Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

Mục lụcMở đầu 1 1 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 4 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert ..... Lí do chọn đề tài Trong khi nghiên cứu các không gian vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

G-KHUNG VÀ G-CƠ SỞ RIESZ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN QUỲNH NGA

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn QuỳnhNga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận vănnày

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả

Bạch Hồng Nhung

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả

Bạch Hồng Nhung

Mục lục

Mở đầu 1

1 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 4

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert 4

1.2 Khung trong không gian Hilbert 8

1.3 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 22

1.4 Các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz 27

2 G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 32

2.1 Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 32

2.2 Toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu 37

2.3 Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở trực chuẩn 43

2.4 Độ dư của g-khung 56

2.5 ứng dụng của g-khung 61

2.5.1 Phân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị chặn 61

2.5.2 Xây dựng các khung qua các g-khung 62

Kết luận 65

Tài liệu tham khảo 66

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong khi nghiên cứu các không gian vectơ, một trong những khái niệm quantrọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trong không gian có thể viếtnhư tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở, nhờ đó mỗi vectơ trongkhông gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở.Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không cho phép sự phụthuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở Điều này làm cho khó tìmhoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổsung Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn vàkhung chính là một công cụ như vậy Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần

tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khungnhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong khinghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học đã khôngnhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trướckhi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980, Young

[10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnhchuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, khi bài báo củaDaubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt

đầu được quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu,

lý thuyết mật mã, nén dữ liệu

Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa

ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of subspaces),các giả khung [6] (Pseudo frames) Tất cả các khái niệm tổng quát hóa nàyđều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng Các khái niệm nàyđều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g- khung và nhiều tính chất

cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung Với mong muốn hiểu biết sâusắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert trên, nhờ sựgiúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnhdạn chọn đề tài nghiên cứu "G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gianHilbert " thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trongkhông gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung trongkhông gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử khung vàkhung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các đặc trưng củakhung và cơ sở Riesz Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesztrong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung đối ngẫu, mối liên hệgiữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung, ứng dụng của g-khung

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và g-cơ

sở Riesz trong không gian Hilbert

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quanđến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu thập tàiliệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert Tổnghợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đóng góp mới

Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz trongkhông gian Hilbert

Chương 1 Khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [6] trong khinghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học đã khôngnhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trướckhi công trình tiếp theo xuất hiện Vào năm 1980, Young [10] đã viết cuốnsách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh chuỗi Fourierkhông điều hòa Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann vàMeyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữliệu

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bịcho chương sau Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu thamkhảo [2]-[5], [9], [10]

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert !K vào không gian Hilbert X là

liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0

sao cho

ỊỊT:r|| < c \\x\\, với mọi X ẽ r K. (1.1)

Ký hiệu L(JK : X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ ÍK vào %

Khi *K = % thì c) được ký hiệu đơn giản là L(IK)

Chuẩn của T € L(!H, 3C) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn

(1.1) Nói một cách tương đương,

||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1}

= sup {||Ta;|| : X € 3Í, ||a;|| = 1}

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử %, L, % ỉà các không gian Hilbert Nếu T ẽ L(! K,3C) thì tồn tại duy nhất một phần tửT* € L(“K,X) sao cho

(T*x, y) = (x, Ty), (x e X, y e 'K) Hơn nữa,

đó S,T G L(Ji, %), R & L(x,£) và a,b G c.

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử

Cho T G L("K) T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là unita nếu

T*T = TT* = I T được gọi là chuẩn tắc nếu T*T = TT* T được gọi là dương

(ký h i ệ u T > 0) nếu (Tx,x) > 0 với mọi X £ IK T,K G L(Jí),T > К nếu T — К

> 0 T được gọi là xác định dương nếu tồn tại M > 0 sao cho (Tx,x) > M||æ||

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử T € L(!H) Khi đó các điều sau đây là tương đương г) T là dương.

Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán tử

mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề dưới đây đưa ra một điềukiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải

Bổ đề 1.1.1 C h o Ĩ K , X là các không gian Hilbert, và giả sử rằng и : %

—¥ 'K là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Rự Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn w : ÍK —> % mà

uu'f = f, V/ 6 Ru.

Chứng minh Xét hạn chế của и trên phần bù trực giao của hạt nhân của u,

tức là

Ũ := U ị N ± : N ỳ ' K

Rõ ràng u là tuyến tính và bị chặn, и cũng là đơn ánh: nếu и X — 0, theo đó

ж G Nụ П Nu = {0} Bây giờ ta chứng minh rằng miền giá trị của u bằng với miền giá trị của u Cho y E Ru, tồn tại X G % sao cho Ux = y Bởi X = Xi +

mãn

N ơt = Rịị, R vì = Nị và uu'f = f, V/ 6 R u

định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên Bổ đề sau cho ta một số

tính chất của W và mối quan hệ của nó với и.

Bổ đề 1.1.2 Cho u : X —> ỉà một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Khi đó

i) Phép chiếu trực giao của “K lên Rụ được cho bởi uw.

ii) Phép chiếu trực giao của % lên Rựị được cho bởi u^u.

Ui) u* có miền giá trị đóng, và (u*y = ( W y

iv) Trên Rụ, toán tử w được cho rõ ràng bởi

Định lý 1.1.1 Cho V : X —> H là toán tử tuyến tính toàn ánh, bị chặn Với mỗi y £ !K, phương trình Vx — y có một nghiệm duy nhất có chuẩn cực tiểu, cụ thể là X = v^y

Chứng minh Do V V ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên

X = V ^ y là nghiệm của phương trình V x = y Tất cả các nghiệm của phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó 2 thuộc nhân

1.2 Khung trong không gian Hilbert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng

nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ

hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là cơ sởrất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần vàđôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vôhướng Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sởđáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụlinh hoạt hơn

Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang

bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viếtnhư là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lậptuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khungcần đến cho chương 2 Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở các tài liệu[2]-[5], [10]

Cho là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (•, •) tuyến tính theothành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai

00

35 > 0 : x; K/./i)|2 < Bll/ll2 ,v/ e JC (1.2)

1 = 1

00

3A > 0 : A ll/ll 2 < |(/,/i)| 2 ,V/ e X. (1.3)

i= 1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau

Các số A , B được gọi là các cận của khung Chúng không là duy nhất Cận

khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và

cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên Chú ý rằng,các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.

Khung được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval

nếu A = B = 1.

Chứng minh Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các /j đều

bằng không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với

B = ^2, ||/j||2- Bây giờ lấy w := span {fj} m

=1 = V.

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử

cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu { f j } k

Ví dụ 1.2.2 Giả sử {efc}^=1 là một cơ sở trực chuẩn của ‘K.

(i) {ek}™ =1 là khung Parseval

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {efchai lần ta thu được

шг =1 = i eb ei, e2, e2, } k hi đó {/jfc}£°=1 là khung chặt với cận

khung А = 2.

00 00 Thật vậy, ta có £ |(/, fk) |2 = 2 X) K/, efe)|2 = 2||/||

2, V/ € 5Í

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được { f k } k L i = {eij ei) ß2) e3, } khi đó

{ f k } k L i là khung với cận Ả = 1, В = 2 Thật vậy, ta có

(iii) Giả sử {/,}-, := {*, -*=e 2 , ^e 3 , -*=e 3 , -^e 3 , .},

nghĩa là { f k } k L ị là dãy mà mỗi véc tơ —^=e*; đươclăp laiк

Vì thế {/jfc} là một khung chặt của !K với cận khung А = 1.

Ví dụ 1.2.3 Cho К = L 2 ( T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo

Lebesgue chuẩn hóa Khi đó {e in s :nGZ} là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn

cho К = L 2 ( T ) Nếu E с T là tập đo được bất kỳ thì {e in s |E '■ n & z} là một

khung Parseval cho L 2 ( E )

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 Cho ÍK là không gian Hilbert và % ỉà không gian con đóng

Chứng minh Gọi / là một phần tử thuộc % bất kỳ Khi đó Pf = / Ta có

E lơ Pti) I2 = EI (pf> ei)i2 = E \ư, ei)i2 = II/II2

Bây giờ ta sẽ chứng minh {е*п®|я} z là một khung Parseval cho L 2 ( E )

O/ 4 „ 4í /(£) nếu t ẽ E

Cho / G L ( E ) Đặt f ( t ) = { w _

I 0 nếu í <E T\E.

Khi đó f(t) G L 2 ( T ) Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi L 2 ( E )

là một không gian con đóng của L 2 ( T ) Gọi p là phép chiếu trực giao từ

L 2 ( T ) lên L 2 { E ) Khi đó P{é n s ) = e in s \ E Do {e in s } z là cơ sở trực chuẩn của

L 2 (T) nên, theo Bổ đề 1.2.1 {einsỊ#} z là khung Parseval cho L 2 ( E ).

Định nghĩa 1.2.3 D ẫ y { f k y ' k L i được gọi là đầy đủ trong Jí nếu

Bổ đề 1.2.2 Nếu { f k } k L i là một khung của !K thì { f k } k L ị là một d ã y

đ ầ y đủ trong !K.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử g 7^ 0

thuộc ÍK sao cho g_Lspan { f k } k L i - Khi đó ( g , f k ) = 0, VA; Khi đó

Ề Cfc/fc

^ C k f k ĩ

9 ị'fc = 7n + l /

tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < VB.

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l 2 (N)—> H được xác định bởi

(1.5) là hoàn toàn xác định và ||T|| < y/Ẽ Gọi T*: H —> l 2 (N) là toán

tử liên hợp của T Gọi{ej}°^1 là cơ sở trựcchuẩnchính tắc của l 2 (N),tức là hệgồm các véctơ ej, bằng 1 ở vị trí thứ j,bằng 0 ở các vị trí còn

lại Từ (1.5) ta suy ra T ( e ỵ ) = /fc Khi đó

( T * f , ek) = ( f , T ek) = ( f Jk)

Từ đó

T7 = {</,/*) KLi

Hệ quả 1.2.3 Nếu { f k } k L ị là một d ã y Bessel trong IK, thì X) ck f k hội

k= 1

Do một khung { f k } k L ị là một dãy Bessel nên toán tử

00

T : ;2(N) -> Jí, T {ct}“ ! = J2 c t f„

k =1

bị chặn bởi Định lý 1.3.1 T được gọi là toán tử tổng hợp.

Gọi T * : “ H — ì l 2 ( N) là toán tử liên hợp của T và là cơ sở trực

chuẩn chính tắc của l2 (N)

Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có

{ T ' f , e ị ) = </, T e ị ) = </, l ị )

Từ đó T * f = {(/, T * được gọi là toán tử phân tích Hợp thành

của T và T * được gọi là toán tử khung

00

s : J i -> J í , S f = T T * f = {/, /*)/*

k = 1

Mệnh đề 1.2.2 G i ả s ử { f k } k L i là một khung với toán tử khung s và các

(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương; (ii) {5 1 1f k } ™ _1 là khung với các cận B 1 , A 1 , nếu A, B là các cận tối

ưu của { f k } k L i t h ì c á c c ậ n B ~l, A ~x l à t ố i ư u c ủ a { s- 1 Toán tử khung của { s- 1 fk}™ =1 là

Chứng minh, (i) s bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn Ta

Ễ { L S -1 h i s -1 h = S - ' Ễ < s - ч , h ) h

k = l k =1

= s ~ls s ~lf = s-7.

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của bằng (S'-1 Toán

tử S_ 1 giao hoán với cả s và I Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức A I < s

< B I với s ~ \ điều này cho ta:

Vì vậy, {5-7ЛГ-1 ^ khung với các cận khung B - 1 , A ~ l

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp А , в là các cận tối

ưu của { f k } k L ị ) , giả sử Ả là cận dưới tối ưu của { f k } k L i và giả thiết rằng cận trên tối ưu của { s - 1 fk}^ =1 là с <

JABằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {<S'-1/fc}jfc=1 có toán

tử khung (S'-1, ta thu được { f k } k L ị = {('S1-1) có cận

Khung {(S'-1/*;} được gọi là khung đối ngẫu của {/*;}

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng

nhất Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần tử trong J Ï

c ó thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung.

Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng

Định lý 1.2.2 G i ả s ử { f k } k L i là một khung với toán tử khung là s Khi đó

00

/ = £</> s -7*>/ь V/ e 3 t , (1.6)

k=1 chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi / G ÍM.

Chứng minh Giả sử / G ÍK Sử dụng các tính chất của toán tử khung trongMệnh đề 1.2.2 ta có

/ = ss-1/ = (s - ' f, /»>/, = x; ơ, V/ 6 Jí

Do { f k } k L i là một dãy Bessel và {(/, S _ 1 € /2(N), theo hệ quả

hay {cjfc — ( f , s 1 fk)}™ =1 €: N (T) trong đó N (T) ký hiệu là hạt nhân

_ - Г71

c ủ a i .

Mặt khác

{(/,5-V*)}r=i = {(S'-1/,Л)}“ 1 = г* (s-1/) e Д ( П ,

trong đó i? (T*) ký hiệu là miền giá trị của T*.

Do R Ợ * ) = N { T ) L nên { c k - (/, vuôns gócvới { { f , s ~ l ỉ k ) }

Định lý 1.2.4 Việc loại bỏ véc tơ fj ra khỏi một khung { f k } k L ị của !H sẽ tạo thành một khung khác hoặc một dẫy không đầy đủ Cụ thể hơn, nếu (fj , /S' -1 /,) Ỷ 1 thì { f k } k ^ j là một khung của “K, nếu (fj, s ~xf j ) =

1 thì là một d ã y không đầy đủ.

Chứng minh Chọn bất kỳ j G N Bởi sự phân tích khung,

00

h = Ẽ < fj,s~lh)h■ k=1 Đặt a k = (/j,,!?-1/*) vì thế fj = a k f k Rõ ràng, ta cũng có f j =

Ta xét từng trường hợp ữj = 1 và 7^ 1 Đầu tiên, cho dj = 1 , từ

công thức trên £ kl2 = 0 , vì vậy mà

k¥=j

a t = { S -1fj, h ) = 0 , V kĩi j

Từ a,j = () = 1, ta biết s ~ x f j Ф 0 Vì vậy, ta tìm được phần tử khác không

5' ~ 1 f j mà trực giao với { ì k ] ỵ ^ p vì thế { f k } k ^ j là không đầy đủ.

Bây giờ cho d j Ф 1, thì f j = —-— a k f k Với bất kỳ / e " К , bất

1 - кф]

đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

rõ ràng { f k } ] c ^ j cũng thỏa mãn điều kiện khung trên. □

Định nghĩa 1.2.5 1) Khung { f k } k L ị được gọi là khung chính xác nếu nó không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tử nào của nó bị loại bỏ.

một phần tử nào đó của khung.

Bổ đề 1.2.4 [3] Giả sử { f k } k L i ỉà một khung thừa của !K Khi đó tồn tại

00

k=1 Định nghĩa 1.2.6 Khung { g k } k L i thỏa mãn (1.9) được gọi là khung đối ngẫu của { f k } k L ị •

Định lý 1.2.5 G i ả s ử { f k } ^ L i là một khung của % với toán tử khung s.

Parseval và

/ = ẽ (/,5-ĩ/f c)5-ĩ/*,V/G H.

*=1Chứng minh Với mọi / G ÍK, ta có

/ = s - i s s - i f = Ễ ( s - ì f , h ) s - ì ft = Ễ

ị \ f \ ị2 = ư , f ) = Ễ { f , S - ì fl) ( s - ì fl, f ) = Ễ ( f , s - i f k)

gọi là khung chặt chính tắc liên kết với khung {fk}^ = i • n

1.3 Cơ sở Riesz trong không gian Hilbert

u : ‘K ->• ‘K

là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.

Định lý 1.3.1 [3] Nếu { f k } k L i là một cơ sở Riesz của thì tồn tại duy

Mệnh đề 1.3.1 Nếu { f k } * k L i = {Ueк}™=1 là một cơ sở Riesz của

Định lý 1.3.2 C h o m ộ t d ẫ y { f k } k L i trong n , các điều kiện sau là

tương đương.

(i) {/к}^ = 1 là một cơ sở Riesz của JÏ;

(ii)

{ f k } k Li đ ầ y đủ trong J-С, và tồn tại các hằng số л , в > 0 sao cho

với mỗi dãy hữu hạn { C f c } ta có

hay Ư * f = 0 Do u là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch nên u * cũng

là toán tử tuyến tính, bị chặn, khả nghịch Từ đó / = 0 Mâu thuẫn này suy ra

span { f k } k L i — H hay { f k } k L ị là dãy đầy đủ.

Với bất kỳ dãy số hữu hạn {Cfc} ta có

= l i t / -1 !

W u f E h fк

J 2 c k f kк

Từ đó ta suy ra

1

£ Ы 2 < J 2 ckf k < \ т2Е Ы 2

(ii) — у (i) Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.2.1,

ta suy ra { f k } k L i là dãy Bessel với cận B Chọn một cơ sở trực chuẩn

s C k f k trong đó X = Ỵ2 C ỵ e ỵ là khai triển duy nhất của X thoe cơ sở k k

trực chuẩn {ejfc}^ Khi đ ó U ej f c = f k và u là toán tử tuyến tính

IK, nghĩa là fị — Teị,Vi, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả

nghịch và {eị}^ là một cơ sở trực chuẩn của Với mọi / ẽ ta có

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.1, một cơ sở Riesz {/fc}^! của cũng là một

khung của 3Í và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Phần còn

lại suy ra từ sự phân tích khung (1.6) kết hợp với phần duy nhất của Định lý

Mệnh đề 1.3.3 Nếu { f k } ^ L i là khung chính xác, thì {/к}^ = 1 và { s- 1 là

song trực giao và { f k } k L ị là cơ sở Riesz của ĨC

Chứng minh Giả thiết { f k } k L ị là khung chính xác và cố định j e N Khi đó

{Д}ад không là khung Chứng minh của Định lý 1.2.4 chỉ ra

Mệnh đề 1.3.4 Nếu {/fc}^! là một cơ sở Riesz của J{ thì {/fc}^! là một khung chính xác.

Chứng minh Do { f k } k L i là một cơ sở Riesz nên nếu ta bỏ đi một phần tử

bất kỳ thì họ sẽ trở thành không đầy đủ Do đó họ sẽ không còn là một khung

1.4 Các đặc trưng của khung và cơ sở Riesz

Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tra dãy { f k } k L ị là khung, ta

Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan

oo

trọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tốt cho XI \ ( f i f k ) I sẽ

k=1

làm cho ta lấy một giá trị lớn hơn của в so với yêu cầu, nhưng ước lượng dưới

không tốt có thể dễ dàng làm cho không thể tìm thấy một giá trị của A mà có thể sử dụng cho mọi / € ĩ í Bây giờ ta phát biểu một đặc trưng của khung

qua toán tử tổng hợp của nó Nó không cho bất kỳ thông tin nào về các cậnkhung

Định lý 1.4.1 M ộ t d ã y { f k } k L ị là khung của !K khi và chỉ khi

00

T : {c*}^ —>■ J2 C k f k

k =1

Chứng minh Đầu tiên, giả sử { f k } k L ị là một khung.Do đó, theo Định

lý 1.2.1 T là toán tử bị chặn hoàn toàn xác định từ z2 (N) vào IK , và theoMệnh đề 1.1.2(i), toán tử khung s = T T * là toàn ánh Do đó T là toàn ánh.

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là toán tử được hoàn toàn xác định

từ l 2 (ÍK) lên Ĩ C Khi đó theo Hệ quả 1.2.2 và Định lý 1.2.1 { f k } k li là dãy Bessel và T tuyến tính bị chặn Kí hiệu : ÍK—»■ l 2

1 hội tụ với mọi {cfc}^!=1 ẽ l 2 (N) và mỗi / € có thể biểu diễn theo chuỗi

vô hạn Kết quả này không bao gồm cận khung Bây giờ ta phát biểu

một đặc trưng của khung cho thông tin về cận khung