Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

16 2 Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 20 2.1 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép các ph

MỤC LỤC

1.1 Phần tử ngẫu nhiên 4

1.2 Các dạng hội tụ 6

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 11

1.4 Khái niệm độc lập 14

1.5 Khái niệm M-phụ thuộc 15

1.6 Một số khái niệm khác 15

1.7 Các bất đẳng thức 16

2 Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 20 2.1 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên 20

2.2 Sự hội tụ theo trung bình đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên M-phụ thuộc 29

MỞ ĐẦU

Luật số lớn là một trong ba định lý giới hạn quan trọng trong lý thuyếtxác suất Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713 Vềsau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng.Tuy nhiên phải đến nửa đầu thế kỷ 20 luật số lớn mới được Borel vàKolmogorov hoàn thiện

Cho tới nay, các định lý giới hạn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của

lý thuyết xác suất Luật số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trong không gian Banach cũng đang được nghiên cứu rộng rãi trongnhững năm gần đây Chẳng hạn, năm 2006, Rosalsky và Thanh [11] đãđưa ra luật mạnh và luật yếu số lớn đối với tổng kép các phần tử ngẫunhiên trong không gian Banach Rademacher dạng p Năm 2007, các tácgiả trong [12] nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trungbình đối với tổng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong khônggian Banach Về mảng kép các phần tử ngẫu nhiên, năm 2008, Quang vàHuan [9] nghiên cứu về luật yếu số lớn Năm 2009, Quang và Huan [10]cung cấp điều kiện để luật mạnh số lớn và sự hội tụ trong Lp của các phần

tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều

Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu kể trên, chúng tôi nghiên cứu đề tài:

"Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình đối với mảngkép các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach"

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trìnhbày các khái niệm, các tính chất để thiết lập kết các quả chính

Chương 2 Sự hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo trung bình

đối với mảng kép các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong khônggian Banach Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu 2 nội dung chính.Thứ nhất, chúng tôi xây dựng sự hội tụ hầu chắc chắn đối với mảng képcác phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach Kếtquả chính là Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13.Thứ hai, chúng tôi thiết lập sự hội tụ theo trung bình đối với mảng képcác phần tử ngẫu nhiên M-phụ thuộc Kết quả đạt được là Định lý 2.2.1,Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4 Các kết quả trong mục 2.2 là mới.

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của

TS Lê Văn Thành Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo LêVăn Thành, thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, học viên Trình HoàiNam đã tận tình hướng dẫn và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập và làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơncác thầy giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 Lý thuyết xác suất vàthống kê toán Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm và các thầy côgiáo trong khoa Toán, phòng Sau đại học, Ban giám hiệu Trường THPTThanh Chương 3, tập thể Cao học 19 Lý thuyết xác suất và thống kê toán

đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặc

dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của cácthầy cô giáo và bạn đọc

Vinh, tháng 5 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, các khái niệm, bổ đề cần thiết dùng để chứng minhcác kết quả chính sẽ được giới thiệu

1.1 Phần tử ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P )là không gian xác suất đầy đủ E là không gian Banachthực khả ly B(E) là σ- đại số Borel của E

Cho a, b ∈ R, ta ký hiệu min{a, b}, max{a, b}lần lượt là a∧b, a∨b Cho

x > 0, số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x ký hiệu là [x] Cho x > 1,logarit tự nhiên và lôgarit cơ số 2 lần lượt được ký hiệu là logx và Logx.Trong suốt bài viết, ký tự C sẽ ký hiệu cho một hằng số dương khôngnhất thiết giống nhau ở mỗi lần xuất hiện Để ý rằng, với mọi x > 1, ta

có Logx=Clogx, ở đó C = 1/ log 2

1.1.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạX : Ω →E là phần tử ngẫu nhiên nhận

giá trị trên E nếu X là F /B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì

nên X−1(B) ∈ F với mọi B ∈ B(E).

1.1.3 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử

ngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được (|X(Ω)| là lực lượngcủa tập hợp X(Ω).)

Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiênđơn giản

Phần còn lại của Mục 1.1 chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất quantrọng về phần tử ngẫu nhiên

1.1.4 Định lý Giả sử E1,E2 là không gian Banach, T : E1 →E2 là ánh

xạ B(E1)/B(E2) đo được và X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên, khi đó ánh

xạ T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên

Chứng minh Với mọi B2 ∈ B(E2) ta có T−1(B2) = B1 ∈ B(E1) suy ra

(T ◦ X)−1(B2) = X−1(T−1(B2)) = X−1(B1) ∈ F

Vậy ánh xạ T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên

Như chúng ta đã biết, ánh xạ chuẩn k k : E → R là một ánh xạ liên

tục và do đó nó là một ánh xạ đo được Chính vì thế ta có hệ quả sau.1.1.5 Hệ quả Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Khi đó,

ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên.

1.1.6 Định lý ([1]) Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ

khi với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên

1.1.7 Hệ quả Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R, ξ :

Ω → R là biến ngẫu nhiên Khi đó aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên.Chứng minh Ta có (aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω) ∈ E,

ξX(ω) = ξ(ω)X(ω) ∈ E

Do đó, với mọi f ∈ E∗ thì f (aX + bY ) = af (X) + bf (Y ) và f (ξX) =

ξf (X) là các biến ngẫu nhiên

Điều này kéo theo aX + bY, ξX là phần tử ngẫu nhiên

1.2 Các dạng hội tụ

Trong mục này, chúng tôi trình bày các dạng hội tụ của dãy các phần

tử ngẫu nhiên, mối quan hệ của chúng và các tính chất liên quan

1.2.1 Định nghĩa Giả sử {Xn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùngxác định trên không gian Ω nhận giá trị trên E

Ta nói {Xn, n > 1} hội tụ đến X (khi n → ∞)

• hầu chắc chắn(h.c.c) nếu : P ( lim

Khi đó với mọi ε > 0,

Định lý sau đây nêu lên một tiêu chuẩn của sự hội tụ hầu chắc chắcchắn.

1.2.3 Định lý ([1]) Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi

ε > 0,

limn→∞P (sup

m>n

kXm− Xk > ε) = 0

Tiếp theo, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các dạng hội tụ

1.2.4 Định lý ([1]) 1 Nếu Xn h.c.c−−→ X hoặc Xn L− →p X thì Xn − → P X(khi n → ∞)

cơ bản Định lý sau đây nói lên sự tương đương giữa dãy hội tụ h.c.c vàdãy cơ bản h.c.c

1.2.6 Định lý Dãy {Xn, n > 1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn, n >

1} hội tụ h.c.c

Chứng minh Đặt Ω1 = {ω : Xn(ω) hội tụ}, Ω2 = {ω : Xn(ω) cơ bản}

Vì E là không gian Banach nên Ω1 = Ω2 Do đó

{Xn, n > 1} hội tụ h.c.c ⇔ P (Ω1) = 1 ⇔ P (Ω2) = 1

⇔ {Xn, n > 1} cơ bản h.c.cĐịnh lý sau nêu lên điều kiện cần và đủ để một dãy cơ bản h.c.c

1.2.7 Định lý Dãy {Xn, n > 1} là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi mộttrong hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

với mọi n > n0 thì {xn, n > 1} là dãy cơ bản (do đó hội tụ)

Sử dụng Bổ đề trên ta thu được kết quả sau

1.2.9 Định lý Nếu dãy {Xn, n > 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãycon {Xn , k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho {Xn , k > 1} hội tụ h.c.c

Chứng minh Vì {Xn, n > 1} cơ bản theo xác suất nên với mọi ε > 0,

limm,n→∞P (kXm− Xnk > ε) = 0

Lấy ε1 = 1/2, tồn tại n1 sao cho với mọi m, n > n1 thì

Giả sử ω ∈ A suy ra tồn tại m0 sao cho

Suy ra kXnk+1(ω) − Xnk(ω)k 6 21k với mọi k > m0

Theo bổ đề trên thì dãy {Xnk(ω), k > 1} ⊂ E hội tụ nên A ⊂ {ω :

Xnk(ω) hội tụ}, dẫn đến P (ω : Xnk(ω) hội tụ) = 1 Vì vậy {Xnk, k > 1}

hội tụ h.c.c Định lý được chứng minh

Hai định lý sau trình bày về sự hội tụ theo xác suất và sự hội tụ theotrung bình

1.2.10 Định lý Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó

là dãy cơ bản theo xác suất

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất Khi

đó với mọiω ∈ Ω ta có kXm(ω) − Xn(ω)k 6 kXm(ω) − X(ω)k + kXn(ω) −X(ω)k Do đó, với mọi ε > 0 thì

Vậy {Xn, n > 1} là dãy cơ bản theo xác suất

Điều kiện đủ: Giả sử {Xn, n > 1} là dãy cơ bản theo xác suất, theo Định

lý 1.2.9, tồn tại dãy {Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho Xnk h.c.c−−→ X khi

Vậy Xn − → P X khi n → ∞ Định lý được chứng minh

Về hội tụ theo trung bình ta có kết quả sau

1.2.11 Định lý Dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p > 1)

khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Xn L− →p X suy ra EkXn − Xkp → 0

khi n → ∞ Do đó,

0 ≤ (EkXm − Xnkp)1/p = (Ek(Xm − X) + (X − Xn)kp)1/p

6 (EkXm − Xkp)1/p + (EkX − Xnkp)1/p −→ 0 khi m, n → ∞

Vậy EkXm − Xnkp → 0 khi m, n → ∞, hay {Xn, n > 1} là dãy cơ bảntheo trung bình cấp p

Điều kiện đủ: Giả sử {Xn, n > 1} là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.Theo bất đẳng thức Markov, với mọi ε > 0,

P (kXn− Xmk > ε) 6 EkXn− Xmk

p

khi n, m → ∞ Do đó {Xn, n > 1} là dãy cơ bản theo xác suất Suy ratồn tại {Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho Xnk → X h.c.c khi k → ∞.Mặt khác, do {Xn, n > 1} là dãy cơ bản theo trung bình cấp p nên vớimọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho

EkXm− Xnkp < ε

với mọi m, n > N (ε) Khi n > N (ε), sử dụng bổ đề Fatou, ta có

EkXm− Xnkp = Elim m→∞kXn− Xnmkp 6 lim m→∞EkXn− Xnmkp 6 ε

Điều này kéo theo EkXnk − Xkp

6 ε với mọi ε > 0 Do đó Xn L− →p X.Định lý được chứng minh

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên Phần tử

m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

1.3.3 Định lý Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫunhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F ,P), a ∈ R, α ∈ E.

Khi đó, nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì

1 Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY;

2 Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX;

3 Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ;

Chứng minh 1 Đặt m = EX + EY Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có

E(f (X + Y )) = E(f (X) + f (Y )) = E(f (X)) + E(f (Y ))

= f (EX) + f (EY ) = f (EX + EY ) = f (m)

Do đó m = E(X + Y )

2 Đặt m = aEX Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có

E(f (aX)) = E(af (X)) = aEf (X)

Do đó α = EX.

5 Ta có f (ξX)(ω) = f (ξ(ω)X(ω)) = ξ(ω)f (X(ω)) = ξf (X)(ω) vớimọi ω ∈ Ω Suy ra f (ξX) = ξf (X) Đặt m = EξEX Khi đó, với mọi

f ∈ E∗ ta có

E(f (ξX)) = E(ξf (X)) = EξEf (X) = Eξf (EX) = f (EξEX) = f (m)

Do đó m = E(ξX)

6 Đặt m = T (EX) Khi đó, với mọi f ∈ E∗ ta có

E(f (T (X))) = E((f T )(X)) = (f T )(EX) = f (m)

1.3.5 Định nghĩa Cho X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên, G là σ−

đại số con của F Khi đó, phần tử ngẫu nhiên Y : Ω −→ E được gọi là

kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu

i) Y là phần tử ngẫu nhiên G-đo được,

ii) ∀ A ∈ G: E(Y IA) = E(XIA)

Kí hiệu Y = E(X|G)

Ta có một số tính chất sau:

1.3.6 Định lý ([1]) Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên Khi đó,

Y = E(X|G) khi và chỉ khi f (Y ) = E(f (X)|G) với mọi f ∈ E∗

Áp dụng định lý trên ta thu được một số kết quả sau

1.3.7 Định lý ([1]) NếuX là phần tử ngẫu nhiênG-đo được thì E(X|G) =

X

Chứng minh Do X là phần tử ngẫu nhiên G−đo được nên với mọi f ∈ E∗

thì f (X) là biến ngẫu nhiên G−đo được Do đó

E(f (X)|G) = f (X)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.3.8 Định lý ([1]) Nếu σ(X) và G độc lập thì E(X|G) = EX

Chứng minh Với mọi f ∈ E∗, ta có f (EX) = E(f (X)) = E(f (X)|G)

(do σ(f (X)) và G độc lập) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bằng phương pháp tương tự, sử dụng Định lý 1.3.6, ta cũng thu đượctính chất sau

1.3.9 Định lý ([1]) Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên và ξ là biếnngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F , P ), a ∈ R, α ∈ E Khi đó

1 E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G)

2 Tồn tại E(aX|G) = aE(X|G)

3 Tồn tại E(αξ|G) = αE(ξ|G)

4 Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X|G1) |G2) = E (E (X|G2) |G1) = E (X|G1)

1.4 Khái niệm độc lập

Trong mục này, chúng ta trình bày các kiến thức về sự độc lập

1.4.1 Định nghĩa Họ hữu hạn {Fi, i ∈ I} các σ-đại số con của F đượcgọi là độc lập nếu

Từ định nghĩa trên, ta suy ra ngay tính chất sau đây.

1.4.3 Định lý ([1]) Giả sử E1,E2 là các không gian Banach thực khả ly

và {Xt, t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E1.Khi đó, nếu với mỗi t ∈ ∆, ánh xạ Tt : E1 −→ E2 là B(E1)/B(E2) đo đượcthì họ {Tt(Xt), t ∈ ∆} cũng là họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhậngiá trị trên E2

1.5 Khái niệm M -phụ thuộc

Trong mục này chúng ta trình bày một khái niệm mở rộng của kháiniệm độc lập

1.5.1 Định nghĩa Cho M là số tự nhiên Tập các phần tử ngẫu nhiên

{Xij, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} được gọi là M-phụ thuộc (xem [8]) nếuhoặc m ∨ n 6 M + 1 hoặc m ∨ n > M + 1 và các phần tử ngẫu nhiên

{X11, · · · , Xij} độc lập với họ {Xkl, · · · , Xmn} trong đó (k − i) ∨ (l − j) >

M

1.5.2 Định nghĩa Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn, m > 1, n > 1}

được gọi là M-phụ thuộc nếu với mỗi m > 1, n > 1, tập {Xij, 1 6 i 6

m, 1 6 j 6 n} là M-phụ thuộc

Với định nghĩa trên ta có thể thấy rằng, nếu mảng {Xmn, m > 1, n> 1}

độc lập thì nó là mảng 0-phụ thuộc

Bên cạnh các khái niệm đã đưa ra, khi thiết lập kết quả chính, chúng

ta cần thêm một số khái niệm liên quan

1.6.2 Định nghĩa Một mảng kép {Xmn, m > 1, n> 1} được gọi là p-tựatrực giao (1 6 p < ∞) nếu EkXmnk < ∞ với mọi m, n > 1 và

với mọi m2 > m1 > 1, n2 > n1 > 1, với mọi mảng kép amn, m > 1, n > 1

các hằng số, và với mọi hoán vị π1 và π2 lần lượt của các số nguyên

{1, , m2} và {1, , n2}

1.6.3 Định nghĩa Chop > 0 Mảng kép các phần tử ngẫu nhiên{Xmn, m >

1, n > 1} được gọi là compact khả tích đều bậc p theo nghĩa Cesàro nếuvới mọi ε > 0, tồn tại tập compact K là tập con của E sao cho

supm>1,n>1

1.6.4 Định nghĩa Tập con D của không gian metric E được gọi làhoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại các phần tử

Sau đây chúng ta nghiên cứu bất đẳng thức cực đại cho mảng kép phần

tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach thực khả li Rademacherdạng p, 16 p6 2 Trước hết ta cần sử dụng bổ đề sau

1.7.2 Bổ đề Nếu {Xkl, Fl, l > 1}, k = 1, , m là các martingale dướikhông âm, thì { max

16k6mXkl, Fl, l > 1} cũng là martingale dưới không âm.Chứng minh Với L > l > 1, ta có

E



max16k6mXkL|Fl



> max16k6mE(XkL|Fl) > max

16k6mXkl

Từ đó ta thu được điều phải chứng minh

Công cụ chính để chứng minh Định lý 2.1.4 là bất đẳng thức cực đạiđược cung cấp bởi bổ đề sau đây

Chứng minh Nếu EkXijkp = ∞ với j, i nào đó thì (1.1) hiển nhiên Do

= E(Sk,l−1|Fl−1) +

k

X

i=1E(Xil|Fl−1) = Sk,l−1 hầu chắc chắn

Và do đó {Skl, Fl, 1 6 l 6 n} là martingale với mỗi k = 1, , m0 TheoScalora [13], ta có {kSklk, Fl, 1 6 l 6 n} là martingale dưới không âm vớimỗi k = 1, , m0 Sử dụng Bổ đề 1.7.2, {Yl, Fl, 1 6 l 6 n} là martingaledưới không âm và theo bất đẳng thức Doob (xem [4] trang 225), ta có

E



max16k6m;16l6nkSklkp



= E( max16l6nYl)p 6

{kSknk, Gk, 1 6 k 6 m} là martingale dưới không âm và theo một ứngdụng khác của bất đẳng thức Doob ta có

EYnp = E



max16k6mkSknkp

6



p

p − 1

pEkSmnkp 6 C

(1.3)Kết luận (1.1) thu được từ (1.2) và (1.3)

Tiếp đến, nếu 1 < p 6 2 và m ∧ n = 1, thì (1.1) được chứng minh tương

Điều này kéo theo (1.1) Bổ đề được chứng minh

Bổ đề tiếp theo là một kết quả trong [8] Kết quả này mở rộng Bổ

đề 1.7.3 sang trường hợp M-phụ thuộc

1.7.4 Bổ đề Cho E là không gian Rademacher dạng p (1 6 p 6 2) và

{Xij, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n} là tập các phần tử ngẫu nhiên M-phụ thuộcvới kỳ vọng 0, nhận giá trị trên E Khi đó

E



max16k6m,16l6nkSklkp