skkn một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

Hướng tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài 32 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A- PHẦN MỞ ĐẦU... Tuy nhiên, mấy năm gần đây trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển

Mục Lục

Trang

10 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 5

Vấn đề 1 Giải phương trình trong tập hợp số phức 6Vấn đề 2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 8

Vấn đề 4 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 15

Vấn đề 1 Chứng minh đẳng thức và bất đảng thức 20

Vấn đề 3 Số phức trong việc giải hệ phương trình 26

V Một số đề trong kỳ thi đại học – cao đẳng 29

V Hướng tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài 32

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

A- PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Số phức rất quan trọng trong toán học cũng như các nghành khoa học khác Nhưng số phức mớiđưa vào chương trình THPT và chỉ vào chương cuối cùng của chương trình lớp 12 Thời lượng để giảngdạy phần số phức tương đối ít nên việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với họcsinh là một điều khó khăn

Tuy nhiên, mấy năm gần đây trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học và cao đẳngđều đề cập đến các bài toán số phức Để giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số

phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức

và ứng dụng”.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinhrèn kỹ năng giải toán về số phức, phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng họctập của học sinh, tạo hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toántheo hướng phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chấtlượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán và phát triểnnăng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toánthường gặp về số phức

Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số,lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức

Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp

B – PHẦN NỘI DUNG

I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Khái niệm số phức

Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1.

Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi

là phần ảo của số phức z = a + bi

Tập hợp các số phức được ký hiệu là C

Chú ý: Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i = a thuộc R ⊂C

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số Đối với các số phức, ta

hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z = a + bi (a, b R∈ ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b).Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a; b) biểu diễn số phức là z = a + bi Ta còn viết M(a + bi) hay M(z) Vì

lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức

• Tính chất giao hoán: z + z’= z’+ z với mọi z, z’ C∈

• Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z∈C

• Với mỗi số phức z = a + bi (a,b R∈ )

nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z +(-z) = (-z) +z = 0

Số -z được gọi là số đối của số phức z

c) Phép trừ hai số phức

Định nghĩa 3: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z - z’= z +(-z’) Nếu z = a + bi,

z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ ) thì z - z’ = a - a’ + (b - b’)i

4 Phép nhân số phức

a) Tích của hai số phức

Định nghĩa 4: Tích của hai số phức z = a + bi và z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ )là số phức

zz’= aa’ – bb’+(ab’+ a’b)i

b) Tính chất của phép nhân số phức

• Tính chất giao hoán: zz’ = z’z với mọi z, z’∈C

• Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z, z’, z” C∈

• Nhân với 1: 1.z = z.1 = z với mọi z ∈C

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Rõ ràng: z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức

liên hợp) Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trụcOx

b) Mô đun của số phức

Định nghĩa 6: Mô đun của số phức z = a + bi (a, b R∈ ) là số thực không âm a2+b2 và được ký hiệu

8 Phương trình bậc hai.

Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai Az2+Bz C+ =0 1( )Trong đó A, B, C là những số phức, (A≠0) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) Việc giảiphương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực Cụ thể là:Xét biệt thức: ∆ = −b2 4ac

- Nếu ∆ ≠0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 ; 2

- Nếu ∆ =0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2

9 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa 9: Cho số phức z≠0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số

đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z

Định nghĩa 10: Dạng z r c= ( osφ+isin )φ trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0.Còn dạng z = a + bi ( ,a b R∈ ) được gọi là dạng đại số của số phức z

10 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Định lý: Nếu z r c= ( osφ+isin )φ , 'z =r c'( os ' i sin '),(φ + φ r≥0, ' 0)r ≥ thì

[ ( osr c φ+i sin )]φ n =r c n osnφ+i sinnφ và khi r =1 ta có: ( osc φ+i sin )φ n =cosnφ+i sinnφ

b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z r c= ( osφ+isin )φ trong đó r > 0 có hai căn bậc hai là:

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC

Vấn đề 1 Giải phương trình trong tập hợp số phức

2 2

z= + i c) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó:

z z

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b R∈

Thay vào phương trình ta được:

Vấn đề 2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức

Ví dụ 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho :

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x + y – 1 = 0, trừ điểm (0;1).

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:

Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

2 2

2 2

2 2

2 2

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elip luôn thỏa mãn

điều kiện y≥ −4 Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình

z +z = z +z z +z = z − z + z z +z z =

Vậy: 1 2

13

Ví dụ 18: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 )

2 11

i z i

++ =

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: 2x y− + =5 0.

M(x; y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

Từ đó ta có M( 10 sin ; 3α − + 10 osc α) Mô đun của số phức z chính là độ dài của vecto OMuuuur.

Vấn đề 4 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước

Ví dụ 21: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z2 =2z

z= − + i z= − − i

Ví dụ 23: Tìm số phức z biết z− +(2 3i z) = −1 9i

Giải:

i z

2 2

Vấn đề 5 Dạng lượng giác của số phức

Ví dụ 29: Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho 1

3

z = và một acgument của

1

z i

+ là

34

Gọi ϕ là một acgument của z thì

Khi 0< <z 2 một acgument của z− +(1 i 3) là 5

4π

Khi z =2thì z− +(1 i 2)=0 nên acgument không xác định.

Ví dụ 33: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết z− = −1 z 3i và i z có một acgument là

sin 5 16sin 20sin 5sin 1

os5 16cos 20cos 5cos 2

os 5 cos sin 10 os sin 10 cos sin 5 cos sin sin

cos 10cos 1 cos 5cos 1 cos sin 1 sin 10 1 sin sin sin

Cho a, b, c là các số thực sao cho: cosa+cosb+cosc=sina+sinb+sinc=0

Chứng minh rằng: cos 2 a+cos 2b+cos 2c=sin 2a+sin 2b+sin 2c=0

− ≤+

Ta có: ( )

2 2

vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 40: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện z3 13 2

sin sin 2 sin

cos os2 cos

c a

1

2

1sin sin

sin21sin os

sin2

n n

Ta tìm được 3 giá trị của z là :

32 os2 isin2 ; 2 os3 4 isin4 ; 2 os3 8 isin8

Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x, y) là :

3 2 os2 3 2 sin2 ; 2 os3 4 32 sin4 ; os8 32 sin8

x y

Giải :

Điều kiện x > 0, y > 0

u v v

Phương trình này có thể giải bằng cách nhân hai vế với 2sinx (sinx 0≠ )Ngoài ra có thể áp dụng

với số phức z cosx isinx z 1 1 cosx isinx x( 0;2 )

Nếu z11= −1 thì 11 os isin os 2 isin 2 ( 0;10)

V MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HOC.

Bài 1 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 0 = Tính giá trị của biểu thức

= − +

I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2011 - 2012, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :

II BÀI HỌC TỔNG KẾT

Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy tôi nhận thấy khi giáo viên hướng dẫn học sinhphân loại các dạng toán về số phức thì các em hiểu bài và làm bài tốt hơn Đông thời cũng làm cho họcsinh nâng cao được tư duy, tính sáng tạo và hiểu rõ được vai trò, ý nghĩa của phương pháp phân loại cácdạng toán một cách sâu sắc.

III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng cho học sinh cả hai ban cơ bản và nâng cao Học sinh yếu,kém, trung binh năm được phương pháp giải để vận dụng giải các bai toán đơn giản Học sinh khá giỏitrên cơ sở vận dụng phương pháp này vào các bài tập phức tạp hơn

IV HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI

Hạn chế của đề tài là chưa nghiên cứu hết và sâu các bài tập tổng hợp và ứng dụng của số phứcvào hình học trong chương trình toán phổ thông Bên cạnh đó, đề tài này khó áp dụng tốt cho đối tượng

là học sinh yếu và kém

V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI

Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho các dạngtoán từ cơ bản đến phức tạp trong đó có các bài toán tổng hợp và ứng dụng vào hình học để đáp ứng nhucầu học tập của học sinh khá, giỏi

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề này

Định Quán, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Văn Đức

Tài liệu tham khảo.

1 Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam – năm 2010

2 Bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam- năm 2010

3 Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên – Trần Đức Huyên (chủ biên) – năm 2011)

4 Các đề thi tuyển sinh đại học, thi cao đẳng

6 Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Lê Hoành Phò NXB Đại học quốc gia Hà Nội xuất bản 2008)

-7 Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2009 -2013

8 Các đề thi tốt nghiệp thống nhất toàn quốc năm 2009 -2013

9 Bộ tài liệu ôn thi đại học ( TS Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm - xuất bản năm 2010)