G khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu...Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa ra, ví dụ như các khung của các không

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn

th àn h luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

T á c g iả

B ạ c h H ồ n g N h u n g

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

T á c g iả

B ạ c h H ồ n g N h u n g

M uc luc

1 K h u n g v à cơ sở R ie s z t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 41.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 41.2 Khung trong không gian H i l b e r t 81.3 Cơ sở Riesz trong không gian H i l b e r t 221.4 Các đặc trưng của khung và cơ sở R i e s z 27

2 G - k h u n g v à g-cơ sở R ie s z t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 322.1 Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong

không gian Hilbert 322.2 Toán tử g-khung và g-khung đối n g ẫ u 372.3 Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở trực

c h u ẩ n 432.4 Độ dư của g - k h u n g 562.5 ứ n g dụng của g-khung 612.5.1 Ph ân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị

c h ặ n 612.5.2 Xây dựng các khung qua các g - k h u n g 62

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải m ất gần

30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980, Young [10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt

đầu được quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu

Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of sub­spaces), các giả khung [6] (Pseudo frames) Tất cả các khái niệm tổng quát hóa này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng Các khái niệm này đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g- khung và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert trên, nhò sự giúp đỡ, hướng dẫn tậ n tình của cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã m ạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu

"G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 11 thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử khung và khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz Khái niệm và các ví dụ về g-khung

và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung, ứng dụng của g-khung

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu

th ập tài liệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đ ó n g g óp m ới

Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra đòi, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn

bị cho chương sau Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu th am khảo [2]-[5], [9], [10]

1.1 T oán t ử tu y ế n tín h b ị ch ặn tr ê n k h ôn g gia n

H ilb ert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert J~c vào không gian Hilbert

X là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0

sao cho

||Tæ|| < c ||æ|| , với mọi X G ‘K (1.1)

Ký hiệu L(íK,Dc) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ J-C vào X Khi J-C = X thì L(J-C,X) được ký hiệu đơn giản là L(J-C).

Chuẩn của T G L(íK, X ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa

mãn (1.1) Nói một cách tương đương,

||T|| = su p { ||T æ || : X G X , ||æ|| < 1}

= sup { ||T æ ||: æ G i K , ||æ || = l }

M ệ n h đ ề 1 1.1 Giả sứ X , L , X là các không gian Hilbert Nếu T G

L(x,x) thì tồn tại duy nhất m ột phần tứ T* G L(x,x) sao cho

(T*x, y) = {x, T y ) , (x G X , y G JC) Hơn nữa,

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.

Cho T G L(!K) T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là unita nếu T * T = TT * = I T được gọi là chuẩn tắc nếu T * T = T T *

T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu (T x , x ) > 0 với mọi X G “ K

T , K G L (íK ),T > K nếu T — K > 0 T được gọi là xác định dương nếu tồn tại M > 0 sao cho ( T x , x ) > M ||æ ||2, Væ G “ K

Chú ý rằng với mỗi T G L(íK) thì (T * T x , x) = (T x , T x ) > 0 với mọi

Ui) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu \\Tx\\ = ||T*æ|| với mọi X G J-C.

M ệ n h đ ề 1 1.4 Giả sử T G L(íK) Khi đó các điều sau đây là tương đương

Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán

tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề dưới đây đưa ra một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải

B ổ đ ề 1 1.1 Cho “ K , % là các không gian Hilbert, và giả sử rằng ư :

% —ì J-C là một toán tứ bị chặn với miền giá trị đóng R ụ Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn : Ji —> X mà

U x = y Bởi X = X\ + X 2 , trong đó X\ G N y , X 2 G N y , ta có được

U X\ = ƯXi = ư ( x i + x 2) = U x = y.

Mà ư có một nghịch đảo bị chặn

([/) : R u —> N y

~ _1Thác triển ([/) bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của

R u ta có được một toán tử bị chặn : Ji —> X mà u u ^ f = / với mọi

Toán tử được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là

giả nghịch đảo của u Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo

của một toán tử uvới miền giá trị đóng R u được định nghĩa là toán tử

duy nhất thỏa mãn

N ut = R ị,, R ut = N ¿ v i í / c / t / = / , V / e R u

định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên Bổ đề sau cho ta một số tính chất của và mối quan hệ của nó với u

B ổ đ ề 1.1.2 Cho ư : X —> Ji là một toán tứ bị chặn với miền giá trị đóng Khi đó

i) Phép chiếu trực giao của Ji lên R u được cho bởi ư ư ^

ii) Phép chiếu trực giao của X lên R ụ t được cho bởi u ^ u

iii) ư* có miền giá trị đóng, và (ỉ/*)t = (ỉ/t)*.

iv) Trên R ụ , toán tử ư t được cho rõ ràng bởi

[/t = U*(UU*)~l.

Đ ị n h lý 1.1.1 Cho V : X —> TC là toán tứ tuyến tính toàn ánh, bị chặn Với mỗi y G Tí, phương trình VX = y có một nghiệm duy nhất có chuẩn cực tiểu, cụ thể là X = v ^ y .

C h ứ n g m i n h Do v v ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên

X = V ^y là nghiệm của phương trình V x = y Tất cả các nghiệm của phương trìn h V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó z thuộc nhân

th ậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là

lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết.

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết

khung cần đến cho chương 2 Các kết quả ở mục này có thể th am khảo

ở các tài liệu [2]-[5], [10].

Cho J-C là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (•, •) tuyến

tính theo th àn h phần th ứ nhất, tuyến tính liên hợp theo th àn h phần

th ứ hai

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1 Dãy trong “ K được gọi là dãy Bessel nếu

3B > 0 : E \(f, / ,} |2 < B ll/ l l 2 , V / s X (1.2)

i= 1

B được gọi là cận Bessel của •

00

3A > 0 : A ||/||2 < E | ( / , / , ) | 2, V / e X (1.3)

i= 1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.2 M ột dãy { /1}°°! trong J~c là m ột khung nếu tồn tại hai hằng S 0 O < A < B < 0 0 sao cho

00

^ll/l| 2 < £ l ơ , / > | 2 <B||/l| 2 ,v/eJí (1.4)

i= 1 Các số A , B được gọi là các cận của khung Chúng không là duy nhất

Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tấ t cả các cận khung dưới và

cận khung trên tối ưu là infimum trên t ấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.

Khung { /1} ° ^ được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1.

M ệ n h đ ề 1.2.1 Cho một dãy trong không gian Hilbert hữu hạn

C h ứ n g m i n h Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các fi đều

bằng không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần

tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu { f j } k=ì là một khung của V và

là một tập hữu hạn tù y ý các véc tơ trong V thì { f j } k=ìC { g j } m=ì cũng là một khung của V.

V í d ụ 1.2.1 Lấy J-C = R 2, t \ = (0, 1)T, e2 Vz 1

T ’ 2e3 = '\/3 1

{ei, e2, 63} là một khung chặt với cận khung là —

T h ậ t vậy, với X = (íEi, æ2)T G R2 bất kì, ta có

V í d ụ 1.2.2 Giả sử {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của “ K.

(i) {efc}^°=1 là khung Parseval

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {Cfc}^°=1 hai lần ta thu được { A K L i = {e i> e i> e 2; e 2; ■■■ } khi đó {/fc}fc°=i là khung chặt với cận

khung A = 2.

T h ậ t vậy, t a có E l ơ , A}| = 2 E l ơ , efc>|2 = 2 | | / | | 2, V / g 3t.

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được {/fc}fc°=i = {ei, ei, e2, e3, } khi

đó {/fc}fc°=i là khung với cận A = 1, B = 2 T h ật vậy, ta có

M ặt khác l ơ , e 0 12 + E l ơ , e O I2 > E l ơ , e O I2 =

Vì thế {/fc} là một khung chặt của J-C với cận khung Ả = 1.

V í d ụ 1.2.3 Cho K = L 2( T ) trong đó T là đưòng tròn đơn vị với độ

đo Lebesgue chuẩn hóa Khi đó {e ins : n G z } là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho K = L 2(T) Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì {e ins\E : n € z } là một khung Parseval cho L 2{E).

T h ật vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau

B ổ đ ề 1.2.1 Cho Ji là không gian Hilbert và X là không gian con đóng của J~c Gọi p là phép chiếu trực giao từ J~c lên X và là một cơ

sở trực chuẩn của 3~c Khi đó {P e ị } ieI là một khung Parseval của X

C h ứ n g m i n h Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ Khi đó P f = f

Ta có

E lơ Pe<)I2 = E lơ/ ƠI2 = E lơ, e,)i2 = II/II2.

Do đó { P e ị } ieI là một khung Parseval của X □

Bây giờ ta sẽ chứng minh {ei ns\ „ là môt khung Parseval cho L 2(E).

— ~ f f ( t ) nếu t G E

Cho / G L 2(E) Đặt f ( t ) = ị

i 0 nếu t G T \ E

|(<7,/fc)| = 0 M ặt khác, do {/fc} là một khung nên tồn tại 0 <fc=i

Ả < + 0 0 sao cho A | | / | | 2 < |( / j/ f c ) |2j V / G ÍK Cho / = g ta được

fc=iA||<7||2 < \(g, /fc)|2 = 0 Do g Ỷ 0 nên A = 0 Mâu th u ẫn trên chứng

C h ứ n g m i n h Trước hết, giả thiết { f k}^=ì là dãy Bessel với cận Bessel

B Giả sử {Cfc}“=1 G /2(N) Ta phải chỉ ra T { c k}™=1 là hoàn toàn xác

định, tức là E ckfk là hội tụ Xét m , n G N, n > ra Khi đó

tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < y /B

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l2 (N) —> H được xác định bởi (1.5) là hoàn toàn xác định và ||T|| < y /B Gọi T* : H —> l2 (N) là toán

tử liên hợp của T Gọi { e j }°°=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N), tức là hệ gồm các véctơ ej, bằng 1 ở vị trí th ứ j , bằng 0 ở các vị trí còn lại Từ (1.5) ta suy ra T (efc) = f k Khi đó

( T ' f , e k) = ư , T e k) = { f , f k)

Từ đó

T ' f = { ( / , / * ) } “ !

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.4 Chuỗi Ọk trong không gian Banach X được gọi

k = 1

là hội tụ không điều kiện nếu

mọi hoán vị ơ.

tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^°=1 G /2(N).

Do một khung { f k } ^ =i là một dãy Bessel nên toán tử

00

T : i2(N) -> K, T {cfc}~ ! = x ; ct f t

k = 1

bị chặn bởi Định lý 1.3.1 T được gọi là toán tử tổng hợp.

Gọi T* : Ji —> /2(N) là toán tử liên hợp của T và {ej}°°=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N).

Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có

M ệ n h đ ề 1.2.2 Giả sứ { /fc} ^! là một khung với toán tứ khung s và các cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau.

(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tứ dương; (ii) {S' 1/fc}^°_1 là khung với các cận B 1, A 1, nếu A, B là các cận tối

ưu của thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của Toán tứ khung của { s -1 f k } ^ =1 là S'- 1

C h ứ n g m i n h , (i) s bị chặn như một sự hợp th àn h của hai toán tử bị

Nghĩa là, { s ~ 1f k }™ ì là một dãy Bessel Từ đó kéo theo toán tử khung

của {5'_1/ f c } ^ 1 hoàn toàn xác định Theo định nghĩa nó tác động lên

f e ĩ í bởi

E (/.s-'/Ps-'A = s - 1 Ẽ {s-' f, h)h

= S-'SS-'f = 5-7 .

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của {<5'_ 7fc}^°_1 bằng S'-1 Toán

tử S'-1 giao hoán với cả s và I Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức

A I < s < B I với S'- 1 , điều này cho ta:

Vì vậy, {<5'_ 7fc}^°=1 là một khung với các cận khung B~l , A~l

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các cận tối ưu của {/fc}fc°=i)’ siử sử A là cận dưới tối ưu của {/fc}fc°=i và giả

I

thiết rằng cận trên tối ưu của {<5'_ 7 fc } fc_ 1 là c <

Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {<5'_ 7 fc } fc=1 toán tử khung s ~ l , ta thu được = | ( 5 ' _1) 1*S'_ 7 f c | có cận

dưới là — > A, nhưng điều này là mâu thuẫn,

ty

Vì vậy, { s ~ 7fc}r= có cận trên tối ưu là — Lập luận tương tự cho cận

Khung {5 - 7 7 được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của “ K thì mọi phần

tử trong J~c có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.

Đ ị n h lý 1.2.2 Giả sứ { /fc} ^! là một khung với toán tứ khung là s Khi đó

00

/ = E </ s - 1/*}/*, V/ s Jí, ( 1 . 6 )

fc=l

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f £ !K.

C h ứ n g m i n h Giả sử / G “ K Sử dụng các tính chất của toán tử khung

trong Mệnh đề 1.2.2 ta có

/ = S 5 - 1/ = £ U ) U = Y </, s ~ l fị) fị, V/ € Jt.

i = l i = l

Do là một dãy Bessel và { ( / , s~l Ịk) }^°_1 G /2(N), theo hệ quả

B ổ đ ề 1.2.3 Giả sử là một khung của “ K và f G “ K Nếu f có

T ( ị c „ - ị f , s - ' f k) } ~=1) = 0

hay {cfc — ( / , s- 1 fk)}™=1 G N (T ) trong đó N (T) ký hiệu là hạt nhân

của T

M ặt khác

{</,•S'- 1 A >}” 1 = {(S'-1/ , /*>}“ , =r* (5-7) g RỢ"),

trong đó R (T*) ký hiệu là miền giá trị của T *

Do R (T*) = N ( T ) 1 nên {cfc - ( / , s _1/fc)}r= 1 vuông góc vai { ( / , s _1/fc)}r= r

Từ đó

M 2 = i( / , s- 7 P i 2 + h - ( / , s - i./t>i2.

Như một hệ quả của Bổ đề 1.2.3 ta thu được một công thức cho toán

tử giả nghịch đảo của toán tử tổng hợp

Đ ị n h lý 1.2.3 Giả sử là một khung với toán tử tổng hợp T và

toán tứ khung s Khi đó T"1 f = { ( / , 5'_1/fc)}^°=1

M ệ n h đ ề 1 2.3 Các cận tối ưu của khung là A, B được cho

bởi A = I l s - 1!!“ 1 = | |T t ||“ 2 , B = IISII = ||T ||2

C h ứ n g m i n h Theo định nghĩa ta có

B = sup Ễ |( / , / f c ) |2 = sup \ ( S f J ) \ = ||S||

11/11=1 fc=i 11/11=1

Sử dụng kết quả này cho khung đối ngẫu {£'- 1 / f c } ^ 1 (có toán tử khung

s~lvà cận trên tối ưu — theo Mệnh đề 1.2.2 ) ta thu được — = \\s~l II.

Đ ị n h lý 1.2.4 Việc loại bỏ véc tơ f j ra khỏi một khung của J-C

sẽ tạo thành một khung khác hoặc một dãy không đầy đủ Cụ thể hơn, nếu ( f j , S ~ 1f j ) Ỷ 1 thì { f k } k^j là một khung của ‘K , nếu ( f j , s - 1 /,-) =

1 thì { f k} k-ij là một dãy không đầy đủ.

C h ứ n g m i n h Chọn bất kỳ j G N Bởi sự phân tích khung,

Ta xét từng trường hợp CLj = 1 và CLj Ỷ 1 • Đầu tiên, cho ũj = 1 , từ

công thức trên E K | 2 = 0 , vì vậy mà

a k = ( S - 1f ] , f k) = 0 , V k ^ j

Từ CLj = (5 1-1 f j , f j ) = 1, ta biết s~l f j Ỷ 0- Vì vậy, ta tìm được phần

tử khác không s~lf j mà trực giao với { f k} k^j, vì thế {/fc}fc/ j là không

đầy đủ

Bây giờ cho CLj Ỷ 1) thì f j = — -— E ữfc/fc Với bất kỳ / G ‘K , bất

1 - CLj k^j

đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.5 1) Khung được gọi là khung chính xác nếu

nó không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tứ nào của nó bị loại bỏ 2) Khung được gọi là thừa nếu nó vẫn còn khung nếu ta loại bỏ

đi một phần tứ nào đó của khung.

B ổ đ ề 1.2.4 [3] Giả sử là một khung thừa của J~c Khi đó tồn tại các khung 7^ {*5'_1/fc}^°_1 sao cho

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.6 Khung { g ^ ^ i thỏa mãn (1.9) được gọi là khung

Đ ị n h lý 1 2.5 Giả sứ là một khung của J~c với toán tứ khung

suy ra rằng {fk}kjẺj thỏa mãn điều kiện khung dưới với cận dưới

rõ ràng { /fc}kjẺj cũng thỏa mãn điều kiện khung trên.

f = Ễ ( f , S - ì f k) s - ì f kìV f e x k=1

gọi là khung chặt chính tắc liên kết với khung ■ □

1.3 C ơ sở R iesz tr o n g k h ôn g g ia n H ilb ert

Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong J-C là một họ có dạng { ư e k } ^ =1, trong đó là một cơ sở trực chuẩn của J-C và

ư \ ‘K

là một toán tứ tuyến tính song ánh bị chặn.

Đ ị n h lý 1 3.1 [3] Nếu là một cơ sở Riesz của J~c thì tồn tại duy nhất một dãy trong J~c sao cho

M ệ n h đ ề 1.3.1 Nếu = {ưek}™=1 là một cơ sở Riesz của thì tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho

Kết quả cận dưới kéo theo từ

Đ ị n h lý 1 3.2 Cho một dãy { /fc} ^! trong J-C, các điều kiện sau là tương đương.

(%) là một cơ sở Riesz của J-C;

(ii) đầy đủ trong J-C, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho với mỗi dãy hữu hạn {Cf c } ta có

Ckỉk < b E M 2. (1.12)

C h ứ n g m i n h (i) —^ (ii)• Giả sử là cơ sở Riesz và fk = Ưek như định nghĩa Trước tiên ta chứng minh { f k } ^ =i là đầy đủ.

Giả sử tồn tại / E ÍK \{0} mà / - Ls p a ñ {f k}kLi - Khi đó ( f , f k ) = 0

với mọi k hay ( f , Ưe k ) = 0 với mọi k Do ( f , ư e k ) = ( ư * f , e k ) nên ( ư * f , e k ) = 0 Do {efc}££ là cơ sở trực chuẩn của “ K nên

00

k = 1

hay ư* f = 0 Do ư là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch nên ư*

cũng là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch Từ đó / = 0 Mâu

thuẫn này suy ra span = ÍK hay là dãy đầy đủ

Với bất kỳ dãy số hữu hạn {Cf c } ta có

(ii)—> (i) Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý

1.2.1, ta suy ra {/*;}££ là dãy Bessel với cận B Chọn một cơ sở trực chuẩn {ek}^=ì của J~c và định nghĩa toán tử u : J~c —> J~c bởi Ux : =

E c k f k trong đó X = E c k e k là khai triển duy n h ất của X thoe cơ sở

C h ứ n g m i n h (=>) Giả sử là cơ sở Riesz của không gian Hilbert

J-C, nghĩa là f i = Teị , Vĩ, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả

nghịch và là một cơ sở trực chuẩn của J~c Với mọi / G dí ta có

M ệ n h đ ề 1.3.3 Nếu {f kJkLi là khung chính xác, thì và ( s - 1/fc} ^ 1

là song trực giao và là cơ sở Riesz của J~c

C h ứ n g m i n h Giả thiết { f k} ^=1 là khung chính xác và cố định j G N Khi đó { f k } kH không là khung Chứng minh của Định lý 1.2.4 chỉ ra rằng ( / j , s _1/fc) = õjik , tức là {/fc}*=1 và { s _1/fc}“=1 là song trực

chuẩn Theo Định lý 1.2.2 mọi / G có thể được biểu thị như / = ( / , s ~ 1f k) /fc Để chỉ ra rằng { f k}^=1 là cơ sở, chỉ cần chỉ ra rằng

M ệ n h đ ề 1.3.4 Nếu { f k}^=ì là một cơ sở Riesz của “ K thì { f k} ^=i là một khung chính xác.

C h ứ n g m i n h Do { f k}^=i là một cơ sở Riesz nên nếu ta bỏ đi một

phần tử bất kỳ thì họ sẽ trở th àn h không đầy đủ Do đó họ sẽ không

1.4 C ác đ ặc trư n g củ a k h u n g và cơ sở R iesz

Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tr a dãy { f k} ^=1 là khung,

ta phải xác minh sự tồn tại của cận khung dưới dương A và cận khung trên hữu hạn B Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan

ootrọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tố t cho I ( /; /fc)| sẽ

fc=i

làm cho ta lấy một giá trị lớn hơn của B so với yêu cầu, nhưng ước

lượng dưới không tố t có thể dễ dàng làm cho không thể tìm thấy một

giá trị của A mà có thể sử dụng cho mọi / G ‘K Bây giờ ta phát biểu

một đặc trưng của khung qua toán tử tổng hợp của nó Nó không cho bất kỳ thông tin nào về các cận khung

Đ ị n h lý 1.4.1 Một dãy { f k}^=1 là khung của Ji khi và chỉ khi

00

T : {cfc}~ =1 —> ckf k

k = 1

là ánh xạ được hoàn toàn xác định từ l2 (N) lên J-C

C h ứ n g m i n h Đầu tiên, giả sử { f k}^=1 là một khung Do đó, theo Định

lý 1.2.1 T là toán tử bị chặn hoàn toàn xác định từ l2 (N) vào “ K , và

theo Mệnh đề 1.1.2(i), toán tử khung s = T T * là toàn ánh Do đó T là toàn ánh Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là toán tử được hoàn toàn xác định từ l2 (íK) lên “ K Khi đó theo Hệ quả 1.2.2 và Định lý 1.2.1

{/fc}fc°= 1 là dãy Bessel và T tuyến tính bị chặn Kí hiệu X1! : “ K —> l2 (N)

là giả nghịch đảo của T Cho / G “ K , ta có

hội tụ với mọi {cfc}^°=1 G l2 (N) và mỗi / G Ji có thể biểu diễn theo chuỗi

vô hạn Kết quả này không bao gồm cận khung Bây giờ ta phát biểu một đặc trưng của khung cho thông tin về cận khung

B ổ đ ề 1.4.1 Một dãy trong Ti là một khung của Ti với các cận A, B khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn.

(i) là đầy đủ trong Ti ;

(ii) Toán tứ tổng hợp T hoàn toàn xác định trên l2 (N) và

¿ E M 2 ^ l i n ^ i l l 2 < b E M 2,v{c„}~, e Nị (1.13)

C h ứ n g m i n h Theo Định lý 1.2.1 ta có, điều kiện khung trên với cận B

tương đương bất đẳng thức vế phải trong (1.13) (ta chỉ cần kiểm tr a điều

kiện cho {c k} t i G N y ) Do đó, giả thiết là một dãy Bessel vàchứng minh sự tương đương của điều kiện khung dưới và bất đẳng thức

vế trái trong (1.13) cùng với tính đầy đủ

Đầu tiên, giả thiết thỏa mãn điều kiện khung dưới với cận A.

Khi đó, theo chứng minh của Bổ đề 1.2.2 (i) được thỏa mãn Chú ý rằng

R t * đóng bởi R t đóng (R t = Tí bởi vì { f k } ^ =i là khung) Vì vậy

iVy = Rx* = R t * ■ Tức là, N y gồm tấ t cả các dãy có dạng { ( / , f k ) } ^ =i , f € Tí Bây giò cho / G Tí

ta chứng minh R T = Tí Do span { f k } ^ =1 c R t , chỉ cần chứng minh

rằng R t đóng Nếu {y n} là một dãy trong R T , ta có thể tìm một dãy

{x n} trong iVy sao cho y n = T x n , nếu y n hội tụ tới y G “ K nào đó, thì (1.13) kéo theo { x n} là một dãy Cauchy Vì vậy { x n} hội tụ tới X nào

đó Do tính liên tục của T suy ra T x = y Vì vậy R t đóng và do đó

R t = H Ký hiệu toán tử T t là toán tử giả nghịch đảo của T Theo Bổ

đề 1.1.2 ta biết toán tử T ^ T là phép chiếu trực giao lên iVy , và T T t là phép chiếu trực giao lên R t = ‘K Vì vậy, với bất kỳ {Cfc}^°=1 G l2 (N)

Nhắc lại cơ sở Riesz của ‘K được đặc trưng bởi họ { ư e k } ^ =1, mà

là cơ sở trực chuẩn của J~c , và u : J~c — > J~c tuyến tính bị chặn, khảnghịch Ta có thể cho đặc trưng tương tự của khung

Đ ị n h lý 1.4.2 Giả sử là cơ sở trực chuẩn tùy ý của ‘K Khung của 3~c chính xác là họ {Ueh}^=i trong đó u : J~c — > J~c là toán tứ tuyến tính bị chặn và toàn ánh.

C h ứ n g m i n h Giả sử là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N)

và là một cơ sở trực chuẩn của J~c Giả sử ộ : H —> l2 (N)

là phép đồng cấu đẳng cự được định nghĩa bởi $efc = ốfc Nếu

là một khung, thì toán tử tổng hợp T tuyến tính bị chặn, toàn ánh và