (v) = π w (w) được gọi là tổng

Whitney của hai phân thớ πv : V→ X, πw : W→X

24

1.13 Hàm đa điều hòa dưới

+ Giả sử D là miền trong C Một C2 – hàm h xác định trên D được gọi là

điều hòa nếu

∆h := 4 2h

z z

∂

∂ ∂ = 0 trên D

+ Hàm u : D→ [-∞,∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u

thoả mãn hai điều kiện sau:

i) U là n ửa liên tục trên trong D, tức là tập {z∈D; u(z) < s} là tập mở với mỗi số

th ực s ;

ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G→R là điều hòa trong G và liên t ục trong G ta có: n ếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤ h trên G

Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần và đủ với mỗi điểm z∈D, tồn tại τ0(z) > 0 sao cho

∫ với mọi τ< τ0(z) + Giả sử G là một tập con mở trong C n

Một hàm φ: G→ [-∞,∞)

được gọi là đa điều hòa dưới nếu

i) φ là nửa liên tục trên và φ không đồng nhất với -∞ chỉ trên thành phần liên thông của G

ii) Với mỗi z 0 ∈ G và a ∈ Cn mà a≠0, và với mỗi ánh xạ τ: C→C n , τ(z)

= z 0 + az, hàm φ τ trên mỗi thành phần liên thông của τ-1 (G) (là các miền trong C) hoặc bằng -∞ hoặc là điều hòa dưới

Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa:

Giả sử X là một không gian phức Một hàm đa điều hòa dưới trên X là một hàm φ: X→[-∞,∞) thỏa mãn tính chất sau:

Với mỗi x∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạ song chỉnh hình h: U→V lên một không gian phức con đóng V của một miền G

25

⊂C m nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ: G → [-∞,∞) sao cho φ|U =

ϕ h

Nhận xét

+ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương

+ Fornaess và Narasimhan ([F-N]) đã chứng minh rằng hàm nửa liên tục trên

φ:X→ [-∞,∞) trên một không gian phức X là đa điều hòa dưới nếu và chỉ

nếu ϕ f hoặc là điều hòa dưới, hoặc bằng -∞với mọi ánh xạ chỉnh hình

f :D→ X, trong đó D là đĩa đơn vị trong C

+ Hàm φ: X→ [-∞,∞) được gọi là hàm vét cạn nếu φ-1([−∞, c]) là compact với mọi c∈ R

1.14 Lân cận đa đĩa

V được gọi là lân cận đa đĩa của z0 nếu V chứa ít nhất 1 điểm kì dị và lân

cận của điểm kì dị đó nằm trọn trong

1.15 Phân hoạch

Cho X là một tập hợp và ( )A i I là họ các tập con khác rỗng của X Ta nói

rằng ( )A i I là một phân hoạch của X nếu:

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC

2.1 Giả khoảng cách kobayashi trên không gian phức

Với 0 < r < ∞ ta đặt D r = { z ∈ C , z < r }, D1 = D, và gọi Dr là đĩa bán

kính r, D là đĩa bán kính trong C

2.1.1 Metric Bergman – Poincré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa

Metric Bergman – Poincré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa đơn vị D và đĩa Dr được định nghĩa như sau: