MỘT số DẠNG TOÁN HÌNH học GIẢI TÍCH LIÊN QUAN đến mặt PHẲNG và ĐƯỜNG THẲNG

I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng:1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng: a, Định nghĩa: Một véc tơ n  0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P nếu nó có gi

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

- - - 

MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN

1 Lý do chọn chuyên đề:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túngkhi xác định phương pháp giải các bài toán hình học giải tích, mà đó là điều khôngđáng mắc phải khi các em biết nhận dạng và định hình phương pháp giải quyết, từ

đó các em có thể giải bài toán một cách nhanh chóng, chính xác và đạt điểm tối đacho câu này

Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận dạng và có lời giải bài toán dạng nàymột cách hiệu quả từ đó phát triển sang các bài toán khác phức tạp hơn và để tiếtkiệm thời gian, tránh được những sai lầm đáng tiếc, giúp cho việc học tập và ôn thi

Đại học của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ” Với mục đích của tôi là giúp các em nhận thấy một bài toán

giải tích phức tạp cũng trở nên dễ dàng đơn giản

2 Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề:

Phạm vi : Áp dụng rộng rãi trên toàn quốc

Đối tượng: Học sinh lớp 12

Mục đích : Giúp các em đạt điểm tối đa trong dạng toán này, tránh những sailầm đáng tiếc dễ mắc phải

4 Cơ sở thực hiện chuyên đề:

Căn cứ vào tình hình nhận thức của đa số học sinh còn thụ động, hạn chế, mặt khác

do từng tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng cho học sinh tôi đã tựđúc rút ra kinh nghiệm cho mình và phân chia dạng toán theo ý chủ quan dưới đây

Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nênchuyên đề của tôi chắc hẳn không tránh khỏi sai sót Rất mong được sự đóng gópchân thành của quý thầy cô giáo và các em học sinh!

………

Phần II - Nội Dung Của Chuyên Đề

A Tóm Tắt Lý Thuyết

I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng:

1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

a, Định nghĩa:

Một véc tơ n  0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó có giá vuông góc với mặt phẳn g (P).

b, Tính chất:

Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, các véc tơ này cùng phương với nhau

Nếu véc tơ n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì kn ;k 0 cũng là véc tơ

pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c, Chú ý:

Nếu hai véc tơ , a b  không cùng phương và có giá song song hoặc trùng mặt

phẳng (P) thì khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) là na b; 

II, Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng:

+ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt

III, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

IV, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình đường thẳng:

1, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

Nếu véc tơ u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì ku ;k 0 cũng là véc tơ

chỉ phương của đường thẳng d.

c, Chú ý:

Nếu hai véc tơ , a b  không cùng phương và có giá song song vuông góc với đường

thẳng d thì khi đó một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d u a b; 

V, Vị trí tương đối của đường thẳng vàmặt phẳng:

Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình lần lượt là:

0

0 0

thì d song song với (P).

VI, Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Trong không gian cho đường thẳng d d có phương trình lần lượt là: 1, 2

2, Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong không gian cho và đường thẳng d có phương trình:

0

2 2 2 0

Trong không gian cho và đường thẳng d và d’ có phương trình:

3, Góc giữa hai đường thẳng;

Trong không gian cho đường thẳng d d có phương trình lần lượt là: 1, 2

u u



 

 

B Một số bài toán liên quan đến lập phương trình mặt phẳng

I, Bài toán 1 Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của nó

Phương pháp:

Xác định điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ:

Trên hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A1; 2;0 , B0;1;0 , C1;0;1

2, Mặt phẳng đi qua A1; 2; 1  và vuông góc với hai mặt phẳng:

thời vuông góc với mặt phẳng  P x y:   2z 1 0

5, Mặt phẳng đi qua A2; 2;1 , B 1;0;1  và vuông góc với mặt phẳng

8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:

 P x y:  2z 2 0; Q x z:   2 0 và song song với đường thẳng

9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng : 1

Mặt phẳng cần tìm đi qua A1; 2; 1  và có véc tơpháp tuyến nn n1, 2   3;1; 1 ,  

Mặt phẳng cần tìm đi qua A2; 2;1 và có véc tơ

9, Gọi H là hình chiếu của A lên d Ta có

Trên hệ trục Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A1;0; 2 , B2;1;0 , C1;3;1

2, Mặt phẳng đi qua A1; 2;0 và vuông góc với hai mặt phẳng:

 P x: 2y 1 0;  Q y:  2z 2 0

3,Mặt phẳng đi qua A2; 2;1 và song song với hai đường thẳng:

2: 1 ; d :

thời vuông góc với mặt phẳng  P x y:   1 0

5, Mặt phẳng đi qua A0; 2;1 , B 1;1;1  và vuông góc với mặt phẳng

8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:

 P x y:   2z 2 0; Q x y z:    2 0 và song song với đường thẳng

9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

1 : 1 1

II.Bài toán 2. Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng.

Phương pháp: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm

phân biệt A a ;0;0 , B0; ;0 ,b  C0;0;c thì khi đó phương trình mặt phẳng (P)

theo đoạn chắn là: x y z 1 ,abc 0

2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác

ABC nhận điểm G1; 1; 2  làm trọng tâm

3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác

ABC nhận điểm H2; 1; 2  làm trực tâm

4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có saocho OA2OB4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M 2;1;1

a b

a b

1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M1;1;3 lên các trục tọa độ

2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác

ABC nhận điểm G2;1; 2 làm trọng tâm.

3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác

ABC nhận điểm H1; 1; 2   làm trực tâm

4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao

cho 2OA OB 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M  1; 2;1 .

III, Bài toán 3 Lập phương trình mặt chứa một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó; hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau

3.1 Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm không nằmtrên đường thẳng đó

3.2 Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa

chúng:

Phương pháp:

Gọi u u 1; 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’).

1, 2

M M lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.

Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M M và có véc tơ pháp1, 2

1, 2

M M lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.

Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểmM M và có véc tơ pháp1, 2

14 47

os ( );

93

Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm I của CD

Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với CD

Trường hợp 2 Mặt phẳng cần tìm qua A1;1;1 , và có véc tơ pháp tuyến

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1 ;1 ;1), B(

1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho

3, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A2;0;1 , B0;1; 2sao cho khoảng cách từ

C Một số bài toán khác liên quan đến mặt phẳng:

I Bài toán1 Tìm hình chiếu

1.1 Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng:

a, Hình chiếu vuông góc:

Phương pháp:

Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P) Để tìm hình chiếu của A lân (P) ta làm như

sau:

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)

Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)

Gọi d là đường thẳng qua A và song song với l

Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)

Ví dụ:

Trong không gian cho A1;1;0 ;  P x y z:    5 0 Tìm hình chiếu song song

của A lên (P) theo phương chiếu

Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình:

+ Nếu d  ( )P Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P) Đường thẳng d’ đi qua A’

+ Nếu d cắt (P) xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d.

Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P) Đường thẳng

d’ đi qua A’, I.

Cách 2.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (P).

Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q)

b, Hình chiếu song song theo phương chiếu l

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), phương chiếu l.

Cách 1.

+ Nếu d  ( )P Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l Đường thẳng d’ đi qua

A’

+ Nếu d cắt (P) xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d.

Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l Đường thẳng d’ đi qua A’, I.

Cách 2.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và song song với l.

Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q)

a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)

b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương

a, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).

(Q) qua A và có véc tơ pháp tuyến nu n; P 1; 4; 2   ( ) :P x 4y2z 8 0

8 3 3

b, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với l

Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I0;0;8 và có véc tơ chỉ phương

2, Trong không gian cho A2;1; 2 ;   P x y z:    5 0 Tìm hình chiếu song

song của A lên (P) theo phương chiếu : 1

a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)

b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương

II Bài toán 2 Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

2.1 Cho n điểm A A1, 2, ,A và mặt phẳng (P) Tìm trên (P) điểm M sao cho: n

b, Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho: NA2NB NC đạt giá trị nhỏ nhất

M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P):

1:

M đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên (P)

Gọi d là đường thẳng qua N và vuông góc với (P):

33:

25

19 4 29

; ;2

2         MA                    2MB               3MC                             2MI               2              IA               2MI               2IB               3MI 3IC MI IM

Suy ra 2MA 2MB 3MC

nhỏ nhất khi và chỉ khi IM ngắn nhất, do M thuộc (P) nên

IM ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P)

Tìm hình chiếu của I trên (P)

Giả sử M a b c( ; ; ) ( )  P là hình chiếu của I trên (P) Ta có

 

4

(I) P

M 6; 4; 2  chính là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

2.2 Trong không gian cho n điểm A A1, , ,2 A và mặt phẳng (P) Tìm trên (P) n điểm M sao cho: k MA1 12 k MA2 22  k MA n n2 đạt giá trị nhỏ nhất.

M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): :

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ: 2; 2 5;

2.3.Trong không gian cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) Tìm điểm M trên (P)

sao cho tam giác ABC đều hoặc có diện tích bằng một số m cho trước.

Phương pháp:

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Khi đó điểm C thuộc đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q) Viết phương trình đường giao tuyến dưới dạng tham số + Nếu tam giác ABC đều thì AB =BC

+ Nếu tam giác ABC cân và có diện tích bằng số cho trước thì chọn C thuộc giao

tuyến và sử dụng công thưc: 1  ; 

2

S  d C AB AB m

Ví dụ 1:

Trong không gian cho A0;0;1 , B0;1;0 ;( ) : P x2y z  1 0 Tìm điểm C

thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.

Cách 1 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q) đi qua trung điểm

a b

C thuộc giao tuyến của (P) và (Q), gọi d là giao tuyến hai mặt phẳng này, phương

trình đường thẳng d : 0

5

x t y

Trường hợp 1: A, B cùng phía không gian so với mặt phẳng (P)

a, Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có

Vậy M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Trường hợp 2: A, B khác phía không gian so với mặt phẳng (P)

a, Ta có MA MB AB   MA MB min A B M, , thẳng hàng Vậy Vậy M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

b, Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có

Đặt f x y z ; ;  2x y z   1 f A f B    72 0 Vậy A, B cùng phía không gian so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P).

Đường thẳng AA’ đi qua A có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến của (P) có

phương trình:

1 232

3 41

1;2;33

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P).

Đường thẳng AA’ đi qua A có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến của (P) có

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Tọa độ H là nghiệm hệ:

1 2

1 10; ; ' 2;1;1

Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA2 2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

3, Trong không gian cho A(1; 0; 1); B(-1; 1; 1) Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.

4, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho A1; 1;1 ,  B5;1;1 ;( ) : P x z  5 0Tìm tọa độ điểm MOxy sao cho MAB cân tại M và có diện tích bằng 5

5, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) 3x y z   2 0 vàcác điểm A2;1;1 , B1;0;0 Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng

ABC vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng 2

6, Cho A1;3; 2 , B0;0;3 ,( ) : P x y z   1 0 Tìm M thuộc (P) sao cho

b, MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.

III Bài toán 3 Xác định tâm và tínhbán kính đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Phương pháp: Giả sử cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Cách 1 Gọi I là tâm đường tròn Ta có:

Cách 2 Gọi (P); (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, BC

Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm hệ phương trình:

( )( )

P Q ABC

Trong không gian cho ba điểm A1; 2;0 , B0;1;0 , C1;0;1 Xác định tọa độ tâm

và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1, Trong không gian cho ba điểm A1;2;1 , B2;1;0 , C1;0;1 Xác định tọa độ

tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2, Trong không gian cho ba điểm A1;1;0 , B2;1;0 , C1;0; 2 Xác định tọa độ

tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

D Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng

I.Bài toán 1 Lập phương trình đường thẳng khi biết điểm thuộc đường thẳng

và véc tơ chỉ phương của nó

Ví dụ:

Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:

1, Đường thẳng qua hai điểm A1;3; 2 , B0;1;3

2, Đường thẳng qua điểm A  1;1; 2 và song song với đường thẳng

3, Đường thẳng qua A1;1; 2  và vuông góc với mặt phẳng (P): x2y z  1 0

4, Đường thẳng qua A1;1; 2  và song song với mặt phẳng

7, Đường thẳng qua điểm A1;3; 2 và lần lượt vuông góc với đường thẳng d và

song song với mặt phẳng (P):