Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình Parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach

F -VŨ THỊ KHÁNH LY MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNGTRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐKHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015

F

-VŨ THỊ KHÁNH LY

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNGTRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐKHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG

GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-VŨ THỊ KHÁNH LY

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNGTRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐKHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG

GIAN BANACH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa 5

1.2 Nửa nhóm giải tích 11

Chương 2 Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach 20

2.1 Giới thiệu bài toán 20

2.2 Phương pháp chỉnh hóa 22

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

Trong mấy thập kỷ qua, lĩnh vực bài toán ngược và bài toán đặt khôngchỉnh là một trong những lĩnh vực phát triển mạnh mẽ nhất trong toánhọc ứng dụng Nó là mô hình của nhiều bài toán thực tế trong khoa học,công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó là những bàitoán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà

ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận vănnày, chúng tôi muốn đề cập tới phương trình parabolic ngược thơi gian.Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong

lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào

đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại Bài toánnày đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm của bài toán khôngphải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụthuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán

Cho tới nay đã có rất nhiều bài báo viết về phương trình parabolicngược thời gian Tuy nhiên, hầu hết các bài báo đó dành cho phươngtrình trong không gian Hilbert Rất ít bài báo dành cho phương trìnhtrong không gian Banach

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu

về việc chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trongkhông gian Banach, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là :

"Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolicngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trongkhông gian Banach"

2

Mục đích chính của luận văn là trên cơ sở tham khảo các kỹ thuậtđược sử dụng trong bài báo [7], chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnhhóa mới cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ sốkhông phụ thuộc thời gian trong không gian Banach X

Chương 1: Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh, phươngpháp chỉnh hóa cùng một số ví dụ minh họa Sau đó chúng tôi trình bày

về nửa nhóm sinh bởi toán tử, đặc biệt là nửa nhóm giải tích và ví dụminh họa để làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

Chương 2: Trong chương này, đầu tiên chúng tôi giới thiệu bài toáncần chỉnh hóa Sau đó chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa mới

và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp này

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa SP Toán học vàcảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa SP Toán học đãnhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập vàhoàn thành đề cương, luận văn này

Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt làcác bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viêntác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An,tháng 10 năm 2015

Tác giả

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyChương 2 Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảotrong các tài liệu [1] và [16]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh

1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh

xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử

x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0) = f.Đặt

R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức

R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A)

5

Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình A(x) = f dựa vào

dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng phương trình

x = R(f )

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric Bàitoán tìm nghiệmx = R(f )của phương trìnhA(x) = f được gọi là ổn địnhtrên cặp không gian (X, Y )(hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bàitoán) nếu ∀f1, f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY(f1, f2) ≤ δ(ε) thì

dX(R(f1), R(f2)) ≤ ε

1.1.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Yđược gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếui) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;

ii) nghiệm x đó là duy nhất;

iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bàitoán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn

Với hệ số (a0, a1, , an, ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an+ nε, n ≥ 1

và c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε cóthể lấy nhỏ tùy ý Trong khi đó,

2.Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ cnvới sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhaukhông nhiều trong L2[0, π]

2) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f (x) = f2(x) = ϕ(x) = ϕ2(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là

u2(x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xéttrong độ đo đều ta có

ổn định

1.1.6 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0, với A là một toán

tử từ không gian metric X vào không gian metric Y, f0 ∈ Y Gọi x0 lànghiệm của phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số

α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử chỉnh hóa cho phươngtrình A(x) = f0, nếu

i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : dY(f, f0) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 :

∀f ∈ Y, dY(f, f0) ≤ δ ≤ δ1, dX(xα, x0) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi

là cách chọn tiên nghiệm Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi

là cách chọn hậu nghiệm

1.1.7 Nhận xét Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị củatoán tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm chỉnhhóa của phương trình A(x) = f0, ở đây α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là

tham số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệuchỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụthuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bướci) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α);

ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bàitoán về phần tử fδ và sai số δ

⇒ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phươngpháp chỉnh hóa

1.1.8 Ví dụ 1) Tính giá trị z = df (t)dt trong metric C, khi f (t) cho xấp

xỉ Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân

R(f, α) = f (t + α) − f (t)

Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ(t) = f (t) + g(t), ở đây

|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,

g(t + α) − g(t)

α

≤ 2δ

α .Nếu chọn α sao cho α = η(δ)δ , vớiη(δ) → 0 khi δ → 0, thì 2δα = 2η(δ) → 0

Vì vậy, với

α = α1(δ) = δ

η(δ), R(fδ, α1(δ)) → z.

2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó Giả sử

ϕk(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup

được cho xấp xỉ bởi c = (c1, c2, ) sao cho

→ 0, khin(δ) → ∞ Ngoài ra,

≤ C0





n(δ)

≤ C0pn(δ)δ2

= C0

r[η(δ)

δ2 ] → 0khi δ → 0

1.1.9 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử chỉnh hóa códạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là mộttoán tử chỉnh hóa, nếu:

i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY(f, f0) ≤ δ;

ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ dY(fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0 ta có dX(xδ, x0) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ, δ)

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một không gian Banach Họ một tham sốcác toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X, T (t), 0 6 t < ∞ được gọi làmột nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu

i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X),

ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s > 0

1.2.2 Định nghĩa Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục, T (t),được gọi là liên tục đều nếu lim

t↓0 kT (t) − Ik = 0.1.2.3 Định nghĩa Toán tử tuyến tính A được xác định bởi

D(A) = {x ∈ X : lim

t↓0

T (t)x − x

t tồn tại}và

t=0 với mọi x ∈ D(A)được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t), D(A) được gọi là miền xácđịnh của A

1.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục trên X,

T (t), 0 6 t < ∞, được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim

t↓0 T (t)x = xvới mọi x ∈ X

1.2.5 Định nghĩa Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liêntục trên X được gọi là một nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản là nửa nhóm

C0

1.2.6 Định lý Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửanhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi A làtoán tử tuyến tính bị chặn

Chứng minh Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X Đặt

kT (t) − Ik 6 tkAketkAkvà

h−1(T (h) − I)

Z ρ 0

T (s)ds = h−1

Z ρ 0

T (s + h)ds −

Z ρ 0

T (s)ds



= h−1

Z ρ+h ρ

T (s)ds −

Z h 0

T (s)ds

!

Do đó

h−1(T (h) − I) = h−1

Z ρ+h 0

T (s)ds − h−1

Z h 0

T (s)ds

!

Z ρ 0

T (s)ds

−1

.(1.2)

Từ (1.2) ta thấy h−1(T (h) − I) hội tụ theo chuẩn (và do đó hội tụ mạnh)tới toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) R0ρT (s)ds
−1 khi h ↓ 0 Do đótoán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I) R0ρT (s)ds
−1 là toán tử sinh của

T (τ )Axdτ =

Z t s

AT (τ )xdτ

Chứng minh Phần a) được suy trực tiếp từ tính liên tục của ánh xạ

t → T (t)x Để chứng minh b), lấy x ∈ X và h > 0 Khi đó

T (h) − I

h

Z t 0

T (s)xds = 1

h

Z t 0

(T (s + h)x − T (s)x)ds (1.3)

= 1h

Z t+h 0

T (s)xds − 1

h

Z h 0

T (s)xds (1.4)

Chú ý rằng khi cho h ↓ 0 vế phải của đẳng thức trên tiến tới T (t)x − x.

Do đó phần b) được chứng minh Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A)

Vì x ∈ D(A) và kT (t − h)k bị chặn trên 06 h 6 t nên số hạng thứ nhất

ở vế phải của đẳng thức trên bằng 0 Số hạng thứ hai ở vế phải của đẳngthức trên cũng bằng 0 do tính liên tục mạnh của T (t) Do đó khẳng địnhc) đã được chứng minh Khẳng định ở phần d) đạt được bằng cách lấytích phân hai vế đẳng thức nêu ở phần c) từ s tới t

1.2.8 Hệ quả Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 thì miềnxác định D(A) của toán tử A, trù mật trong X và A là toán tử tuyếntính đóng

Chứng minh Với mỗi x ∈ X đặt xt = 1

t

Rt

0 T (s)xds Theo phần b) củaĐịnh lý 1.2.7, xt ∈ D(A) với mọi t > 0 và theo phần a) của Định lý này

ta có t ↓ 0 Do đó, D(A) ≡ X với D(A) là bao đóng của D(A) Tínhtuyến tính của A là hiển nhiên Để chứng minh tính đóng của nó ta lấy

xn ∈ D(A), xn → x và Axn → y khi n → ∞ Từ phần d) của Định

lý 1.2.7 ta có

T (t)xn − xn =

Z t 0

Nếu ω = 0 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 bị chặn đều Nếu ω = 0

và M = 1 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 co

1.2.10 Định lý (Hille-Yosida) Một toán tử tuyến tính (không bị chặn)

A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 co T (t), t> 0 nếu và chỉ nếu(i) A là đóng và D(A) = X

(ii) Tập các giá trị chính qui ρ(A) của A chứa R+ và với mỗi λ > 0

ta có

kR(λ : A)k 6 1

λ,

ở đây R(λ : A) = (λI − A)−1 với I là toán tử đồng nhất trên X

1.2.11 Định lý Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền trùmật D(A) trong X Gọi S(A) là ảnh số của A và P là phần bù củaS(A) trong C Khi đó, nếu λ ∈ P thì λI −Alà đơn ánh và có ảnh đóng.Hơn nữa, nếu P

0 là một thành phần của P thỏa mãn ρ(A) ∩P

0 6= ∅thì phổ của A được chứa trong phần bù S0 của P

0 vàkR(λ : A)k 6 1

d(λ : S(A))

trong đó d(λ : S(A)) là khoảng cách từ λ tới S(A).

1.2.12 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức cho hình quạt

∆ = {z ∈ C : ϕ1 < argz < ϕ2, ϕ1 < 0 < ϕ2},

và T (z), z ∈ ∆ là toán tử tuyến tính bị chặn Họ T (z), z ∈ ∆ được gọi

là một nửa nhóm giải tích trong ∆ nếu

i) z → T (z) là giải tích trong 4

ii) T (0) = I và lim

z∈4, z→0T (z)x = x với mọi x ∈ X.iii) T (z1+ z2) = T (z1)T (z2) với mọi z1, z2 ∈ 4

Nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó là giải tích trong một hìnhquạt 4 nào đó chứa nửa trục thực không âm

1.2.13 Định lý Hạn chế của một nửa nhóm giải tích trên trục thực

là một nửa nhóm C0

1.2.14 Định lý Cho T (t) là một nửa nhóm C0 bị chặn đều Cho A làtoán tử sinh của T (t) và giả sử 0 ∈ ρ(A) Khi đó các khẳng định sau

là tương đương

a) T (t) có thể mở rộng thành nửa nhóm giải tích trong hình quạt

∆δ = {z : |argz| < δ} và T (t) bị chặn đều trong mỗi hình quạt conđóng ∆¯δ0, δ0 < δ của ∆δ

b) Tồn tại một hằng số C sao cho với mỗi σ > 0, τ 6= 0 ta có

kR(σ + iτ : A)k 6 C

|τ |.

c) Tồn tại 0 < δ < π

2 và M > 0 sao choρ(A) ⊃ X = {λ : |λ| < π

Cho Ω là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω ∈ Rn và A(x, D) làtoán tử vi phân bậc hai đối xứng được xác định bởi

Chúng ta giả thiết rằng các hệ số ak,l(x) = al,k(x) nhận giá trị thực vàkhả vi liên tục trên Ω¯ Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng A(x, D) là ellipticmạnh, nghĩa là tồn tại một hằng số C0 > 0 sao cho

D(Ap) = W2,p(Ω) ∩ W01,p(Ω) và Apu = A(x, D)u với u ∈ D(Ap).Khi đó toán tử Ap được gọi là toán tử liên kết với toán tử A(x, D).1.2.16 Định lý Miền xác định D(Ap) của Ap trù mật trong Lp(Ω) và

26 p < ∞, sử dụng công thức tích phân từng phần ta được

=Z

=Z

|= hApu, u∗i |

|< hApu, u∗i | 6

|p − 2|M

ρ

2|α|2 + 1

2ρ|β|2



C0((p − 1)|α|2 + |β|2) (1.12)với mọi ρ > 0 (<, = lần lượt là ký hiệu phần thực và phần ảo của sốphức) Chọn ρ = √

p − 1 thay vào (1.12) ta được

|= hApu, u∗i |

|< hApu, u∗i | 6 M |p − 2|

2C0√

Từ (1.11) suy ra với mọi λ > 0 và u ∈ D(Ap) ta có

λkuk0,p 6 k(λI + Ap)uk0,p (1.14)

Do đó λI + Ap là đơn ánh và có ảnh đóng với mỗi λ > 0 Vì (1.14) đúngvới mọi 2 6 p < ∞ nên λI + Ap, λ > 0 là toàn ánh Thật vậy, nếu

v ∈ Lq(Ω) thỏa mãn h(λI + Ap)u, vi = 0 với mọi u ∈ D(Ap) thì theo Bổ

đề 1.2.17 ta có v ∈ D(Aq), q = p/(p − 1) và hu, (λI + Aq)vi = 0 với mọi

u ∈ D(Ap) Vì D(Ap) trù mật trong Lp(Ω)nên ta suy ra (λI + Aq)v = 0

Sử dụng (1.14) với p được thay thế bởi q ta suy ra v = 0 Điều này chứng

tỏ λI + Ap là toàn ánh Do đó λI + Ap là song ánh Vì vậy, từ (1.14) ta có

k(λI + Ap)−1k0,p 6 1

λ với mọi λ > 0 (1.15)Định lý Hille-Yosida 1.2.10 khẳng định rằng −Ap là toán tử sinh của mộtnửa nhóm co trên Lp(Ω) với 2 6 p < ∞ Cuối cùng, để chứng minh nửanhóm sinh bởi−Ap là giải tích chúng ta để ý rằng từ (1.11) và (1.13), ảnh

sốS(−Ap)của−Ap được chứa trong tậpSv1 = {λ : |argλ| > π−v1}trong

d(λ : S(−Ap)) > Cv|λ| với mọi λ ∈ Sv

Vì λ > 0 nằm trong tập các giá trị chính qui ρ(−Ap) của −Ap nên từĐịnh lý 1.2.11 suy ra ρ(−Ap) ⊃ Sv và

k(λI + Ap)−1k0,p 6 1

Cv|λ| với mọi λ ∈ Sv.

Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định được −Ap là toán tử sinh củamột nửa nhóm giải tích trên Lp(Ω) với mọi p thỏa mãn 2 6 p < ∞.Trường hợp 1 < p < 2 lập luận tương tự

i) Tồn số dương δ1 cho toán tử R(f, δ) xác định với

0 ≤... R(fδ, α1(δ)) → z.

2) Bài tốn khơi phục hàm số, biết hệ số Fourier Giả sử

ϕk(t) hệ trực chuẩn đầy đủ có sup