Luận văn khai triển riêng phần và ứng dụng

đưa ra một số khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt qua các chuỗi đểthu được những công thức biểu diễn rất nổi tiếng và đem lại một số kết quảtính toán đẹp đẽ.. Chúng tôi trình b

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LAN

KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ

ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, thấng 12 nẫm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Tôi xin cam đoan luận văn “Khai triển riêng phần và áp dụng”

không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi hoàn toàn chịu tráchnhiệm

Hầ Nội, thắng 12 năm 2015 Tác giả

Nguyễn Thị Lan

Mục lục

1.1 Chuỗi số 4

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 6

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ 8

1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 9

1.2.1 Dấu hiệu so sánh 9

1.2.2 Dấu hiệu Cauchy 12

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert 13

1.2.4 Dấu hiệu tích phân 14

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15

1.3.1 Chuỗi đan dấu 15

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu 15

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bánhội tụ 17

1.3.4 Các tính chất của chuỗi hội tụ 18

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm 20

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản 20

iii

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm 20

1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 21

1.4.4 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 26 1.5 Chuỗi lũy thừa 28

1.5.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa 28

1.5.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 28

1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp 31

2 Khai triển riêng phần và áp dụng 34 2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác 34

2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 34

2.1.2 Khai triển riêng phần của hàm cotang 36

2.1.3 Khai triển riêng phần của hàm tang 44

2.1.4 Khai triển riêng phần của hàm sine 45

2.1.5 Khai triển riêng phần của hàm cosine 47

2.2 Áp dụng khai triển riêng phần 48

iv

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khai triển riêng phần là một trong những kỹ thuật tính toán của giải tích toánhọc Minh họa cho điều đó, chúng ta có thể giới thiệu qua hai vấn đề dướiđây

Thứ nhất (Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ), về mặt lý thuyết, nguyên hàmcủa hàm hữu tỷ được giải quyết hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn mộthàm hữu tỷ dưới dạng tổng của một hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bậccủa đa thức trên tử nhỏ hơn bậc của đa thức dưới mẫu Như vậy, vấn đề cònlại là xử lý nguyên hàm còn lại Bằng việc phân tích đa thức dưới mẫu thànhtích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai và sử dụng phương pháp đồngnhất hệ số người ta thu được các phân thức riêng phần Nguyên hàm của cácphân thức riêng phần được tính toán một cách đơn giản qua các nguyên hàm

đưa ra một số khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt qua các chuỗi đểthu được những công thức biểu diễn rất nổi tiếng và đem lại một số kết quảtính toán đẹp đẽ Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài

“Khai triển riêng phần và áp dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán họcchuyên ngành Toán Giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về lý thuyết chuỗi

Tính được tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm Biểu

diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác thành tổngcủa hàm phân thức và chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần của một sốhàm lượng giác Đặc biệt là tính được tổng Gregory - Leibniz Madhava.Biểu diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức

2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác như hàm

cot 7rz; tan—; -;^

2 sin 7TZ cos_

2qua các chuỗi

Tính tổng của một số chuỗi số, chuỗi hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:Phương pháp phân tích và tổng hợp các kiến thức về lý thuyết chuỗi số và lýthuyết chuỗi hàm và khai triển riêng phần của một số hàm đặc biệt

Phương pháp phân tích, tổng hợp về khai triển riêng phần của một số hàmlượng giác từ đó kết hợp xin ý kiến của người hướng dẫn

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức căn bản về khai triển riêng phầncủa hàm lượng giác và một số áp dụng của những khai triển này trong việctính tổng của một số chuỗi đặc biệt

3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {an} Tổng vô hạn

00

ữi + Ũ 2 + 4- ữ n 4- = ' y ] a n (1-1)

71=1

(ii) Trường hợp q = 1 Khi đó, ta có

Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N

và mọi số nguyên dương p ta có

| a n +i + a n + 2 + + ữ n + p Ị < e ; (1-3)

Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội tụ.

Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên dương p ta có

Như thế, nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng s n và s 2n phải cùng dần

tới một giới hạn khi n —>■ +00 tức là lim (s 2n — s n ) = 0 Tuy

n—ĩoc

nhiên, điều này mâu thuẫn với đánh giá trên

Hệ quả 1.1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

(гг) Nếuchuỗi Ỵ2 a n phẫn kỳ thì kéotheo chuỗi Ỵ2 bnphân kỳ.

Chứng minh Như đã nói trong hệ quả 1.1.2 mục 1.1, không mất tính

tổng quát ta có thể giả thiết Щ = 1 Gọi s n và t n lần lượt là tổng riêng

thứ n của các chuỗi Ỵ2 a n và Ỵ2 Ъп- Khi đó, ta có

s n < ct n - với mọi n > 1.

Như vậy, nếu dãy {t n } bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn và nếu dãy K} không

bị chặn thì dãy {íra} cũng không bị chặn Từ đó ta suy ra kết luận của định lý

(ỉ) nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ii) nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

Chứng minh, (ỉ) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c <p < 1 Vì

lim lựãn = c nên tồn tại n 0 để

1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert

(i) nếu d < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ;

(ỉỉ) nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

Chứng minh Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim ữn+1 = d

oo a n

nên tồn tại số nguyên dương 77,0 để mọi n > n ữ và

a n + 1

<p & a n+ 1 < pa n Q"n

1.2.4 Dấu hiệu tích phân

Định lý 1.2.6 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương ữn■ Giả sử f(x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [ỉ;+oo)

n = 1

sao cho

f(n) = a n \ với mọi n = 1,2,

Khỉ đó, ta có các khẳng định sau

Chứng minh Từ giả thiết của định lý, với mọi X e [k,k + 1] với k là số tự nhiên k > 1 ta đều có

trong đó s n là tổng riêng thứ n của chuỗi Ỵ2 a k• Từ bất đẳng thức

k= 1

n+1kép (1.5) ta thấy rằng dãy {sn} và tích phân J f(x)dx cùng bị chặn

1

Chú ý Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu lim n+1 =

1 hoặc lim -ựõĩn = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội

1.3 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý

1.3.1 Chuỗi đan dấu

00

Định nghĩa 1.3.1 Một chuỗi số có dạng Ỵ2 (—l)n_ a n trong đó các

71=1

Số a n cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu

1.3.2 Sự hội tụ của chuỗi đan dấu

Định lý 1.3.1 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sứ dãy {a n } là đơn điệu giảm

00

và lim a n = 0 Khi đó, chuỗi Ỵ2 ( — l) n_ a n hội tụ.

15

Chứng minh Gọi {sn} là dãy tổng riêng của chuỗi Bởi vì

S 2 m — (öl — Ö 2 ) + (аз — 04 ) + + (ß 2 m-l — 0 , 2 m )

khác, ta lại có thể viết

s 2m — ữl — [(ữ2 — a 3 ) + (ữ 4 — a 5 ) + + (a 2 m-2 — 0>2 m-l) + a

2m]-Do đó s2m < dị với mọi 771 Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu chuẩn đơn điệu Từ

đó, nếu lim s 2m = s thì với mọi e > 0 tồn tại số nguyên dương

Vậy lim s n = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s.

n —¥00

Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1.1) gọi là chuỗi Leibniz

1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ

nên theo định lý 1.1.1, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương 711 để ỊaịỊ <

với mọi tập con hữu hạn F с {n e N : n > Ui} Gọi s n

Chọn n3 > n2 sao cho các số hạng ữi, a 2 ,a n2 có đủ mặt trong các số hạng bi,

b 2 ,b ns Khi đó với mọi n > n 3 , ta có

1.4 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.4.1 Cho dãy hàm {u n (x)} cùng xác định trên tập X c M Ta gọi

4- Hàm u n (x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi.

+ Hàm s n(x) = U!(x) + u2(x) + + un(x) gọi là tổng riêng thứ n của chuỗihàm

1.4.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm X €E X gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.7) nếu dãy tổng

riêng (sn(x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này Nếu x 0 là miền hội tụcủa dãy (sn(x)} thì ta cũng gọi x0 là miền hội tụ của chuỗi (1.7) Nếu s n (x) —

¥ u(x) trên x0 thì ta cũng viết

00

^~ ^ u n { x ) = u ( x ) ; x e x 0 ;

71=1

và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm xác định trên x 0

Sự hội tụ trên được gọi là hội tụ điểm của chuỗi hàm Theo ngôn ngữ Cauchy, ta có thể phát biểu như sau: Chuỗi ham (1.7) được gọi la hội tụ trên X và có tổng ỉầ u{x) nếu với mọi số £ > 0 và với mỗi X € X tồn tại một số nguyên dương n ữ = n 0 (e, X) sao cho

20

|s n (®) — u i x )\ < E \ với mọi n > n 0

Khi tìm được chỉ số nguyên dương n 0 chỉ phụ thuộc vào số £ > 0 mà không phụ thuộc vào giá trị của X ta nói chuỗi hàm hội tụ đều Chính xác hơn ta có

Định nghĩa 1.4.2 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ đều trên X và có tổng

là u(x) nếu với mọi số £ > 0 tồn tại một số nguyên dương n ữ = n0(e) sao cho

|sn(x) — u(x) I < £ ; với mọi n > n0 và với mọi X e X.

Định nghĩa 1.4.3 Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

đều trên tập X khi và chỉ khi với mọi số E > 0 tồn tại số nguyên dương n ữ

sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p ta có

\s n +p (x) — s n (x)| < e; với mọi X £ X.

Chứng minh Thật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổng

riêng {sn(a;)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số hội tụ đều, điều

này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương TiQ sao cho khi n> n 0 và mọi số nguyên dương p ta có

21

oo ^

và chuỗi X) 3hội tụ

< —^;Vn,Va: G [- 1;1];

Пу/П

Định lý 1.4.3 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dẫy hàm {а п (ж)} và

{& п (ж)} cùng xác định trên tập X Giả thiết

(гг) Dẫy hàm {b n (x)} đơn điệu có nghĩa là với mỗi X G X dẫy b n (x) là dãy

số đơn điệu và dãy hàm {b n (x)} hội tụ đều trên X đến không.

23

Khi đó chuỗi hàm Ỵ2 а п{х)Ъ п {х) hội tụ đều trên X.

71=1

Chứng minh Ta có thể xem {b n (x)} là dãy đơn điệu giảm và b n (x)^ị0 Khi

đó với £ > 0 tồn tại số tự nhiên Щ = n ữ (e) sao cho

với mọi X € X, dãy số b n (x) là dãy đơn điệu và tồn tại số M > 0 sao cho

\bn( x )\ < với mọi n = 1,2, và với mọi X €E X

00

Khi đó, chuỗi Yl a n (x)b n (x) hội tụ đều trên X.

n = 1

Chứng minh Từ giả thiết (г) ) với £ > 0 tồn tại số tự nhiên Щ = n ữ {e) sao cho

với mọi n > По và mọi số nguyên dương m ta đều có

— { b n + i ~ b n + 2 ) a i + ( b n + 2 — b n + 3 ) o i 2 + .

Bây giờ ta giả sử {Ь п (ж)} là dãy đơn diệu tăng (trường hợp dẫy đơn điệu giảm được chứng minh tương tự) Khi đó với mọi n > n 0 và với mọi n G N* ta có

ъ ь ь

/ -(*)<** - у -.(*)<** = / [-(*) - -.(*)]<!*.

Vì chuỗi hàm số hội tụ đều trên [a, b] nên với mọi £ > 0 tìm được số nguyên

dương Щ sao cho khi n > n 0 ta có

1.5 Chuỗi lũy thừa

1.5.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.5.1 Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

1) Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm X — x 0

2) Nếu đặt y = X — x 0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

1.5.2 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Định lý 1.5.1 (Định lý Abel) Cho chuỗi lũy thừa

Vì chuỗi luôn có ít nhất một điểm hội tụ là X = 0 nên theo nguyên lý

Superimim, số R tồn tại (có thể bằng +oo).

Định nghĩa 1.5.2 số thực R > 0 trên đây được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi lũy thừa, còn khoảng (—R,R) được gọi là khoảng hội tụ

của chuỗi lũy thừa

00

Định lý 1.5.2 Cho chuỗi lũy thừa Ỵ2 Cí n x n Nếu

n=0 lim y/\ã^\ = p hoặc lim ữn+l

thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính theo công thức

R =

r 1

1 <p< + oo p

+oo; p= 0 0; p = +oo

29

Chứng minh Xét chuỗi lũy thừa (1.9) Theo dấu hiệu Cauchy dùng cho

chuỗi số dương

lim \/|an| \xn \ = lim |x| = p |x|.

Trường hợp p = 0 chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi X hay R = +00

Trường hợp p= +00 và với X Ỷ 0; lim V\ a n xn \ = +00 chuỗi lũy thừa

(1.10) phân kỳ Do dó R = 0.

Trường hợp 0 < p < +00 chuỗi lũy thừa hội tụ với X có |x| < - và

p

1 1phân kỳ với X mà X > — Vậy R = —.

Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ ( -1 ,1

1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp

a) Hàm mũ Hàm f(x) = e x có đạo hàm mọi cấp trong khoảng (—oo, +oo) vàđạo hàm của nó được xác định bởi

Do đó, ta có

y(n)(0) = e° = 1; với mọi n = 1,2,

Giả sử x 0 là điểm bất kì trong khoảng (—oo,+oo) Khi đó, tồn tại một đoạn [ —

sau

/ W M = \e x \ < ể = M-,n = 1,2,

31

Điều đó chứng tỏ hàm f(x) bị chặn đều trong đoạn [ — r,r] Do đó, hàm e x

được khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm Xo như sau

Đặc biệt, tại điểm x 0 = 0 ta nhận được khai triển Mac - Laurentz

với mọi —oo < X < 4-00.

Hoàn toàn tương tự với hàm COS X ta cũng có

với mọi —oo < X < + 00

c) Khai triển của hàm logarit

Chương 2

Khai triển riêng phần và áp dụng

Trong chương này, chúng tôi trình bày khai triển riêng phần của một số hàmlượng giác Các công thức khai triển này có những ứng dụng trong việc tínhtổng của một số các chuỗi được nghiên cứu khá nhiều trong lĩnh vực lýthuyết chuỗi số

2.1 Khai triển riêng phần của một số hàm lượng giác

Để có thể trình bày được khai triển của một số các hàm như đã nói trên đây,trước hết chúng ta cần đến kết quả sau

2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi Định

nên khi cho n —> oo ta nhận được

\o>k\ < M k ; với mọi k.

Lại vì với mỗi k cố định lim ũ k ( n ) = ũ ỵ nên tồn tại một số nguyên

Chú ý Ta có thể viết kết luận của định lý Tannery như sau

00 00 lim 5^0*(ra) = lim a k (n).

n-> 00 ^ ^ ^ ^ ĩi —>00

□

2.1.2 Khai triển riêng phần của hàm cotang

Mục đích chính của luận văn là giới thiệu ứng dụng của khai triển riêng phầntrong việc trình bày cách tính giá trị của một số chuỗi số Với lý thuyết cơbản về chuỗi số người ta có thể khẳng định khá dễ dàng sự hội tụ của nhiềuchuỗi số, nhưng việc tính tổng của chúng lại không hẳn dễ dàng Trong phầnnày, chúng tôi giới thiệu một số công thức khai triển của các hàm lượng giác

Khai triển riêng phần của hàm cotang

Định lý 2.1.2 Ta có công thức khai triển sau

36

Để chứng minh công thức khai triển này, ta cần đến một số kết quả sau

Bổ đề 2.1.1 Với mỗi số phức không nguyên z và n G N* ta có công thức

khai triển sau

7xz7ĨZ 2 V 1 nz ( 7ĩ(z + k ) l ĩ ( z — k ) \

7T Zcot 7T Z = — cot — + > — cot - - -b

2 n J k=1 v 7

2 n 2 n

Chứng minh Ta sẽ trình bày phép chứng minh của công thức này bằng quy

cot2 2: = -= -= -fcotz — tanz); (2.3)