Cơ sở schauder trong không gian banach

Không gian véc tơ X cùng với chuẩn k·k trong nó, được gọi là khônggian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn.. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không giantách được nếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

CƠ SỞ SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ HẢI

Tổ: Giải tích, Khoa: Toán

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất

tới TS Bùi Kiên Cường - người thầy đã luôn quan tâm, tận tình hướng

dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình tôihọc tập và thực hiện khóa luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáotrong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy

cô trong tổ bộ môn Giải tích đã trang bị cho tôi những kiến thức quý báutrong suốt quãng thời gian 4 năm tôi học đại học

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ, các em và nhữngngười thân trong đại gia đình của tôi, những người đã luôn bên cạnh, độngviên và tiếp thêm sức mạnh cho tôi để tôi có thể học tập và hoàn thànhkhóa luận một cách tốt nhất

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn tận tình của TS Bùi Kiên Cường.

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu

rõ trong phần Tài liệu tham khảo Các kết quả trình bày trong khóa luận

là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin chịu mọi kỷ luật của khoa và nhàtrường đề ra

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảnào của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach 3

1.1.1 Không gian định chuẩn 3

1.1.2 Không gian Banach và một số ví dụ 4

1.1.3 Một số khái niệm và định lý cơ bản 5

1.2 Không gian Hilbert 8

1.2.1 Không gian tiền Hilbert 8

1.2.2 Không gian Hilbert 9

1.2.3 Các ví dụ 9

1.2.4 Một số tính chất cơ bản 10

Chương 2 Cơ sở Schauder trong không gian Banach 12

2.1 Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ 12

2.2 Cơ sở Schauder và đối ngẫu 21

2.3 Các cơ sở vô điều kiện 32

2.4 Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện 45

Kết luận 53

giáo - TS Bùi Kiên Cường, tôi xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết

của mình về đề tài: "Cơ sở Schauder trong không gian Banach"

2 Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu làm quen với việc nghiêncứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâuhơn về cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach tổngquát

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật nhữngtính chất đặc trưng của cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gianBanach

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiêncứu lý thuyết, phương pháp giải tích hàm

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luậnbao gồm 2 chương

• Kiến thức chuẩn bị.

• Cơ sở Schauder trong không gian Banach

Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường

chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, tôi đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa chotôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhóa luận không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong các thầy giáo, côgiáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này đượchoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian véc tơ trên trường số K (K là

trường số thực R hoặc trường số phức C) Một ánh xạ k·k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn 4 tiên đề:

1 kxk > 0 với mọi x ∈ X.

2 kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.

3 kλ xk = |λ | kxk với mọi vô hướng λ , với mọi x ∈ X

4 kx + yk 6 kxk + kyk với mọi x, y ∈ X.

Không gian véc tơ X cùng với chuẩn k·k trong nó, được gọi là khônggian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn Kí hiệu (X,k·k) hayđơn giản là X

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian định chuẩn.

a) Một dãy các véc tơ {xn} trong X hội tụ tới x ∈ X nếu lim

n→∞kxn− xk = 0,

Định nghĩa 1.1.3 Dãy {xn} trong không gian Banach X được gọi là:

a) Bị chặn dưới nếuinf kxnk > 0.

b) Bị chặn trên nếusup kxnk < ∞.

c) Chuẩn hóa nếu kxnk = 1, ∀n.

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian véc tơ X và k·k1, k·k2 là hai chuẩn trên

X Hai chuẩn k·k1 và k·k2 gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương α,

β sao cho

α kxk1 6 kxk2 6 β kxk1, ∀x ∈ X

1.1.2 Không gian Banach và một số ví dụ

Ví dụ 1.1.1 Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E ⊂ R Khi đó

Đây là không gian Banach với chuẩn k f kLp =

Ví dụ 1.1.2 Đặt C(E) là tập gồm các phiếm hàm đi từ tập E vào tập số

phức C Nếu E là tập compact trong R thì mọi phiếm hàm liên tục trên Eđều bị chặn Trong trường hợp này, C(E) là không gian Banach với chuẩnsup:

Khi đó l2 là một không gian Banach

1.1.3 Một số khái niệm và định lý cơ bản

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức H¨older)

Với 1 6 p < ∞ và xác định p0 thỏa mãn hệ thức 1p+ p10 = 1 Đặt 1

0 = ∞ và1

∞ = 0

Nếu f ∈ Lp(E) và g ∈ Lp0(E) thì f g ∈ L1(E) và

k f gkL1 6 k f kLpkgkLp0.Với 1 < p < ∞, bất đẳng thức này tương đương với

Định nghĩa 1.1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian

tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X

Ví dụ 1.1.5 Với 1 6 p < ∞ thì các không gian lp, Lp(E) là tách được

Định nghĩa 1.1.6 Cho {xn} là một dãy tùy ý trong không gian định chuẩn

X

a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy {xn} là tập hợp tất cả các tổ hợp

tuyến tính hữu hạn các phần tử của dãy {xn} Kí hiệu

b) Bao đóng tuyến tính của {xn} là bao đóng của bao tuyến tính hữu hạn

và được kí hiệu là span {xn}.

c) {xn} là đầy trong X nếu span {xn} = X hay span {xn} trù mật trong X.

Định nghĩa 1.1.7 (Toán tử tuyến tính)

Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên trường K Một ánh

xạ A : X → Y được gọi là toán tử Nếu Y = K thì toán tử A : X → K là một

phiếm hàm trên X

A là tuyến tính nếu A (ax + by) = aAx + bAy, ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ X

A là đơn ánh hoặc 1-1 nếu Ax = Ay ⇔ x = y

Ảnh hay miền giá trị của A là Rang (A) = A (X ) = {Ax : x ∈ X }

A là toàn ánh hoặc lên nếu Rang (A) = Y

Ánh xạ tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số M > 0 saocho kAxk ≤ M kxk

Chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn (chuẩn của toán tử) A là:

Định nghĩa 1.1.8 (Không gian liên hợp)

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K Ta gọi không gian X∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X

Định lý 1.1.2 Không gian liên hợp X∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach với chuẩn kx∗kX∗ = sup

kxkX=1

|hx, x∗i|.

Định lý 1.1.3 Nếu không gian liên hợp X∗ của không gian định chuẩn X

là tách được, thì không gian X là tách được.

Định nghĩa 1.1.9 Không gian liên hợp của không gian X∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X , kí hiệu X∗∗.

Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa không gian định chuẩn X vàkhông gian liên hợp thứ hai X∗∗ của không gian X

Định lý 1.1.4 Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ không gian định

chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của không gian X

Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ

nếu X = X∗∗

Nhận xét: Không gian phản xạ là không gian Banach Sự hội tụ theo

chuẩn trong không gian định chuẩn X còn được gọi là hội tụ mạnh Ngoài

ra, còn một số khái niệm về hội tụ, chẳng hạn:

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X là không gian Banach.

1 Dãy {xn} các phần tử của X hội tụ yếu tới điểm x ∈ X nếu :

∀x∗∈ X∗, lim

n→∞hxn, x∗i = hx, x∗i

Khi đó ta viết xn → x yếu.

2 Dãy {x∗n} các phiếm hàm của X∗ hội tụ yếu* tới điểm x∗ ∈ X∗ nếu

∀x ∈ X, lim

n→∞hx∗n, xi = hx∗, xi Trong trường hợp này ta viết xn∗→ x∗ yếu*

Chú ý rằng nếu X là không gian phản xạ thì X = X∗∗, do đó x∗n → x∗ yếutrong X∗ khi và chỉ khi x∗n → x∗ yếu* trong X∗

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là không gian tuyến tính trên trường K (K là

trường số thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian H mọi ánh xạ từ tích Descartes H × H vào trường K, kí hiệu

h·, ·i, thỏa mãn các tiên đề:

Định lý 1.2.1 Cho H là không gian tiền Hilbert Khi đó kxk = phx, xi xác

định một chuẩn trên H.

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn vớichuẩn trên.

1.2.2 Không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thểđầy đủ hoặc không đầy đủ

Định nghĩa 1.2.2 Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với

chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.

Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R thì

ta có không gian Hilbert thực

Mệnh đề 1.2.1 Hai phần tử x, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi

là trực giao nếu hx, yi = 0, kí hiệu x⊥y.

Mệnh đề 1.2.2 Một tập hợp S = {xi}i∈T trong không gian tiền Hilbert H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc S trực giao với nhau từng đôi một Nếu mọi phần tử của hệ trực giao S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn.

Mệnh đề 1.2.3 Hệ trực chuẩn {en}∞

n=1trong không gian Hilbert được gọi

là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật trong H.

Mệnh đề 1.2.4 Cho H là một không gian Hilbert Dãy điểm {xn} trong

H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H ta có

lim

n→∞hxn, yi = hx, yi.

Kí hiệu: xn−→ x.ω

Định lý 1.2.5 Cho không gian Hilbert H Dãy điểm {xn} ⊂ H hội tụ yếu

khi và chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:

1 Dãy điểm {xn} bị chặn theo chuẩn trong không gian H.

2 Dãy số hxn, yi (n = 1, 2, ) hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp

nơi trong không gian H.

n=1 trong không gian Banach X được gọi

là cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X có duy nhất một dãy các

Trong đây chúng ta sẽ không quan tâm tới bất kỳ kiểu cơ sở nào trongkhông gian Banach vô hạn chiều bên cạnh cơ sở Schauder Vì vậy chúng

ta sẽ thường xuyên bỏ qua từ Schauder Bên cạnh cơ sở Schauder ta sẽ chỉbắt gặp cơ sở đại số trong không gian hữu hạn chiều Điều này không gâynên bất kỳ sự nhầm lẫn nào, bởi các khái niệm số liên quan trực tiếp tới

cơ sở Schauder (giống như hằng số cơ sở được định nghĩa ở dưới) đều có

ý nghĩa và cũng sẽ được sử dụng trong phạm vi của cơ sở đại số trongcác không gian hữu hạn chiều Rõ ràng, một không gian X với một cơ sởSchauder {xn}∞

n=1 có thể được xem như một không gian dãy bởi đồng nhấtmỗi x =

là phải chú ý rằng để mô tả một cơ sở Schauder ta phải xác định các véctơ

cơ sở không chỉ như một tập mà còn là một dãy được sắp

Cho (X , k·k) là không gian Banach với một cơ sở {xn}∞

Một cơ sở mà có hằng số cơ sở bằng 1 được gọi là cơ sở đơn điệu Nói cách

khác, một cơ sở là đơn điệu nếu với mọi cách chọn các vô hướng {an}∞

n=1,dãy số

Như vậy, cho bất kì cơ sở Schauder {xn}∞

n=1 nào của X , ta có thể chuyểnsang chuẩn tương đương trong X để cơ sở đã cho là đơn điệu Có một tiêuchuẩn đơn giản và hữu dụng để kiểm tra khi nào một dãy cho trước là một

(i) xn 6= 0 với mọi n.

(ii) Tồn tại hằng số K sao cho với mọi cách chọn dãy vô hướng {ai}∞

Rõ ràng, (i) và (ii) của Mệnh đề 2.1.2, tự nó tạo thành điều kiện cần và

Các véctơ đơn vị có dạng en = (0, 0, ,1, 0, ), n = 1, 2, tạo thành mộtn

cơ sở đơn điệu và chuẩn hóa trong không gian c0 và lp, 1 6 p < ∞ Đốivới không gian c, dãy vô hướng hội tụ, một cơ sở Schauder cho bởi:

Ví dụ quan trọng của cơ sở Schauder là hệ Haar trong Lp(0, 1), với 1 6

0, nếu trái lại.

được gọi là hệ Haar

Hệ Haar (theo thứ tự đã cho) là một cơ sở đơn điệu (nhưng rõ ràng khôngchuẩn hóa) của Lp(0, 1) với mọi 1 6 p < ∞ Thật vậy, vì bao tuyến tínhcủa hệ Haar gồm tất cả các hàm đặc trưng của các khoảng nhị nguyên (tức

là, các khoảng có dạng l·2−k, (l + 1)·2−k ), dễ thấy (iii) được thỏa mãn

Ta chỉ cần kiểm tra (ii) thỏa mãn với K bằng 1 Cho {ai}∞

gọi là hệ Schauder Hệ Schauder là một cơ sở đơn điệu của C(0, 1) Thật

vậy, bao tuyến tính của {ϕn}∞

n=1 gồm chính xác các hàm tuyến tính liên tụctừng khúc trên [0,1] mà các điểm nút là các điểm nhị nguyên Điều này chothấy (iii) của Mệnh đề 2.1.2 được thỏa mãn Từ đó, với mỗi số nguyên n,

khoảng mà trên đó hàm ϕn+1(t) khác 0 cũng như tất cả các hàm {ϕi(t)}ni=1

là tuyến tính, suy ra (ii) của Mệnh đề 2.1.2 với K = 1

Cơ sở Schauder được xây dựng trong nhiều không gian Banach quan trọngkhác xuất hiện trong giải tích Điều quan tâm đặc biệt theo hướng này

là kết quả của Z.Ciesielski và J.Domsta và S.Schonefeld người đã chứngminh được sự tồn tại của cơ sở trong Ck(In) (không gian của tất cả các hàmthực f (t1,t2, ,tn),ti ∈ [0, 1] có đạo hàm cấp k khả vi liên tục, với chuẩn

tự nhiên) và kết quả của S.V.Botschkariev người đã chứng minh được sựtồn tại của cơ sở trong đại số đĩa A (không gian bao hàm tất cả các hàm

f(z) giải tích trên |z| < 1, với chuẩn sup) Trong những bài báo này, vai

trò quan trọng là hệ Franklin Hệ Franklin gồm các dãy hàm { fn(t)}∞n=1trên [0,1], thu được từ hệ Schauder {ϕn}∞

n=1 bằng phương pháp trực giaohóa Gram-Schmidt (với quan hệ độ đo Lesbegue trên [0,1]) Hệ Franklin(theo định nghĩa) là dãy trực chuẩn mà được sinh ra từ cơ sở Schauder củaC(0, 1)

Câu hỏi liệu mọi không gian Banach vô hạn chiều có chứa một dãy cơ

sở đã có một câu trả lời tích cực Thực tế đơn giản này đã được biết đến vớiBanach

Định lý 2.1.1 Mọi không gian Banach vô hạn chiều đều chứa một dãy cơ

sở.

Chứng minh dựa trên bổ đề sau

Bổ đề 2.1.1 Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều Cho B ⊂ X là

không gian con hữu hạn chiều và số ε > 0 Khi đó tồn tại x ∈ X với kxk = 1 sao cho kyk 6 (1 + ε) ky + λ xk với mọi y ∈ B và với mọi vô hướng λ

Chứng minh. Giả sử ε < 1 Lấy {yi}mi=1 là các phần tử có chuẩn 1 trong

B sao cho ∀y ∈ B mà kyk = 1, tồn tại i để ky − yik < ε/2 Lấy {y∗i}mi=1 là

các phần tử có chuẩn 1 trong X∗ sao cho y∗i(yi) = 1, ∀i Lấy x ∈ X sao chokxk = 1 và y∗i(x) = 0, ∀i Véc tơ x này có tính chất đòi hỏi.

Thật vậy, lấy y ∈ Y, kyk = 1 và lấy i sao cho ky − yik 6 ε/2 và một vô hướng

λ Thì

ky + λ xk > kyi+ λ xk − ε2 > y∗i(yi+ λ x) − ε2 = 1 −ε2 > kyk /(1 + ε)

Chứng minh định lý 2.1.1. Lấy ε là số dương tùy ý và {εn}∞

n=1 là các sốdương sao cho

n=1 là một dãy cơ sở trong X mà hằng số cơ sở 6 1 + ε(nhận xét rằng kPnk 6 ∏∞

Thật vậy, nếu kyk = 1 và |λ | > 2 thì ky + λ xk > kyk , trong khi nếu

|λ | < 2 thì tính toán trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1 cho ra ky + λ xk >

(1 − ε) kyk Nhận xét này và chứng minh của Định lý 2.1.1 cho thấy nếu

đề này tôi giới thiệu trước hết khái niệm tính tương đương của các cơ sở

Định nghĩa 2.1.3 Hai cơ sở {xn}∞

n=1 của X và {yn}∞

n=1 của Y được gọi là

tương đương nếu chuỗi ∑∞

n=1 tương đương với {yn}∞

n=1 khi và chỉkhi có một phép đẳng cấu T từ X lên Y mà T xn= yn, ∀n

Định lý 2.1.2 Cho X là không gian Banach vô hạn chiều với một cơ sở

Schauder Khi đó có không đếm được các cơ sở chuẩn hóa không tương đương với nhau trong X

Các cơ sở Schauder có các tính chất ổn định nào đó Nếu chúng ta xáotrộn mỗi phần tử của một cơ sở bởi một véctơ đủ nhỏ ta vẫn có được một cơ

sở Cơ sở bị xáo trộn là tương đương với cơ sở ban đầu Kết quả đơn giảntrong hướng này là mệnh đề hữu dụng sau

n=1 là dãy các vô hướng và p1 < p2 < · · · là dãy tăng

của các số nguyên, được gọi là một dãy cơ sở khối, hoặc ngắn gọn là cơ sở khối của {xn}∞

n=1

Rõ ràng, cơ sở khối uj ∞

j=1 của {xn}∞

n=1 là một dãy cơ sở mà hằng số

cơ sở không vượt quá hằng số cơ sở của {xn}∞

n=1 Tính hữu dụng của kháiniệm cơ sở khối dựa rất nhiều vào nhận xét đơn giản sau đây

Mệnh đề 2.1.4 Cho X là một không gian Banach với cơ sở Schauder

{xn}∞

n=1 Cho Y là không gian con đóng vô hạn chiều của X Khi đó tồn

tại không gian con Z của Y có một cơ sở tương đương với cơ sở khối của

Cứ tiếp tục như thế Dãy uj ∞

j=1 thu được theo cách này là một cơ sởkhối của {xn}∞

yj− uj

< 1/3K, từ Mệnh đề 2.1.3 suy ra ngay

yj ∞

j=1 là một dãy cơ sở tương đương vớiuj ∞

j=1.Không gian Z =yj∞

j=1 có tính chất đòi hỏi

Trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4, ta đã sử dụng các véc tơ yj∈ Y

mà khai triển với phần bù của cơ sở {xn}∞

n=1 bắt đầu xa tùy ý Trong mộtvài trường hợp cụ thể, điều này là quan trọng để có thể chọn một dãy cơ sởsinh bởi tập con Y của X mà không phải là một không gian con Nhận xétthú vị mà chúng ta cần trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4 là điều sauđây: Với mọi ε > 0 và với mọi số nguyên p, tồn tại y = ∑∞

n=1

anxn trong Y

với ||y|| > 1 và

... quan tới tồn

sở đối ngẫu Các câu hỏi không tầm thường với không gianBanach không phản xạ Nếu khơng gian Banach X có sở, đối ngẫu

X∗ khơng thiết có sở dù X∗... conykj ∞

C(0, 1)

2.2 Cơ sở Schauder đối ngẫu

Cho X không gian Banach với sở Schauder {xn}∞

n=1... tacó:

Định lý 2.2.2 Cho X không gian Banach mà X∗ có sở Khi

đó X có sở co lại X∗ có sở hoàn toàn bị chặn.

Chứng minh