Khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler (KL07196)

Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng v· khai triºn ri¶ng ph¦n v ¡p döng º chùng minh cæng thùc Euler... Möc ½ch v nhi»m vö nghi¶n cùu+ Chùng minh ÷ñc cæng thùc khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h

KHOA TON

*************

NGUY™N THÀ KIM CHI

KHAI TRIšN RI–NG PH†N

Em xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîi c¡c Gi£ng vi¶n khoa To¡n tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï em trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤itr÷íng v  t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh b£n khâa luªn tèt nghi»p

°c bi»t em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Nguy¹n V«n

H o ¢ tªn t¼nh gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n

th nh khâa luªn n y

M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£nth¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡cb¤n sinh vi¶n v  b¤n åc

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2015Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Kim Chi

Em xin cam oan d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n V«n H okhâa luªn cõa em vîi · t i T½ch væ h¤n ÷ñc ho n th nh khængtròng vîi b§t k¼ · t i n o kh¡c.

Trong qu¡ tr¼nh l m · t i, em ¢ k¸ thøa nhúng th nh tüu cõac¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2015Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Kim Chi

1 MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 9

1.1 Chuéi sè 9

1.1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 9

1.1.2 D§u hi»u hëi tö cõa chuéi d÷ìng 13

1.1.3 Chuéi vîi sè h¤ng câ d§u tòy þ 18

1.2 Chuéi h m sè 21

1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 21

1.2.2 C¡c ti¶u chu©n hëi tö ·u cõa chuéi h m sè 22

1.2.3 T½nh ch§t cõa h m sè giîi h¤n cõa chuéi h m hëi tö ·u 26

1.3 Chuéi lôy thøa 28

1.3.1 Kh¡i ni»m v· chuéi lôy thøa 28

1.3.2 B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa 29

1.3.3 Khai triºn th nh chuéi lôy thøa cõa mët sè h m sì c§p 32

2 KHAI TRIšN RI–NG PH†N V€ P DÖNG 33 2.1 Khai triºn ri¶ng ph¦n cõa h m sè l÷ñng gi¡c 33

2.1.1 Khai triºn ri¶ng ph¦n cõa h m cotang 33

2.1.2 Khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h m l÷ñng gi¡c kh¡c 37

2.2 p döng khai triºn ri¶ng ph¦n trong vi»c t½nh gi¡ trà cõa ζ(2) 38

2.2.1 Chùng minh gèc cõa Euler 38

2.2.2 Chùng minh thù hai 40

K¸t luªn 45

T i li»u tham kh£o 46

V· m°t l½ thuy¸t, nguy¶n h m cõa h m húu t ÷ñc gi£i quy¸t tri»t

º qua vi»c biºu di¹n mët h m húu t d÷îi d¤ng têng qu¡t cõa mët

h m a thùc vîi mët h m húu t câ bªc cõa a thùc tr¶n nhä hìnbªc cõa a thùc d÷îi m¨u Nh÷ vªy, v§n · cán l¤i l  xû kþ nguy¶n

h m sau b¬ng vi»c ph¥n t½ch a thùc d÷îi m¨u th nh t½ch ng÷íi tathu ÷ñc c¡c ph¥n thùc ri¶ng ph¦n Nguy¶n h m cõa c¡c ph¥n thùcri¶ng ph¦n ÷ñc t½nh to¡n mët c¡ch ìn gi£n qua c¡c nguy¶n h m cìb£n

Ta ¢ bi¸t cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n

R udv = uv − R vdu

Nhí cæng thùc n y, vi»c t½nh t½ch ph¥n cõa mët sè h m câ thº nâi l kh¡ phùc t¤p ÷ñc chuyºn sang tø nhúng d¤ng ìn gi£n hìn

Ngo i nhúng · cªp tr¶n ¥y, trong Gi£i t½ch c¡c nh  To¡n håc ¢

÷a ra mët sè khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h m °c bi»t qua c¡cchuéi · thu ÷ñc nhúng cæng thùc biºu di¹n r§t nêi ti¸ng v  em l¤imët sè k¸t qu£ µp ³ ÷ñc sü ành h÷îng cõa ng÷íi h÷îng d¨n, tæichån · t i "Khai triºn ri¶ng ph¦n v  ¡p döng º chùng minhcæng thùc Euler" º ho n th nh khâa luªn tèt nghi»p chuy¶n ng nhTo¡n Gi£i t½ch

Khâa luªn ÷ñc c§u tróc hai ch÷ìng

+ Ch÷ìng 1 Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· chuéi sè, chuéi

h m v  chuéi lôy thøa

+ Ch÷ìng 2 Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng v· khai triºn ri¶ng ph¦n

v  ¡p döng º chùng minh cæng thùc Euler

2 Möc ½ch v  nhi»m vö nghi¶n cùu

+ Chùng minh ÷ñc cæng thùc khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h ml÷ñng gi¡c

+ T½nh têng cõa mët sè chuéi sè, chuéi h m

+ T½nh têng cõa h m zeta Rieman vîi sè mô nguy¶n ch®n nhí khaitriºn ri¶ng ph¦n cõa h m l÷ñng gi¡c

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

+ Nghi¶n cùu khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h m l÷ñng gi¡c nh÷

h m

cot πz, tanπz

2 ,

1sin πz,

1cosπz2qua c¡c chuéi

+ T½nh têng cõa mët sè chuéi sè, chuéi h m nh÷ t½nh têng cõa h mzetaRiemann vîi sè mô ch®n

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Khâa luªn sû döng mët sè ph÷ìng ph¡p v  cæng cö cõa gi£i t½ch baogçm

+ Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch v  têng hñp c¡c ki¸n thùc v· lþ thuy¸t chuéi

sè, lþ thuy¸t chuéi h m v  khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët sè h m °cbi»t

+ Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch, têng hñp v· khai triºn ri¶ng ph¦n cõa mët

sè h m l÷ñng gi¡c tø â k¸t hñp xin þ ki¸n cõa ng÷íi h÷îng d¨n

MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

n→∞qn = 0 Do â

lim

n→∞sn = 1

1 − qVªy chuéi sè ¢ cho l  hëi tö v  câ têng l 

Vªy chuéi ¢ cho ph¥n k¼

(iii) Tr÷íng hñp q = −1 D¢y têng ri¶ng ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

Ta câ

sn = 1

1.2 +

12.3 +

13.4 + +

1n(n + 1)

=



1 − 12

+  1

3

+ 1

4

+ + 1

Tø â, suy ra lim

n→∞sn = 1 Vªy chuéi ¢ cho l  hëi tö vîi têng b¬ng 1.1.1.1.1 i·u ki»n º chuéi hëi tö

ành l½ 1.1.1 (ti¶u chu©n Cauchy) Chuéi (1.1) hëi tö khi v  ch¿ khivîi måi ε > 0 tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng N sao cho vîi måi n ≥ N v måi sè nguy¶n d÷ìng p ta câ

|an+1+ an+2+ + an+p| < ε (1.3)Chùng minh Chuéi (1.1) hëi tö khi v  ch¿ khi d¢y têng ri¶ng {sn}hëi tö Theo ti¶u chu©n Cauchy v· sü hëi tö cõa d¢y sè, vîi måi ε > 0tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng N sao cho vîi måi n ≥ N v  måi sè nguy¶nd÷ìng p ta câ

|sn+p − sn| < ε

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi

|an+1 + an+2 + + an+p| < εH» qu£ 1.1.1 (i·u ki»n c¦n º chuéi hëi tö) N¸u chuéi (1.1) hëi töth¼

lim

n→∞an = 0Thªt vªy, theo (1.3) th¼ vîi måi n ≥ N chån p = 1 ta nhªn ÷ñc

|an+1| < ε

Do â ta câ

lim

n→∞an = 0

Chó þ i·u ki»n tr¶n ch¿ l  i·u ki»n c¦n chù khæng ph£i i·u ki»n

n→∞

n2n + 1 =

1

2.b) X²t chuéi +∞P

> 1

12n + +

n→∞(s2n − sn) = 0 Tuy nhi¶n,

i·u n y m¥u thu¨n vîi ¡nh gi¡ tr¶n

H» qu£ 1.1.2 Chuéi (1.1) v  chuéi nhªn ÷ñc tø chuéi n y b¬ngc¡ch th¶m v o ho°c bît i mët sè húu h¤n c¡c sè h¤ng còng hëi töho°c còng ph¥n k¼

1.1.1.2 T½nh ch§t v· c¡c ph²p to¡n cõa chuéi hëi tö

(λan) công hëi tö v  l¦n l÷ñt

÷ñc x¡c ành theo cæng thùc d÷îi ¥y

n→∞(sn ± tn) = s ± t; lim

n→∞λsn = λs

Vªy câ i·u c¦n chùng minh

1.1.2 D§u hi»u hëi tö cõa chuéi d÷ìng.

Chuéi sè +∞P

n=1

an ÷ñc gåi l  chuéi d÷ìng n¸u an ≥ 0 vîi måi n

ành l½ 1.1.3 i·u ki»n c¦n v  õ º mët chuéi d÷ìng hëi tö l  d¢ytêng ri¶ng cõa nâ bà ch°n

(i) N¸u chuéi +∞P

â ta câ c¡c kh¯ng ành sau

(i) N¸u 0 ≤ k < +∞ th¼ tø sü hëi tö cõa chuéi +∞P

n→∞

an

bn

= k v  0 ≤ k < +∞ n¶n tçn t¤i sènguy¶n d÷ìng n0 º vîi måi n ≥ n0

1(n − 1)n

V¼ d¢y têng ri¶ng bà ch°n n¶n chuéi hëi tö theo ành lþ 1.1.3.

Tø k¸t qu£ tr¶n ¥y còng d§u hi»u so s¡nh thù nh§t, ta công suy rangay h m Riemann-zeta

4i th¼ tan x ≤ 2x Do â, vîi måi

ành lþ 1.1.6 (D§u hi»u Cauchy) Cho chuéi d÷ìng +∞P

n=1

an Gi£ sûlim

n→∞

n

√

an = c Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau

(i) N¸u c < 1 th¼ chuéi ¢ cho hëi tö

(ii) N¸u c > 1 th¼ chuéi ¢ cho ph¥n k¼

Chùng minh (i) N¸u c < 1 th¼ tçn t¤i sè p º c < p < 1 V¼lim

n

√

an > 1 ⇔ an > 1; vîi måi n ≥ n0.Nh÷ vªy chuéi ph¥n ký theo h» qu£ 1.1.1.1 cõa ành lþ 1.1.1

1.1.2.3 D§u hi»u D'Alembert

an = d Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau

(i) N¸u d < 1 th¼ chuéi ¢ cho hæi tö

(ii) N¸u d > 1 th¼ chuéi ¢ cho ph¥n ký

Chùng minh N¸u d < 1 th¼ tçn t¤i p º d < p < 1 V¼ lim

n→∞

an+1

an = dn¶n tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng n0 º måi n ≥ n0 v 

an0+k < an0qk

N¸u d > 1 th¼ tçn t¤i n0 º måi n ≥ n0 v 

an+1

an > 1 hay an+1 > an ≥ an0.Vªy khæng câ lim

Chùng minh.Tø gi£ thi¸t cõa ành lþ, vîi måi x ∈ [k, k + 1] v  sè tünhi¶n k ≥ 1, ta ·u câ

f (x)dx còng bà ch°n

ho°c còng khæng bà ch°n i·u â cho ta kh¯ng ành cõa ành lþ.Chó þ Khi ¡p döng d§u hi»u D'Alembert hay d§u hi»u Cauchy n¸ulim

an = 1 th¼ ch÷a k¸t luªn ÷ñc g¼ v· sü hëi

tö hay ph¥n ký cõa chuéi Tuy nhi¶n, n¸u tø mët sè n0 n o â trð i

1.1.3 Chuéi vîi sè h¤ng câ d§u tòy þ

1.1.3.1 Chuéi an d§u

ành ngh¾a Mët chuéi sè câ d¤ng +∞P

Do â, s2m ≤ a1 vîi måi m Vªy {s2m} hëi tö theo ti¶u chu©n ìn

i»u Tø â, n¸u lim

m→∞s2m = s th¼ vîi måi ε > 0 tçn t¤i sè nguy¶nd÷ìng N1 º vîi måi m ≥ N1

|s2m− s| < ε

2.

|sn− s| < ε1

2.Vªy lim

n→∞sn = s, tùc l  chuéi ¢ cho hëi tö v  câ têng b¬ng s Chuéi

an d§u thäa m¢n i·u ki»n cõa ành l½ 1.1.9 gåi l  chuéi Leibniz.Vªy chuéi Leibniz hëi tö

1.1.3.3 Chuéi hëi tö tuy»t èi v  chuéi b¡n hëi tö

ành lþ 1.1.10 Mët chuéi hëi tö tuy»t èi l  hëi tö

n=1

|an|hëi tö th¼ theo ành lþ 1.1.1, vîi måi

ε > 0 tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng N º vîi måi n ≥ N v  måi p ∈ N∗ ta

n2 hëi tö tuy»t èi.

1.1.3.4 C¡c t½nh ch§t cõa chuéi hëi tö

Chùng minh Gåi tk l  têng ri¶ng thù k cõa chuéi (∗) v  sn l  têngri¶ng thù n cõa chuéi +∞P

i∈F

|ai| < ε

2vîi måi tªp con húu h¤n F ⊂ {n ∈ N : n > n1}

Gåi sn v  tn l¦n l÷ñt l  têng ri¶ng thù n cõa chuéi +∞P

sè h¤ng b1, b2, , bn3 Khi â vîi måi n ≥ n3, ta câ

|tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0| + |sn0 − s| < ε

ε

2 = ε.Vªy ta công câ lim

n→∞tn = s ành lþ tr¶n ch¿ óng vîi chuéi hëi tötuy»t èi Cán n¸u chuéi sè +∞P

n=1

an b¡n hëi tö th¼ ta câ thº thay êithù tü cõa c¡c sè h¤ng cõa nâ º thu ÷ñc chuéi hëi tö v  câ têngb¬ng mët sè b§t k¼ cho tr÷îc ho°c trð n¶n ph¥n ký

+ H m un(x) gåi l  sè h¤ng thù n cõa chuéi h m

+ H m sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x) gåi l  têng ri¶ng thù n cõachuéi h m

+ iºm x ∈ X gåi l  iºm hëi tö hay ph¥n ký cõa chuéi (1.7) n¸ud¢y têng ri¶ng {sn(x)} cõa nâ hëi tö hay ph¥n ký t¤i iºm n y N¸u

X0 l  mi·n hëi tö cõa d¢y {sn(x)} th¼ ta công gåi X0 l  mi·n hëi töcõa chuéi (1.7) N¸u sn(x) → u(x) tr¶n X0 th¼ ta công vi¸t

+∞

P

n=1

un(x) = u(x); x ∈ X0

v  gåi u(x) l  têng cõa chuéi h m

Sü hëi tö v  hëi tö ·u

ành ngh¾a Chuéi h m (1.7) ÷ñc gåi l  hëi tö tr¶n mi·n X n¸u vîiméi x ∈ X v  vîi måi ε > 0 ·u tçn t¤i mët sè tü nhi¶n n0 = n0(ε, x)phö thuëc v o ε v  x sao cho vîi måi n > n0

< ε

ành ngh¾a Chuéi h m (1.7) ÷ñc gåi l  hëi tö ·u tr¶n mi·n Xn¸u c¡c d¢y têng ri¶ng cõa nâ hëi tö ·u tr¶n X Nâi c¡ch kh¡c, chuéi

h m sè (1.7) hëi tö ·u tr¶n X n¸u vîi måi ε > 0 ·u tçn t¤i mët sè

tü nhi¶n n0 = n0(ε) phö thuëc v o x sao cho khi n > n0

< ε, vîi måi x ∈ X

1.2.2 C¡c ti¶u chu©n hëi tö ·u cõa chuéi h m sè

ành lþ 1.2.1 (Ti¶u chu©n Cauchy) Chuéi h m sè +∞P

n=1

un(x) hëi tö

·u tr¶n tªp X khi v  ch¿ khi vîi sè ε > 0 cho tr÷îc tçn t¤i sè tünhi¶n n0 = n0(ε) (khæng phö thuëc v o x) sao cho vîi måi n > n0 v måi sè nguy¶n d÷ìng p ta câ

n0 = n0(ε) sao cho vîi måi n > n0 v  vîi måi p ∈ N∗ ta câ

|sn+p(x) − sn(x)| < ε; vîi måi x ∈ X

Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh

ành lþ 1.2.2 (ti¶u chu©n Weierstrass) Cho chuéi h m sè +∞P

n=1

un(x).N¸u vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n ta câ

=

an+1

an

= ρ,th¼ b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa ÷ñc t½nh theo cæng thùc

ρ Vªy R = 1

ρ Tr÷ìng hñp ρ = lim

an+1

an

an+1xn+1

anxn

... câ

|sn+p(x) − sn(x)| < ε; vỵi måi x ∈ X

Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh

ành lỵ 1.2.2 (tiảu chuân Weierstrass) Cho chuội hm số +P

n=1... giÊ sỷ {bn} l dÂy ỡn diằu tông (trữớng hủp l dÂy ỡn

iằu giÊm ữủc chựng minh tữỡng tü) Khi â vỵi måi n > n0 v  vỵimåi n ∈ N∗ ta câ

n...

Chùng minh Theo gi£ thi¸t s(x) l  têng cõa mët chi h m sè hëi

tư ·u tr¶n [a, b] cõ cĂc số hÔng