Về không gian tuyến tính 2định chuẩn

Một số định lý điểm bất động đối với một lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian 2-mêtric11 2 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn và một số tính chất hình học chúng 24 2.1.. Một số tính ch

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Không gian 2-mêtric và định lý điểm bất động 4

1.1 Không gian 2-mêtric 4

1.2 Một số định lý điểm bất động đối với một lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian 2-mêtric11

2 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn và một số tính chất hình học chúng 24

2.1 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn 24

2.2 Không gian 2-Banach 30

2.3 Một số tính chất hình học của không gian tuyến tính 2-định chuẩn

38

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

MỞ ĐẦU

Năm 1963, S G¨ahler (xem [7]) đã đưa ra một lớp không gian có cấutrúc kiểu không gian mêtric là không gian 2-mêtric Sau đó, nhiều nghiêncứu về các tính chất giải tích được thực hiện trên lớp không gian này Cụthể, các vấn đề hội tụ, liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động choánh xạ co, trên lớp không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhàtoán học khác (xem [7], [9], )

Một sự tự nhiên là từ sự ra đời của không gian 2-mêtric người ta xâydựng được lớp không gian tốt hơn đó là không gian tuyến tính 2-địnhchuẩn Từ đó, việc nghiên cứu các tính chất hình học của không giantuyến tính 2-định chuẩn và mở rộng các các định lý điểm bất động cổ điểntrên lớp không gian này thu hút một số nhà toán học làm việc trong lĩnhvực giải tích hàm quan tâm giải quyết (xem [10], ) Với mục đích tìmhiểu một cách chi tiết và có hệ thống về không gian 2-mêtric, không giantuyến tính 2-định chuẩn, một số tính chất hình học của chúng và một vàiđịnh lý điểm bất động đối với một số lớp ánh xạ co suy rộng trên không

gian 2-mêtric, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: Về không gian tuyến tính 2-định chuẩn.

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 trình bày các kết quả căn bản về không gian 2-mêtric và đưa

ra một kết quả mở rộng của Lai S N and Singh A K về định lý điểmbất động đối với lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian 2-mêtric đầy đủ.Chương 2 nghiên cứu một số kết quả mở đầu về không gian tuyếntính 2-định chuẩn, không gian 2-Banach và một số tính chất hình học của

không gian tuyến tính 2-định chuẩn.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫnchu đáo, tận tình của Thầy giáo T.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, quíThầy Cô trong tổ Giải tích khoa Toán-trường Đại học Vinh đã giúp đỡtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng xin gửi lờicảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán-Tin trường THPT Hậu Lộc 4-ThanhHoá, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các học viên cao học khóa

18 Toán-Giải tích tại Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúptác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập Mặc dù đã córất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảoquý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để luận văn đượchoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 8 năm 2012

Hoàng Thị Thuỷ

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chương này trình bày các kết quả căn bản về không gian 2-mêtric vàđưa ra một kết quả mở rộng của Lai S N and Singh A K (xem [9]) vềđịnh lý điểm bất động đối với lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian2-mêtric đầy đủ

1.1 Không gian 2-mêtric

Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2-mêtric

1.1.1 Định nghĩa ChoX là tập hợp gồm ít nhất 3 điểm Một 2-mêtric

trên X là một ánh xạ :

ρ : X × X × X →Rthoả mãn các điều kiện sau:

i) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a ̸= b, tồn tại một điểm c nào đóthuộc X thoả mãn

ρ(a, b, c) ̸= 0.

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0

ii) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X.

iii) ρ(a, b, c) 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X

Khi đó, (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric.

1.1.2 Chú ý Dễ dàng thấy rằng ρ không âm Thật vậy, trong iii) cho

ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,

1.1.4 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét 2-mêtric:

ρ(a, b, c) =

{

1 nếu a, b, c khác nhau đôi một

0 nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau.

i) Lấy a, b ∈ N ; a ̸= b thì luôn tồn tại c ∈ N, c ̸= a, c ̸= b sao cho:

ρ(a, b, c) = 1 ̸= 0.

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0

ii) Với mọi a, b, c ∈ N thì

ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b).

iii) Lấy a, b, c, d ∈ X

- Nếu có ít nhất 2 trong 3 điểm a, b, c bằng nhau thì hiển nhiên

0 = ρ(a, b, c) = ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d).

- Nếu a, b, c khác nhau đôi một thì

ρ(a, b, c) = 1 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d), ∀a, b, c, d ∈ N,

(do (a, b, d), hoặc (a, c, d), hoặc(b, c, d) khác nhau đôi một) Vậy (N, ρ) là

một không gian 2-mêtric.

1.1.5 Ví dụ. (R2, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diệntích tam giác tạo bởi 3 đỉnh x, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ:

S ABC = S BCA = S CAB , ∀(A, B, C) ∈ R2 ×R2×R2.

iii) Lấy (A, B, C) ∈ R2 ×R2×R2.

Trường hợp 1: Nếu S ABC = 0 thì hiển nhiên

0 = S ABC 6 S ABD + S ACD + S BCD , ∀D ∈ R2.

Trường hợp 2: Nếu S ABC > 0 : LấyD bất kỳ, D ∈ R2, có 3 khả năng sauxảy ra:

KN1: D không nằm miền ngoài tam giác ABC (D nằm miền trong

hoặc nằm trên các cạnh, Hình 1) thì

S ABC = S ABD + S ACD + S BCD

KN2: D nằm ở miền (1),(3),(5) như Hình 2 Không mất tính tổng

quát, giả sử D ∈ miền (1) Khi đó

S ABC = S BCD − S ACD − S ABD < S ABD + S ACD + S BCD

KN3: D nằm ở miền (2),(4),(6) và biên như Hình 3 Không mất tính

tổng quát, giả sử D ∈ miền (4) Khi đó

S ABC = S ABD + S ACD − S BCD < S ABD + S ACD + S BCD

Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric

A

B

C D

1.1.6 Định nghĩa Cho(X, ρ) là một không gian 2-mêtric Dãy {x n } ⊂

X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim

n →∞ ρ(x n , x, a) = 0, với mọi a ∈ X

1.1.7 Mệnh đề Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Khi đó

1)Nếu dãy {x n } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X và {x n } ⊂ X hội tụ tới y thì

x = y

2) Nếu dãy {x n } hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới

x

Chứng minh. 1) Giả sử x ̸= y Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho

1.1.8 Mệnh đề Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Nếu {x n } ⊂

X hội tụ tới x thì ρ(x n , a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞ , với mọi a, b ∈ X

Chứng minh. Giả sử x n hội tụ tới x Khi đó ρ(x n , x, a) → 0 khi n → ∞

với mọi a ∈ X Với mọi a, b ∈ X ta có

ρ(x n , a, b) 6 ρ(x n , x, a) + ρ(x n , x, b) + ρ(x, a, b)

⇔ ρ(x n , a, b) − ρ(x, a, b) 6 ρ(x n , x, a) + ρ(x n , x, b). (1.1)Tương tự, ta có

ρ(x, a, b) 6 ρ(x n , x, a) + ρ(x n , x, b) + ρ(x n , a, b)

⇔ −ρ(x n , x, a) − ρ(x n , x, b) 6 ρ(x n , a, b) − ρ(x, a, b). (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra

|ρ(x n , a, b) − ρ(x, a, b)| 6 ρ(x n , x, a) + ρ(x n , x, b).

Cho n → ∞ ta nhận được điều cần chứng minh

1.1.9 Định nghĩa Cho(X, ρ) là một không gian 2-mêtric Dãy {x n } ⊂

X được gọi là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞ ρ(x m , x n , a) = 0, với mọi a ∈ X

1.1.10 Nhận xét Sử dụng Mệnh đề 1.1.8 ta dễ dàng chứng minh được

dãy hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy Thật vậy, giả sử x n

hội tụ tới x ∈ X, ta luôn có

Do đó, {x n } là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric X

1.1.11 Định nghĩa Không gian 2-mêtric(X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu

mọi dãy Cauchy đều hội tụ

1.1.12 Định nghĩa Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian 2-mêtric.1)ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy

{x n } ⊂ X hội tụ tới x thì dãy f (x n) hội tụ tới f (x) trong Y

2)ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.Trong định nghĩa trên ta có thể thay (Y, d) là không gian mêtric

1.1.13 Định nghĩa Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là compact theo dãy nếu mọi dãy {x n } ⊂ X đều chứa dãy con hội tụ trong X

1.1.14 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X →

R như sau

ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,

và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có 2 phần tử bằng nhau

Khi đó, dễ dàng chứng minh được (X, ρ) là một không gian 2-mêtricđầy đủ Ngoài ra, X compact theo dãy Tổng quát, nếu X hữu hạn thì

(X, ρ) compact theo dãy với mọi 2-mêtric ρ

1.1.15 Định lý Mọi ánh xạ liên tục từ không gian 2-mêtric compact

theo dãy (X, ρ) vào R (với mêtric thông thường) đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Chứng minh Giả sử (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy và

f : X → R là ánh xạ liên tục Đầu tiên, ta chứng minh f (X) là tập bịchặn

Giả sử ngược lạif (X) không bị chặn Khi đó, tồn tại dãy{x n } ⊂ X saochoy n = f (x n) → ∞.VìX là compact theo dãy nên tồn tại dãy con{x n k }

của {x n } sao cho x n k hội tụ tới x ∈ X Vì f liên tục nên f (x n k) → f(x)

Từ đó suy ra: f (x) = ∞.Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy f (X) là tập

bị chặn Gọi m = inf f (X) và M = sup f (X) Khi đó tồn tại các dãy

f (x n k ) = y n k → m; f(x ′ n k ) = z n k → M. (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra

f (x0) = m; f (x ′

0) = M.

Vậy, m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên X

1.2 Một số định lý điểm bất động đối với một lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian 2-mêtric

Mục này đưa ra một kết quả mở rộng của Lai S N and Singh A K.(xem [9]) về định lý điểm bất động đối với lớp ánh xạ co suy rộng trênkhông gian 2-mêtric đầy đủ

1.2.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Một ánh xạ

f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho

ρ(f x, f y, a) 6 qρ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X. (1.5)

Định lý sau là một tương tự của nguyên lý ánh xạ co Banach trongkhông gian mêtric.

1.2.2 Định lý Nếu (X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ và f : X →

X là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động.

Định lý sau là một tương tự của Định lý điểm bất động của Brouwer

1.2.3 Định lý Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy Nếu f : X → X thoả mãn

ρ(f x, f y, a) < ρ(x, y, a), ∀x, y ∈ X, x ̸= y

thì f có duy nhất một điểm bất động.

1.2.4 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric

1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {y n }

sao cho dãy {T y n } hội tụ thì dãy {y n } cũng hội tụ

2) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy con hội tụ nếu với mọi dãy

{y n } sao cho dãy {T y n } hội tụ thì dãy {y n } có dãy con hội tụ

1.2.5 Mệnh đề Cho T : X → X là một song ánh Khi đó:

1) Nếu T liên tục và dãy hội tụ thì T −1 liên tục.

2) Nếu T −1 liên tục thì T dãy hội tụ.

Định lý sau đây đưa ra một kết quả về sự tồn tại điểm bất động đốivới lớp ánh xạ co suy rộng Đây là sự mở rộng thực sự một kết quả Lai S

N và Singh A K (xem [9])

1.2.6 Định lý Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và ánh

xạ T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ Nếu ϕ1, ϕ2 : X → X

là hai ánh xạ thoả mãn với ∀x, y, a ∈ X,

b ∈ Xsao cho T b = a. Vì vậy, với mỗi a bất kỳ thuộcX ta có

sử công thức (1.10) đúng với mọi 0 6 m 6 k − 1, tức là ta cần chứngminh

ρ(y m , y n , a)6 ρ(y m , y m+1 , a) + ρ(y m , y m+1 , y n ) + ρ(y m+1 , y n , a)

= ρ(y m , y m+1 , a) + ρ(y m+1 , y n , a), ∀a ∈ X, ∀m < n

Từ (1.9), (1.11) và điều kiện iii) Mục (1.1.1), ta có

ρ(y m , y n , a)6 ρ(y m , y m+1 , a) + ρ(y m+1 , y m+2 , a) + · · · + ρ(y n−1 , y n , a)

Vì αβ < 1, nên vế phải của bất đẳng thức trên hội tụ tới 0khi m, n →

∞ Từ đó suy ra {y n } là dãy Cauchy Vì X là không gian 2-mêtric đầy

đủ nên y n hội tụ tới y ∈ X Tức là

Do đó:

T x = T y.

Điều này chứng tỏ x là điểm bất động chung duy nhất của Φ2.

Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được x là điểm bất động chungcủa Φ1 Như vậy, Φ1 và Φ2 có một điểm bất động chung duy nhất Định

Khi đó, Φ1 và Φ2 có một điểm bất động chung duy nhất.

Ta nhận được hệ quả sau từ kết quả trên của Lai và Singh

1.2.8 Hệ quả Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và

1.2.9 Hệ quả Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ Cho

T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ Cho Φ1, Φ2 : X → X

1.2.10 Chú ý Trong Định lý (1.2.6) ta có thể thay điều kiệnT song ánhbởi điều kiện T đơn ánh thỏa mãn nếu ρ(

x, y, T (z))

, ∀z ∈ X thì x = y

Ví dụ sau chứng tỏ Định lý (1.2.6) là mở rộng thực sự từ Hệ quả (1.2.7)của Lai S N và Singh A K

1.2.11 Ví dụ Cho (R2, ρ) là không gian 2-mêtric, trong đó ρ(x, y, z) làdiện tích tam giác có các đỉnh x, y, z ∈ R2

Xét các tập X = X1 ∪ X2 ⊂R2, trong đó

X1 = {(x, 16) : x > 1}

và

X2 = {(16, y) : y > 1}.

Khi đó, X là không gian 2-mêtric đầy đủ với 2-mêtric cảm sinh từ R2

Xét hai ánh xạ Φ1 = Φ2 = Φ trên X xác định bởi

Dễ dàng kiểm tra được (16, 16) là điểm bất động duy nhất của Φ1 và Φ2.Tuy nhiên, Φ1, Φ2 không thoả mãn Hệ quả (1.2.7) Cụ thể hơn điều kiện(1.12) trong Hệ quả này không được thoả mãn với mọi a, b, c ∈ X Để làm

rõ điều này, ta xét hai trường hợp sau của a3 và a4.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh ánh xạ Φ1, Φ2 thoả mãn Định lý (1.2.6)với a1 = a2 = a3 = a4 = 0, a5 = 1

2 và ánh xạ T : X → X xác định nhưsau:

Dễ dàng kiểm tra được T là song ánh, liên tục và dãy hội tụ Với mỗi

a, b, c ∈ X, điều kiện (1.6) đúng nếu có hai điểm trong a, b, c trùng nhau

Vì vậy, ta cần kiểm tra điều kiện (1.6) khi ba điểm đôi một khác nhau

Ta suy ra điều kiện (1.6) đúng Vì vậy ta quy về xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a = (x, 16) ∈ X1, b = (y, 16) ∈ X1 vàc = (16, z) ∈ X2thì:

X1 thì ta thu được điều kiện (1.6) với tính toán tương tự

Vì vậy, ta có thể áp dụng Định lý (1.2.6) đối với Φ1 và Φ2

Hệ quả sau đây là một dạng tổng quát của Định lý (1.2.6)

1.2.12 Hệ quả Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và ánh

xạ T : X → X là song ánh, liên tục và dãy hội tụ Cho Φ1, Φ2 : X → X

tron q ∈ [0, 1) Khi đó, Φ1 và Φ2 có duy nhất một điểm bất động.

1.2.13 Hệ quả Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric đầy đủ và

T : X → X là một song ánh, liên tục và dãy hội tụ Giả sử Φ1, Φ2 :

X → X là các ánh xạ sao cho với mọi x, y, a ∈ X :

2.1 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn

Mục này trình bày khái niệm và những kết quả mở đầu về không giantuyến tính 2-định chuẩn

2.1.1 Định nghĩa ChoX là một không gian tuyến tính trên trường K,

có số chiều lớn hơn 1 và ánh xạ ∥., ∥ : X × X → R thỏa mãn các điềukiện sau

i)∥x, y∥ = 0 nếu và chỉ nếu x và y phụ thuộc tuyến tính

ii)∥x, y∥ = ∥y, x∥, với mọi x, y ∈ X

iii)∥αx, y∥ = |α|.∥x, y∥, với mọi x, y ∈ X,∀α ∈ K

iv)∥x, y + z∥ 6 ∥x, y∥ + ∥x, z∥,∀x, y, z ∈ X

Khi đó, ánh xạ ∥., ∥ được gọi là 2-chuẩn trên X và (X, ∥., ∥) là một

không gian tuyến tính 2-định chuẩn.

2.1.2 Nhận xét 2-chuẩn ∥., ∥ là hàm không âm

Chứng minh áp dụng điều kiện (iv), trong Định nghĩa 2.1.1 cho z = −y,

ta có

0 = ∥x, 0∥ 6 ∥x, y∥ + ∥y, −y∥ = ∥x, y∥, ∀x, y ∈ X.

2.1.5 Định lý Giả sử (X, ∥., ∥) là không gian tuyến tính 2-định chuẩn Khi đó, công thức

ρ(x, y, z) = ∥x − z, y − z∥,

với mọi x, y, z ∈ X

Để mỗi không gian 2-mêtric là không gian tuyến tính 2-định chuẩn cầnthêm một số điều kiện khác (xem [8]).

Như vậy sự hội tụ của dãy trong không gian tuyến tính 2-định chuẩnđược xác định bởi sự hội tụ của dãy đối với 2-mêtric sinh bởi 2-chuẩn Nóicách khác x n hội tụ tới x khi và chỉ khi

(2) Nếu x n → x và α n → α khi n → ∞ thì α n x n → αx khi n → ∞.

(3) Nếu dimX > 2, x n → x và x n → y khi n → ∞ thì x = y

Chứng minh. (1) Theo tính chất (iv) của Định nghĩa (2.1.1), với mọi

a ∈ X ta có

∥(x n + y n)− (x + y), a∥ = ∥(x n − x) + (y n − y), a∥

6 ∥x n − x, a∥ + ∥y n − y, a∥.

Vì x n → x và y n → y khi n → ∞ nên ∥x n − x, a∥ → 0 và ∥y n − y, a∥ → 0

khi n → ∞. Do đó khi n → ∞ ta có ∥(x n + y n)− (x + y), a∥ → 0. Ta suy