Khai triển riêng phần và ứng dụng

đưa ra một số khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt qua cácchuỗi để thu được những công thức biểu diễn rất nổi tiếng và đemlại một số kết quả tính toán đẹp đẽ.. Nhiệm vụ nghiên c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoànthành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Tôi xin cam đoan luận văn “Khai triển riêng phần và áp dụng”không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi hoàn toàn chịutrách nhiệm

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Mục lục

1.1 Chuỗi số 4

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 6

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ 8

1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 9

1.2.1 Dấu hiệu so sánh 9

1.2.2 Dấu hiệu Cauchy 12

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert 13

1.2.4 Dấu hiệu tích phân 14

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15

1.3.1 Chuỗi đan dấu 15

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu 15

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ 17

1.3.4 Các tính chất của chuỗi hội tụ 18

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm 20

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản 20

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm 20

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 21

1.4.4 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 26 1.5 Chuỗi lũy thừa 28

1.5.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa 28

1.5.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 28

1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp 31

2 Khai triển riêng phần và áp dụng 34 2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác 34

2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 34

2.1.2 Khai triển riêng phần của hàm cotang 36

2.1.3 Khai triển riêng phần của hàm tang 44

2.1.4 Khai triển riêng phần của hàm sine 45

2.1.5 Khai triển riêng phần của hàm cosine 47

2.2 Áp dụng khai triển riêng phần 48 2.2.1 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm cotang 48 2.2.2 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm sine 50

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khai triển riêng phần là một trong những kỹ thuật tính toán của giảitích toán học Minh họa cho điều đó, chúng ta có thể giới thiệu quahai vấn đề dưới đây

Thứ nhất (Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ) Về mặt lý thuyết,nguyên hàm của hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn toàn triệt để quaviệc biểu diễn một hàm hữu tỷ dưới dạng tổng của một hàm đa thứcvới một hàm hữu tỷ có bậc của đa thức trên tử nhỏ hơn bậc của

đa thức dưới mẫu Như vậy, vấn đề còn lại là xử lý nguyên hàm cònlại Bằng việc phân tích đa thức dưới mẫu thành tích các nhị thứcbậc nhất và tam thức bậc hai và sử dụng phương pháp đồng nhất

hệ số người ta thu được các phân thức riêng phần Nguyên hàm củacác phân thức riêng phần được tính toán một cách đơn giản qua cácnguyên hàm cơ bản

Thứ hai (Phương pháp tích phân từng phần) Ta đã biết công thứctích phân từng phần

Zudv = uv −

Zvdu

Nhờ công thức này, việc tính tích phân của một số lớp hàm có thể nói

là khá phức tạp được chuyển sang những dạng đơn giản hơn

Ngoài những sự đề cập trên đây, trong Giải tích các nhà Toán học đã

đưa ra một số khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt qua cácchuỗi để thu được những công thức biểu diễn rất nổi tiếng và đemlại một số kết quả tính toán đẹp đẽ Được sự định hướng của ngườihướng dẫn, tôi chọn đề tài “Khai triển riêng phần và áp dụng”

để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học chuyên ngành Toán Giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về lý thuyếtchuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm

Chương 2 Trình bày một cách hệ thống về khai triển riêng phần củamột số hàm đặc biệt và áp dụng của nó

2 Mục đích nghiên cứu

Chứng minh được công thức khai triển riêng phần của một số hàmlượng giác

Tính được tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm

Biểu diễn số π theo chuỗi hàm biến phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác thànhtổng của hàm phân thức và chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần củamột số hàm lượng giác Đặc biệt là tính được tổng Gregory - Leibniz– Madhava

Biểu diễn số π theo chuỗi hàm biến phức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác như hàm

cot πz; tanπz

2 ;

1sin πz;

1cos πz2qua các chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích baogồm:

Phương pháp phân tích và tổng hợp các kiến thức về lý thuyết chuỗi

số và lý thuyết chuỗi hàm và khai triển riêng phần của một số hàmđặc biệt

Phương pháp phân tích, tổng hợp về khai triển riêng phần của một

số hàm lượng giác từ đó kết hợp xin ý kiến của người hướng dẫn

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức căn bản về khai triển riêngphần của hàm lượng giác và một số áp dụng của những khai triển nàytrong việc tính tổng của một số chuỗi đặc biệt

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Chuỗi số

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {an} Tổng vô hạn

(ii) Trường hợp q = 1 Khi đó, ta có

Ta có

sn = 1

1.2 +

12.3 +

13.4 + +

1n(n + 1)

=



1 − 12

+ 1

2 − 13

+ 1

3 − 14

+ + 1

Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉkhi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N

và mọi số nguyên dương p ta có

|an+1 + an+2 + + an+p| < ε; (1.3)

Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội

tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyêndương p ta có

n2n + 1 =

> 12n +

12n + +

12n

= n2n =

Hệ quả 1.1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằngcách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụhoặc cùng phân kỳ

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ

riêng của chuỗi

Vậy ta có điều cần chứng minh

1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương

Chuỗi số

∞

P

n=1

an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0 với mọi n

Định lý 1.2.1 Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãytổng riêng của nó bị chặn

(ii) Nếu chuỗi

Định lý 1.2.3 (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim

1(n − 1)n

i

1.2.2 Dấu hiệu Cauchy

Định lý 1.2.4 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi dương

∞

P

n=1

an Giả sửlim

n→∞

n

√

an = c Khi đó, ta có các khẳng định sau

(i) nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ii) nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ

Chứng minh (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1 Vìlim

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert

Định lý 1.2.5 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuỗi số dương

(i) nếu d < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ii) nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ

Chứng minh Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim

n→∞

an+1

an = dnên tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và

an0+k < an0qk;

n→∞an = 0 nên chuỗi phân kỳ

1.2.4 Dấu hiệu tích phân

Định lý 1.2.6 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi

an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội

tụ hay phân kỳ của chuỗi Tuy nhiên, nếu từ một số n0 nào đó trở đi

mà an+1

an

≥ 1 thì có thể suy ra

am ≥ an0; ∀m ≥ n0

Điều đó cho ta khẳng định rằng dãy an không tiến đến 0 khi n → +∞

và như vậy chuỗi

∞

P

n=1

an phân kỳ

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý

1.3.1 Chuỗi đan dấu

số an cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu

Định lý 1.3.1 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an} là đơn điệu giảm

Chứng minh Gọi {sn} là dãy tổng riêng của chuỗi Bởi vì

Vậy lim

n→∞sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s

Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1.1) gọi là chuỗiLeibniz Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ

an được gọi là bán hội tụ

Mối quan hệ giữa tính chất hội tụ tuyệt đối và hội tụ của chuỗi đượckhẳng định như sau

Định lý 1.3.2 Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ

Chứng minh Nếu chuỗi

∞

P

n=1

|an| hội tụ thì theo định lý 1.1.1, với mọi

ε > 0 tồn tại số nguyên dương N để với mọi n ≥ N và mọi p ∈ N∗ ta

n2 hội tụ tuyệt đối.

1.3.4 Các tính chất của chuỗi hội tụ

Tính chất 2 (Tính chất giao hoán) Nếu chuỗi số

∞

P

n=1

an hội tụ tuyệt

|ai| < ε

2; với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N : n > n1} Gọi sn

và tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi

số hạng b1, b2, , bn3 Khi đó với mọi n ≥ n3, ta có

an bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của

nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trướchoặc trở nên phân kỳ

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.4.1 Cho dãy hàm {un(x)} cùng xác định trên tập

+ Hàm un(x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi

+ Hàm sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x) gọi là tổng riêng thứ n củachuỗi hàm

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm x ∈ X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7) nếu dãytổng riêng {sn(x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu X0

là miền hội tụ của dãy {sn(x)} thì ta cũng gọi X0 là miền hội tụ củachuỗi (1.7) Nếu sn(x) → u(x) trên X0 thì ta cũng viết

∞

X

n=1

un(x) = u(x); x ∈ X0;

và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm xác định trên X0

Sự hội tụ trên được gọi là hội tụ điểm của chuỗi hàm Theo ngôn ngữCauchy, ta có thể phát biểu như sau: Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội

tụ trên X và có tổng là u(x) nếu với mọi số ε > 0 và với mỗi x ∈ Xtồn tại một số nguyên dương n0 = n0(ε, x) sao cho

|sn(x) − u(x)| < ε; với mọi n ≥ n0.

Khi tìm được chỉ số nguyên dương n0 chỉ phụ thuộc vào số ε > 0 màkhông phụ thuộc vào giá trị của x ta nói chuỗi hàm hội tụ đều Chínhxác hơn ta có

Định nghĩa 1.4.2 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên X

và có tổng là u(x) nếu với mọi số ε > 0 tồn tại một số nguyên dương

n0 = n0(ε) sao cho

|sn(x) − u(x)| < ε ; với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.4.3 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếuchuỗi

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lý 1.4.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm số

∞

P

n=1

un(x) hội tụđều trên tập X khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có

σ(x) −

cos nx

n2 + x2

an+1

an

|x| < ρ.1

ρ = 1.

Do đó, chuỗi hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert Nếu |x| > 1

ρ thìlim

> ρ.1

ρ = 1, nên theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi phân

kỳ Vậy bán kính hội tụ của chuỗi là 1

Ta có

lim

n→∞

np|an| = lim

n→∞

1n

√2n + 1 = 1.

Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ(−1, 1).

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa −1 < x ≤ 1

x ∈ [ − r, r] ta luôn có đánh giá sau

f(n)(x)

= |ex| ≤ er = M ; n = 1, 2,

Điều đó chứng tỏ hàm f (x) bị chặn đều trong đoạn [ − r, r] Do đó,hàm ex được khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm x0 như sau

6

6! + + (−1)

(2n)! + ;

shz = z + z

3

3! +

z55! + +

z2n+1(2n + 1)! + ;

cosh z = 1 + z

2

2! +

z44! + +

z2n(2n)! +

Chương 2

Khai triển riêng phần và áp dụng

Trong chương này, chúng tôi trình bày khai triển riêng phần của một

số hàm lượng giác Các công thức khai triển này có những ứng dụngtrong việc tính tổng của một số các chuỗi được nghiên cứu khá nhiềutrong lĩnh vực lý thuyết chuỗi số

2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng

(iii) |ak(n)| ≤ Mk với mọi n và

=