Khoá luận tốt nghiệp khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler

Như vậy, vấn đề CỜI1 lại ià xử kỹ Iiguyẽu hàm i5ciu bằng việc ph.au tích đa thức dưới mẫu thành tíđi người ta.. th.il được cáu ph.au thức.: riêng phần, N guyẽii h-àui uủa.. các; chuỗi đ

TRƯỜNG DẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIM CHI

KHAI TRIỂN RIÊNG PH AN

VÀ ÁP D Ụ N G ĐỂ CHỨNG M INH

CÔNG THỨC EULER

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC

Người hướng dẫn khua, hạt;

r s , NGU YỀN VĂN H.ÀO

HÀ N ộ i - 2015

LỜI CẢM ƠN

Làn X.L11 đượu gửi Lời cam ơii tới các Giảng vieil khoa ibáii trường' Dại hực Sư phạm hLà Nại 2 đa giúp đở em trong' quá trình Ỉ1ỰC tập tại trường' và tạo điều kiện dio em liDầ.11 thành bàu kh.6ct Luạii tốt nghiệp.Dặc biệt em XĨIL bày tò Lòng biết ƠI1 sâu sắc; tới T S r N g u yễn V ãn hLào đa tậu thill giúp đỡ em trưng suốt quá trình Iigh.i.011 cứu và h.oà.11 thành kh.6a iuạn này,

Mặc dù đà có rất nhiều cấ gắng, sDíig thời gia.il và kinh nghiệm bail

th au CÒI1 n h iề u h.ạ.11 ch ế I16I1 k h ó a iu ậ ii k h ô n g th ể trá n h k h a i Iih.tfiig

thiếu sót rất uiDiig được sự đóng' góp ỹ kiếii của các thầy OQ giáo, uác bạii sinh viên và bạiỉ đực

tí à Nộir thÁĩig 5 năm 2015

SLiiii vieil

N g u y ễ n T h ị K im U lli

L ờ i CAM ĐOAN

L/II1 XÌIL caul đoan dưới sự hướng dẩii của T S , N gu yểĩi Văn t i ko

kh.6a Luậii ũủct em với đề tài “Tích, vô hạn” được h.oằ.11 thành không trùng; với bất kĩ đề tài Iiài> khác,

Trong quá trình Làui đề tài, em đa kế thừa, nhưng thành, tựu của

các nhà khoa, lụ>c với $ự trâu trọng và biết ƠI1.

Hà Nộĩt tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyên Thị Kim Ulli

3

hại tụ đ ề u 201.3 Chuỗi Lũy thừa 2b>

1 3 2 Báu kíiiti hội tụ của chuồi, lũy t h ừ a

1.'S.'ô Khai triều thành chuỗi lũy thừa củct mạt số hàm

2 Ả Khai triều riêng ph.au diel hàm số Lượng giác; -5-52,L I Khcũ triền riêng phần cửa hàm cotcUỉg , , , , 'ở‘ò

2 Ả .2 Khai triển riẽiig, phần của mạt ị>6 iiàin Lượng

giác khác; -ST

2 2 Ấp đụng khcii triều riêng piiầii trong; việc tính, giá trị

cua C ( 2 ) 38

Về m ặ t lí th u y ế t, Iig u y êii lià tn uủct h à m liutu t ỹ đ ư ợ c g iả i q u y ế t tr iệ t

để qua việc; biểu điên mật hàm hữu tỷ dưới dạng tổng' quát củct mật hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bạc của đa thức trêu nhò hau

bậc của đa thức dưới mẩu Như vậy, vấn đề CỜI1 lại ià xử kỹ Iiguyẽu

hàm i5ciu bằng việc ph.au tích đa thức dưới mẫu thành tíđi người ta

th.il được cáu ph.au thức.: riêng phần, N guyẽii h-àui uủa các ph.â.11 thức

ricu g p h ầ n được tín h to á n m ộ t cách, đơii g iản qua các Iiguyẽii h.à.111 cơ bản

l a đa biết công thức; tí di phân từng pliầti

f udv = uv — f vdu.

Nhờ cồng thức liày, việc tính, tích phau cua- một ỉ>6 hàiii có thể 116L là khá phức tạp được diuyểii sang từ những' dạng, đơn giản hơu

Ngoài uiiữiig đề cập trêu, đây, trưng' Giãi tích, các; nhà Tt>áu liực đã

đưa Lei một í>6 kh.cũ triển riêng' ph-ầii củct một i>ố hàm đặc biệt qua các; chuỗi đề thu được những cồng thức biểu điều rất 11ỖL tiếng và đem lại một 56 kết quả đẹp đẽ, Dược sự định, hướng của người, hướng dẩiL, tôi

điỊHi đề tài irKhcù trien riêng phần và áp dụng đé chứng minh,

c ô n g ' t h ứ c E u L e r " đ ể h oà 11 th àn h k h ó a iu ậ ii t ấ t n g h iệ p đ iu y ê ii Iigàuh

Toán Giải tích,

Khóa Luậii dược cấu trúc; hai điươiig

+ Uhươiig L Trình bày một số kiến thức cơ bàu về chuỗi số7 điuai hàm và điuẩi Lũy thừa.,

-Ị- Chương 2' Trinh bày một cách hệ thống về khcũ triều riêng ptLầii

và áp đụng để chứng mình công thức Euler,

M ự c ; l ụ V MỤC LỤV

2r Mực đích và nhiệm vụ nghiên cửu

-h Chứng minh được cổng thức khai triển riêng phần của một $6 hàm lượtig giác,

+ Tính tồng của một số chuỗi số, điuồL hàm

"h Tính tống' c ủ a lià iu ¿ e ta Rienia-Ii với sấ m ủ Iig u y ên c ỉiẳ ii liliờ kh.cũ

triều riêng phần của hàm Lượng giác,

3, Đối tượng nghiên cứu

-|- Nghiêu cứu khai triểỉi riêng phần của mạt »6 hàm Lượng giác; như hàm

4, Phương pháp nghiên cứu

KiiOci Luậii sử dụng một số phương pháp và uôiig cụ của giải tích bao

gồm

-Ị- Phương ph-áp ptiâii tídi và tồng hợp các kiến thức về lỹ thuyết chuỗi

¡>6, lỹ thuyết chuỗi hàm và khcii triều riêng phần của mật *6 hàiii đặc;

biệt

-h Phương- pháp phân tích, tống hợp về klmi triền riêng phần của mật

i>6 hàm Lượng giác từ đ6 kết hợp XÌIL ỹ kiến uủa Iigười hướng dẩn.

7

MỤC' LỤC MỤCLỤU

Chương 1

BỊ♦

1.1.1 Mật »6 khái liLệui cơ bản

Đ inh nghĩa 1.1, ChLD dãy 3ố {a n} Tống vô hạn

Clị + 0,2 + ••• + an + = ^2 C Ln (l'l)

11 = 1

được gọi Là mật chuồi số,

-b an đượu gọi Là í>6 hịiỉi^ tống quát thứ n uíict chuỗi s6.

H- Tổng'

sn — ữl + ữ2 + ••• + an — 2 aẢ -5 (1-2)

k = l

được gụi là tồng riêng thứ n ũủa điuQL số, L)ằy {s„ } được gvi Là day

tống riêng của điuổi (1.1)

JNếu giới hạn uủct day tồng rỉêiig lim s„ = s tần tại và hữu hạn thì

11 Vti VÔI s ố VttươNU 1 MỘT s ờ KlẾiS T t i ữ v CUVẪiS VỊ

Vậy chuỗi đã đio phân kì,

(m) Trường hợp q = — L Day tồng riẽug được x.ác định như sau

0 khi n = 2 k

1 khi n = 2 k + 1 Như vậy dảỵ {s n} không uó giới hạn, L>1> đ6 với \q\ = 1 thì chuồi đả

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

1,1,1,1, Đ iều kiệu để chuỗi hội tu

Đ ịnh lí 1 , 1 , 1 , (tiêu diuẩu CcHiđiỵ), Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chí khi

với ỉiiựi 6 > 0 tầu tại số Iiguyêii dương N sao (ill) với II1ỰL n > N và mọi số liguyẽii đương p tel có

\an+i + an+2 + + an+p\ ^ £ (1.3)

Chứng m inh, UhuẩL (1.1) hại tụ khi và chi khi day tống riêng {s n}

hội tụ, rheo tiêu diuẳii Uctudiy về sự hội tụ cua dãy số, với inựi ố > 0

tồn tại »6 ỉiguyêii dương N d io với mại n > N và II 1ỰĨ »6 Iiguyêii

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

C hú ỹr Diều kiệu trẽn đií là điều kiệu cần điứ không' phài điều kiệu

Nếu chuỗi này hôi tụ thì các day tống riêng { ,sn} và { s 2n} pliài dầu

tới một giới hạn khi n —> +OG? tức Là lim (s2n — sn) = 0, Tuy Ìihiẽu,

n —^ oc

điều Iiày mâu thuẫn với đáuli giá trêu,

hLệ quả 1,1,2 , Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuổi Ìiày bằng cád.1 thêm vào hi>ặc bớt đi mạt số hữu hçtii üáü i>6 heilig uùiig liöi tụ hoặc uùiig ph.au kì,

1,1,1,2, Tính chất về các phép ti)áu của chuỗi hội tụ

Đ inh Lí 1 , 1 , 2 , Nếu các chuỗi am Y l bn liậi tụ và có tổng' Lần Lượt

n = 1

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1 MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ

lim (sn =b tn) = s ± t\ lim Xsn = As.

[Ngược Lại, CÌD dảỵ tồng riêng của chuỗi dương Là dãy (sn) tăng liẽii nếu

Đ inh Lí 1 ,1,4 , (Dấu hiệu ¡>0 sánh thứ nhất), Giả sử tồn tại số nguy eil

dương ĨI() và Liiột hằng’ 3ố c > Ü !>&(_> cho

an < Cbn; với iiiựi n > 1ĨQ.

Khi đó ta cớ uác khẳng định Seul

(?;) Nếu chuỗi i-iöi tụ thì kéo theư chuồi an hội tụ,

(Ü) Nếu chuỗi an phân kì thì kéo theo chuỗi bn phân kì,

Chứng' m in h , Như đã Í 1ÓL trong' hệ quà 1,1,2, không' mất tính, tổng

quát ta cố thế giả thiết n 0 = L GựL s n và t n Lầu Lượt là tổng: riêng thứ

+ 00 + 0 0

n của các chuỗi an và bn Khi đ6 tel œ

s n < C t n ; với II 1ỰL n > 1.

Như vậy Iiếu day {tn} bị chặn thì dãy { s n} cũng; bị chặn và Iiếu dãy

{ sn} không bị diặii thì dãy {tn} cung không bị điặii, Từ đ6 ta suy ra.

U

1,2 CtỉUỖlSỜ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị

kết iuậii cua định iỹ

Đinh lí 1 ,1,5 (Dấu hiệu so sánh, thứ licti), Giả sử lim — = k Khi

n-^oo bv

đó ta có các khẳng định sau

(i) Nếu 0 < k < +oo thi từ sự hội tụ của chuỗi ^ an kéư theo sự

71=1hội tụ củ a chuỗi ^ ữ7ì-

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

- 1 + 1“ 2 + 2 _ 3 + - + ^ I ' ñ

= 2 - - < 2

n

Vì dãy tổng riêng bị diặii liêu diuồi hội tụ theo định Lý 1,1.3,

Từ kết quá trêu đây uùiig dấu hiệu SL> sánh thứ nhất, ta củng suy ra

lim 4 — = lim — = 0,n—>00 1 n—>00 2n

Iih.ặ.11 đượu tính, hại tạ của hàm ¡¿etä-Rieiiicuiii

V í d ụ 1 ,1 ,6 , Hàm ¿etaRieiiiaim đượu xác định bởi công thức

2 , 2 VtỉVỖl s ờ C;i-i[;'ơ:VG ỉ m ộ t s ờ LÍIẾN THỨC cti VAN Uị

Đ i n h Lý (D ấ u h iệ u C a u c h y ), C h a ch u ô i đ ư ơ n g a n- (¿Là sử

71=1

lim = c, K-liL đó, ta vó các khẳng địiiii sau

n —ìoo

(i) Nếu c < 1 till chuỗi đa điD hội tụ

( m ) Nếu c > 1 thì điuổi đa diD pliâii kì,

Chứng m inh, (z) Nếu c < 1 thì tần tại $6 p đè c < p < 1, Vì

lim = c iiẽn tầu tại 1ĨQ đế

Như vậy chuồi, phân kỳ theo hệ quà L 1,1,1 của định Lý 1,1.1,

1,1,2,3, Dấu hiệu D ’Alembert

Diĩih lỹ 1 ,1,7 (Jhx> chuỗi dương XI an- sử tầu tại giới hạn

rc= 1

lim = cL Khi đó ta cớ các ktiẳiig địiili sau

7Z-S-OC a n

( i ) Nếu d < 1 thì chuỗi đà dio hoi tụ,

( i i ) Nếu d > 1 thi diuổi đã cho ph.au kỳ,

Chứng m inh, Nếu d < 1 thì tầu tại p để d < p < L Vi lim = d

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

1.1.1.

Nếu ri > 1 th ì tầ u tạ i 77,0 để Iiiựi n > n 0 và

^ J- tlciy CLn + i CLn ^ 0*110' CLn

Vậy không, c6 lim a n = 0 liêu chuỗi ph.au kỳ

n —> oo

1 , 1 , 2 , 4 , D ấu hiệu tích phân Cauchy

Đ inh Lỷ 1 ,1 ,8 , Uhx> chuỗi số dương an- stí f ( x ) là một hàm

n=l

đơii điệu giảm và liêu tục; trêu [1; +oo) SctU1 d'lD

/(n) = an; với mựi n = 1, 2,

1

17

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1 MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ

hoặc cùng không bị diặii Diều đ6 dio ta khẳng định của định [ỷ

C h ú ýr Khi áp dụng dấu hiệu D 'A lem bert Lici.y dấu hiệu Cauchy Iiếu

lim = 1 Iie>ặc lim = 1 thi chưa kết Luậii được gi về sự hội

Diều đỡ ch.i> ta khẳng định, day an không tiến đến 0 kill n —>+00 và

như vậy điuổi ^ an ph.an kỷ,

n=l

1,1,5 Uhuỗi VỠL i>6 hạng cá d ấu tùy Ý

1.1.3.1, Chuỗi đau dấu

Dinh, nghĩa, Mật chuỗi số ó> dạng (—l) n-lan trong đó các »6 an

n = 1

cùug dấu được gụi là chuỗi đau dấu

1.1.3.2, Sự hội tụ

Đ in h Lỹ 1.1.9 (Dấu hiệu Leibniz) Giả s ử day {a n} là đơn điệu giảm

và lim a n = 0 Khi đó, điuổi (—1 )77_ 1 a„ hôi tụ

]-L)o đó? s2?n < di với ỈIIỰL m Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu đmẳii đơn

điệu Từ đó, iiếu lim s 2m — s thì với mại £ > 0 tồn tại số liguyẽii

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

Lại vì lim an = 0 Iiẽii với II1ỰL ổ > 0 tầu tại ¡>6 liguyêii dương Nọ để

n-> oo

với Iiiựi n > N 2 củug có

Dặt N = max{iVi, N2} thì với II 1ỰL n > N ta- có

1,1,3,3, Chuỗi hậi tụ tuyệt đối và chuỗi báu hội tụ

D inh nghĩa, Chuồi i>6 ^2 an được gọi Là hội tụ tuyệt đối Iiếu điuổi.

D ịiih lý 1 1 1 D Một chuỗi hội tụ tuyệt đối Là hội tạ,

C h ứ n g m in h , Nếu chuỗi \an\ hội tự thì tlm> định lý 1.1.1, với LI1ỰÌ.

1,1 Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị

l a ó > - -— < — , tel đa biêt chuôi 2J —7 íiỢi- tụ liên chuôi

12 Vtỉ VÓI HÀM b õ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị

1,2 Chuỗi hàm số

lr2rl Mật »6 khái niệm cơ bail

Đ inh nghĩa, Uhx> dày hàm {wn(x)} cùng xác định trẽn tập X c R

Gụi tống vô hạn

Wi(x) + u 2 (x) + + w„(a;) + = u „(i), (1.7)

n = l

là một diuổL hàm xác địiih treu X

+ H.à.111 un(x) gọi Là số hạng thứ n của chuỗi hàm,

-h hLàui sn(rr) = Wi(x) + u 2 (x) + + un(x) gọi Là tống riêng tiiứ n ũủa

chuỗi hàlll

21

12 Vtỉ VÓI HÀM b õ CHƯƠNG 1 MỘT SỜ KIẾN THỨC CHU Ẩn BỊ

-j- Điểm X E X gọi- là điễm hồi tự imy ph.au kỳ của diuẩi (1.7) Liếu

dãy tổng' rieug (sn(x)} của 110 hại tụ hay phân kỷ tại điểm Iiày JNếu

Xq Là miều hội tụ của day {s n(x)} thi ta củng gựi Xo là inLềii h.ậi tụ

của chuỗi (1.7) Nêu sn(x) —>> u(x) trêu Xq thì tel cung viết

¿ M„(z) = u ( x ) ; x e x 0

n= 1

và gụi- w(x) Là tống của chuỗi hàm,

Sự hội tụ và hội tụ đều

Đ ịnh nghĩa, (Jh.u.5i hàm (1.7) được gụi- là hội tụ trẽn miều X I10U với

II1DL X E X và với inụi £ > 0 đều tồ n tạ i m ột i>6 tự nhiên n 0 = 77,0 (e, x)

phụ thuộc vào £ và X 3ỈU> diD với II1ỰL n > n 0

+ 00

X) «* MẢ: = 7Ỉ+ 1 < e.

D inh nghĩa, Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hại tụ đều trêu miều X

Iiếu các day tồng riêng củci 116 hội tụ đều trẽn X Nói cáuh khúc, chuỗi hàm ¡>6 (1.7) hội tụ đều trêu X uếu với II1ỰĨ £ > 0 đều tòii tại một ¡>6

tự uhiêu n0 = n{) (ổ) phụ thuộc; và.L> X Sell) đio khi n > n 0

+ 00

J 2 uk (X)

k = n+ 1

< £, với L iiạ i X £ X.

1,2,2 Các tLêu chuảii hội tụ đều của chuôi hàm số

Đ ịnh lý 1 2 , 1 (Tiêu chuẩn Ucuidiy) Chuỗi hàm ỉ>6 un(%) hội tụ

71=1

đều trêu tập X khi và điL khi với $ố £ > ü cho trước tòn tại ỉ>ố tự Iihiêii no = no(e) (không p h ụ th u ộ c vào x ) sa.0 cho với II1ỰL n > ft0 và ỈI1ỰL số Iiguyëii đương p ta có

12 Vtỉ VÓI HÀM b õ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị

riêng S n(x) = u k ( x ) hội tụ đều trêu X đếii S(x)r Theo tiêu chuẩu

k= 1

n

CcRidiy về day hàm ¡>6 ta c6 day hàm tống I'LCLig S n(x) = Uk( x)

k= 1

liậi tụ tuyệt đối kill và d ií kiii với £ > 0 d io trước tầu tại số tự iiliiêii

n 0 = n 0(e) i>ciD diL> với inựi n > n 0 và với inựi p G N* tel œ

| s n + p ( x ) — s n ( x ) | < £■; v ó i I l l ự i X £ X

Vậy ta có điều phải diứiig minh.,

Đinh Lý 1,2 ,2 (tiêu diuấii Weierstrass), Cho điuồi iiàm số un(x )'

12 Vtỉ VÓI HÀM b õ CHƯƠÍSG 1 MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị

hội tụ tuyệt đối và đều trên

D inh, [ỷ 1 ,2 ,3 (dấu hiệu DiriđiLet) Uiu> hcù day hàm {(In{x)} và

{òn(x)} cùng xáũ địuli trêu tập X Già thiết

(i) L)ãy tổng' riêng sn(x) của chuôi tiàm 5^ ữn(^) bị- diặii đều trêu

n = l

Y rn nuhĨM là f.rin t.MỈ <(\ A/ĩ s n «MU ch.0

< M; Vn, Vx G X

(z z ) D a y h à m { ò n } đ ơ i i đ i ệ u c ó I i g h i c t Là v ớ i r u ổ i X G X d a y b n ( x ) l à

dãy b>6 đơn điệu và dãy hàm {ò7i} tiôL tụ đều trêu X đến 0,

Khi đó diuQi hàm an(x )K (x ) hội tụ đều trêu X ,

n= 1

Chứĩig m inh, Ta œ thề xem { bn} là dày đan điệu giảm và dày hàm

{òn} hội tụ đều trêu X đếii 0,

K h i CÎ6 v ớ i £ > 0 t ồ n t ạ i s ố t ự Ì i h i ê i i n 0 = n 0 ( s ) s a o c h 0

n

\sn(x)\ X) ak(x )

k= 1