Số phức và một số dạng toán thường gặp (KL07200)

LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Số phức và một số dạng toán thường gặp” tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình.. Với mong muốn đượ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình Học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Vạn,

người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn chỉ bảo, định hướng cho tôi để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Phạm Thị Thoa

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Số phức và một số dạng toán

thường gặp” tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa

luận của mình Danh sách tài liệu này tôi đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo

của khóa luận

Tôi xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực

của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn

cũng như các thầy cô trong tổ Hình học

Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Phạm Thị Thoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 3

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC 3

1.1.1 Định nghĩa số phức 3

1.1.2 Các tính chất của số phức 3

1.2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 5

1.3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC 6

1.3.1 Số phức liên hợp 6

1.3.2 Môđun của số phức 6

1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 7

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác 7

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 8

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2 8

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2 8

1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm 8

1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm 9

1.5 Công thức Moa- Vrơ 9

1.5.1 Công thức Moa- Vrơ 9

1.5.2 Căn bậc n của số phức 10

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức 10

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 11

2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức 11

2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức 11

2.1.3 Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu diễn

số phức z = x + yi 19

2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phương trình với biến số phức 23

2.1.5 Dạng 5: Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và công thức Moa- Vrơ 27

2.1.6 Bài tập 29

2.2 Ứng dụng của số phức 33

2.2.1 Dạng 1: ứng dụng số phức vào giải các bài toán lượng giác và tổ hợp 33 2.2.2 Dạng 2: ứng dụng số phức vào các bài toán đại số 39

2.2.3 Ứng dụng số phức vào các bài toán hình học 46

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đã biết, do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỉ trước Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những toán học mà còn cả các ngành khoa học khác Ngày nay, số phức không thể thiếu được trong các ngành khoa học kĩ thuật và được giảng dạy trong chương trình toán bậc trung học ở hầu hết các nước trên thế giới

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu hơn về số phức, một số dạng toán về số phức, ứng dụng của số phức để giải các bài toán lượng giác, tổ hợp, đại số và đặc biệt là các bài toán hình học, tôi

đã chon đề tài “Số phức và một số dạng toán thường gặp”, làm khóa luận

tốt nghiệp

Khóa luận “Số phức và một số dạng toán thường gặp” trình bày một

số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán

2 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

2.1 Đối tượng nghiên cứu

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, các tạp chí toán học

có liên quan đến nội dung đề tài

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC, THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Dùng số phức giúp ta giải quyết nhiều bài toán bậc Trung học cơ sở nên

nộ dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá giỏi của bậc trung học cơ sở

 Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức z = a +bi (a,b  R) z’= a’+ b’i (a’,b’  R) goị là bằng nhau

nếu a = a’ và b = b’ Khi đó ta viết z = z’

Nhƣ vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần

ảo với nhau

1.1.2.1.2 Tính chất của phép cộng số phức

Phép cộng số phức có các tính chất nhƣ phép cộng các số thực

 Tính chất kết hợp: (z + z’) + z’’ = z + (z’+z’’) với mọi z,z’,z’’ C

 Tính chất giao hoán: z + z’= z’+ z với mọi z,z’ C

 Với số phức z= a+bi (a,b  R), nếu kí hiệu số phức -a - bi là -z thì ta có:

z + (-z) = (-z) + z = 0 Số -z đƣợc gọi là số đối của số phức z

 Cộng với 0: z + 0 = 0+z = z với mọi z  C

có tọa độ (a,b) biểu diễn số phức

z = a+bi Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là véctơ OM

(a + bi)(a’ + b’i) = aa’+ bb’i2 + (ab’+a’b)i = aa’-bb’+(ab’+a’b)i

Định nghĩa: Tích của hai số phức z = a + bi và z’= a’ + b’i (a, b, a’, b’R)

là số phức zz’ = aa’- bb’+ (ab’ + a’b)i

Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, bR) ta có

k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt ) 0.z = 0 với mọi số phức z

1.1.2.2.2 Tính chất của phép nhân số phức

Phép nhân các số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số thực

 Tính chất giao hoán: z.z’= z’.z với mọi z,z’C

 Tính chất kết hợp: (z.z’).z’’= z.(z’.z’’) với mọi z,z’,z’C

 Nhân với 1: 1.z = z.1= z với mọi zC

 Tính chất phân phối ( của phép nhân đói với phép cộng):

z.(z’ + z’’) = z.z’ + z.z’’ với mọi z,z’,z’’C

Kết luận: Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều

viết được dưới dạng đại số z = a + bi (a,bR) và để thực hiện phép cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a + bi ( coi a + bi là đa thức của biến i với hệ số thực) mà khi gặp i2 thì ta thay bằng -1

1.2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số Đối với số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z = a + bi (a, b

R) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b) Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm

M(a; b) biểu diễn một số phức là z = a + bi Ta còn viết M(a + bi) hay M(z)

Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi

là mặt phẳng phức

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các

1.3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

Định nghĩa: Cho số phức z0 Gọi M là

điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,

tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Chú ý: Nếu là một acgumen của z thì

mọi acgumen của z có dạng  k2  ,kZ

(Người ta thường nói: Acgumen của z 0 xác định sai khác  k2  ,kZ)

1.4.1.2 Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức: z = a + bi (a,bR)

Kí hiệu r là môđun của z và  là acgumen của z thì a = rcos φ , b = rsin φ Vậy z = a + bi 0 có thể viết dưới dạng z = r(cos φ + isin φ )

Định nghĩa: Dạng z = r(cos φ + isin φ )

trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của

 Tìm φ: Đó là một acgumen của z, φ là một số thực sao cho cosφ = a

r

và sinφ = b

r , số φ đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối

OM

+) z 1 khi và chỉ khi z = cosφ + isinφ ( φ ∈ R)

+) Khi z = 0 thì z = r =0 nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khi

acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(cosφ + isinφ)

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cosφ + isin φ ), z’ = r’( cosφ’+ isinφ’) ( r0, r 0) thì

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E 2

Định nghĩa: Trong E2, điểm M(a; b) cho tương ứng với số m = a + bi thì

số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m)

Kí hiệu một điểm trong mặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó là chữ cái in thường tương ứng

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E 2

Định nghĩa: Trong E2 véctơ  a;b cho tương ứng số phức z = a + bi Khi đó z gọi là tọa vị của véctơ  Kí hiệu là véctơ  z

1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm

Trong E2 cho hai số phức dưới dạng đại số z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2

Điểm O là gốc tọa độ Xác định hai véctơ

1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử M(z1), N(z2) E2 Ta có MNz2z1 Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M, N được tính theo công thức: MN MN  z2 z1 z2 z1

1.5 Công thức Moa- Vrơ

1.5.1 Công thức Moa- Vrơ

Với mọi số nguyên dương n thì ta có:

Cả hai công thức đó đều gọi là công thức Moa- Vrơ

*Chú ý: Công thức Moa- Vrơ còn đúng khi n nguyên âm (và cả khi n =

là căn bậc n của một số thực không âm)

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ax2 + Bx + C = 0 ( A≠ 0) với A, B, C là các số phức

∆ = B2 – 4AC

+, Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = -B

2A

+, Nếu ∆ ≠ 0 thì ta tìm các căn bận hai w của ∆ thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt z = 1,2 B ± w

2A

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức

2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức

Nguyên tắc chung để tính toán

 Do có các tính chất giao hoán, phối hợp nên quy tắc cộng, trừ số phức là

cộng riêng, trừ riêng các phần thực và phần ảo

 Do có các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng nên phép nhân hai số phức được thực hiện

theo quy tắc nhân đa thức thông thường rồi thay:

i2  1,i3 i i2  i,i4 i i2 2 1, ,i4m 1,i4m 1 i,i4m 2  1

 Để tính z

z ', ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu z '

 Tổng quát là tính gọn từng bước, dung các giá trị của in và hạ bậc các lũy

thừa, tính gọn mẫu nếu có trước khi nhân số phức liên hợp,…

Vậy phần thực của z bằng 11, phần ảo bằng -35

c) Ta có (3 + i)(1 – 2i) = 5 - 5i ; (3 +2i)2 = 5 +12i

d) Ta có z = (1 + 3i)(3 – 4i) 4 -2i 1 + 3i 

2 Ta có (6 – 3i)z + 2 – i = (4 – 5i)z + 8 – 10i

2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phức

Để giải quyết tốt các dạng toán này chúng ta cần nắm chắc các kiến thức về môđun số phức và các tính chất liên quan hình học phẳng, hàm số, hàm lƣợng giác,…

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn z = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

4 khi z

= - ± i

Khi z = -iA = 4, suy ra minA= 4

Khi z = iA = 6, suy ra maxA = 6

Đẳng thức xảy ra khi z = -1 Vậy minB = 1

Ví dụ 4: Cho α, β là hai số phức liên hợp thỏa mãn α2

R

β  và α - β = 2 3 Tính 

Ví dụ 5: Cho hai số phức z 1 và z 2 Chứng minh rằng

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

3 Gọi M, N, P lần lƣợt là biểu diễn hình học của z , z1 2 và z1z2

1

  , ON z2 và PO z1 z2

Ta có:

thì kz biểu diễn bởi ku

Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi điểm M thì kz biểu diễn bởi kOM

Tập điểm biểu diễn số phức

Cho z = x + yi; M(x,y) hay u

(x,y), z’ = x’ + y’i ; M’(x’,y’) hay u'

  hay IM  R với I(a,b)

w - (x + yi) = w - x' + y'i , N biểu diễn w    NM = NM’

Các loại phương trình, hình dạng tập điểm:

MF1 + MF2 = 2a, F1F2 < 2a: elip

MF - MF = 2a, F1 2 1F2 > 2a: hypebol

MI = MJ: trung trực của đoạn IJ

Ví dụ 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:

Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của số phức z1= -3i, z2 = -2 + i A(0;-3), B(-2;1) khi đó: z + 3i = z+2-i  z - z = z - z1 2 MA = MB

Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB có phương trình là:

x – 2y – 1=0

3) Gọi E, F lần lượt là biểu diễn hình học của số phức z1 = -4 – 3i,

z2 = -3 – 2i E(-4; -3), F(-3; -2)EF 2

khi đó : z + 4 + 3i + z - 3 + 2i = 2ME + MF = 2:

Vậy quỹ tích của M là elip có hai tiêu điểm E, F và độ dài trục lớn bằng 1

4) Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z1 = 5 - 4 E( ;5 - 4)

1

1B

A

x

Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R = 1

3 và miền trong của nó

5) Gọi E, F là điểm biểu diễn của số phức z1= -1 – i, z2 = 2 + 3iE(-1; -1), F(2; 3) khi đó: z + 1 + i - z - 2 - 3i = 2  ME - MF =2 Vậy tập hợp điểm M là hypebol có hai tiêu điểm E, F

Ví dụ 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

2x+ 2y - 1 i x - y - 2 i2z - i

2) Gọi A, B là điểm biểu diễn của hai số phức z1= -3 + 2i, z2 = -2 – i suy ra A(-3; 2), B(-2; -1)

Suy ra M thuộc tia AB

2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phương trình với biến số phức

 Đối với phương trình bậc hai với hệ số thực các bước đã trình bày ở sách giáo khoa

 Đối với phương trình bậc hai với hệ số phức thì ta cần lưu ý là phải tính

được căn bậc hai của số phức

 Phương trình bậc cao: Nguyên tắc chung cũng như phương trình bậc cao trong R là biến đổi thành phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai Người ta chứng minh được rằng phương trình bậc n

A z A z   A z  A 0 trong đó A ,A , ,A0 1 n là n + 1 số phức cho trước, A0 0, n là một số nguyên dương luôn có ít nhất 1 nghiệm

phức và từ đó suy ra có n nghiệm phức không nhất thiết phân biệt



y = 0-3

x = 4

x y

 = 3 + 4i là một căn bậc hai của 

Vậy phương trình có hai nghiệm: z1 = i + 1; z2 = -2 – 3i

Phương trình có hai nghiệm: z1 = 3 + i; z2 = 1 + 2i

Kết hợp điều kiện, ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm: z1 = 3 + i; z2

= 1 + 2i

4) Phương trình  2 2  2

25z + 10 - 50iz + 12i = 0

25z - 50iz + 10 - 12i = 0 5z 5i 35 12i 1 6i

Khi đó, z = rcosφ + isinφ 

 Công thức Moa- vrơ

r(cosφ + isinφ = n 

r cosnφ + isinnφ

Công thức Moa- Vrơ có nhiều ứng dụng hay, chẳng hạn tính dễ lũy thừa bậc khá cao của một số phức có dạng lƣợng giác hoặc dùng nó để chứng minh các công thức nhân đôi, nhân ba,… của phần lƣợng giác

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác Áp dụng công thức Moa- Vrơ viết dạng đại số của z2012

Bài 2 Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của các số phức sau

vuông cân tại E

Bài 9 Trên mặt phẳng tọa độ ,tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thõa mãn điều kiện :

1 Phần thực của z bằng hai phần ảo của nó

2 Phần thực của z thuộc đoạn 2;1

3 Phần thực của z thuộc đoạn 2;1 và phần ảo của z thuộc đoạn  1;3

z ,z3tạo thành tam giác đều

Bài 12 Giải các phương trình sau trên tập số phức :

2

1) 2z 3z 7 0 4) 2  

z  3 i z  4 3i 0

Ta có cos x 1 không là nghiệm của phương trình

Đặt z cosx isin x  với x0;2

Vậy các nghiệm của phương trình là:

Đặt z cosx isin x  , wcosaisin a

Theo công thức nhân và công thức Moivre ta có:

zw  cos xisin x cos kaisin ka cos xka isin xka

Xét A iB cos xisin xcos x  a isin x a

sin2

na2

sin2



Nhận xét: Từ hai công thức trên, xét các trường hợp riêng:

 Nếu x = 0 thì suy ra:

*

n 1sin a na2

1 cosa + cos2a cos na cos

sin2



*

n 1sin a na2

sin a sin 2a sin 3a sin na sin

sin2