Khai triển riêng phần và ứng dụng

Thứ nhất Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ, về mặt lý thuyết, nguyên hàm của hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn một hàm hữu tỷ dưới dạng tổng của một hàm đa th

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hầ Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Tôi xin cam đoan luận văn “Khai triển riêng phần và áp dụng”

không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, thấng 12 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Mue lue

1.1 Chuỗi số 4

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 6

1.1.3 Tính chất về các phép toáncủa chuỗi hội tụ 8

1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 9

1.2.1 Dấu hiệu so sánh 9

1.2.2 Dấu hiệu Cauchy 12

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert 13

1.2.4 Dấu hiệu tích phân 14

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15

1.3.1 Chuỗi đan dấu 15

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu 15

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ 17

1.3.4 Các tính chất của chuỗi hội tụ 18

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm 20

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản 20

I V

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm 20

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 21

1.4.4 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 26 1.5 Chuỗi lũy thừa 28

1.5.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa 28

1.5.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 28

1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp 31

2 Khai triển riêng phần và áp dụng 34 2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác 34

2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 34

2.1.2 Khai triển riêng phần của hàm cotang 36

2.1.3 Khai triển riêng phần của hàm tang 44

2.1.4 Khai triển riêng phần của hàm sine 45

2.1.5 Khai triển riêng phần của hàm cosine 47

2.2 Áp dụng khai triển riêng phần 48 2.2.1 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm cotang 48 2.2.2 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm sine 50

Thứ nhất (Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ), về mặt lý thuyết, nguyên hàm của hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn một hàm hữu tỷ dưới dạng tổng của một hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bậc của đa thức trên tử nhỏ hơn bậc của đa thức dưới mẫu Như vậy, vấn đề còn lại là xử lý nguyên hàm còn lại Bằng việc phân tích đa thức dưới mẫu thành tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai và sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số người ta thu được các phân thức riêng phần Nguyên hàm của các phân thức riêng phần được tính toán một cách đơn giản qua các nguyên hàm

toán đẹp đẽ Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài “Khaitriển riêng phần và áp dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học

chuyên ngành Toán Giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về lý thuyết chuỗi

Tính được tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm Biểu

diễn số 7 Ĩ theo chuỗi hàm biến phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác thành tổng của hàm phân thức và chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác Đặc biệt là tính được tổng Gregory - Leibniz - Madhava.Biểu diễn số 7 Ĩ theo chuỗi hàm biến phức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác như hàm

qua các chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:Phương pháp phân tích và tổng hợp các kiến thức về lý thuyết chuỗi số và lý thuyết chuỗi hàm và khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt

Phương pháp phân tích, tổng hợp về khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác từ đó kết hợp xin ý kiến của người hướng dẫn

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức căn bản về khai triển riêng phần của hàm lượng giác và một số áp dụng của những khai triển này trong việc tính tổng của một số chuỗi đặc biệt

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {a„} Tổng vô hạn

00

QỊ + Ũ2 + ••• + ữn + ••• = 'y ] Qn (1

-1 )

n = 1

được gọi là một chuỗi số Trong chuỗi số trên người ta gọi a n là số hạng thứ

n (và được gọi là số hạng tổng quát thứ n); tổng hữu hạn

chuỗi được gọi là hội tụ và có tổng là s Khi đó, ta cũng viết

Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1.

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1 1 1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với

mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N

\a n+ i + a n+ 2 + + a n+p \ < £] (1-3)

Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của

dãy số, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên dương p ta có

Như thế, nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng s n và s 2n phải cùng dần tới một giới hạn khi n —> + 0 0 tức là

lim (s27 i — s„) = 0 Tuy

71—¥ 00

nhiên, điều này mâu thuẫn với đánh giá trên

Hệ quả 1.1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số

hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ

1 0

riêng của chuỗi Y) (Aa„) Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có

Y) a n hội tụ.

00 00 (ii) Nếu chuỗi a n phân kỳ thì kéo theo chuỗi b n

phân kỳ.

Chứng minh Như đã nói trong hệ quả 1 1 2 mục 1.1, không mất tính

tổng quát ta có thể giả thiết no = 1 Gọi s n và t n lần lượt là tổng riêng

b n I ị khi k Ỷ +00 lim — = k* = ị k

(z) nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ii) nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

Chứng minh (z) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1 Vì lim Æ = c nên tồn

(ii) Nếu c > 1 thì tồn tại no để

ýan > 1 an > 1; với mọi n > n0

Như vậy, chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1.1.1 của định lý 1.1.1 □

0 0

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert

1 4

ơn+1

ơn <p& a n+1 < pơ n

Định lý 1.2.5 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuỗi số dương ơn■

n—¥ữo

Định lý 1.2.6 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

1 6

trong đó s n là tổng riêng thứ n của chuỗi Y ) a k • Từ bất đẳng thức

Chú ý Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu lim n+1 =

1 hoặc lim -c/õ^ = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội

tụ hay phân kỳ của chuỗi Tuy nhiên, nếu từ một số no nào đó trở đi mà 0,71+1

> 1 thì có thể suy ra

a n

ơm T ^Tio5^nz +

no-Điều đó cho ta khẳng định rằng dãy a n không tiến đến 0 khi n —> +00

00

và như vậy chuỗi a nphân kỳ

n= 1

1.3.1 Chuỗi đan dấu

00

Định nghĩa 1.3.1 Một chuỗi số có dạng Ỵ2 (—l)71- CL n trong đó các

n=l

số a n cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu

Định lý 1.3.1 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an} là đơn điệu giảm,

00

và lim a n = 0 Khi đó, chuỗi Y) ( —l)71- a n hội tụ.

s„ s| k+1 s a „+i | < | s „+i s | + K+i| < 2 + 2 E

Như thế, với mọi n > N ta đều có

s„ — s < £

Vậy lim s n = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s.

1 8

n — ¥ 00

Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1.1) gọi là chuỗi Leibniz

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ

1 9

2 0

sử lim s n = s Khi đó tồn tại n 2 > Uị sao cho

Isn — sI < với mọi

n > n 2 2

Chọn n3 > n2 sao cho các số hạng dị, a 2 , ũ n 2 có đủ mặt trong các số hạng

b ị , b 2 , .,bn 3 Khi đó với mọi n > n3, ta có

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.4.1 Cho dãy hàm {«„(æ)} cùng xác định trên tập X c K Ta

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm X £ X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7) nếu dãy tổng

riêng {s„(æ)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu X o là miền hội

tụ của dãy {sn(æ)} thì ta cũng gọi x0 là miền hội tụ của chuỗi (1.7) Nếu

s n ( x ) —> u ( x ) trên x0 thì ta cũng viết

00

5~2 u n{x) = u ( x ) ; x e x0;

n = 1

và gọi u ( x ) là tổng của chuỗi hàm xác định trên x0- Sự hội tụ trên được gọi

là hội tụ điểm của chuỗi hàm Theo ngôn ngữ Cauchy, ta có thể phát biểu

như sau: Chuỗi hàm (1.7) được gọi ỉà hội tụ trên X và có tổng là u ( x ) nếu

với mọi số £ > 0 và với mỗi X £ X tồn tại một số nguyên dương no = n o ( £ ,

x ) s a o c h o

|s„(æ) — It(æ)| < £] với mọi n > n 0

2 2

Khi tìm được chỉ số nguyên dương n 0 chỉ phụ thuộc vào số £ > 0 mà không phụ thuộc vào giá trị của X ta nói chuỗi hàm hội tụ đều Chính xác hơn ta có

Định nghĩa 1.4.2 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên X và có tổng là u ( x ) nếu với mọi số £ > 0 tồn tại một

số nguyên dương n 0 = n0(e) sao cho

|s„(æ) — «(æ)! < £ ; với mọi n > no và với mọi X € X .

Định nghĩa 1.4.3 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

00

chuỗi Y! |ư„(a;)| hội tụ.

71=1

Nhận xét Chuỗi hàm hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối gọi là chuỗi bán hội tụ.

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm

|sn+p(a;) — sn(æ)| < £] với mọi X G X .

Chứng minh Thật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổng riêng {sn(æ)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn

Cauchy của dãy số hội tụ đều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương n 0

sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p ta có

n 00

2 3

Nếu với mọi số nguyên dương n ta có

\u n( ÍE ) I < C n; với mọi X € X;

2 4

s n+ p(a;) — s n (a;)| < £] với mọi X € X.

( i i ) D ã y h à m { b n ( x ) } đơn điệu có nghĩa là với mỗi X £ X dãy b n ( x ) là d ã y số đơn điệu và dãy hàm { b n ( x ) } hội tụ đều trên X đến không.

Ví du 1.4.1 Chuỗi hàm số J2 0 —, hôi tu tuyêt đối và đều trên

Định lý 1.4.3 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {an(æ)} và

{ b n ( x ) } cùng xác định trên tập X Giả thiết

Chứng minh Ta có thể xem {ô„(æ)} là dãy đơn điệu giảm và ôn(æ)^0 Khi đó

với £ > 0 tồn tại số tự nhiên no = no(e) sao cho

Giả thiết thêm rằng 00

(ì) Chuỗi hàm Y a n ( x ) hội tụ đều trên X.

71=1

(ii) Dãy hàm {b n (x)} đơn điệu với mọi X và bị chặn đều có nghĩa là

với mọi X G X, d ã y số b n ( x ) là d ã y đơn điệu và tồn tại số M > 0 sao cho

|6n(æ)| < M; với mọi n = 1,2, và với mọi X E X

00

Khi đó, chuỗi a n { x ) b n ( x ) hội tụ đều trên X.

n= 1

Chứng minh Từ giả thiết (ị) với £ > 0 tồn tại số tự nhiên no = no(e) sao cho

với mọi n > n0 và mọi số nguyên dương m ta đều có

chuỗi là hội tụ đều và có tong là s(æ) thì s(æ) cũng khả tích và

Chứng minh Theo giả thiết s(æ) là tổng của một chuỗi hàm số hội tụ đều trên [a, b] có các số hạng liên tục trên đó, do vậy s(æ) liên tục trên [ữ, ồ], nên s(æ)

khả tích trên [ữ, ồ] Xét hiệu