Một vài kết quả về iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương

Cho R là vành Noether, giao hoán có đơn vị, M là R - môđun, vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm giải quyết, đó là: "tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phươn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Nga

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Nga

Chuyên ngành : Đại Số và Lý Thuyết Số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

2 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 19

2.1 Iđêan nguyên tố liên kết 192.2 Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương 25

Lời Nói Đầu

Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A Grothendieck đóng một

vai trò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán Cho R là vành Noether, giao hoán có đơn vị, M là R - môđun, vấn đề được nhiều nhà

toán học quan tâm giải quyết, đó là: "tập các iđêan nguyên tố liên kết của

môđun đối đồng điều địa phương Hai (M ) có hữu hạn với mọi iđêan a của

R không? Trong thời gian qua, các nhà toán học tiêu biểu như Huneke,

Sharp, Lyubenik, Hellus, Khashyarmanesh, Brodmann, Singh, Divaani Aazar, Mafi, Dibaei, Yassemi, Asadollahi, P Shenzel, Nguyễn Tự Cường,Trần Tuấn Nam, Lê Thanh Nhàn, đã nghiên cứu vấn đề này và thuđược nhiều kết quả quan trọng Họ đã chứng minh kết quả này khôngđúng trong trường hợp tổng quát nhưng đúng trong một số trường hợpđặc biệt Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ nghiên cứu lại một

-số kết quả về iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phươngnhằm giúp chúng ta lĩnh hội toàn diện hơn vấn đề này và làm cơ sở chonhững nghiên cứu tiếp theo Luận văn được chia làm hai chương:

Chương I: Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số mệnh

đề sử dụng trong chương II

Chương II: Iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương.Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu những tínhchất của iđêan nguyên tố liên kết trên phạm trù các môđun

Phần tiếp theo là nghiên cứu điều kiện để tập các iđêan nguyên tố liên

kết của môđun đối đồng điều địa phương Hai (M ) hữu hạn Cụ thể, chúng

tôi nghiên cứu và chứng minh lại các kết quả sau:

Ta biết, nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Ass(Hai (M )) hữu hạn

với i = 0 Hơn nữa, nếu M là R - môđun khác không hữu hạn sinh có chiều

là n thì Han (M ) là môđun Artin và vì thế tập Ass(Han (M )) hữu hạn Từ

đó, Huneke trong [14] đã đưa ra phán đoán: Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì tập Ass(Han (M )) hữu hạn với mọi iđêan a của R và mọi i ∈ N.

Singh trong [29], Katzman trong [18] đã đưa ra một phản ví dụ cho phánđoán này Tuy nhiên, phán đoán này được chứng minh là đúng trong một

số trường hợp đặc biệt Khashyarmanesh và Salarian trong [17] chỉ ra đượckết quả:

Cho R là vành Noether, giao hoán có đơn vị, M là R - môđun hữu hạn sinh và i ∈ N0 Khi đó Ass(Hai (M )) là tập hữu hạn nếu và chỉ nếu một

trong hai điều kiện sau xảy ra:

i) SuppHat (M ) vô hạn với mọi t < i.

ii) môđun Hat (M ) hữu hạn sinh với mọi t < i.

Sau đó, Brodmann và Lashgani trong [5] đã đưa ra kết quả tổng quáthơn đó là:

Cho R là vành Noether, giao hoán có đơn vị, M là R - môđun hữu hạn sinh Lấy i ∈ N0 sao cho Haj (M ) là R - môđun hữu hạn sinh với mọi j < i Khi

đó với bất kì môđun con hữu hạn sinh N của Hai (M ), tập Ass(Hai (M )/N )

là hữu hạn.

Rồi Hellus trong [13 ] đã giảm thiểu vấn đề cho trường hợp iđêan a chỉtạo bởi hai và ba yếu tố và đã cho ra kết quả:

Cho (R, m) là vành địa phương và M là R - môđun hữu hạn sinh Giả sử

M là R - môđun Cohen - macaulay Khi đó với mọi iđêan a bất kì của R, tập Ass R (Haj (M )) hữu hạn với mọi j ∈ N nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau

được thỏa mãn:

i) Ass R (H (x,y)R2 (M )) là hữu hạn với mọi x, y ∈ R.

ii)Ass R (H (x,y,z)R3 (M )) là hữu hạn với mọi (x, y) ∈ R là M - dãy chính

quy lọc và mọi z ∈ R.

Kết quả này được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt khác

của M chẳng hạn J.Asadollahi và P Shenzel trong [2] với M là R - môđun Cohen - macaulay suy rộng, Lê Thanh Nhàn trong [26] với M là f −module

suy rộng

Đồng thời, từ chú ý nếu Hom R (R/a, Hat (M )) là hữu hạn sinh thì

Ass(Hom R (R/a, Hat (M )) = AssHat (M ) là tập hữu hạn Để nghiên cứu điều kiện hữu hạn của tập AssHat (M ) các nhà toán học chuyển sang nghiên cứu điều kiện hữu hạn sinh của Hom R (R/a, Hat (M )) Trong [1], J.Asadollahi,

Khashyarmanesh và Salarian đã chứng minh được kết quả sau:

Cho a là iđêan của R và M là R - môđun hữu hạn sinh Lấy n là số nguyên dương sao cho Hai (M ) hữu hạn sinh với mọi i < n Khi đó Hom R (R/a, Han (M ))

hữu hạn sinh.

Sau đó, Harstonrne[12] đã trình bày định nghĩa môđun cofinite

Một R - môđun M được gọi là a − cof inite nếu Supp(M ) ⊆ V ar(a) và Ext i R (R/a, M ) là hữu hạn sinh với mọi i.

Khái niệm này trở thành một công cụ khá hữu ích cho các nghiên cứugần đây Trong [8], Dibaei và Yassemi đã chứng minh được kết quả sau:

Cho a là iđêan của R Lấy n ∈ N và M là R - môđun sao cho Ext i R (R/a, M )

hữu hạn sinh với mọi i 6 n Nếu Hai (M ) là a - cofinite với mọi i < n thì

Hom R (R/a, Han (M )) hữu hạn sinh.

Từ đó người ta lại bắt đầu nghiên cứu tiếp tính hữu hạn sinh của

Ext i R (R/a, Hat (M )) với i > 0 để tìm điều kiện hữu hạn của tập Ass(Hai (M )).

Kết quả tiêu biểu được đưa ra bởi J.Asadollahi và P Shenzel trong [2], là:

Cho (R, m) là vành địa phương và M là R - môđun Cohen - Macaulay suy rộng Với a là iđêan bất kì của R và t = depth(a, M ) thì hai điều kiện sau tương đương:

i) Hom R (R/a, Hat+1 (M )) là hữu hạn sinh.

ii) Ext2R (R/a, Hat (M )) là hữu hạn sinh.

Nếu một trong hai điều này đúng với mọi iđêan a của R thì Ass(Hai (M ))

là tập hữu hạn với mọi i ∈ N.

Gần đây, sử dụng đối ngẫu Matlis, nhiều tác giả cũng có những kết quả

đẹp đối với vấn đề này Năm 1999 -2000, Nguyễn Tự Cường và Trần TuấnNam đã phát triển lý thuyết đồng điều địa phương và thu được một số kếtquả đối với môđun đối đồng điều địa phương

Dù đã hết sức cố gắng nhưng với số lượng thời gian và kiến thức cóhạn nên không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong những ý kiến đónggóp, phê bình và bổ sung của quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắccủa thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp này tôi xin chân thành bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạmThành phố Hố Chí Minh, lãnh đạo phòng Khoa học Công nghệ và Sau đạihọc, lãnh đạo Khoa Toán - Tin học của trường đã tạo mọi điều kiện choKhóa cao học 18 nói chung và Cao học Đại số - Lý thuyết số nói riênghoàn thành tốt nhiêm vụ học tập của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS MỵVinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên và các quý thầy côtham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và lý thuyết sốkhóa 18

Tôi xin cảm ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường Trung học phổ thôngLương Thế Vinh nơi tôi công tác và tất cả các bạn cùng khóa đã ủng hộ,giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôncho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt

Nguyễn Thị Hồng Nga

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và mệnh đề cầnthiết được sử dụng trong luận văn Chúng tôi không chứng minh chi tiếtcác mệnh đề Đọc giả có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [4], [6], [7], [19],[20]

Lý thuyết vành giao hoán gắn liền với các vấn đề iđêan và môđun, còn hàm

tử Hom, hàm tử Ext là những kiến thức cơ sở của đại số đồng điều Vì thế,khi tìm hiểu lý thuyết đối đồng điều ta không thể không nhắc đến các vấn

đề này Phần này trình bày một số khái niệm và mệnh đề về iđêan và môđunbao gồm: định lí tránh nguyên tố, định lí iđêan nguyên sơ, chiều và độ caocủa iđêan, linh hóa tử của một môđun, chiều của môđun, hàm tử Hom vàhàm tử Ext được sử dụng trong luận văn

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là một iđêan của R Radical của a, kí hiệu là √a hoặc rad(a), là tập các phần tử x ∈ R sao cho tồn tại số nguyên dương n để x n ∈ a.

Gọi V ar(a) là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứa a Khi đó

√

p∈V ar(a)

p

Định lí 1.1.1 (định lý tránh nguyên tố) Cho R là vành giao hoán có đơn

vị và p1, p2, , p n với n > 2 là các iđêan nguyên tố của R Lấy a là iđêan của R sao cho a ⊂

n

S

i=1

pi Khi đó a ⊂ p i với i nào đó.

Nhận xét: Từ định lý này ta có kết quả sau:

Nếu a 6⊂ pi với mọi i = 1, 2, , n thì tồn tại y ∈ a\

n

S

i=1

pi

Định nghĩa 1.1.2 Cho R là vành giao hoán, S là một tập con nhân của

R và M là một R-môđun Trên tập M × S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:

Với mọi (m, s); (m0, s0) ∈ M × S:

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : (ms0− m0s)t = 0

Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S.

Tập thương M × S/∼ được kí hiệu là S−1M ; lớp tương đương của (m, s) được kí hiệu là m/s.

Tập S−1M là S−1R - môđun với phép toán sau:

và được gọi là môđun các thương của M đối với S.

Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun S−1M thường được kí hiệu là Mp.

Định nghĩa 1.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một môđun Tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 gọi là giá

R-của M và được kí hiệu là Supp R (M ) hoặc đơn giản là Supp(M ).

NếuM là R-môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán có đơn vị R, S là mộttập con nhân củaR và p ∈ Spec(R) sao cho p ∩S = φ thì pS−1R ∈ Spec(R)

và (S−1M )pS−1R ∼ = Rp và khi đó

Supp S−1R (S−1M ) = {pS−1R : p ∈ Supp R M, p ∩ S = φ}

= Supp R (M ) ∩ Spec(S−1R)

Định nghĩa 1.1.4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một môđun Iđêan (0 : R M ) : = {x ∈ R | xM = 0} gọi là linh tử hóa của M , kí hiệu là Ann R M hoặc đơn giản Ann(M ).

R-Mệnh đề 1.1.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó:

i) Nếu N là môđun con của M thì Supp R M = Supp R M ∪ Supp R M/N ii) Supp R (M ) = {p ∈ Spec(R) : (0 : R M ) ⊆ p} = V (Ann R (M )).

iii) Với a là iđêan của R thì Supp R (M ) ⊂ V (a) ⇔ ∃ k ∈ N∗ : ak M = 0 và Supp R (M/aM ) = V (a) ∩ V (AnnM ) = V (a + AnnM )

iv) Nếu R là vành Noether và a là iđêan của R thì Supp R (R/a) = V (a).

Định nghĩa 1.1.5 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Một dây chuyền các iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thực sự của những iđêan nguyên

tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n−1 ⊂ pn của R Số nguyên n được gọi là độ dài của dây chuyền.

Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R gọi là chiều Krull của R hoặc đơn giản gọi là chiều của R Chiều Krull của R được kí hiệu là dimR.

Định nghĩa 1.1.6 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một môđun khác không Khi đó chiều của M , kí hiệu dimM , là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂

R-pn−1 ⊂ pn = p của SuppM

Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì dimM được xác định như sau:

+ Nếu M khác môđun không thì dimM = dim(R/AnnM )

+ Nếu M là môđun không thì dimM = −1

Định nghĩa 1.1.7 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và p là một iđêan nguyên tố của R Chiều cao của p, kí hiệu là height Rp hoặc đơn giản là heightp, là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n−1 ⊂ pn = p của R.

Định nghĩa 1.1.8 Cho a là iđêan của R Chiều cao của a, kí hiệu là height Ra hoặc đơn giản là heighta được xác định như sau:

height Ra = min{hieght Rp : p ∈ Spec(R) ∩ V ar(a)}

Cho M là mộtR-môđun khác không Chiều cao củaM, kí hiệu làheight R M

hoặc đơn giản là heightM, là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dâychuyên các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n = p của Supp R (M )

Choa là iđêan của R Chiều cao củaađối với môđunM, kí hiệu là height Ma

được xác định như sau:

height Ma = min{dim RpMp : p ∈ Supp R (M ) ∩ V ar(a)}

Định lí 1.1.2 (Định lí iđêan nguyên sơ suy rộng) Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và a là iđêan thật sự của R sinh bởi n phần tử Khi đó với mọi iđêan nguyên tố nhỏ nhất p của a ta có height Rp 6 n.

Định lí 1.1.3 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và a là iđêan thật sự của R có height Ra= n Khi đó tồn tại dãy các phần tử x1, x2, , x n sao cho height R (x1, x2, , x i ) = i với mọi i = 1, 2, , n.

Hàm tử Hom.

Định nghĩa 1.1.9 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và X, Y là các R-môđun Tập tất cả các đồng cấu từ môđun X tới môđun Y , kí hiệu là Hom(X, Y )

Cho đồng cấu α : A → B và X là một môđun cố định Xét các ánh xạ cảmsinh từ α là α∗ và α∗ được xác định như sau:

α∗ : Hom(X, A) → Hom(X, B) mà α∗(f ) = αf, ∀f ∈ Hom(X, A)

α∗ : Hom(B, X) → Hom(A, X) mà α∗(g) = gα, ∀f ∈ Hom(B, X)

các ánh xạ cảm sinh α∗ và α∗ là các đồng cấu nhóm

Khi đó ta có hàm tử Hom(X, −) : M od R → Ab là hiệp biến và hàm tử

Hom(−, X) : M od R → Ab là phản biến

Mệnh đề 1.1.2 Với mỗi môđun X và với bất kì dãy khớp ngắn các môđun 0 − → A −→ B χ −→ C − σ → 0 ta luôn có các dãy sau đây là khớp:

R-0 → Hom(X, A) −χ → Hom(X, B)∗ −σ → Hom(X, C)∗

0 → Hom(C, X) −σ∗ → Hom(B, X)−χ∗ → Hom(A, X)

Mệnh đề 1.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, a là iđêan của R và

M là R-môđun Khi đó Hom R (R/a, M ) ∼= 0 :M I.

Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun bất kì Nếu l(N ) < ∞ thì l(Hom(M, N )) < ∞.

Chú ý: Nếu X và Y là một phép giải nội xạ của môđun A thì X và Y làtương đương đồng luân Do đó:

Hom(C, X) ∼ = Hom(C, Y ) ⇒ H n (Hom(C, X)) ∼ = H n (Hom(C, Y ))

Mệnh đề 1.1.5 Cho R là vành giao hoán và A, C là các R-môđun Khi

đó Ext0(C, A) ∼ = Hom(C, A).

Mệnh đề 1.1.6 Nếu J là môđun nội xạ thì Ext n (G, J ) = 0 với mọi n > 0

và với mọi R-môđun G.

Mệnh đề 1.1.7 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Với mỗi R-môđun G

và với bất kì dãy khớp ngắn các R-môđun 0 → A −→ B χ −→ C → 0 ta luôn σ

có các khớp dài sau:

→ Ext n (C, G) −σ∗ → Ext n (B, G) −χ∗ → Ext n (A, G) −→ Ext E∗ n+1 (C, G) → (1)

→ Ext n (G, A) −σ → Ext∗ n (G, B) −χ → Ext∗ n (G, C) −→ Ext E∗ n+1 (G, A) → (2)

Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là 0 → Hom(C, G) = Ext0(C, G) (đối với (1)), 0 → Hom(G, A) = Ext0(G, A)

(đối với (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1,

Sau số chiều, độ sâu là số cơ bản bất biến của vành Noether địa phương giaohoán có đơn vị R Với độ sâu người ta có thể xác định được số phần tử củamột dãy chính quy, cũng như xác định được tính triệt tiêu của môđun Ext

Sự kết nối này mở ra cho đại số giao hoán hướng áp dụng trong lý thuyếtđồng điều Vì thế, dãy chính quy và độ sâu trở thành công cụ rất hữu íchtrong các nghiên cứu gần đây Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một sốkhái niệm và mệnh đề về dãy chính quy và độ sâu được sử dụng trong luậnvăn

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là môđun trên vành Noether địa phương giao hoán có đơn vị R Dãy x1, x2, , x n các phần tử của R được gọi là M - dãy chính quy nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

i) x i là M /(x1, x2, , x i−1 ) M - phần tử chính quy với mọi i = 1, 2, , n.

ii) M /(x1, x2, , x n ) M 6= 0

- Nếu dãy x1, x2, , x n chỉ thỏa điều kiện i) thì nó gọi là một M - dãy chínhquy yếu

- Cho a là iđêan thực sự của R, nếu x1, x2, , x n thuộc a thì x1, x2, , x n gọi

là M - dãy chính quy trong a

- Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy thì n là độ dài của nó

Mệnh đề 1.2.1 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R-môđun hữu hạn sinh và x1, x2, , x n là M - dãy chính quy Khi đó với mọi p ∈ SuppM mà x1, x2, , x n ∈ p thì x1/1, x2/1, , x n /1 là một Mp - dãy chính quy.

Định nghĩa 1.2.2 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, giao hoán có đơn vị, M là R-môđun hữu hạn sinh và a là iđêan của R M - dãy chính quy x1, x2, , x n trong a gọi là tối đại nếu x1, x2, , x n , x n+1 không là M - dãy chính quy với bất kì x n+1 ∈ a.

Tất cả các M - dãy chính quy tối đại trong ađều có cùng chiều dài là nđượcxác định như sau:

n = min

i : Ext i R (R/a, M ) 6= 0

Số n được gọi là độ sâu của a trên M, kí hiệu depth(a, M )

Định nghĩa 1.2.3 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn vị, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều n Hệ {x1, x2, , x n } các

phần tử của m được gọi là hệ các tham số của M nếu

l (M/ (x1, x2, , x n ) M ) < ∞

Mệnh đề 1.2.2 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn

vị, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều n Nếu {x1, x2, , x n } là hệ

các tham số của M thì dim (M/ (x1, x2, , x t ) M ) = n − t với mọi t 6 n.

Định nghĩa 1.2.4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn vị, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều n Hệ {x1, x2, , x t } (t 6 n)

các phần tử của m gọi là một bộ phận của hệ các tham số của M nếu dim (M/ (x1, x2, , x t ) M ) = n − t.

Mệnh đề 1.2.3 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn

vị, M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó mọi M - dãy chính quy là một bộ phận của hệ các tham số của M

Mệnh đề 1.2.4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn

vị, M là R-môđun hữu hạn sinh Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy thì dim (M/ (x1, x2, , x n ) M ) = dimM − n.

Lý thuyết đối đồng điều nghiên cứu những vấn đề của môđun đối đồng điều

và đồng điều địa phương, chẳng hạn như tính triệt tiêu, tính hữu hạn, tínhArtin, tính hữu hạn của tập các iđêan các nghiên tố liên kết, Vì thế, để tìmhiểu về tính hữu hạn của tập các iđêan các nghiên tố liên kết của môđun đốiđồng điều địa phương ta cần phải sử dụng đến các kết quả đã có của môđunđối đồng điều địa phương Phần này trình bày một số khái niệm và mệnh

đề liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương được sử dụng trong luậnvăn bao gồm hàm tử xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen

- Macaulay suy rộng, giới hạn thuận và bao nội xạ

Hàm tử xoắn.

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan

khác không của R Với mỗi R-môđun M , tập

Γa(M ) =[

n∈N (0 :M an ) = {x ∈ M | ∃n ∈ N, a n x = 0}

gọi là tập các phần tử của M được linh hóa bởi lũy thừa nào đó của a.

Rõ ràng Γa(M ) là một môđun con của M

Cho f : M → N là đồng cấu R-môđun thì ta có f (Γa(M )) ⊆ Γa(N ) Do đó

có ánh xạ cảm sinh Γa(f ) : Γa(M ) → Γa(N ) là ánh xạ thu hẹp của f trên

Γa(M ) Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R-môđun

+ M gọi là a - không xoắn khi Γa(M ) = 0.

+ M gọi là a - xoắn khi Γa(M ) = M

Mệnh đề 1.3.2 Cho R là một vành Noether giao hoán có đơn vị, a 6= 0

là iđêan của R và M là R-môđun Khi đó có các kết quả sau:

i) Γa(M/Γa(M )) = 0 và Γa(Γa(M )) = Γa(M ).

ii) Luôn tồn tại n ∈ N sao cho Γa(M ) = (0 : M an ).

iii) Nếu M là hữu hạn sinh thì M là a - không xoắn khi và chỉ khi a chứa một M - phần tử chính quy.

iv) Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó M là a - xoắn nếu và chỉ nếu tồn tại n ∈ N sao cho a n M = 0.

v) Nếu M là môđun nội xạ thì Γa(M ) cũng là môđun nội xạ.

Môđun đối đồng điều địa phương.

Định nghĩa 1.3.3 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, a là iđêan khác không của R và M là R-môđun Xét phép giải nội xạ của M :

là môđun đối đồng điều địa phương bậc i của M đối với a, kí hiệu Hai (−).

Mệnh đề 1.3.3 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, a 6= 0 là iđêan của R và M là R-môđun Khi đó ta có các kết quả sau:

i) Γa(M ) = Ha0(M ).

ii) Nếu M là R-môđun nội xạ thì Han (M ) = 0 với mọi n > 0.

iii) Với mọi n ∈ N, Han (M ) là R-môđun a - xoắn.

Mệnh đề 1.3.4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan khác không của R Khi đó:

i) Với mỗi R-môđun M , SuppHai (M ) ⊂ V (a) với mọi i.

ii) Supp(M ) ⊂ V (a) ⇔ Ha0(M ) ∼ = M và Hai (M ) = 0 với mọi i > 1.

Mệnh đề 1.3.5 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị.

Nếu 0 → L−→ M f −→ N → 0 là một dãy khớp của các R-môđun và các R - g

đồng cấu thì với mỗi i ta luôn có dãy sau đây là khớp:

Dãy Mayer - vietoris: Với mọi R môđun M và hai iđêan a, b của R ta

có dãy khớp dài sau được gọi là dãy Mayer - vietoris của M tương vứng với a, b.

0 → Ha+b0 (M ) → Ha0(M ) ⊕ Hb0(M ) → Ha∩b0 (M ) → Ha+b1 (M ) →

→ Ha1(M ) ⊕ Hb1(M ) → Ha∩b1 (M ) → → Ha+bi (M ) →

→ Hai (M ) ⊕ Hbi (M ) → Ha∩bi (M ) → Ha+bi+1 (M ) →

Như vậy với bất kì đồng cấu R-môđun f : M → N biểu đồ sau đây giao hoán với mọi i ∈ N:

Ha+bi (M ) −−→ Hai (M ) ⊕ Hbi (M ) −−→ Ha∩bi (M ) −−→ Ha+bi+1 (M )

Ha+bi (N ) −−→ Hai (N ) ⊕ Hbi (N ) −−→ Ha∩bi (N ) −−→ Ha+bi+1 (N )

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và a 6= 0 là iđêan của R Với mỗi R-môđun M , phép chiếu π : M → M/Γa(M ) cảm

sinh đẳng cấu Han (π) : Han (M ) → Han (M/Γa(M )) với mọi n > 0.

Mệnh đề 1.3.7 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan khác không của R Với mỗi R-môđun M thì Hai(Γa(M )) = 0 với mọi i > 0.

Mệnh đề 1.3.8 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị, M là môđun và a là iđêan của R sinh bởi n phần tử Khi đó Hai (M ) = 0 với mọi

R-i > n.

Mệnh đề 1.3.9 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, a là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh và n ∈ N Khi đó trong a có một M - dãy chính quy độ dài n khi và chỉ khi Hai (M ) = 0 với mọi i < n.

Mệnh đề 1.3.10 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị, M là môđun khác không hữu hạn sinh và a là iđêan của R sao cho aM 6= M thì depth(a, M ) = min

R-i : Hai (M ) 6= 0

.

Mệnh đề 1.3.11 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị, M là môđun khác không hữu hạn sinh và n ∈ N Khi đó các kết quả sau tương đương:

R-i) Hai (M ) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i < n.

ii)(Hai (M ))p là Rp-môđun hữu hạn sinh với mọi i < n và p ∈ Spec(R) iii)Hai Rp(Mp) là Rp-môđun hữu hạn sinh với mọi i < n và p ∈ Spec(R).

Giới hạn thuận.

Định nghĩa 1.3.4 Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận 6 được gọi

là một tập định hướng nếu với bất kì i, j ∈ V luôn tồn tại k ∈ V sao cho

i 6 k và j 6 k

Họ{M t , f rt} gồm các R-môđun M t với t ∈ V và các đồng cấuf rt : M r → M t

với mọi r, t ∈ V, r 6 t được gọi là một hệ thuận trên V nếu thỏa các điềukiện sau:

Môđun Cohen - Macaulay suy rộng

Định nghĩa 1.3.5 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán có đơn vị, M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh có chiều là n > 0 Môđun M được gọi là môđun Cohen - Macaulay suy rộng nếu l(Hmi (M )) < ∞ với

mọi i 6= n.

Mệnh đề 1.3.12 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, giao hoán có đơn vị, M là R-môđun Cohen - Macaulay suy rộng và r = depth(M ) > 0 Khi đó mọi bộ phận của hệ tham số x1, x2, , x r của M tạo thành một M

- dãy chính quy.

Bao nội xạ

Định nghĩa 1.3.6 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, L là R-môđun và

M là một môđun con của L.

i) Môđun L được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu với mọi môđun con khác không B của L ta đều có B ∩ M 6= 0.

ii) Môđun L được gọi là bao nội xạ của M nếu L là môđun nội xạ và cũng

là mở rộng cốt yếu của M

Mỗi R-môđun đều có một bao nội xạ sai khác nhau một đẳng cấu Bao nội

xạ của M được kí hiệu là E R (M ) hoặc đơn giản là E(M )

Định nghĩa 1.3.7 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, M là R-môđun Phép giải nội xạ I∗ của M :

I∗ : 0 −→ I α 0 d−→ I0 1 −→ − → I i d−→ Ii i+1 −→

được gọi là phép giải nội xạ nhỏ nhất nếu I0 = E(M ) và I n là mở rộng cốt yếu của Kerd n với mọi n ∈ N0.

Chương 2

Iđêan nguyên tố liên kết với môđun

đối đồng điều địa phương

Cho R là vành Noether, giao hoán có đơn vị, M là R-môđun, vấn đề quantrọng trong đại số giao hoán là trả lời câu hỏi: " tập các iđêan nguyên tốliên kết của môđun đối đồng điều địa phương Hai (M ) có hữu hạn với mọiiđêana củaR không? Câu trả lời được chứng minh không đúng trong trườnghợp tổng quát nhưng đúng trong một số trường hợp đặc biệt Trong chươngnày, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số kết quả về iđêan nguyên tố liên kết vớimôđun đối đồng điều địa phương

Trong suốt phần này, ta luôn xem R là vành giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R-môđun và p là iđêan nguyên tố của R Khi đó p gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra:

i) tồn tại m ∈ M sao cho (0 : R m) = Ann R (m) = p.

ii) tồn tại môđun con N của M sao cho N ∼ = R/p.

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M, kí hiệu Ass R (M ) hoặc đơngiản Ass(M ) nếu không sợ nhầm lẫn về vành R

Mệnh đề 2.1.1 Cho M là R-môđun khác không Nếu p là phần tử tối đại của tập Φ := {Ann R (m) | m ∈ M, m 6= 0} thì p ∈ Ass R (M ).

Chứng minh.

Giả sử p = (0 :R m), m ∈ M, m 6= 0 là phần tử tối đại của tập Φ

Vì m 6= 0 nên p ⊂ R Giả sử a, b ∈ R sao cho ab ∈ p nhưng b /∈ p Khi đó

abm = 0 nhưng bm 6= 0 Suy ra (0 :R bm) ∈ Φ

Mặt khác (0 :R m) ⊆ (0 : R bm) và p = (0 :M m) là phần tử tối đại của Φ

nên ta có p= (0 :M m) = (0 : M bm)

Vì vậy a ∈ p Do đó p ∈ Spec(R) Vậy ta có điều phải chứng minh

Tập các ước không của R trên M, kí hiệu là ZD R (M ), được định nghĩa

ZD R (M ) := {x ∈ R |∃m ∈ M, m 6= 0 : xm = 0} Từ mệnh đề trên, ta cócác kết quả sau:

i AssM 6= 0 khi và chỉ khi M 6= 0

p(S−1R) = (0 : S−1R (m/s)) = (0 : S−1R (m/1))

Hơn nữa,Rlà vành Noether nênphữu hạn sinh Giả sửpsinh bởip1, p2, , p n.Khi đó p i m/1 = 0 S−1M với mọi i = 1, 2, , n Do đó với mỗi i = 1, 2, , n

luôn tồn tại s i ∈ S sao cho s i p i m = 0 Đặt t := s1.s2 s n, khi đó tp i m = 0

Vì thế p ⊆ (0 :R tm) Mặt khác, lấy r ∈ (0 : R tm), khi đó rtm = 0 nên

(rt/1)(m/1) = 0 S−1M Suy ra (rt/1) ∈ (0 : S−1R m/1) = p(S−1R) Vì vậy

rt ∈ p Mà p ∈ Spec(R) và t ∈ S ⊆ R/p nên r ∈ p Do đó (0 :R tm) ⊆ p.Vậy (0 :R tm) = p hay p ∈ Ass R M Ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.1.3 Cho R vành Noether.

Nếu 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp các R-môđun thì

Ass(M0) ⊆ Ass R (M ) ⊆ Ass R (M0) ∪ Ass R (M00)

Chứng minh.

*Lấy p ∈ Ass R (M0) suy ra tồn tại môđun N0 ⊆ M0 sao cho N0 ∼= R/p

Vì M0 → M là đơn ánh nên N0 đẳng cấu với một môđun của M Do đó

p ∈ Ass R (M )

* Lấy p ∈ Ass R (M ) suy ra tồn tại môđun N ⊆ M sao cho N ∼ = R/p

+ Nếu N ∩ M0 = (0) thì N đẳng cấu với một môđun của M00 nên p ∈

Ass R (M00)

+ Nếu N ∩ M0 6= (0), khi đó có 0 6= x ∈ N ∩ M0 Vì p ∈ Spec(R) nên

R/p là miền nguyên Mà N đẳng cấu với R/p nên Ann(x) = p Suy ra

p ∈ Ass R (M0)

Do đó p ∈ Ass R (M0) ∪ Ass R (M00)

Hệ quả 2.1.1 Cho R vành Noether và M là một R-môđun Khi đó ta có các kết quả sau:

a) Nếu N là R-môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass R (M ).

b) Cho a là iđêan của R, khi đó:

Ass R (M ) ⊆ Ass(Γa(M ) ∪ Ass(M/Γa(M )))

Dãy khớp này cảm sinh dãy khớp ngắn 0 → (R/p)p → Mp.

Mà (R/p)p 6= 0 nên Mp 6= 0 hay p ∈ Supp R (M )

Gọi p0 là phần tử tối tiểu của Supp R (M ) Theo mệnh đề 1.1.1 iii) có:

Supp Rp0(Mp 0) = {qRp 0 : q ∈ Supp R M, q ⊆ p0} = {p0Rp 0}

Vì Mp 6= 0 nên

∅ 6= Ass Rp0Mp 0 = Ass R M ∩ Spec(Rp 0) ⊆ Supp R M ∩ Spec(Rp 0)

Mà Supp R M ∩ Spec(Rp 0) = Supp Rp0Mp 0 = {p0Rp 0}

Do đó Ass Rp0Mp 0 = {p0Rp 0} nên p0 ∈ Ass R M

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.1.5 Cho R là vành Noether và M là R-môđun khác không hữu hạn sinh Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con

M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ M n−1 ⊂ M n

của M sao cho M0 = 0, M n = M và với mỗi i = 1, , n luôn tồn tại

pi ∈ Spec(R) mà M i /M i−1 ∼= R/pi.

Chứng minh.

Vì M 6= 0 nên Ass(M ) 6= 0 Chọn bất kì p1 ∈ Ass R (M ) Khi đó tồn tạimôđun M1 ⊂ M sao cho M1 ∼= R/p1

+ Nếu M1 = M ta có điều phải chứng minh

+ Nếu M1 6= M, chọn bất kì p2 ∈ Ass R (M/M1) Khi đó tồn tại môđun

M2 ⊂ M/M1 sao cho M2/M1 ∼= R/p1

Cứ tiếp tục cách làm này sau n lần ta có được chuỗi các môđun con của M:

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ M n−1 ⊂ M n

Mà R là vành Noether nên chuỗi này phải dừng sau hữu hạn bước

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.1.6 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó Ass R M là tập hữu hạn.

Chứng minh.

Theo mệnh đề 2.1.3 và 2.15, ta có:

Ass(M ) ⊆ Ass(M1) ∪ Ass(M2/M1) ∪ ∪ Ass(M n−1 /M n)

Vì pi ∈ Spec(R) nên Ass(M i /M i−1) ∼= Ass(R/pi) = {pi}

Do đó Ass(M ) ⊆ {p1, p2, , pn} hay Ass R M là tập hữu hạn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.1.1 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và a

là iđêan của R Khi đó Γa(M ) 6= 0 nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD R (M ).

Chứng minh.

⇒) Lấy r ∈ a Ta chứng minh r ∈ ZD R (M )

Dùng phương pháp phản chứng, giả sử r / ∈ ZD R (M ) Lấy m ∈ Γa(M ), suy