SKKN lũy thừa và một số dạng toán thường gặp”

Phần I: Đặt vấn đềTrong chương trình toán ở bậc THCS có thể nói “Toán lũy thừa là một mảngkiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó.. Để làm được cácbài toán về lũy

Phần I: Đặt vấn đề

Trong chương trình toán ở bậc THCS có thể nói “Toán lũy thừa là một mảngkiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó Để làm được cácbài toán về lũy thừa không phài việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi,nhất là đối với học sinh khối 6 và 7 Các em mới được làm quen với môn đại số vàmới được tiếp cận với toán lũy thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện cácphép biến đổi đại số, ít phương pháp, kỹ năng tính toán,… Để nâng cao và mởrộng kiến thức phần lũy thừa cho học sinh lớp 6, lớp 7, bằng kinh nghiệm giảngdạy của mình kết hợp sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn

trình bày một số ý kiến về chuyên đề “Lũy thừa và một số dạng toán thường

gặp” nhằm cung cấp phần nào kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm

cụ thể về phương pháp giải toán lũy thừa cho các đối tượng học sinh Bên cạnh đógiúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic, … tạo sự say

mê cho các bạn yêu thích môn toán

Phần II: Giải quyết vấn đề

Trang 1

a b

m

x x

x 



(x ≠ 0) x-n = x n

1 (x ≠ 0)

(xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym

n n n

y

x y

1.1 Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa

- Phương pháp 1 : Đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ

3 2

0

10 10

x x x

+) Với x = 0 ta có: 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 31

Trang 3

 biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể bé hơn 0

Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0

3x - 5 = 2y + 1 =0 => x = 35 và y =21

Ví dụ 2 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y - 3)2 < 4

4

y

y

+) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y - 3)2 = 0

1 2

1

x x

+) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1

y y

Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đầ bài là :

1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.

- Phương pháp 1 : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số

Các bài toán tương tự:

1 Tìm các số tự nhiên n sao cho

6 6 6 6 6 6 3 3 3

4 4 4 4

5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

1.3 Mét sè tr êng hîp kh¸c

- Phương pháp: Kết hợp hai trường hợp trên

Ví dụ 1 : Tìm x biết:

(x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1)Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3

x + 4 = y + 5Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5

yy+5 - yy+3 = 0

yy+3(y2 - 1) = 0 => yy+3 = 0 hoặc y2 - 1 = 0

thường gặp

a) 2a + 124 = 5b (1)

* Xét a = 0, khi đó (1) trở thành

20 + 124 = 5b Hay 5b = 125

 Dạng 2 : Tỡm chữ số tận cựng của 1 giỏ trị lũy thừa

- Phương phỏp: Để tỡm chữ số tận cựng của 1 giỏ trị lũy thừa ta thường đưa

về dạng cỏc lũy thừa cú chữ số tận cựng là một trong cỏc chữ số sau: 0 ; 1 ;

4 ; 5 ; 6 ; 9

Các bài toán tương tự:

 D¹ng 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa

* Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý

những số đặc biệt sau :

+) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tậncùng bằng chính nó

Trang 11

Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100

Dựa vào nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này:

*Phương pháp : Chú ý một số điểm sau.

+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó.

+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625.

Trang 13

thường gặp

Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số

mũ Giáo viên có thể hướng dẫn :

 D¹ng 5 : So s¸nh hai lòy thõa

- Phương pháp 1 : Biến đổi về hai lũy thừa có cùng số mũ, cùng cơ số

Chú ý : với a, b, m ,n N ta có:

 a > b  an > bn  nN*

 m > n  am > an (a >1)

 m > n  am < an (0 < a <1)

- Phương pháp 2 : Dùng tính chất đơn điệu của phép nhân (nếu a > b thì a.c >

- Phương pháp 3 : Dùng lũy thừa trung gian

 Chú ý:

 Ta thêm bớt ở cơ số để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số

 Ta thêm bớt ở số mũ để tìm được UCLN rồi đưa về 2 lũy thừa cùng sốmũ

Ví dụ: So s¸nh

a/ 3111 và 1714

b/ 10750 vµ 7375

Trang 15

1

)500 f/199010 + 19909 và 199110 g/

1

4

1 3

1 2

1

2 2

2 2

b/ K =

2

1 14

1 12

1 10

1 8

1 6

1 4

1 2

1

2 2 2 2 2 2

2       

 Lu ý:

1

1 1

1 2

1

2  ,

3 2

1 3

1

2  ,

4 3

1 4

1

2  , …,

2008 2007

1 2008

1

2 

=> H =

2008 2007

1

3 2

1 2 1

1 2008

1 2007

1

4

1 3

1 2

1

2 2

2 2

2008

1 1 2008

1 2007

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1 2008 2007

1

1 5

1 4

1 3

1 2

1

1       ) < 2

2

1(1+1) = 2

2

1.2 = 2 1

7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1

2 2 2 2 2

2       )

VËy K <

2

1

Ví dụ 2 : So s¸nh A vµ B biÕt : A =

1 2008

1 2008

2009 2008





1 2008

1 2008

2008 2007

c a b

c a b

1 2008

2009 2008



 < 1 nªn

A =

1 2008

1 2008

2008

2007 1

2008

2009 2008

.(

2008

) 1 2008

.(

2008

2009 2007

2008 ).

1 2008

(

2009

2008

1 2008

2007 1

2008

2009 2009





1 2008

2007

2009



Trang 17

thường gặp



 1 2008

2008 ).

1 2008

2008

2007

1 2008

2007 1

2008

2008 2008





1 2008

A

1

=

1 2008

1 2008

2007 2008

2008

2008 2009





1 2008

2007 )

1 2008 (

2008

2008 2008

1 2008

2007 2008

2008

2007 2008





1 2008

2007 )

1 2008 (

2008

2007 2007

2007

2008

 <

1 2008

2007

2007

 => 2008 -

1 2008

2007

2008

 > 2008 -

1 2008

2007

2007

 VËy

Ví dụ 3 : So s¸nh M vµ N biÕt: M =

1 100

1 100

99 100





1 100

1 100

100 101

1 100

100 101



 > 1

=> N =

1 100

1 100

100 101



 >

99 1 100

99 1 100

100 101

100 100

100 101



100 ).

1 100 (

100 ).

1 100 (

99 100





=

1 100

1 100

99 100

1 100

99 100



 =

1 100

99 100 100

99 100





1 100

99 100 ).

1 100 (

99 99





1 100

1 100

100 101



 =

1 100

99 100 100

100 101





1 100

99 100 ).

1 100 (

100 100





1 100

99

100



V× 10099 + 1 < 100100 + 1 nªn

1 100

99

99

 >

1 100

99

100

 => 100 -

1 100

1 13

16 15



1 13

1 13

17 16





b/ A =

1 1999

1 1999

1998 1999



 vµ B =

1 1999

1 1999

1999 2000





c/ A =

1 100

1 100

99 100



 vµ B =

1 100

1 100

68 69

4

1 3

1 2

1

2 2

2 2

1

6

1 4

1 2

1

2 2

1

7

1 6

1 5

1 6

1

2 2

2

2     



 D¹ng 7 : Chứng minh chia hết.

- Phương pháp : Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để

tính cho hợp lý và nhanh Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp khi biếnđổi

g/ 122n+1 + 11n+2 133 h/ 817 – 279 - 913

 405 i/ 70+71+72+73+…+7101 8 j/ 106 – 57  59 k/ 4+ 42 + 43 +44 +…+ 416 5 l/ 439+440+441  28

m/ 1099+23  9 n/ 2000+20002+20003 + …+20002008 2001 o/ 1028 + 8  72 p/ 3+ 35 + 37 +…+ 31991 13 vµ  41

Phần III: Kết quả thực hiện

Trong quá trình hướng dẫn các em học sinh khối 6, 7 học chuyên đề này, kết quả

HK I năm học 2012 – 2013; năm học 2013 – 2014, 2014 – 2015 cho thấy các emkhông những giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đềnày, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán lũy thừa nóiriêng

Trang 21

thường gặp

các em học sinh một số phương pháp làm bài tập có liên quan đến lũy thừa, giúpcác em yêu thích toán đào sâu kiến thức về mảng lũy thừa dưới dạng các bài tập.Tuy đã rất cố gắng trong công việc sưu tầm và biên soạn, nhưng chắc chắn nhữnghạn chế trong chuyên đề này là không thể tránh khỏi Chúng tôi rất mong nhậnđược sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp để chuyên đề này được hoànchỉnh hơn

Tân Bình, ngày 20 tháng 01 năm 2015 Người thực hiện

Vũ Quang Liêm