Luận văn khai triển riêng phần và ứng dụng

Minh họa cho điều đó, chúng ta có thể giới thiệu qua hai vấn đề dưới đây T h ứ n h ấ t Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ, v ề m ặt lý thuyết, nguyên hàm của hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO■ * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO■ * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2• • • •

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S N g u y ễ n V ăn H ào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, thấng 12 nẫm 2015

T ác g iả

N g u y ễ n T h ị L an

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của T S N g u y ễ n V ăn H ào

Tôi xin cam đoan luận văn “K h a i tr iể n riê n g p h ầ n v à á p d ụ n g ”không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hầ Nội, thắng 12 năm 2015

T ác giả

N g u y ễ n T h ị L an

M ụ c lục

1.1 Chuỗi s ố 4

1.1.1 Một số khái niệm cơ b ả n 4

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội t ụ 6

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ 8

1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 9

1.2.1 Dấu hiệu so s á n h 9

1.2.2 Dấu hiệu C a u c h y 12

1.2.3 Dấu hiệu D’A lem b ert 13

1.2.4 Dấu hiệu tích p h â n 14

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15

1.3.1 Chuỗi đan dấu 15

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan d ấ u 15

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ 17

1.3.4 Các tính chất của chuỗi hội tụ 18

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi h à m 20

1.4.1 Một số khái niệm cơ b ả n 20

iii

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi h à m 20

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 21

1.4.4 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 26 1.5 Chuỗi lũy t h ừ a 28

1.5.1 Khái niệm về chuỗi lũy t h ừ a 28

1.5.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy t h ừ a 28

1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ c ấ p 31

2 K h a i tr iể n riê n g p h ầ n v à á p d ụ n g 34 2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác 34

2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 34

2.1.2 Khai triển riêng phần của hàm c o t a n g 36

2.1.3 Khai triển riêng phần của hàm tang 44

2.1.4 Khai triển riêng phần của hàm sine 45

2.1.5 Khai triển riêng phần của hàm cosine 47

2.2 Áp dụng khai triển riêng p h ầ n 48 2.2.1 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm cotang 48 2.2.2 Áp dụng của khai triển riêng phần của hàm sine 50

iv

M ở đầu

1 L ý d o ch ọ n đ ề tà i

Khai triển riêng phần là một trong những kỹ thuật tính toán của giải tích toán học Minh họa cho điều đó, chúng ta có thể giới thiệu qua hai vấn đề dưới đây

T h ứ n h ấ t (Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ), v ề m ặt lý thuyết, nguyên hàm của hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn một hàm hữu tỷ dưới dạng tổng của một hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bậc của đa thức trên tử nhỏ hơn bậc của

đa thức dưới mẫu Như vậy, vấn đề còn lại là xử lý nguyên hàm còn lại Bằng việc phân tích đa thức dưới mẫu thành tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai và sử dụng phương pháp đồng nhất

hệ số người ta thu được các phân thức riêng phần Nguyên hàm của các phân thức riêng phần được tính toán một cách đơn giản qua các nguyên hàm cơ bản

T h ứ h a i (Phương pháp tích phân từng phần) Ta đã biết công thức tích phân từng phần

I udv = uv — Ị vdu.

Nhờ công thức này, việc tính tích phân của một số lớp hàm có thể nói

là khá phức tạp được chuyển sang những dạng đơn giản hơn

Ngoài những sự đề cập trên đây, trong Giải tích các nhà Toán học đã

1

đưa ra một số khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt qua các chuỗi để thu được những công thức biểu diễn rất nổi tiếng và đem lại một số kết quả tính toán đẹp đẽ Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài “K h a i tr iể n riê n g p h ầ n v à á p d ụ n g ”

để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học chuyên ngành Toán Giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về lý thuyết chuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm

Chương 2 Trình bày một cách hệ thống về khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt và áp dụng của nó

2 M ụ c đ ích n g h iê n cứ u

Chứng minh được công thức khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác

Tính được tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm

Biểu diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức

Biểu diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức

2

Tính tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm.

5 P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

Phương pháp phân tích và tổng hợp các kiến thức về lý thuyết chuỗi

số và lý thuyết chuỗi hàm và khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt

Phương pháp phân tích, tổng hợp về khai triển riêng phần của một

số hàm lượng giác từ đó kết hợp xin ý kiến của người hướng dẫn

6 Đ ó n g gó p c ủ a đ ề tà i

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức căn bản về khai triển riêng phần của hàm lượng giác và một số áp dụng của những khai triển này trong việc tính tổng của một số chuỗi đặc biệt

3

(ii) Trường hợp q = 1 Khi đó, ta có

lim sn = lim n = +00

71—>00 n— >OC (Ui) Trường hợp q = — 1 Dãy tổng riêng được xác định như sau

0, khi n = 2k

1, khi 77, = 2k + 1 Như vậy dãy (sn) không có giới hạn Do đó, với |g| = 1 thì chuỗi đã

Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1

1.1.2 Đ iề u k iệ n đ ể chuỗi hội t ụ

Đ ịn h lý 1.1.1 ( Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ

khi với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N

và mọi số nguyên dương p ta có

| a n i + a n +2 + + ữ n + p Ị < e ; (1-3)

Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội

tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên dương p ta có

nhiên, điều này mâu thuẫn với đánh giá trên.

H ệ q u ả 1.1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng

cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

riêng của chuỗi Ỵ2 i ^ an)- Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có

Đ ịn h lý 1.2.2 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử tồn tại số nguyên

dương Щ và một hằng số с > 0 sao cho

(гг) Nếu chuỗi Ỵ2 an phẫn kỳ thì kéo theo chuỗi Ỵ2 bn phân kỳ.

Chứng minh Như đã nói trong hệ quả 1.1.2 mục 1.1, không m ất tính

tổng quát ta có thể giả thiết Щ = 1 Gọi sn và t n lần lượt là tổng riêng

thứ n của các chuỗi Ỵ2 an và Ỵ2 Ъп- Khi đó, ta có

n= 1 n= 1

sn < c t n- với mọi n > 1.

Như vậy, nếu dãy {tn} bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn và nếu dãy

K } không bị chặn thì dãy {íra} cũng không bị chặn Từ đó ta suy ra

bn I Y khi k í + 0 0

lim — = k* = < k n-»oc ar

Theo ví du 1.2.1, chuỗi Ỵ2 0 hôi tu Thêm nữa, lai vì

n= 1 ™

n

Õn , n 2 lim = lim — = 0;

(ỉ) nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ii) nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

Chứng minh, (ỉ) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1 Vì

lim lựãn = c nên tồn tại n 0 để

Đ ịn h lý 1.2.5 (Dấu hiệu D ’Alembert) Cho chuỗi số dương an.

n = 1

Giả sử tồn tại qỉớỉ hạn lim n+1 = d Khi đó, ta có các khẳnq định

n T i an

sau

(i) nếu d < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ỉỉ) nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

Chứng minh Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim ữn+1 = d

13

Đ ịn h lý 1.2.6 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

1.2.4 D ấu hiệu tích phân

ữn■ Giả sử f ( x ) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [ỉ;+oo)

trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi Ỵ2 ak• Từ bất đẳng thức

k= 1

n+1kép (1.5) ta thấy rằng dãy {sn} và tích phân J f ( x ) d x cùng bị chặn

1

C h ú ý Khi áp dụng dấu hiệu D ’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu

lim n+1 = 1 hoặc lim -ựõĩn = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội

1.3.1 C huỗi đan dấu

00

Đ ịn h nghĩa 1.3.1 Một chuỗi số có dạng Ỵ2 (—l ) n_ an trong đó các

71=1

Số an cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu.

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu

Đ ịn h lý 1.3.1 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sứ dãy {an} là đơn điệu giảm

00

và lim an = 0 Khi đó, chuỗi Ỵ2 (— l ) n_ an hội tụ.

15

Chứng minh Gọi {sn} là dãy tổng riêng của chuỗi Bởi vì

S 2 m — ( ö l — Ö2 ) + ( а з — 0 4 ) + + ( ß 2m - l — 0,2 m )

Các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m} đơn điệu tăng Mặt khác, ta lại có thể viết

s 2m — ữ l — [ ( ữ 2 — a 3 ) + ( ữ4 — a 5 ) + + ( a 2 m 2 — 0 > 2 m l ) + a 2 m ]

-Do đó s2m < dị với mọi 771 Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu chuẩn đơn điệu

Từ đó, nếu lim s2m = s thì với mọi e > 0 tồn tại số nguyên dương

l^n ^1 l^n+1 s an+1\ ^ Ịsn+1 s| + Ịan+iỊ <c — -I- — £.

Như thế, với mọi n > N ta đều có

| s n — s\ < £.

16

Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s.

đối và có tổng là s thì chuỗi Ỵ2 bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy

Chọn n 3 > n 2 sao cho các số hạng ữi, a2, a n2 có đủ m ặt trong các

số hạng bi, b2, b ns Khi đó với mọi n > n 3, ta có

1.4 C huỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.4.1 M ột số khái niệm cơ bản

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 Cho dãy hàm {un(x)} cùng xác định trên tập

4- Hàm un(x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi.

+ Hàm sn(x) = U!(x) + u2(x) + + un(x) gọi là tổng riêng thứ n của

chuỗi hàm

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm X €E X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7) nếu dãy

tổng riêng ( s n(x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu x 0

là miền hội tụ của dãy ( s n(x)} thì ta cũng gọi x 0 là miền hội tụ của chuỗi (1.7) Nếu sn(x) —¥ u (x ) trên x 0 thì ta cũng viết

00

^ ~ ^un { x ) = u ( x ) ; x e x 0;

71=1

và gọi u ( x ) là tổng của chuỗi hàm xác định trên x 0.

Sự hội tụ trên được gọi là hội tụ điểm của chuỗi hàm Theo ngôn ngữ

Cauchy, ta có thể phát biểu như sau: Chuỗi ham (1.7) được gọi la hội

tụ trên X và có tổng ỉầ u{x) nếu với mọi số £ > 0 và với mỗi X € X tồn tại m ột số nguyên dương nữ = n 0(e, X) sao cho

20

Khi tìm được chỉ số nguyên dương n 0 chỉ phụ thuộc vào số £ > 0 mà không phụ thuộc vào giá trị của X ta nói chuỗi hàm hội tụ đều Chính

xác hơn ta có

Đ ịn h nghĩa 1.4.2 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên X

và có tổng là u(x) nếu với mọi số £ > 0 tồn tại một số nguyên dương

n ữ = n 0(e) sao cho

|sn(x) — u(x) I < £ ; với mọi n > n0 và với mọi X e X

Đ ịn h nghĩa 1.4.3 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

đều trên tập X khi và chỉ khi với mọi số E > 0 tồn tại số nguyên dương

n ữ sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p ta có

\sn+p(x) — s n(x)| < e; với mọi X £ X

Chứng minh T hật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các

tổng riêng {sn(a;)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số hội

tụ đều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương TiQ sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p

ta có

|sn (®) — u ix )\ < E\ với mọi n > n 0

21

Nếu với mọi số nguyên dương n ta có

\un{x)\ < Cn\ với mọi X G X ;

00

và chuỗi số X) Cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều

71—1

trên X

Chứng minh Với mọi X € X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số

X) un(x) và X) \un{x)I hội tụ.

< M ; V n , V x G X

(гг) Dẫy hàm {bn(x)} đơn điệu có nghĩa là với mỗi X G X dẫy bn(x)

là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn(x)} hội tụ đều trên X đến không.

23

Khi đó chuỗi hàm Ỵ2 ап{х)Ъп{х) hội tụ đều trên X

71=1

Chứng minh Ta có thể xem {bn(x)} là dãy đơn điệu giảm và bn( x ) ^ ị 0

Khi đó với £ > 0 tồn tại số tự nhiên Щ = n ữ(e) sao cho

với mọi X € X , dãy số bn(x) là dãy đơn điệu và tồn tại số M > 0 sao

Chứng minh Từ giả thiết (г) với £ > 0 tồn tại số tự nhiên Щ = n ữ{e)

sao cho với mọi n > По và mọi số nguyên dương m ta đều có

|®71 + 7п(*е) ®п(*е)|

trong đó

n + r n

ak(x) k=n+1

ơi{x) = an+i(x) = sn+i(x) - s„(x);

0-2(ж) = an+1(x) + an+2{x) = sn+2{x) - sn(z);

<7m (a;) = an+l(x) + + an+l(x) = sn+m(x) - sn(x).

Khi đó

W j ( x ) \ < với mọi j = 1,2và

+ 00

^ ^ 0д;(ж)6д;(ж) 4" Òn-ị-2(c>Í2 ®l) “I- ""b bn+m{cx.m —l)

n = l

25

— { b n + i ~ b n + 2 ) a i + ( b n +2 — b n + 3 ) o i 2 + .

“I“ i p n + m — 1 ^ n + m ) ^ m —1 “I“ b n + m & m •

điệu giảm được chứng minh tương tự) Khi đó v ớ i m ọ i n > n 0 và v ớ i

ъ ь ь

/ -(*)<** - у -.(*)<** = / [-(*) - - ( * ) ] < ! *

Vì chuỗi hàm số hội tụ đều trên [a, b] nên với mọi £ > 0 tìm được s ố

nguyên dương Щ sao cho khi n > n 0 ta có

1.5 C huỗi lũ y th ừ a

1.5.1 K hái niệm về chuỗi lũ y thừ a

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1 Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

1) Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm X — x 0.

2) Nếu đặt y = X — x 0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

1.5.2 B án kính hội tụ của chuỗi lũy thừ a

Đ ịn h lý 1.5.1 (Định lý Abel) Cho chuỗi lũy thừa