Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach

8 2 Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 11 2.1.. Một hướng mở rộng của lý thuyết xác suất là nghiên cứu các vấn đề cơ bảncủa nó t

MỤC LỤC

1.1 Phần tử ngẫu nhiên 4

1.2 Các dạng hội tụ 5

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 7

1.4 Một số bất đẳng thức 8

2 Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 11 2.1 Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt 11

2.2 Các bổ đề 12

2.3 Kết quả chính 18

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượngngẫu nhiên, nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừngnhư không có quy luật Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ thứ 17.Ngày nay, lý thuyết xác suất đã phát triển mạnh mẽ, có cơ sở lý thuyết chặtchẽ và có nhiều ứng dụng trong đời sống của con người từ âm nhạc tới vật lý,

từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báothời tiết đến kinh tế, từ nông học tới y học

Một hướng mở rộng của lý thuyết xác suất là nghiên cứu các vấn đề cơ bảncủa nó trên không gian Banach, lĩnh vực này gần đây được phát triển mạnh mẽ

và thu được nhiều kết quả sâu sắc Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu, chúngtôi nghiên cứu đề tài "Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tửngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach"

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về phần tửngẫu nhiên, các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên, các đặc trưng của phần tửngẫu nhiên và một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thứcH¨older, bất đẳng thức Cr, bất đẳng thức Lévy nhằm phục vụ chứng minh kếtquả chính Các chứng minh xem [2]

Chương 2 Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫunhiên nhận giá trị trên không gian Banach

Đây là nội dung chính của luận văn, bao gồm 3 tiết Trong tiết 2.1, chúng tôitrình bày một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt Tiết 2.2 trình bày các bổ đề Trong tiết 2.3 chúng tôi đưa ra các kết quả chính

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trựctiếp của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đãdành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS Lê Văn Thành,thầy giáo TS Nguyễn Thanh Diệu, học viên Trình Hoài Nam, học viên Lê ĐăngThị đã thường xuyên động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quá trình thựchiện luận văn Đồng thời, tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhệm và các thầy cô giáotrong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớpCao học 19 XSTK.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi luôn giả sử (Ω, F , P) là không gian xácsuất đầy đủ, E là không gian Banach thực khả ly, B(E) là σ- đại số Borel Kýhiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giốngnhau trong các lần xuất hiện

1.1.6 Định lý Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi X làgiới hạn (theo chuẩn) của một dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn, n ≥ 1} saocho kXn(ω)k ≤ 2kX(ω)k với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω (tức là tồn tại dãy phần

tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn, n ≥ 1} thoả mãn limn→∞kXn(ω) − X(ω)k = 0 và

kXn(ω)k ≤ 2kX(ω)k với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω)

1.1.7 Định lý Giả sử E1, E2 là các không gian Banach thực khả ly, T : E1 → E2

là ánh xạ B(E1)/B(E2) đo được và X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên Khi đó ánh

xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên

1.1.8 Hệ quả Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Khi đó, ánh

xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên

1.1.9 Định lý Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi

f ∈ E∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên

1.1.10 Hệ quả Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R và ξ : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Khi đó aX + bY, ξX là các phần tử ngẫu nhiên

1.1.11 Định nghĩa Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên X1, X2, , Xnnhận giá trị trong E được gọi là độc lập nếu với mỗi B1, B2, , Bn ∈ B(E) ta có

P (X1 ∈ B1, X2 ∈ B2, , Xn ∈ Bn) = P (X1 ∈ B1)P (X2 ∈ B2) P (Xn ∈ Bn)

Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} trong E được gọi là độc lập nếumọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập

1.1.12 Định nghĩa Một phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị trên E được gọi

là đối xứng nếu X và -X có cùng phân phối

1.1.13 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên Borel X nhận giá trị trên E được gọi

là phần tử ngẫu nhiên Randon nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con compact

K của E sao cho

• hầu chắc chắn nếu : P (limn→∞kXn− Xk = 0) = 1.

1.2.4 Định nghĩa Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} là dãy cơ bản

• hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P (limm,n→∞kXm − Xnk = 0) = 1;

• theo xác suất nếu limm,n→∞P (kXm − Xnk > ε) = 0 với mọi ε > 0;

• theo trung bình cấp p>0 nếu limm,n→∞EkXm − Xnkp = 0

1.2.5 Định lý Dãy {Xn, n ≥ 1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn, n ≥ 1}hội tụ h.c.c

1.2.6 Định lý Dãy {Xn, n ≥ 1} là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một tronghai điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) limn→∞P (supk,l≥nkXk − Xlk > ε) = 0 với mọi ε > 0;

(ii) limn→∞P (supk≥nkXk− Xnk > ε) = 0 với mọi ε > 0

1.2.7 Định lý Nếu dãy {Xn, n ≥ 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con{Xnk, k ≥ 1} ⊂ {Xn, n ≥ 1} sao cho {Xnk, k ≥ 1} hội tụ h.c.c

1.2.8 Định lý Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy

cơ bản theo xác suất

1.2.9 Định lý Dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ 1) khi vàchỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử m ∈ Eđược gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

f (m) = E(f (X))

Ký hiệu m = EX

1.3.2 Định lý Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiêncùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó, nếutồn tại EX, EY, Eξ thì

1 Tồn tại E(X+Y) và E(X+Y)=EX+EY;

2 Tồn tại E(aX) và E(aX)=aEX;

3 Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ;

4 Nếu P (X = α) = 1 thì EX = α;

5 Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và E(ξX) = EξEX;

6 Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E0 ( E0 là không gian Banachthực khả ly) thì tồn tại E(T(X)) và E(T(X))=T(E(X))

1.3.3 Định lý Nếu EkXk < ∞ thì tồn tại EX và

kEXk ≤ EkXk

1.4 Một số bất đẳng thức

1.4.1 Định lý (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử p,q ∈ (1; +∞) sao cho 1p+1q = 1

và X, Y là các phần tử ngẫu nhiên Khi đó,

EkXY k ≤ kXkp kY kq

1.4.2 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ánh

xạ ϕ : E → R là hàm lồi liên tục, X và ϕ(X) khả tích thì

ϕ(EX) ≤ E(ϕ(X)) 1.4.3 Định lý (Bất đẳng thức Cr) Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên,r>0 Khi đó,

EkX + Y kr ≤ Cr(EkXkr + EkY kr)trong đó Cr = max(1, 2r−1) chỉ phụ thuộc vào r

1.4.4 Định lý (Xem [4])(Bất đẳng thức Lévy) Cho (Xi) là dãy phần tử ngẫunhiên đối xứng Với mỗi k, đặt Sk = Pk

i=1Xi Khi đó với mọi số nguyên N vàvới mọi t>0 ta có

1.4.6 Định lý (Xem [4]) Cho (Xi)i≤N là dãy phần ngẫu nhiên độc lập nhậngiá trị trên E Khi đó với mọi t>0,

i P {kXik > t} ≤ 2P {maxi≤N kXik > t}

1.4.7 Định lý (Xem [4]) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị trên E và {Xn0, n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùngphân phối với {Xn, n ≥ 1} Khi đó với bất kỳ t,a>0

P {kXnk ≤ a}P {kXnk > t + a} ≤ P {kXn− Xn0k > t}

Trường hợp đặc biệt, nếu P {kXnk ≤ a} ≥ 1/2 thì

P {kXnk > t + a} ≤ 2P {kXn− Xn0k > t}

1.4.8 Định lý (Xem [4])Cho 0 < p < ∞ và (Xi)i≤N là dãy phần ngẫu nhiênđộc lập, đối xứng trong Lp(E) Đặt Sk = Pk

i=1Xi, k ≤ N Khi đó,EkSNkp ≤ 2.3pE max

i≤N kXikp+ 2(3t0)ptrong đó t0 = inf{t > 0 : P {kSNk > t} ≤ (8.3p)−1}

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY CÁC PHẦN TỬNGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

2.1 Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt

Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt

mà chúng tôi sẽ đi sâu nghiên cứu trong các mục sau

2.1.1 Định nghĩa Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là chặtđều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của E sao cho

sup

n≥1

P {Xn ∈ K} < ε./

Định nghĩa sau đây mở rộng định nghĩa trên

2.1.2 Định nghĩa Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là chặtđều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của

Rõ ràng, nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} là compact khả tích đềucấp r thì nó compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro.

2.1.5 Định nghĩa Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là khảtích đều cấp r nếu

2.2.1 Định nghĩa Không gian Banach E gọi là không gian Rademacher dạng

p nếu tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho bất kỳ dãy {εi, i ≥ 1} độc lập và

2.2.2 Định nghĩa Cho 1 ≤ p ≤ 2 Không gian Banach E gọi là ổn định dạng

p nếu tồn tại một hằng số Cp > 0 sao cho bất kỳ tập hữu hạn các điểm xi ∈ B

và bất kỳ dãy biến ngẫu nhiên thực {εi, i ≥ 1} độc lập, cùng phân phối, đốixứng thoã mãn

Với mọi bộ hữu hạn {X1, X2, , Xn} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọngbằng 0.

Azlarov và Volodin đã chứng minh được bổ đề dưới đây

2.2.4 Bổ đề (Xem [9]) Cho 1 ≤ p < 2, {Xn, n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫunhiên độc lập cùng phân phối và E là không gian Rademacher dạng p Khi đócác điều kiện sau là tương đương:

2.2.5 Bổ đề (Xem [5]) Cho 1 ≤ p < 2 và E là không gian Banach khả ly Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) E là không gian Rademacher dạng p;

(ii) Mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối {Xn, n ≥ 1}, vớiEkX1kp < ∞, EX1 = 0 ta có Sn/n1/p → 0 h.c.c

Mối quan hệ giữa luật mạnh số lớn Marcinkiewicz và không gian ổn địnhdạng p được thể hiện bởi bổ đề sau đây

2.2.6 Bổ đề (Xem [4]) Cho 1 ≤ p < 2 và E là không gian Banach Khi đó cáckhẳng định sau là tương đương:

(i) E ổn định dạng p;

(ii) Mọi phần tử ngẫu nhiên đối xứng Randon X, Sn/n−1/p → 0 theo xác suấtkhi và chỉ khi limn→∞tpP {kXk > t} = 0 (Sn = Pn

i=1Xi)2.2.7 Bổ đề (Xem [4]) Cho dãy số (an), 0 < (an) ↑ ∞ và {Xn, n ≥ 1} là mộtdãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng nhận giá trị trên không gian Banach.Nếu (Sn/an) − → P 0 (bị chặn theo xác suất) thì với bất kỳ p>0 và bất kỳ dãy sốdương bị chặn (cn), dãy

Chứng minh Ta chỉ chứng minh trường hợp (Sn/an) → 0 theo xác suất vìtrường hợp (Sn/an) bị chặn theo xác suất chứng minh tương tự.

Vì dãy (Sn/an) → 0 theo xác suất nên với mọi t>0 thì

2.2.9 Bổ đề Cho 1 ≤ p < 2, E là không gian Banach khả ly và {Xn, n ≥ 1}

là một dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên khônggian Banach với EkX1kp < ∞ Khi đó

Sn/n1/p − → P 0 khi và chỉ khi Sn/n1/p h.c.c−−→ 0

Chứng minh Điều kiện đủ là rõ ràng

Điều kiện cần: Giả sử Sn/n1/p − → P 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử dãy{Xn, n ≥ 1} đối xứng Đặt Yi = XiI(kXik ≤ i1/p), Tn = Pn

i=1Yi

Từ EkX1kp < ∞ ta có P

iP {kXik > i1/p} < ∞ Theo bổ đề Borel-Cantelli tasuy ra P {lim supi(Xi 6= Yi)} = 0 Do đó, chỉ cần chứng minh Tn/n1/p h.c.c−−→ 0

Từ (2.6) và bổ đề 2.2.8 ta suy ra điều phải chứng minh

Xem xét luật mạnh số lớn dưới điều kiện

Z ∞ 0

2.2.10 Bổ đề (Xem [7]) Cho 1 ≤ p < 2, {Xn, n ≥ 1} là một dãy phần tửngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên không gian Banach và

2.2.11 Bổ đề Cho r>0, {Xn, n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trên không gian Banach và {Xn0, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,cùng phân phối với {Xn, n ≥ 1} Khi đó ta có các kết quả sau:

(i) Nếu Xn → 0 theo xác suất thì EkXnkr → 0 khi và chi khi EkXn− Xn0kr → 0;(ii) Nếu Xn bị chặn theo xác suất thì supn≥1EkXnkr < ∞ khi và chi khisupn≥1EkXn− X0

nkr < ∞

Chứng minh Ta chỉ chứng minh trường hợp Xn → 0 theo xác suất vì trườnghợp Xn bị chặn theo xác suất chứng minh tương tự Thật vậy,

Điều kiện cần: Sử dụng bất đẳng thức Cr ta được

EkXn− Xn0kr ≤ c(EkXnkr + EkXn0kr)

Điều kiện đủ: Giả sử EkXn − Xn0kr → 0

Với mọi ε > 0 tuỳ ý

EkXnkr =

Z ∞ 0

P {kXnkr > t}dt =

Z ∞ 0

P {kXnk > t1/r}dt

=

Z ε 0

P {kXnk > t1/r}dt +

Z ∞ ε

P {kXnk > t1/r}dt

≤ ε +

Z ∞ ε

P {kXnk > t1/r}dt

≤ ε + 2

Z ∞ ε

P {kXn− Xn0k > t1/r/2}dt

= ε + 2

Z ∞ ε

P {kXn− Xn0kr > t/2r}dt (đổi biến)

= ε + 2

Z ∞ ε/2 r

P {kXn− Xn0kr > t}2rdt

≤ ε + 2r+1

Z ∞ 0

P {kXn− Xn0kr > t}dt

2.2.12 Bổ đề Cho p > 0, {Xn, n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhậngiá trị trên không gian Banach và {Xn0, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độclập, cùng phân phối với {Xn, n ≥ 1} Giả sử {Xn, n ≥ 1} khả tích đều cấp p.Khi đó {Xn− Xn0, n ≥ 1} khả tích đều cấp p

≤ 2CpE{kXnkpI(kXn − Xn0k > x, kXnk > x) + xpI(kXn− Xn0k > x)}

≤ 2CpE{kXnkpI(2kXnk > x, kXnk > x) + xpI(kXn− Xn0k > x)}

≤ 2Cp{EkXnkpI(kXnk > x) + xpEI(kXn − Xn0k > x)}

Do đó limx→∞supn≥1EkXn − Xn0kpI(kXn − Xn0k > x) = 0

hay {Xn − Xn0, n ≥ 1} khả tích đều cấp p

2.2.13 Bổ đề Cho D là tập con Borel hoàn toàn bị chặn của E, {Xn, n ≥ 1}

là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên D Khi đó với mọi ε > 0, tồntại {xi, 1 ≤ i ≤ m} ⊂ E và tập con Borel {Ai, 1 ≤ i ≤ m} của E sao cho vớimọi n ≥ 1

Do đó

kXn − Ynk < ε và Yn ∈ σ(Xn)

2.3 Kết quả chính

Hai định lý sau đây chỉ ra một số đặc trưng của không gian Rademacher dạng

p, liên quan đến các luật số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên compact khảtích đều cấp p hoặc compact khả tích đều cấp p theo nghĩa Cesàro

2.3.1 Định lý Cho 1<p<2 Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) E là không gian Rademacher dạng p;

(ii) Với mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gianBanach {Xn, n ≥ 1} thoả mãn EXn = 0 với mọi n ≥ 1, compact khả tích đềucấp p theo nghĩa Cesàro thì

nghĩa Cesàro và thoả mãn

Z ∞ 0

và tập con Borel {Aj, 1 ≤ j ≤ m} của E sao cho

≤ cε (2.16)Dựa vào bất đẳng thức Cr và (2.15) ta có

Suy ra limn→∞Ekn−1/pPni=1Xikp = 0.

(ii) ⇒ (iii) Từ (ii) ta có limn→∞Ekn−1/pPn

i=1Xikp = 0suy ra n−1/pPni=1Xi L− →p 0 dẫn đến n−1/pPn

i=1Xi − → P 0 Theo bổ đề 2.2.10 ta suy

Nếu r=1 và giả sử

Z ∞ 0



≤

Pn i=1f (|ai|)

Do đó

 |Pn i=1ai|n

r

≤

Pn i=1|ai|r

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

(i) ⇒ (ii) Vì dãy {Xn, n ≥ 1} compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàronên với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của E sao cho

và tập con Borel {Aj, 1 ≤ j ≤ m} của E sao cho

kXnI(Xn ∈ K) − Ynk < ε ∀n ≥ 1 (2.23)trong đó Yn = Pm

j=1xjI(Xn ∈ Aj), n ≥ 1 là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập đôimột

Biến đổi tương tự như Định lý 2.3.3 ta thu được

khi và chỉ khi Ekn−1/pPni=1Xikr → 0

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử Ekn−1/pPn

i=1Xikr → 0 điều đó cho thấy

Suy ra P {n−1/pmax1≤i≤nkXik > n1/p} → 0

Dẫn đến P {max1≤i≤nkXik > n1/p} → 0 Sử dụng Định lý 1.4.6 ta được

i=1Xikr → 0 với 0<r<2;

(iii) Dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên khônggian Banach {Xn, n ≥ 1}, EXn = 0 với mọi n ≥ 1 và limx→∞xpP {kXk >x} = 0 thì Ekn−1/pPn

i=1Xikr → 0 với 0<r<2

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Từ định lý 1 trong [8] ta có n−1/pPn

i=1Xi − → P 0 Do đótheo Định lý 2.3.3 ta có điều phải chứng minh

(iii) ⇒ (i) Sử dụng bổ đề 2.2.6 ta có điều phải chứng minh

2.3.7 Hệ quả Cho r>1 và {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhậngiá trị trên không gian Banach với nghĩa zero và compact khả tích đều cấp 1theo nghĩa Cesàro Nếu limn→∞n−rPn

i=1EkXikr = 0 thì Ekn−1Pn

i=1Xikr → 0Chứng minh Theo Định lý 2.3.2, ta có n−1Pn

i=1Xi → 0 theo xác suất Sửdụng Định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh

Thay vì điều kiện n−1/pPn

i=1Xi → 0 theo xác suất bởi điều kiện n−1/pPn

i=1Xi

bị chặn theo xác suất ta thu được các kết quả tương tự

2.3.8 Định lý Cho 0 < r < p < ∞ và {Xn, n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiênđộc lập nhận giá trị trên không gian Banach Nếu n−1/pPn

i=1Xi bị chặn theoxác suất và