Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung.Khung đư

BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

B Ạ C H H Ồ N G N H U N G

G -K H U NG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C

H À N Ộ I, 2015

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

B Ạ C H H Ồ N G N H U N G

G -K H U NG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga đã tậ n tâm truyền th ụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn

th àn h luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

T á c g iả

B ạ c h H ồ n g N h u n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

T á c g iả

B ạ c h H ồ n g N h u n g

M ụ c lục

1 K h u n g v à cơ sở R ie s z t r o n g k h ô n g g i a n H i l b e r t 41.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 41.2 Khung trong không gian H i l b e r t 81.3 Cơ sở Riesz trong không gian H i l b e r t 221.4 Các đặc trưng của khung và cơ sở R i e s z 27

2 G - k h u n g v à g -cơ sở R ie s z t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 322.1 Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong

không gian Hilbert 322.2 Toán tử g-khung và g-khung đối n g ẫ u 372.3 Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở trực

c h u ẩ n 432.4 Độ dư của g - k h u n g 562.5 ứ n g dụng của g-khung 612.5.1 P h ân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị

c h ặ n 612.5.2 Xây dựng các khung qua các g - k h u n g 62

th ỏ a m ãn một số điều kiện bổ sung Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung.

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải m ất gần

30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980, Young[10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt

đầu được quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết m ật mã, nén dữ liệu

Gần đây có m ột số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of sub­spaces), các giả khung [6] (Pseudo frames) Tất cả các khái niệm tổng quát hóa này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng Các khái niệm này đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g- khung và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert trên, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tậ n tình của cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã m ạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu

"G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert " thực hiện luận văn tố t nghiệp

2 M ục đích ngh iên cứu

Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử khung và khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz Khái niệm và các ví dụ về g-khung

và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung, ứng dụng của g-khung

4 Đ ối t ư ợ n g và phạm vi n gh iên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

P hạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu

th ập tài liệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đ ó n g góp mới

Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết

m ật mã, nén dữ liệu

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn

bị cho chương sau Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu th am khảo [2]-[5], [9], [10]

1.1 Toán tử tu y ến tín h bị chặn trên không gian

H ilb ert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert !K vào không gian Hilbert

X là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0

ỊỊT:r|| < c \\x\\, với mọi X ẽ rK (1.1)

Ký hiệu L(JK:X ) là tập t ấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ ÍK vào % Khi *K = % thì c) được ký hiệu đơn giản là L(IK)

Chuẩn của T € L(!H, 3C) được định nghĩa là hằng số c nhỏ n h ấ t thỏa

m ãn (1.1) Nói một cách tương đương,

||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1}

= sup {||Ta;|| : X € 3Í, ||a;|| = 1}

M ệ n h đ ề 1 1.1 Giả sử %, L , % ỉà các không gian Hilbert Nếu T ẽ

L ( !K,3C) thì tồn tại duy nhất một phần t ử T * € L ( “ K , X ) sao cho

(T*x, y) = (x, T y ) , (x e X , y e 'K) Hơn nữa,

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử

T.

M ệ n h đ ề 1.1.2 Giả sử T € và s € L ( X , L ) Khi đó

i) ||Ta;|| < IIX1 II ||a:|| ,Va: E “ K

ii) IISTII < IISII ||T||

in) ||T|| = ||T*||.

iv) ||TT*|| = ||T ||2.

sa o c h o

Cho T G L("K) T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là unita nếu T * T = T T * = I T được gọi là chuẩn tắc nếu T * T = TT*

T được gọi là dương (ký h i ệ u T > 0) nếu (T x , x ) > 0 với mọi X £ IK

T , K G L ( J í ) , T > К nếu T — К > 0 T được gọi là xác định dương

nếu tồn tại M > 0 sao cho ( T x , x ) > M ||æ ||2, Væ € 0Ï.

Chú ý rằng với mỗi T <E ь { % ) thì ( T * T x , X) = (T x , T x ) > 0 với mọi

M ệ n h đ ề 1.1.4 Giả sử T € L(!H) Khi đó các điều sau đây là tương

Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán

tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề dưới đây đưa ra một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của m ột nghịch đảo phải

B ổ đ ề 1 1.1 Cho Ĩ K , X là các không gian Hilbert, và giả sử rằng и :

% —¥ 'K là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng R ự Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn w : ÍK —> % mà

U x = y Bởi X = Xi + X 2, trong đó Xi ẽ N ụ , X2 € Nị7, ta có được

Ũ Xị = U x i = u ( x i + x 2) = U x = y.

Mà u có một nghịch đảo bị chặn

( u ) : R u N ụ

~ - 1

Thác triển (u ) bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của

R ự ta có được một toán tử bị chặn w : !K —> % mà u u ^ f — f với mọi

Toán tử w được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là giả nghịch đảo của и Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo của m ột toán tử и với miền giá trị đóng R ụ được định nghĩa là toán tử

duy n hất thỏa mãn

Nơt = Rịị, R vì = N ị và u u ' f = f, V/ 6 R u.

định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên Bổ đề sau cho ta

một số tính chất của W và mối quan hệ của nó với и

B ổ đ ề 1 1.2 Cho u : X —> ỉà một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Khi đó

i) Phép chiếu trực giao của “ K lên R ụ được cho bởi u w

ii) Phép chiếu trực giao của % lên Rựị được cho bởi u ^ u

Ui) u* có miền giá trị đóng, và ( u * y = ( W y

iv) Trên R ụ , toán tử w được cho rõ ràng bởi

Đ ị n h lý 1.1.1 Cho V : X —> H là toán tử tuyến tính toàn ánh, bị

chặn Với mỗi y £ !K, phương trình V x — y có một nghiệm duy nhất có chuẩn cực tiểu, cụ thể là X = v ^ y .

C h ứ n g m i n h Do V V ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên

X = V ^y là nghiệm của phương trình V x = y Tất cả các nghiệm của

phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó 2 thuộc nhân

1.2 K h ung tro n g không gian H ilb ert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan

trọng n hất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian

như một tổ hợp tuyến tính của các th àn h phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các th à n h phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các th àn h phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho khó tìm hoặc

th ậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là

lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn

K e r V của V Do v ^ y £ (K e r V )"L nên

T ừ đó X có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi z — 0. □

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là m ột tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết.

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2 Các kết quả ở mục này có thể tham khảo

00

3A > 0 : A ll/ll2 < | ( / , / i ) | 2, V / e X (1.3)

i= 1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.2 Một dãy trong là một khung nếu tồn tại hai hằng S0 O < A < B < 0 0 sao cho

00

A ll/ll2 < E K/,/i)|2 < B ll/ll2, V/ e Ji (1.4)

i= 1

Các số A , B được gọi là các cận của khung Chúng không là duy nhất

Cận khung dưới tối ưu là superemum trên t ấ t cả các cận khung dưới và

cận khung trên tối ưu là infimum trên t ấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.

Khung được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1.

M ệ n h đ ề 1 2.1 Cho một dãy trong không gian Hilbert hữu hạn

C h ứ n g m i n h Ta có thể giả sử rằng không phải t ấ t cả các /j đềubằng không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa m ãn với

B = ^2, | | / j | | 2- Bây giờ lấy w := sp an { f j } m=1 và xem xét ánh xạ liên

H ệ q u ả 1 2.1 Một họ các phần tử { f j } m=1 trong không gian Hilbert

hữu hạn chiều V là một khung của V khi và chỉ khi s p a n { f j } m=1 = V

Hệ quả trên chỉ ra m ột khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần

tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu { f j } k=1 là m ột khung của V và

Ì 9 j } m=i là m ột tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=1U { g j } m=1

cũng là m ột khung của V

T h ậ t vậy, với X = (xi, X 2Ỵ ẽ M2 bất kì, ta có

2

E \{х, е,)\ = X2Ầ + ^— Xl + ^ 2 + ^ r Lx 1 - =-x 2

= ị [Ж1 2 + ж22]

V í d ụ 1.2.2 Giả sử {efc}^=1 là m ột cơ sở trực chuẩn của ‘K

(i) {ek}™=1 là khung Parseval.

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy { e f c hai lần ta thu được

ш г = 1 = i eb ei, e2, e2, } k h i đ ó {/jfc}£°=1 l à khung chặt với cận

khung А = 2.

T h ậ t vậy, ta có £ | ( / , fk) |2 = 2 X) K/, efe) |2 = 2 | | / | | 2, V / € 5Í.

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được {f k} k L i = {eij ei) ß2) e3, } khi

đó {f k}k Li là khung với cận Ả = 1, В = 2 T h ậ t vậy, ta có

(iii) Giả sử { / , } - , := { * , -*=e2, ^ e 3, -*=e3, - ^ e 3, } ,

nghĩa là {f k}k Lị là dãy mà mỗi véc tơ —^=e*; đươc lăp lai к lần Khi đó

Vì thế {/jfc} là m ột khung chặt của !K với cận khung А = 1.

V í d ụ 1.2.3 Cho К = L 2(T) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ

đo Lebesgue chuẩn hóa Khi đó { e ins : n G Z } là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho К = L 2(T) Nếu E с T là tập đo được b ất kỳ thì {eins|E '■ n & z } là m ột khung Parseval cho L 2(E).

T h ậ t vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau

B ổ đ ề 1 2.1 Cho ÍK là không gian Hilbert và % ỉà không gian con đóng

của !K Gọi p là phép chiếu trực giao từ IK lên X và {ej}ieJ là một cơ

sở trực chuẩn của 3Í Khi đó { P e i}-eJ là một khung Parseval của %.

C h ứ n g m i n h Gọi / là một phần tử thuộc % bất kỳ Khi đó P f = /

Ta có

E lơ Pti) I 2 = E I (p f> ei)i 2 = E \ư, ei)i 2 =

Do đó { P e j} ieJ là m ột khung Parseval của DC □

Bây giờ ta sẽ chứng minh {е*п®|я} z là một khung Parseval cho L 2(E).

O/ 4 „ 4 í /(£ ) n ếu t ẽ E

Cho / G L (E) Đ ặt f ( t ) = { w _

I 0 nếu í <E T \ E

00

Khi đó f ( t ) G L 2(T) Do đó bằng cách đồng n h ấ t / và / ta có thể coi

L 2(E ) là một không gian con đóng của L 2(T) Gọi p là phép chiếu trực

giao từ L 2(T) lên L 2{E) Khi đó P { é ns) = eins\E Do { e ins} z là cơ

sở trực chuẩn của L 2( T ) nên, theo Bổ đề 1.2.1 {einsỊ#} z là khung Parseval cho L 2( E ).

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.3 Dẫy {fky'kLi được gọi là đầy đủ trong Jí nếu

Đ ị n h lý 1.2.1 Giả sử { fk }k Lị là một dẫy trong Jí Khi đó {f k} k L ị là

một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi

C h ứ n g m i n h Trước hết, giả thiết { fk} kL i là dãy Bessel với cận Bessel

B Giả sử {ck} Z i £ /2(N) Ta phải chỉ ra T j c f c } ^ là hoàn toàn xác

tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < V B

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l2 (N) —> H được xác định bởi (1.5) là hoàn toàn xác định và ||T|| < y / Ẽ Gọi T* : H —> l2 (N) là toán

tử liên hợp của T Gọi {ej}°^1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N),

tức là hệ gồm các véctơ ej, bằng 1 ở vị trí th ứ j , bằng 0 ở các vị trí còn lại T ừ (1.5) ta suy ra T (eỵ) = /fc Khi đó

( T * f , e k) = ( f , T e k) = ( f J k)

Từ đó

T 7 = { < /,/* ) KLi

v à

E \ ư , h )\2 = IIT ‘ / I I 2 < i n i 2 n /ii 2 = r f n / f < B\\fị\2.k=1

Do đó { fk }k Lị là dãy Bessel với cận Bessel B □

00

H ệ q u ả 1.2.2 Nếu {f k} k L ị là một dãy trong và Ỵ2 ckfk hội tụ với

k=1 mọi {C fc}^ G Z2(N) thì {f k}k Li là một dãy Bessel.

00

H ệ q u ả 1.2.3 Nếu {f k} k L ị là một dãy Bessel trong IK, thì X) ckfk hội

k= 1

tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^!=1 G /2(N).

Do m ột khung { fk }k Lị là một dãy Bessel nên toán tử

00

T : ;2(N) -> J í , T {ct }“ ! = J 2 ct f„

k=1

bị chặn bởi Định lý 1.3.1 T được gọi là toán tử tổng hợp.

Gọi T* : “ H —ì l2(N) là toán tử liên hợp của T và là cơ sở trực

chuẩn chính tắc của l2 (N).

Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có

{ T ' f , eị ) = </, Te ị ) = </, l ị )

Từ đó T* f = { ( / , T* được gọi là toán tử phân tích Hợp th àn h

của T và T* được gọi là toán tử khung

00

s : Ji -> Jí, Sf = TT*f = {/, /*)/*.

k= 1

00

M ệ n h đ ề 1.2.2 Giả sử { fk} kL i là một khung với toán tử khung s và

các cận khung A : B Khi đó ta có các khẳng định sau.

(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương; (ii) {51 1fk}™_1 là khung với các cận B 1, A 1, nếu A, B là các cận tối

Nghĩa là, { s 1fk}™=1 là một dãy Bessel Từ đó kéo theo toán tử khung

của { s - v a r - i h ° à n toàn xác định Theo định nghĩa nó tác động lên

có thể viết thông qua toán tử s là

Ễ {LS- 1 h i s - 1 h = S - ' Ễ < s - ч, h ) h

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của bằng (S'- 1 Toán

tử S_1 giao hoán với cả s và I Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức

A I < s < B I với s ~ \ điều này cho ta:

Vì vậy, { 5 - 7 Л Г - 1 ^ khung với các cận khung B - 1 , A ~ l

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp А , в là các cận tối ưu của {f k}k Lị ), giả sử Ả là cận dưới tối ưu của {f k}k Li và giả thiết rằng cận trên tối ưu của { s -1 f k } ^ =1 là с <

JABằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {<S'-1 /fc}jfc=1 có

toán tử khung (S'- 1 , ta thu được {f k} k L ị = {('S1-1) có cận

dưới là — > A, nhưng điêu này là m âu thuân.

О

Vì vậy, { 5 _1/Л Г = ;1 có cận trên tối ưu là Lập luận tương tự cho cận

Khung {(S'- 1 /*;} được gọi là khung đối ngẫu của {/*;}

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan

trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần

tử trong JÏ có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các

phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng

Đ ị n h lý 1.2.2 Giả sử { fk} kL i là một khung với toán tử khung là s

Khi đó

00

/ = £ < / > s - 7 * > / ь V/ e 3t, ( 1 6 )

k=1 chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi / G ÍM.

C h ứ n g m i n h Giả sử / G ÍK Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 1.2.2 ta có

/ = s s - 1/ = ( s - ' f , /»>/, = x ; ơ , V/ 6 Jí.

Do {f k}k Li là một dãy Bessel và { ( / , S _1 € /2(N), theo hệ quả

B ổ đ ề 1 2.3 Giả sử { f k } ^ =i là một khung của JÏ và f ẽ ĨK Nếu f có

Gọi T là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {/fc}^!- Khi đó (1.8)

tương đương với

T { { c t - ( ỉ , S - ' h ) } ~ J = 0

hay {cjfc — ( f , s 1fk)}™=1 €: N (T) trong đó N (T) ký hiệu là h ạt nhân

_ - Г71

c ủ a i .

M ặt khác

trong đó i? (T*) ký hiệu là miền giá trị của T *

Do R Ợ * ) = N { T ) L nên { c k - ( / , vuôns góc với { { f , s ~ l ỉ k ) }

T ừ đó

Ы 2 = \ { f , S - 1f k) \ 2 + \ck - { f , S - 1f k) \ 2.

Như một hệ quả của Bổ đề 1.2.3 ta thu được một công thức cho toán

tử giả nghịch đảo của toán tử tổng hợp

Đ ị n h lý 1.2.3 Giả sử { f k } k l i là một khung với toán tử tổng hợp T và

M ệ n h đ ề 1 2.3 Các cận tối ưu của khung {fk}k L 1 là A , B được cho

Đ ị n h lý 1.2.4 Việc loại bỏ véc tơ f j ra khỏi một khung {f k} k L ị của !H

sẽ tạo thành một khung khác hoặc một dẫy không đầy đủ Cụ thể hơn, nếu ( f j , /S'-1 / , ) Ỷ 1 thì { f k } k ^ j là một khung của “ K , nếu ( f j , s ~ xf j ) =

1 thì là một dãy không đầy đủ.

C h ứ n g m i n h Chọn b ấ t kỳ j G N Bởi sự phân tích khung,

00

h = Ẽ < f j, s ~l h ) h ■k=1

Ta x ét từng trường hợp ữj = 1 và 7^ 1 Đ ầu tiên , cho dj = 1 , từ

công thức trên £ k l 2 = 0 , vì vậy m à

k¥=j

at = { S - 1fj , h ) = 0 , V k ĩi j

T ừ a,j = ( ) = 1, ta biết s ~ xf j Ф 0 Vì vậy, ta tìm được phần

tử khác không 5'~1f j mà trực giao với { ì k ] ỵ ^ p vì thế { f k } k^j là không

đầy đủ

Bây giờ cho dj Ф 1, thì f j = — -— akf k Với b ất kỳ / e "К, b ất

1 - кф]

đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

rõ ràng {fk}]c^j cũng thỏa m ãn điều kiện khung trên □

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.5 1) Khung { fk }k Lị được gọi là khung chính xác nếu

nó không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tử nào của nó bị loại bỏ 2) Khung { f k } ĩ =i được gọi là thừa nếu nó vẫn còn khung nếu ta loại bỏ

đi một phần tử nào đó của khung.

B ổ đ ề 1.2.4 [3] Giả sử {f k}k Li ỉà một khung thừa của !K Khi đó tồn

00

/ = £ < / , № ) A , v / E J t (1.9)

k=1

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.6 Khung {gk}kLi thỏa mãn (1.9) được gọi là khung

đối ngẫu của { fk }k Lị •

Đ ị n h lý 1 2.5 Giả sử {f k } ^ L i là một khung của % với toán tử khung

s K ý hiệu căn bậc hai dương của s ~ l là s ~ 2 Khi đó, I s ~ z f k } là một khung Parseval và

gọi là khung chặt chính tắc liên kết với khung { f k } ^ =i • n

1.3 Cơ sở R iesz tron g không gian H ilb ert

Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong IK là một họ có dạng { U eỵ}°£=l,

u : ‘K ->• ‘K

là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.

Đ ị n h lý 1 3.1 [3] Nếu {f k}k Li là một cơ sở Riesz của thì tồn tại duy nhất một dẫy {5lifc}^°=1 trong ĨC sao cho

00

/ = £ < / 9 *>A v / e Oi, ( 1 10 )

k= 1 {dk}kLi cũng là một cơ sở Riesz và {fk}kLị! {S'fcjfcLi là song trực giao, tức là

í 1 khi j — k

Hơn nữa, chuỗi (1.10) hội tụ không điều kiện với mọi f ẽ “ K

M ệ n h đ ề 1 3.1 Nếu {fk}*kLi = { U e к }™=1 là một cơ sở Riesz của thì tồn tại các hằng số л , в > 0 sao cho

Kết quả cận dưới kéo theo từ

Đ ị n h lý 1 3.2 Cho một dẫy { fk} kL i trong n , các điều kiện sau là tương đương.

(i) { / к }^=1 là một cơ sở Riesz của JÏ;

(ii) { f k } k Li đầy đủ trong J-С, và tồn tại các hằng số л, в > 0 sao cho

với m ỗ i dãy hữu hạn { C f c } ta có

hay Ư*f = 0 Do u là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch nên u*

cũng là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch T ừ đó / = 0 Mâu

thuẫn này suy ra spa n {f k}k Li — H hay { fk }k Lị là dãy đầy đủ.

Với b ất kỳ dãy số hữu hạn {Cfc} ta có

E ckf k

và

Ck&k к

= l i t / - 1 !

W u f E h f к

J 2 c k fk к

s C k f k trong đó X = Ỵ2 Cỵ e ỵ là khai triển duy n hất của X thoe cơ sở

C h ứ n g m i n h (=^) Giả sử là cơ sở Riesz của không gian Hilbert

IK, nghĩa là f ị — Te ị ,V i , trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả

nghịch và { e ị } ^ là một cơ sở trực chuẩn của Với mọi / ẽ ta có

Gọi {ßj} ^ 1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của /2(N) Do là

m ột khung nên theo Định lý 1.2.2, với mọi / € J í t a có thể viết

f = J2 {f , S ~ 1f k ) f k = T { ( / , 5 _1/fc)} hay toán tử tổng hợp T là tuyến к

C h ứ n g m i n h Theo Mệnh đề 1.3.1, một cơ sở Riesz { /fc} ^ ! của

cũng là một khung của 3Í và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận

khung P h ầ n còn lại suy ra từ sự phân tích khung (1.6) kết hợp với phần

M ệ n h đ ề 1.3.3 Nếu {f k} ^L i là khung chính xác, thì { / к }^=1 và { s -1

là song trực giao và {f k} k L ị là cơ sở Riesz của ĨC

C h ứ n g m i n h Giả thiết {f k} k Lị là khung chính xác và cố định j e N

Khi đó { Д } а д không là khung Chứng minh của Định lý 1.2.4 chỉ ra

Mệnh đề sau cho chúng ta điều khẳng định ngược lại

M ệ n h đ ề 1.3.4 Nếu { /fc} ^ ! là một cơ sở Riesz của J{ thì { /fc} ^ ! là

m ộ t khung chính xác.

C h ứ n g m i n h Do {f k} k L i là một cơ sở Riesz nên nếu ta bỏ đi một

phần tử bất kỳ thì họ sẽ trở th àn h không đầy đủ Do đó họ sẽ không

1.4 C ác đặc trư ng của khung và cơ sở R iesz

Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tra dãy { fk }k Lị là khung,

trên hữu hạn B Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan

oo

trọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tốt cho XI \ ( f i f k ) I sẽ

k=1

làm cho ta lấy một giá trị lớn hơn của в so với yêu cầu, nhưng ước

lượng dưới không tố t có thể dễ dàng làm cho không thể tìm thấy một

giá trị của A mà có thể sử dụng cho mọi / € ĩ í Bây giờ ta p h á t biểu

một đặc trưng của khung qua toán tử tổng hợp của nó Nó không cho bất kỳ thông tin nào về các cận khung

Đ ị n h lý 1.4.1 Một dãy { fk }k Lị là khung của !K khi và chỉ khi

00

T : { c * } ^ —>■ J2 Ckfk

k=1

là ánh xạ được hoàn toàn xác định từ l 2 ( N ) lên

C h ứ n g m i n h Đầu tiên, giả sử { fk }k Lị là một khung Do đó, theo Định

lý 1.2.1 T là toán tử bị chặn hoàn toàn xác định từ z2 (N) vào IK , và

theo Mệnh đề 1.1.2(i), toán tử khung s = T T * là toàn ánh Do đó T là

toàn ánh Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là toán tử được hoàn toàn xác định từ l2 (ÍK) lên ĨC Khi đó theo Hệ quả 1.2.2 và Định lý 1.2.1

{ f k } k l i là dãy Bessel và T tuyến tính bị chặn Kí hiệu : ÍK —»■ l2 (N)

là giả nghịch đảo của T Cho / G ÍK , ta có

00/ = r r t / = Ẽ Cr'/)*/*

hội tụ với mọi {cfc}^!=1 ẽ l2 (N) và mỗi / € có thể biểu diễn theo chuỗi

vô hạn Kết quả này không bao gồm cận khung Bây giờ ta p h á t biểumột đặc trưng của khung cho thông tin về cận khung

B ổ đ ề 1 4.1 Một dẫy { fk} kL i trong 'K là một khung của !K với các

cận A, B khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn.

(ii) Toán tử tổng hợp T hoàn toàn xác định trên l2 (N) và

N 2 < ||T { c t }“ J 2 < s E k * |2, v { Ci>“ a e N ị (1.13)

C h ứ n g m i n h Theo Định lý 1.2.1 ta có, điều kiện khung trên với cận B

tương đương b ất đẳng thức vế phải trong (1.13) (ta chỉ cần kiểm tra điều kiện cho {c*;}^l1 G ) Do đó, giả thiết {f k}k Lị là một dãy Bessel và

chứng minh sự tương đương của điều kiện khung dưới và b ất đẳng thức

vế trái trong (1.13) cùng với tính đầy đủ

Đầu tiên, giả th iết {/fc}feLi thỏa m ãn điều kiện khung dưới với cận A

Khi đó, theo chứng minh của Bổ đề 1.2.2 (i) được thỏa mãn Chú ý rằng

như mong muốn Để chứng minh điều ngược lại, giả thiết { f k } ^ L ị là

đầy đủ và bất đẳng thức vế trái trong (1.13) được thỏa mãn Đầu tiên

ta chứng minh Rrp = IK Do sp an { fk } k Lị c R t ) chỉ cần chứng minh rằng R T đóng Nếu { y n} là m ột dãy trong R T , ta có thể tìm một dãy

{xn} trong iVy sao cho yn = T x n , nếu yn hội tụ tới y G nào đó, thì

(1.13) kéo theo { x n} là một dãy Cauchy Vì vậy {a;n} hội tụ tới X nào

đó Do tính liên tục của T suy ra T x = y Vì vậy R t đóng và do đó

R t = H Ký hiệu toán tử T t là toán tử giả nghịch đảo của T Theo Bổ

đề 1.1.2 ta biết toán tử T ^ T là phép chiếu trực giao lên iVy , và T T t là phép chiếu trực giao lên R T = Vì vậy, với b ấ t kỳ {Cjfc}^°=1 £ ỉ2 (N)

Nhắc lại cơ sở Riesz của được đặc trưng bởi họ { u & k \ ĩk=i-i m à {eifc}fcLi

là cơ sở trực chuẩn của % , và u : % —> % tu yến tín h bị chặn, khả

nghịch Ta có thể cho đặc trưng tương tự của khung

Đ ị n h lý 1.4.2 Giả sử là cơ sở trực chuẩn tùy ý của ÍK Khung

tính bị chặn và toàn ánh.

C h ứ n g m i n h Giả sử {ổjt}^°=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N)

và {ejt}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của ÍK Giả sử 3> : H —> l2 (N)

là phép đồng cấu đẳng cự được định nghĩa bởi Qeỵ = ỗỵ Nếu {f k}kLị

là một khung, thì toán tử tổng hợp T tuyến tính bị chặn, toàn ánh và