Khoá luận tốt nghiệp số phức và một số dạng toán thường gặp

L Ờ I CẢM ƠNTôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình Học đã tận tình dạy dỗ, chỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

L Ờ I CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình Học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Vạn,

người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn chỉ bảo, định hướng cho tôi để tôi có thể hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tôi không thế tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn ỉ

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Phạm Thị Thoa

L Ờ I CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Số phức và một số dạng toán

thường g ặ p ” tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa

luận của mình Danh sách tài liệu này tôi đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo

của khóa luận

Tôi xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực

của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn

cũng như các thầy cô trong tố Hình học

Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên đế khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Phạm Thị Thoa

MỤC LỤC

MỞ Đ Ẩ U 1

NỘI D U N G 3

CHƯƠNG 1: SỐ PH Ứ C 3

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ P H Ứ C 3

1.1.1 Định nghĩa số phức 3

1.1.2 Các tính chất của số p hứ c 3

1.2 BIẾU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ P H Ứ C 5

1.3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PH Ứ C 6

1.3.1 Số phức liên h ợ p 6

1.3.2 Môđun của số phức 6

1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ P H Ứ C 7

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác 7

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng g iá c 8

1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2 8

1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2 8

1.4.5 Biểu diễn số phức theo những đ iểm 8

1.4.6 Khoảng cách giữa hai đ iểm 9

1.5 Công thức Moa- V r ơ 9

1.5.1 Công thức Moa- V r ơ 9

1.5.2 Căn bậc n của số phức 10

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số p h ứ c 10

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG G Ặ P 11

2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức 11

2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trù’ nhân chia số phức 11

2.1.3 Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu diễn

số phức z = X + yi 19

2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phương trình với biến số phức 23

2.1.5 Dạng 5: Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và công thức Moa- V rơ 27

2.1.6 Bài tập 29

2.2 ứ n g dụng của số p hứ c 33

2.2.1 Dạng 1: ứng dụng số phức vào giải các bài toán lượng giác và tố hợp 33 2.2.2 Dạng 2: ứng dụng số phức vào các bài toán đại s ố 39

2.2.3 ứ n g dụng số phức vào các bài toán hình h ọ c 46

KÉT L U Ậ N 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

M Ở Đ À U

1 LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI

Chúng ta đã biết, do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỉ trước Sau đó, số phức lại thúc đấy sự phát triển không những toán học mà còn cả các ngành khoa học khác Ngày nay, số phức không thể thiếu được trong các ngành khoa học kĩ thuật và được giảng dạy trong chương trình toán bậc trung học ở hầu hết các nước trên thế giới

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu hơn về số phức, một số dạng toán về số phức, ứng dụng của số phức để giải các bài toán lượng giác, tổ hợp, đại số và đặc biệt là các bài toán hình học, tôi

đã chon đề tài “Số phức và m ột số dạng toán thường g ặp ”, làm khóa luận

tốt nghiệp

Khóa luận “Số phửc và một số dạng toán thường gặp” trình bày một

số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán

2. ĐỐI TƯỢNG, • ’ PHẠM VI NGHIÊN • cứu

2.1 Đối tượng nghiên cún

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, các tạp chí toán học

có liên quan đến nội dung đề tài

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC, T H ựC TIỄN CỦA ĐÊ TÀI.• 7 •

Dùng số phức giúp ta giải quyết nhiều bài toán bậc Trung học cơ sở nên

nộ dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá giỏi của bậc trung học cơ sở

N Ộ I D U N G CHƯƠNG 1: SỔ PHỨC

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC

1.1.1 Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số

thực và số i thỏa mãn i2 =-1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được gọi là phần ảo kí hiệu Imz

• số 0 = 0 + Oi = Oi vừa là số thực vừa là số ảo

• Hai số phức z = a +bi (a,b G R) z ’= a ’+ b ’i (a’,b’ G R) goị là bằng nhau

nếu a = a ’ và b = b \ Khi đó ta viết z = z \

Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần

ảo với nhau

1.1.2.1.2 Tính chất của phép cộng số phức

Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng các số thực

• Tính chất kết hợp: (z + z ’) + z ” = z + (z’+ z” ) với mọi z,z’,z” e c

• Tính chất giao hoán: z + z ’= z ’+ z với mọi z,z’ E c

• Với số phức z= a+bi (a,b G R), nếu kí hiệu số phức -a - bi là -z thì ta có:

z + (-z) = (-z) + z = 0 So -z được gọi là số đối của số phức z

• Cộng với 0: z + 0 = 0+Z = z với mọi z e c

Dễ thấy rằng nếu u, u' theo thứ tự biểu diễn các số phức z thì U + u' biếu

diễn số phức z + z \ u - u' biếu diễn số phức z — z \

(a + bi)(a’ + b ’i) = aa’+ bb’i2+ (ab’+a’b)i = aa’-bb’+(ab’+a’b)i

Đ ịnh nghĩa: Tích của hai số phức z = a + bi và z ’= a ’ + b ’i (a, b, a ’, b ’s R)

là số phức zz’ = aa’- bb’+ (ab’ + a ’b)i

N hận xét: Với mọi số thực к và mọi số phức a + bi (a, be R) ta có

k(a + bi) = (k + Oi)(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt ) 0.Z = 0 với mọi số phức z.

1.1.2.2.2 Tính chất của phép nhân số phức

Phép nhân các số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số thực

• Tính chất giao hoán: z.z’= z \ z với mọi z,z’ e с

• Tính chất kết họp: (z.z’).z” = z.(z’.z” ) với mọi z,z’,z’eC

• Nhân với 1: 1 z = z 1= z với mọi z eC

• Tính chất phân phối ( của phép nhân đói với phép cộng):

z.(z’ + z ” ) = z.z’ + z.z’ ’ với mọi z,z’,z’ ’ e c

K ết luận: Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều viết được dưới dạng đại số z = а + bi (a,be R) và để thực hiện phép cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức а + bi ( coi а + bi là đa thức của biến i với hệ số thực) mà khi gặp i2 thì ta thay bằng -1

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số Đốivới số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z = a + bi (a, beR) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b) Ngược lại, rõ ràng mỗi điểmM(a; b) biểu diễn một số phức là z = а + bi Ta còn viết M(a + bi) hay M(z)

Vì lẽ đó, mặt phang tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi

là mặt phang phức

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các

số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo,

do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo

1.3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỔ PHỨC

Nhận xét:

+ Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó

+ z = 0 khi và chỉ khi |z| = 0.

1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác

1.4.1.1 Acgumen của số phửc z ^ 0

Định nghĩa: Cho số phức 0 Gọi M là

điểm trong mặt phang phức biểu diễn số phức z

Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,

tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Chú ý: Neu ẹ là một acgumen của z thì

mọi acgumen của z có dạng ọ+k27T,k G z

(Người ta thường nói: Acgumen của 0 xác định sai khác ọ + k27T,keZ).

1.4.1.2 Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức: z = a + bi (a,b e R ).

Kí hiệu r là môđun của z và ọ là acgumen của z thì a = rcos (p, b = rsin (p

Vậy z = a + bi ^ 0 có thể viết dưới dạng z = r(cos (p + i s in ọ )

Định nghĩa: Dạng z = r(cos(p + isin (p)

trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của

số phức z Ỷ 0.

Còn dạng z = a +bi (a,beR ) được gọi là dạng đại

số của số phức z

N hận xét: Đe tìm dạng lượng giác

r( cos cp + isincp) của số phức z = a +bi (a,b ^0 ) ta cần:

• Tìm r: Đó là môđun của z, r = Va2+b2 số r đó cũng là khoảng cách từ gốc o đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phang phức

y

o

M(a +ib)

• Tim (p: Đó là một acgumen của z, Ф là một số thực sao cho coscp = —

rb

và sinọ = —, số Ф đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối

r

OM

+) |z| = 1 khi và chỉ khi z = C0S(p + isincp ( Ф G R)

+) Khi z = 0 thì |z|= r =0 nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khiacgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(coscp + isinọ)

1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Neu z = r(coscp+ isin ọ ), z ’ = r ’( coscp’+ isinọ’) ( r > 0 , r > 0 ) th ì

1.4.3 Toa vi của môt điểm trong E2

Định nghĩa: Trong E2, điểm M(a; b) cho tương ứng với số m = a + bi thì

số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m)

Kí hiệu một điểm trong mặt phang bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó là chữ cái in thường tương ứng

1.4.4 Tọa yị của một vectơ trong E2

Định nghĩa: Trong E2 véctơ a (a ;b )c h o tương ứng số phức z = a + bi.

Khi đó z gọi là tọa vị của véctơ a Kí hiệu là véctơ a ( z )

1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm

Trong E2 cho hai số phức dưới dạng đại số Zi = Xi + iy 1, z 2 = x 2 + iy2

Điếm О là gốc tọa độ Xác định hai véctơ

OZpO Z2 biểu diễn hai số phức Zb z2

1.4.6 Khoảng cách giữa haỉ điểm

Giả sử M(zi), N(z2) g E2 Ta có MN = z2 - Z ị Khi đó khoảng cách giữahai điểm M, N được tính theo công thức: MN = MN = yj(z2- z i) ( z 2 _ Z |) •

1.5 Công thức Moa- Vrơ

1.5.1 Công thức Moa- Vrơ

Với mọi số nguyên dương n thì ta có:

[r(coscp+isincp)] " = r n (cosncp+isinncp)

và khi r = 1 ta có: (cosọ+isinọ)" =cosn(p+isinncp

Cả hai công thức đó đều gọi là công thức Moa- Vrơ

*Chú ý: Công thức Moa- Vrơ còn đúng khi n nguyên âm (và cả khi n =

0, z = r(coscp + isincp ) * 0 )

1.5.2 Căn bậc n của số phức.

Cho số nguyên n > 2 Căn bậc n của số phức z là một số phức z ’ sao cho

z 'n = z ( nếu z — 0 thì z ’ = 0) Như vậy Vz e C ,z ^ O ,z = |z|(cos(p + isin(p)

là căn bậc n của một số thực không âm)

1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ax2 + Bx + c = 0 ( 0) với A, B, c là các số phức

À = B2- 4AC

B+, Neu À = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = —

2 A

+, Neu À Ỷ 0 thì ta tìm các căn bận hai w của À thì phương trình có hai

B ± wnghiệm phân biệt z, 2= -

2A

CHƯƠNG 2: MỘT SỔ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức

2.1.1 Dạng 1: Tống họp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức

Nguyên tắc chung đễ tính toán

• Do có các tính chất giao hoán, phối hợp nên quy tắc cộng, trừ số phức là cộng riêng, trù’ riêng các phần thực và phần ảo

• Do có các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng nên phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức thông thường rồi thay:

i2 = - l , i 3 = i 2i = - i , i 4 = i 2.i2 = 1,.,i4m = l ,i 4m+1 = i,i4m+2 = - 1

• Đe tính — , ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu z '

• Tổng quát là tính gọn từng bước, dung các giá trị của in và hạ bậc các lũy thừa, tính gọn mẫu nếu có trước khi nhân số phức liên hợp,

C hú ý): +) |z|2 ^ z2;|z|2 = z 2 O z là số thực

+) Có thể dung công thức tính tổng các cấp số nhân:

u, + u 2 + u 3 + + u n = Uị.— ,C[ ^ 1,

1 - qhoặc hằng đẳng thức:

a" - b" = (a - b ) ( a n~' + a"~2b + a"-3b 2 + + ab"-2 + b"~')

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau.

a) / c) z = (2 + i ) - ( 3 + 2i)3

b ) z - í 7 ẵ r f 1 « * - ( i + 3 i ) ( 2 - i ) - + í 5 f

Lời giáỉ:

1+4Ì-4 -3+4i (-3+4i)(3+i) -13+9Ìa) Ta CO z = ——— = ——— = - — - = —

13 > 9Vậy phân thực của z băng — - , phân ảo —

Vậy phần thực của z bằng 11, phần ảo bằng -35

c) Ta có (3 + i)(l - 2i) = 5 - 5i ; (3 + 2 iý = 5 +12i.

Mà (1 +i)2 =2i =>(1 + i ) “ '° = (2i)1005 = 2,005.iHK>4.i = 2,005.i

=>z = -i.(i+ l).(2 ,005i - l ) - 1 - i = 2l005i + 21005 - 2

Vậy z = 2'005 - 2 - 2I005Í

2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phức

Đe giải quyết tốt các dạng toán này chúng ta cần nắm chắc các kiến thức về môđun số phức và các tính chất liên quan hình học phang, hàm số, hàm lượng

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn |z| = 1 Tìm giá trị lởn nhất, giá trị nhỏ

Khi z = -i => A = 4, suy ra rninA= 4.

Khi z = i=> A = 6, suy ra max A = 6

Đắng thức xảy ra khi z = -1 Vậy minB = 1

Ví dụ 4: Cho a, ß là hai số phức liên hợp thỏa mãn — G R và a - ß| = 2y ß

a 3 gR khi và chỉ khi Зх2у - у 3 =0< ^> y(3x2 - у2) = 0 = > x 2= 1

Vậy |a| = yjx 2 + у 2 = VT+3 = 2

Ví dụ 5: Cho hai số phức Zi và Z 2 • Chứng minh rằng

V ì nên

(l + |z,z2|) - (|z,| + |z2|) = 1 + |z,| |z2| - |z,| - |z2| (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

3 Gọi M, N, p lần lượt là biểu diễn hình học của Z|,Z2 và z' + Zl

=>OM = |z,|, ON = |z2| và PO = |z, + z2|

Ta có:

Biêu diên sô phửc

- Neu z biểu diễn bởi u v à z ’ biểu diễn u' thì z + z ’ biểu diễn bởi

u + u' và z - z ’ biểu diễn bởi u - u'

- Nếu z, z ’ biểu diễn bởi M, M ’ thì z + z ’ được biểu diễn bởi

OM + O M ', z - z ’ được biểu diễn bởi OM - OM’ = M M

Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku

Neu k là số thực, z biểu diễn bởi điểm M thì kz biểu diễn bởi kOM

Tập điểm biểu diễn số phức

Cho z = X + yi; M(x,y) hay u(x,y), z ’ = x ’ + y ’i ; M ’(x’,y’) hay u' ( x \ y ’) thì có:

|z| = R, R > 0 <=> X2 + y2 = R2 hay OM = R

|z| < R, R > 0 o X2 + y2 < R2 hay OM < R

z - (a+bi)| = R ,(R > o) <^> (x - a )2 + (y - b )2 = R 2 hay IM = R với I(a,b)

ịz - (a+bi)| < R ,(R > o) <^>(x-a)2 + (y-b)2 < R 2 hay IM < R với I(a,b)

Các loại phương trình, hình dạng tập điếm:

Ax + By + c = 0, A2 + B2 Ỷ 0: đường thẳng

y = ax2+ bx +c: parabol

(x - a) + (y - b) = R : đường tròn tâm I(a,b) bán kính R

(x - a )2 + (y - b )2 < R : hình tròn tâm I(a,b) bán kính R

MFi + MF2 = 2a, F1F2 < 2a: elip

|MFị - MF2| = 2a, F!F2 > 2a: hypebol

MI = MJ: trung trực của đoạn u

Ví dụ 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:

y=-3-3

2) Gọi I là điểm biểu diễn số phức Z] = \ - 2i= > I(l ;-2)

Khi đó: \ z-\ + 2 i| = 1 <=>|z - z,| = l <=>IM=1

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính R = 1

z + 1 + 1 - z - 2 - 3i = 2

Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của số phức Z i = -3i, z2= -2 + i =>A(0;-3),

B (-2;l) khi đó: |z + 3i|=|z+2-i| < ^ |z - z j = |z - z 2| <^>MA = MB

Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB có phương trình là:

x - 2 y - 1=0

3) Gọi E, F lần lượt là biểu diễn hình học của số phức Zi = -4 - 3i,

z2 = -3 - 2 i =>E(-4; -3), F(-3; - 2 ) ^ E F = ^

khi đó : |z + 4 + 3i| + |z - 3 + 2i| =2<^> ME + MF = 2:

Vậy quỹ tích của M là elip có hai tiêu điểm E, F và độ dài trục lớn bằng 1

Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R = — và miềntrong của nó.

5) Gọi E, F là điểm biểu diễn của số phức Z]= -1 - i, z2 = 2 + 3i= > E (-l; -1),F(2; 3) khi đó: |z + 1 + i| - |z - 2 - 3i|| = 2 <=> |ME - MF| =2 Vậy tập hợpđiểm M là hypebol có hai tiêu điểm E, F

Ví dụ 2: Tập hợp điếm M biếu diễn số phức z thỏa mãn:

Khi đó: = k > 0 ( k e R ) o = = k o M A = k.MB

Suy ra M thuộc tia AB

2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phương trình vói biến số phức

A 0z n + A^"-1 + + A n_jZ + A n = 0 trong đó A 0,A p ,A là n + 1 số

phức cho trước, A 0 =5* 0 , n là một số nguyên dương luôn có ít nhất 1 nghiệm phức và từ đó suy ra có n nghiệm phức không nhất thiết phân biệt