SKKN xây dựng phương pháp và thuật toán để giải một số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS

Sáng kiến kinhnghiệm của chúng tôi xây dựng với mục đích đưa ra một hệ thống các dạng loại bài toán giảitrên MTCT, đảm bảo phù hợp với chương trình toán bậc THCS, phù hợp

SangKienKinhNghiem.orgTổng Hợp Hơn 1000 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Chuẩn

TÊN ĐỀ TÀI

XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP VÀ THUẬT TOÁN ĐỂ GIẢI MỢT SỚ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ

THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

b) Việc dạy và học về MTCT chưa có định hướng rõ ràng, chưa có tài liệu chính qui:

Như chúng ta đã biết, trong phân phới chương trình của bợ mơn tốn, các tiết ơn tậpchương thường có yêu cầu ơn tập với sự trợ giúp của MTCT, nhưng chưa hướng dẫn cụthể việc trợ giúp đó ở mức đợ như thế nào, như vậy có thể hiểu việc trợ giúp của MTCT ởđây chỉ là giúp tính tốn nhanh kết quả, thay cho tính tốn thủ cơng, chỉ giải các bài tốncó sẵn chương trình, chưa quan tâm đến các bài tốn có thể giải nhanh nhờ sử dụng thuậttốn trên MTCT, nhưng trái lại vấn đề chưa quan tâm này lại là yêu cầu cơ bản của các đềthi trong các kì thi giải tốn trên MTCT, chính vì vậy khi thực hiện bời dưỡng cho các đớitượng học sinh dự thi các kì thi giải tốn trên MTCT người giáo viên rất lúng túng trongviệc định hướng chương trình cho hợp lý đảm bảo theo yêu cầu của kì thi Còn về vấn đềtài liệu, có thể nói, ta có thể tìm kiếm trên mạng Internet nguờn tài liệu về MTCT là rấtnhiều, rất phong phú, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp khơng cao, rất tản mạn về cácdạng loại, mợt sớ tài liệu khơng chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của phương pháp và thuật

toán, chúng ta chưa có tài liệu chính qui nào hướng dẫn việc giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh giỏi về MTCT.

c) Trong giảng dạy, chưa quan tâm đúng mức việc giải toán bằng MTCT:

Qua các thực trạng về dạy học MTCT theo chương trình sách giáo khoa mà chúngtôi đã nêu, người giáo viên trong quá trình giảng dạy chắc chắn chỉ dừng lại ở mức độhướng dẫn học sinh sử dụng MTCT tính toán thông thường theo mức độ yêu cầu của sáchgiáo khoa, chưa quan tâm đến việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán bằng MTCTcó dùng những phương pháp và thuật toán để giải nhanh, có thể do hạn chế về thời lượngcủa các tiết học, cũng có thể do ý thức chủ quan của người giáo viên, chỉ thực hiện theomức độ yêu cầu, không làm nhiều hơn, như vậy làm sao học sinh có được những kỹ năngcần thiết để giải các bài toán bằng MTCT hợp lý, nhanh chóng Chẳng hạn, khi dạy vàluyện tập về số nguyên tố, nếu người giáo viên giới thiệu thêm cho học sinh về thuật toánkiểm tra số nguyên tố bằng MTCT, thì học sinh có được một kỹ năng rất nhanh để kiểmtra một số có phải là số nguyên tố hay không, kể cả những số rất lớn, và chúng ta cũngthấy rất nhiều trường hợp tương tự như trên trong quá trình giảng dạy

d) Học sinh lạm dụng việc sử dụng MTCT, làm mất khả năng tính nhẩm, tính nhanh, tính toán hợp lý, khả năng tư duy toán học:

Đây là một thực trạng thường thấy khi giảng dạy bộ môn toán, một số học sinh yếuvề khả năng tính toán, khả tư duy, suy luận, thường lạm dụng việc sử dụng MTCT tronghọc tập bộ môn toán, thấy bài toán tính toán là dùng MTCT để bấm ra kết quả, không hềđộng não tư duy gì cả, thậm chí những phép toán đơn giản chỉ cần nhẩm nhanh thì có kếtquả, hoặc những phép tính vận dụng tính chất cho kết quả nhanh chóng học sinh cũngdùng MTCT, những trường hợp này nếu không có biện pháp hợp lý, lâu dần học sinh sẽmất đi các khả năng tư duy toán học cần thiết, đây là một vấn đề cần cảnh báo kịp thời.Về phía giáo viên, trước thực tế như vậy đôi khi ngăn ngừa, khuyến cáo học sinh khôngnên lạm dụng MTCT, nhưng có thể chưa có một giải pháp hợp lý nào để khắc phục hạnchế trên Thực trạng này có thể dẫn đến, học sinh ít quan tâm đến việc dùng MTCT để giảicác bài toán, hoặc chỉ giải các bài toán theo các hướng tư duy thông thường của cácphương pháp toán học mà không có sự hỗ trợ của MTCT, như vậy việc hình thành tư duycho học sinh giải các bài toán bằng MTCT là rất hạn chế, thậm chí là không quan tâm gìcả Điều này ảnh hưởng không nhỏ đến quá trình hình thành kĩ năng và tư duy thuật toánđể giải toán bằng MTCT, dẫn đến đội ngũ học sinh giỏi giải toán bằng MTCT rất hạn chếvề số lượng

Đứng trước các thực trạng về tình hình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi giảitoán trên MTCT đã nêu, chúng tôi thấy để nâng cao được chất lượng việc giảng dạy và bồidưỡng cho học sinh về MTCT , cần thiết nhất là chúng ta phải có được một tài liệu hợp lý,mang tính nhất quán, đảm bảo phù hợp về trình độ hiểu biết của học sinh trong bậc học, tàiliệu này có thể giúp cho người giáo viên tham khảo trong công tác giảng dạy và bồi dưỡnghọc sinh giải toán trên MTCT Với lý do đó, qua nhiều năm nghiên cứu, tìm tòi, tập hợp

và sáng tạo chúng tôi mạnh dạn xây dựng, đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “Xây dựng phương pháp và thuật toán để giải một số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS”, hầu mong giải quyết vấn đề mà người làm công tác

giảng dạy và bồi dưỡng về MTCT thấy cần thiết

2 Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI:

Trước thực tế khó khăn về vấn đề tài liệu đối với công tác bồi dưỡng học sinh giải

người làm công tác bồi dưỡng học sinh giải toán trên MTCT một tài liệu tham khảo, chưadám nói là đầy đủ, song chúng tôi tin rằng các dạng toán mà đề tài đề cập là những dạngtoán rất quan trọng, rất cần thiết trang bị cho học sinh khi tham gia các kì thi, có tác dụnghình thành các kĩ năng và tư duy cần thiết cho học sinh khi giải toán trên MTCT.

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TAI:

Căn cứ vào chương trình toán bậc THCS từ lớp 6 đến lớp 9, ở tất cả các phân môn,đặc biệt là phân môn số học, các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT,tham khảo các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải toán trên MTCT chúng tôi tậphợp, phân loại và sắp xếp các dạng toán, xây dựng phương pháp và thuật toán để giải,nhằm tạo ra một hệ thống có tính lôgic, có khoa học, có phương pháp để có thể tiến hành

tổ chức giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi tham gia các kì thi giải toán trênMTCT có hiệu quả, có chất lượng , đạt kết quả cao, nhằm từng bước nâng cao chất lượngbộ môn toán nói riêng và chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường THCS nóichung

Hiện nay khi tham gia các kì thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT, học sinh đượcphép sử dụng một số loại máy có các tính năng gần tương nhau, xét thuật toán hướng dẫnqui trình ấn phím để giải một bài toán nào đó thì gần giống nhau, do đó đề tài chúng tôichỉ nêu qui trình ấn phím cho một loại máy là fx-570 MS, các loại máy khác được suy ratương tự, còn về mặt phương pháp giải thì coi như được áp dụng chung

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:

- Hiện nay, hằng năm, song song với các cuộc thi chọn học sinh giỏi toán các cấp, thi giảitoán qua mạng Internet, còn có cuộc thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay(MTCT) cũng được các cấp quản lý giáo dục quan tâm đầu tư Do đó, yêu cầu chất lượngcủa kì thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT ngày càng cao hơn, kết quả của cuộc thi cũngđược các cấp quản lý xem là tiêu chí đánh giá các đơn vị trường Xuất phát từ tình hình đóchúng tôi thấy cần xây dựng sáng kiến để áp dụng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giảitoán trên MTCT, đó cũng coi là đổi mới phương pháp dạy học, nhằm nâng cao chất lượngvà hiệu quả của công tác giảng dạy bộ môn toán nói riêng và chất lượng đào tạo toàn diệncủa nhà trường

- Tình hình phổ biến hiện nay, khi tham gia kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT, họcsinh hoặc là tự lực tìm tòi tài liệu để tự trang bị cho mình kiến thức cần thiết, hoặc là nhàtrường phân công cho giáo viên bộ môn phụ trách việc bồi dưỡng, nguồn tài liệu chủ yếu làtìm kiếm trên mạng Internet, phải thừa nhận rằng nguồn tài liệu về MTCT trên mạng là rấtnhiều, rất phong phú cho tất cả các bậc học, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp với trình độtiếp thu của đối tượng học sinh ở trường không cao, rất tản mạn về các dạng loại, một số tàiliệu không chú ý xây dựng cơ sở lý thuyết của phương pháp và thuật toán Sáng kiến kinhnghiệm của chúng tôi xây dựng với mục đích đưa ra một hệ thống các dạng loại bài toán giảitrên MTCT, đảm bảo phù hợp với chương trình toán bậc THCS, phù hợp trình độ nhận thứccủa đối tượng học sinh trong bậc học Việc xây dựng các phương pháp có cơ sở lý thuyết vàthuật toán cho từng loại dạng toán, giúp cho học sinh có cách giải các dạng toán này cóchiều sâu, nhớ lâu, vận dụng tốt Đặc biệt hơn, qua nghiên cứu các đề thi giải toán trênMTCT của các cấp qua nhiều năm, chúng tôi đúc kêt và xây dựng các dạng toán trong sángkiến này, tuy không dám nói là đầy đủ, song chúng tôi hy vọng sáng kiến này đáp ứng phầnnào nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi tham gia các kì thi giải toán trên MTCT

- Một điều hết sức quí báu và quan trọng mà ai trong chúng ta đã từng học và dạy toán cũngphải công nhận, đó là hình thành tư duy thuật toán Một số bài toán giải trên MTCT, có thuậttoán hướng dẫn qui trình ấn phím sử dụng các biến nhớ của máy và vòng lặp rất gần giốngcác thuật toán lập trình trong tin học.Chính vì vậy sáng kiến của chúng tôi quan tâm đếnviệc xây dựng thuật toán, nhằm từng bước hình thành tư duy thuật toán cho học sinh, và cóthể cao hơn đó là tư duy lập trình của tin học, đây cũng là một trong những nhiệm vụ quantrọng trong công tác đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, sángtạo tư duy của học sinh.

2 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN XÂY DỰNG SÁNG KIẾN:

- Khi tiến hành xây dựng sáng kiến này chúng tôi tìm hiểu các tài liệu về hướng dẫn sửdụng MTCT, và như đã nói ở trên chủ yếu là tài liệu hướng dẫn sử dụng máy fx-570MS, tậpsử dụng và từng bước khai thác các chức năng của các phím bấm, các chương trình giải sẵncủa một số bài toán Bên cạnh đó một công việc tốn rất nhiều thời gian, đó là tìm kiếm cáctài liệu liên quan đến giải toán trên MTCT, các đề thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT củacác cấp, qua các năm, các tài liệu này chủ yếu cũng từ mạng Internet Từ đó chúng tôinghiên cứu kĩ càng các tài liệu này, tiến hành chọn lọc, phân loại, sắp xếp và bổ sung cácdạng toán để đưa vào sáng kiến sao cho đảm bảo phù hợp theo yêu cầu đã nêu

- Một công việc nữa cũng đồng thời được tiến hành, nghiên cứu kỹ chương trình môn toánbặc THCS, các phương pháp dạy học bộ môn toán và các yêu cầu về đổi mới phương phápdạy học, các phương pháp học tập tích cực của học sinh để từ đó mới có thể nắm chắc yêucầu về kiến thức, kĩ năng, xác định đúng, hợp lý các phương pháp và thuật toán cần đưa rađể giải quyết các dạng toán đề ra, tránh tình trạng mâu thuẫn kiến thức, quá khả năng tiếpthu của học sinh, dạng loại có trước hỗ trợ cho dạng loại có sau, đảm bảo tính hệ thống,khoa học

* Một số tài liệu tham khảo:

+ Tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS

+ Tài liệu bồi dưỡng MTCT của công ty Bình Tiên

+ Một số tài liệu khác và một số đề thi giải toán trên MTCT của các cấp

- Chúng tôi tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm: “Xây dựng phương pháp và thuật toán

để giải một số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS” trong thời gian hai năm rưỡi, tính từ năm học 2009-2010 đến học kì I năm học

2011-2012 Đề tài được áp dụng vào tháng 10 năm học 2011-2012 khi tiến hành bồidưỡng cho 8 học sinh của trường dự thi kì thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT cấphuyện năm học 2011-2012

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU:

Như tên của sáng kiến chúng tơi đã nêu“Xây dựng phương pháp và thuật toán để giải một số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS”, đã thể hiện rõ ràng nhiệm vụ cần giải quyết của đề tài Tuy nhiên cần nói rõ hơn,

đề tài khơng nêu lại những thuật tốn có sẵn (chương trình giải có sẵn) để giải mợt sớ bàitốn cơ bản như: Giải phương trình bậc 2, bậc 3, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sớ, 3 ẩn sớ,

…, coi như đây là những thuật tốn phải biết khi sử dụng MTCT Đề tài chỉ quan tâm đếnnhững dạng tốn cần khai thác những thuật tốn khác sách giáo khoa, khai thác thế mạnhcủa MTCT để giải cho kết quả nhanh chóng, chính xác Đới với mợt sớ dạng tốn đề tàixây dựng phương pháp giải rõ ràng, có cơ sở lý thuyết vững chắc, từ đó nêu ra thuật tốnhướng dẫn qui trình ấn phím cụ thể, để người học có thể hiểu sâu, nắm vững, thực hànhthành thạo để giải tớt các dạng tốn này, tuy nhiên đề tài cũng đề cập đến mợt sớ dạngtốn chưa phải là dạng tốn thường gặp trong các kì thi, nhưng nó mang tính chất là cơ sởvề mặt thuật tốn để xây dựng phương pháp giải các dạng tốn khác, như các bài tốn tìmước, bợi, thuật tốn kiểm tra sớ nguyên tớ, …v.v

Trên cơ sở chương trình tốn bậc THCS, các dạng tốn bời dưỡng học sinh giỏi giảitốn trên MTCT, các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải tốn trên MTCT chúngtơi tập hợp, phân loại và sắp xếp các dạng tốn, tiến hành xây dựng phương pháp và thuậttốn để giải, nhằm tạo ra mợt hệ thớng các dạng loại bài tập có tính lơgic, có khoa học, cóphương pháp để có thể tiến hành tổ chức giảng dạy, bời dưỡng cho đới tượng học sinhgiỏi tham gia các kì thi giải tốn trên MTCT có hiệu quả, có chất lượng

II MƠ TẢ CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1 THUYẾT MINH CÁC GIẢI PHÁP:

Sáng kiến của chúng tơi, tập hợp mợt sớ dạng tốn mà theo kinh nghiệm chúng tơithấy rất thường hay có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi giải tốn trên MTCT và như vậynó rất cần phải được trang bị cho học sinh khi bời dưỡng học sinh giỏi giải tốn MTCT.Khi đề xuất các dạng tốn, điểm mà chúng tơi quan tâm nhất là xây dưng phương pháp vàthuật tốn trên MTCT để giải quyết chúng, nhằm giúp học sinh khắc sâu cách giải

Sau đây là các dạng tốn được minh họa:

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ XỬ LÝ SỚ LỚN

Đây là những bài tốn có chứa những phép tính mà kết quả là sớ quá lớn dẫn đếntràn bợ nhớ (còn gọi là tràn màn hình) máy báo lỡi hoặc cho kết quả sai sớ sau nhiều chữsớ, đó thường là phép nhân sớ lớn, phép chia sớ lớn, phép tính lũy thừa sớ mũ lớn

Phương pháp: Với các bài tốn này ta thường dùng phương pháp chia nhỏ sớ, đặt ẩn phụ,

kết hợp giữa tính trên máy và trên giấy

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính chính xác kết quả phép nhân sau:

A = 7684352 x 4325319

Giải:

Đặt: a = 7684, b = 352, c = 432, d = 5319

Ta có: A = (a 104 +b)(c 104 + d) = ac.108 + ad.104 + bc.104 + bd

Tính trên máy và kết hợp ghi ra giấy:

ac.108 = 33177600000000 + ad.104 = 40849920000

bc.104 = 18800640000

bd = 23148288Vậy: A = 33237273708288

Ví dụ 2: Tính chính xác giá trị biểu thức:

c3.109 = 9938375000000000+ (a2 + 3c2d).106 = 117043650000000

N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY

Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)

tính trực tiếp bằng máy sẽ cho kết quả sai Do vậy ta phải dùng phương pháp tìm số dư đểbiểu diễn phép chia, ta làm như sau:

Ta thấy phép chia trên có thể đổi thành:

A = 5290627917848 : 565432Đặt : A = b : c, ta dùng phương pháp tìm số dư để biểu diễn b theo c như sau:

Vậy dùng máy ta tính ra kết quả đúng của A = 93567890(Ta có thể thực hiện phép nhân b = A x c để thử lại kết quả phép chia)

Ghi chú: Ở đây ta đã dùng phương pháp tìm số dư, phương pháp này sẽ được trình bày ởphần sau

DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Cơ sở lý thuyết xây dựng thuật toán

Định lý: Với hai số nguyên a và b (b khác 0), luôn tồn tại duy nhất cập số nguyên q và rsao cho: a = bq + r, với : 0 ≤ r ≤ b

- Nếu r = 0 thì a = bq thì phép chia a cho b là phép chia hết

- Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư

Thuật toán: Áp dụng định lý trên ta có thể xây dựng thuật toán lập qui trình ấn phím đểtìm số dư trong phép chia a cho b như sau:

- Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ , số b vào ô nhớ

- Bước 2: Thực hiện phwps chia cho (ghi nhớ phần nguyên của thương q,

Vận dụng hợp lý qui trình ấn phím này ta có thể giải được một số dạng toán tìm số

dư như sau:

1/ Số tương đối nhỏ: (Số có số chữ số không quá 10)

Ta áp dụng trực tiếp qui trình ấn phím trên

Ví dụ 1: Viết qui trình ấn phím tìm số dư trong phép chia: 18901969 chia cho 3041975

Giải:

Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau:

Ấn: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B AC ALPHA A ÷ ALPHA B = (6,213716089) AC

ALPHA A - ALPHA B x 6 = (650119) Kết quả: Số dư trong phép chia trên là: r = 650119

Chú ý: Cũng dùng thuật toán trên nhưng ta có qui trình ấn phím trực tiếp không gán các số

a, b vào các ô nhớ A , B như sau:

Ví dụ 3: Tìm số dư 2314 : 1293

Giải:

Qui trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau:

Ấn: 231  4 ÷ 129  3 = (1326,413058)Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lai:

Ấn: 231  4 - 129  3 x 1326 = (886707)Vậy số dư cần tìm là: r = 886707

2/ Số cho quá lớn: (Số cho có số chữ số lớn hơn 10 chữ số)

Trường hợp này ta dùng phương pháp chia để trị như sau:

- Cắt nhóm đầu 9 chữ số của số bị chia (tính từ bên trái), tìm số dư của số này vớisố chia theo thuật toán đã biết

- Viết tiếp sau số dư vừa tìm được các chữ số còn lại của số bị chia tối đa đủ 9 chữsố rồi tìm số dư này với số chia

- Ta tiếp tục quá trình như vậy cho đến hết, số dư lần cuối cùng chính là số dư cầntìm

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia: 2345678901234 : 4567

- Lần 1: Ta tìm số dư phép chia 506507508 : 2006, ta được kết quả: 532

- Lần 2: Ta tìm số dư phép chia 532506507 : 2006, ta được kết quả: 1771

- Lần : Ta tìm số dư phép chia 1771508 : 2006, ta được kết quả: 210Vậy số dư cần tìm là: 210

3/ Số bị chia cho dạng lũy thừa có số mũ quá lớn:

Phương pháp 1: Rõ ràng với dạng này ta không thể tìm số dư theo thuật toán đã biết và

cách với với số lớn đã biết Do đó ta phải dùng phương pháp chia để trị, nhưng ở đây làchia nhỏ số mũ

Cơ sở lý thuyết của phương pháp:

Giả sử tìm số dư trong phép chia an cho b Ta viết : an = ap.q (Với p + q = n) và saocho ap và aq là những lũy thừa mà ta dễ dàng tìm số dư được khi chia cho b theo thuật toánđã biết ở trên

Khi đó: ap = bq1 + r1 và aq = bq2 + r2Suy ra: an = ap.q = (bq1 + r1)( bq2 + r2) = BS(b) + r1r2Từ đó ta đi tìm số dư trong phép chia r1r2 cho b ta được số dư cần tìm

Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004

Giải:

Ta viết: 815 = 88.87

Dùng thuật toán ta :

- Tìm số dư khi chia 88 cho 2004, ta được r1 = 1732

- Tìm số dư khi chia 87 cho 2004, ta được r2 = 968

Suy ra số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia tích r1 r2 = 1732.968 =

1676576 cho 2004

Tiếp tục tìm số dư này theo thuật toán đã biết, ta được số dư cần tìm r = 1232

Phương pháp 2: Với dạng toán trên ta cũng có thể giải và trình bày theo phương pháp

đồng dư

Cơ sở lý thuyết của phương pháp:

a) Định nghĩa đồng dư thức: Cho a, b, m là các số nguyên.

Nếu khi chia hai số a và b cho số m khác 0 có cùng một số dư thi ta nói: a đồng dưvới b mô đun m và viết: a  b (modun m)

Vậy: Khi a chia cho m có số dư là r mà r < m thì ta có a  r (modun m) Do đó, tadùng thuật toán tìm số dư đã biết để tìm số dư r rồi viết ra giấy a  r (modun m)

b) Một số tính chất của đồng dư thường dùng:

- Nếu: a  b (modun m) và c  d (modun m) thì ac  bd (modun m)

- Nếu a  b (modun m) thì an  bn (modun m)

- Nếu a  b (modun m) và b  c (modun m) thì a  c (modun m)

Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004

Giải:

Ta dùng thuật toán tìm số dư đã biết, tìm các số dư và viết ra giấy

Ta có: 88  1732 (modun 2004) và 87  968 (modun 2004)Suy ra : 815 = 88 87  1732x968 (modun 2004)

Mà : 1732x968  1232 (modun 2004)Vậy : Số dư cần tìm là : r = 1232

Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia: 147 cho 23

Giải:

Ta có : 14  14 (modun 23)

142  12 (modun 23)

144  122  6 (modun 23)Suy ra: 147 = 14.142.144  14.12.6  19 (modun 23)Vậy số dư cần tìm là r = 19

Ví dụ 3: Tìm số dư trong phép chia: 91999 cho 12

Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia: 2004376 cho 1975

Giải:

Ngoài cách tách số mũ của lũy thừa an như các ví dụ trên, ta còn có cách biểu diễn số mũ như sau: Viết n = kq + r, từ đó: a n = akq + r = (ak)q ar Áp dụng vào ví dụ này như sau: Ta viết 376 = 6 62 + 4

Ta có: 20044  841 (modun 1975)Suy ra: 20044  8412  231(modun 1975)

* Chú ý: Ở dòng 200412  416(modun 1975) ta không thể đưa lên 200460 = (200412)5 

4165 (modun 1975), vì phép tính 4165 cho kết quả 6308114289 ta sẽ lầm tưởng là một sốnguyên, nhưng thực chất đó là một số thập phân làm tròn với kết quả vừa đủ 10 chữ số

Do đó ta cần thận trọng cảnh giác những trường hợp này

Bài tập thực hành: Tìm số dư trong các phép chia :

1) 123456789 cho 23456 (ĐS: 7861)2) 9124565217 cho 123456(ĐS: 55713)3) 103200610320061032006 cho 2010 (ĐS: 396)4) 2008324 cho 1986 (ĐS: 1246)

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của: 72005

Do đó: 72005  7x1  7 (modun 10)Vậy chữ số tận cùng của: 72005 là 7Cách 2: Ta có: 71  7 (modun 10), 75  7 (modun 10),

(Ghi chú: Ta có thể lập luận: Các chữ số tận cùng của các lũy thừa của 7 lần lượt là:1, 7, 9, 3 và được lặp lại với chu kì là 4)

Ví dụ 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của 19869

Giải

Ta có: 19863 ≡ 56 (mod 100)

=> 19869 = (19863)3 ≡ 563 ≡ 16 (mod 100)Vậy hai chữ số tận cùng của 19869 là 16

Ví dụ 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2100

Giải

Ta có: 210 ≡ 24 (mod 1000)

=> 250 = (210)5 ≡ 245 ≡ 624 (mod 1000)

=> 2100 = 250.250 ≡ 624 x 624 ≡ 376 (mod 1000)Vậy 3 chữ số tận cùng của 2100 là 376

* Chú ý: Đến đây ta thấy: số có 3 chữ số tận cùng là 376 dù lũy thừa bậc bao nhiêu thì 3chữ số tận cùng cũng vẫn là 376 (ta gọi là số có chữ số tận cùng bất biến với mọi lũythừa)

Cho nên: 2300 = (2100)3 ≡ 3763 ≡ (mod 1000)

=> 2900 = 2300 2300 2300 ≡ 3763 ≡ 376 (mod 1000)

Vậy 21000 = 2900 2100 ≡ 3762 ≡ 376 (mod 1000) tức là 3 chữ số tận cùng của 21000 là 376

Ví dụ 4: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994

GiảiCách 1: Ta có: 54 ≡ 625 (mod 104)

Cách 2: Ta có: 54 = 625

Nhận thấy số tận cùng là 0625 dù lũy thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 0625

Mà: 51994 = 54k + 2 = (54)k 52 = (….0625) 25 = …5625

Bài tập thực hành:

1) Tìm chữ số tận cùng của 42008 (ĐS: 6)

HD: C1: Nâng dần các lũy thừa của 4 lên đến 42008

C2: Quan sát chu kỳ của chữ số tận cùng 2) Tìm 2 chữ số tận cùng của:

a) 20112012 (ĐS: 21)HD: 20112 ≡ 21 (mod 100)

201110 ≡ 215 ≡ 1 (mod 100)b) 2999 (ĐS: 88)

c) 99 9 (ĐS: 89)3) Tìm 3 chữ số tận cùng của:

a) 3100 (ĐS: 001); HD: 310 ≡ 49 (mod 1000)

350 ≡ 249 (mod 1000)b) 5100 (ĐS: 625); HD: 510 ≡ 625 (mod 100)4) Tìm 4 chữ số tận cùng của:

a) 2100 (ĐS: 5376)b) 3100 (ĐS: 2001)c) 7100 (ĐS: 0001)

DẠNG 4: TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN) VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN):

Đặt vấn đề: Chúng ta đã biết hai bài toán tìm UCLN và BCNN là hai bài toán cơbản và tương đối dễ trong chương trình số học lớp 6, nhưng trái lại ta thường thấy xuấthiện thường xuyên trong các kì thi HSG giải toán trên MTCT, bởi vì các bài toán này khi

áp dụng cho thi, người ta thường cho các số tương đối lớn, như vậy với khả năng tính toánbằng tay, không có sự trợ giúp của máy tính thì gần như chúng ta giải không nổi với cácphương pháp đã biết trong sách giáo khoa Nhờ sự trợ giúp của MTCT với các phươngpháp và thuật toán hợp lý ta có thể giải được các bài toán này Sau đây xin nêu một sốphương pháp và thuật toán hướng dẫn qui trình ấn phím để tìm UCLN và BCNN

Nhận xét: Ta có công thức: UCLN(a, b) x BCNN(a, b) = a x b Do đó hai bài toántìm UCLN và BCNN thường được làm cùng lúc, vì khi đã có UCLN thì ta lại tính đượcBCNN

Phương pháp 1: Áp dụng cho các số không quá lớn

Cách 1: Làm theo 3 bước của thuật toán như SGK toán 6, với sự trợ giúp của máy tính khi

tiến hành phân tích các số ra thừa số nguyên tố (Rõ ràng cách này không nhanh)

Cách 2: Dùng tính năng rút gọn phân số của máy.

Ta đã biết: Nếu UCLN(a, b) = m Suy ra :

a = m x và b = m x, từ đó: a x m a b

Do đó: Ta dùng máy rút gọn phân số a

b thành phân số x y , sau đó dời con trỏ sửaphép tính thành a : x = m = UCLN(a, b)

Còn: BCNN(a, b) = a y, bởi vì:

Dời con trỏ lên dòng bt sửa phép tính thành : 3456 617 → K/q: 2132352(= BCLN)

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 209865 và 283935

GiảiQui trình ấn máy:

209865 283935 → 17

23Dời con trỏ sửa lại:

209865 17 → 12345 = ƯCLNDời con trỏ sửa lại:

209865 23 → 4826895 = BCLN

Bài tập thực hành:

TÌM ƯCLN VÀ BCNN CỦA

a) 2419580247 và 3802197531

(ĐS: Phân số rút gọn: 7

11; ƯCLN = 345654321; BCNN = 26615382717 (cần xử lý sốlớn))

b) a = 24614205, b = 10719433

(ĐS: Phân số tối giản 1155

503 ; ƯCLN = 21311; BCNN = 12380945115)c) a = 96309 và b = 70233

(ĐS: ƯCLN = 123; BCNN = 54992439)

Phương pháp 2: Số quá lớn hoặc cặp số mà máy không biểu diễn được dạng phân số rút gọn (Tức là có số kí tự của tử + mẫu + dấu phân số quá 10 kí tự)

Cách 1: Dùng thuật toán Ơ_Clit

Định lý: (Cơ sở của thuật toán Ơ_Clit)

Nếu a = bq + r (0 < r < b) thì ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r)

ƯCLN (b, mod (a, b), a > b)

Tức là: ƯCLN (a, b) =

ƯCLN (a, mod (b, a), a < b) Từ đó ta có thuật toán Ơ_Clit như sau:

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của: 37068 và 196246

(Thay bởi 2 số: 15185088 và 3956295); ƯCLN = 123; BCNN = 48842855520

GiảiLần 1: 37068 = 196296 x 1 + 174072Lần 2: 196296 = 174072 x 1 + 22224Lần 3: 174072 = 22224 x 7 + 18504Lần 4: 22224 = 18504 x 1 + 3720Lần 5: 18504 = 3720 x 4 + 3624Lần 6: 3720 = 3624 x 1 + 96Lần 7: 3624 = 96 x 37 + 72Lần 8: 96 = 72 x 1 + 24Lần 9: 72 = 24 x 3Vậy ƯCLN là 24Suy ra: BCNN = 37068 196246

Nhận xét: Cách này rất dài về thao tác ấn máy, ta chỉ dùng khi không làm cách trên được.

Ngoài ra ta còn có cách khác nữa là áp dụng mệnh đề: ƯCLN (a, b) = ƯCLN (a-b, b), với

a > b, tuy nhiên cách này ít dùng

Bài tập thực hành:

TÌM ƯCLN VÀ BCNN CỦA: a = 75125232 và b = 175429800

(ĐS: ƯCLN = 412776; BCNN = 31928223600; Phân số tối giản 182

425

a

DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM ƯỚC, BỘI, ƯỚC CHUNG, BỘI CHUNG.

Các bài toán dạng này thường không có phương pháp, cũng như thuật toán về quitrình ấn phím chung nào cả, tùy vào từng bài cụ thể mà ta có thể đưa ra một qui trình ấnphím riêng để giải, nhằm giải quyết bài toán đó theo yêu cầu

* Nhắc lại một số kiến thức:

- Ư(a) = { x / a chia hết cho x }

- B(a) = { x / x chia hết cho a }

- ƯC(a,b) = { x / a chia hết cho x và b chia hết cho x }

= Ư(UCLN(a, b))

- BC(a, b) = { x / x chia hết cho a và x chia hết cho b }

= B(BCNN(a, b))

Sau đây là một số bài toán thường gặp:

Bài 1: Tìm các ước của 120

Ta chỉ lấy các kết quả là số nguyên:

Ấn =  2 =  Kết quả 60 (tức 120 chia hết cho 2)

=  3 =  Kết quả 40 (tức 120 chia hết cho 3)

=  4 =  Kết quả 30 (tức 120 chia hết cho 4)

=  5 =  Kết quả 24 (tức 120 chia hết cho 5)

=  6 =  Kết quả 20 (tức 120 chia hết cho 6)

=  7 =  Kết quả 17,1 (tức 120 không chia hết cho 3), bỏ

=  8 =  Kết quả 15 (tức 120 chia hết cho 8)

=  9 =  Kết quả 13,3 (tức 120 không chia hết cho 3), bỏ

=  10 =  Kết quả 12 (tức 120 chia hết cho 10)

=  11 =  Kết quả 10,9 (tức 120 không chia hết cho 11), bỏ

Ta dừng lại vì 10,9 < 11Vậy : Ư(120) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}

Chú ý: Ta có thể tìm ước 120 bằng cách phân tích 120 ra thừa số nguyên tố rồi từ kết quả

phân tích này viết ra các ước Cách này thủ công không lợi dụng được thế mạnh của máytính nên ít dùng, nhưng cách này lại có ưu điểm là tính được số ước, không sợ bị sót ước.Cách tính số ước như sau:

Giả sử: a = xm.yn.zp thì số ước bằng: (m + 1)(n + 1)(p + 1)

Vd: 120 = 23.3.5 sẽ có: (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ước

Bài 2: Tìm tổng các ước lẻ của 93184

Phương pháp: Ta tìm các ước lẻ của 93184 rồi tính tổng

Cách 1: Ta tìm các ước lẻ của 93184 bằng cách loại các ước chẵn

Qui trình ấn phím như sau:

Ấn: 93184 (gán vào )

÷ 2 …(loại các ước chẵn)

Ta ấn liên tục cho đến khi thương hết còn chẵn (tức là loại hết các ước chẵn) và khi thấy thương lẻ 91 xuất hiện ta dừng lại

Lại tiếp tục tìm các ước lẻ của 91, lấy 91 chia cho 3, 5, 7, 11, 13, ta tìm được 2 ước

lẻ nữa là 7 và 13

Vậy tổng các ước lẻ của 93184 là: 91 + 13 + 7 + 1 = 112Cách 2: Ta tìm trực tiếp các ước lẻ của 93184 bằng vòng lặp sau:

Qui trình ấn phím

Ấn 1 SHIFT STO A (gán 1 cho ô nhớ A)

(Tức A = A + 2, tạo biến lặp là số lẻ 1, 3, 5,…)ALPHA : 93184 ÷ ALPHA A

Ấn = = … liên tiếp và chỉ chọn những số lẻ nào mà 93184 chia hết (tứcthương nguyên), khi đó ta chọn được các ước 7, 13, 91, ấn = liên tiếp cho đến khi nàothương nhỏ hơn biến nhảy thì dừng

Bài 3: Tìm các bội của 60

Giải

Ta dùng vòng lặp với biến đếm từ 0, 1, 2,…

Qui trình ấn máy:

Ấn: -1 SHIFT STO A (gán -1 cho A)

(A = A + 1), tạo biến đếm từ 0, 1, 2, ……)ALPHA : 60 ALPHA A = = ……

(Sau mỗi lần ấn 2 dấu = ta được 1 bội)Vậy B(60) = {0; 60; 120; 180; ………}

Bài 4: Tìm các bội nhỏ hơn 2012 của 60

GiảiQui trình ấn máy:

ALPHA : 45 ALPHA A = = = ……

Ta ấn = liên tiếp để lấy kết quả; để ý nếu thấy hiện 45A ÷ 35 là số nguyên thì ấn = kếtiếp là 45A có kết quả thỏa điều kiện bài toán và đến khi lớn hơn 2012 thì dừng

Kết quả: 0; 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890

Cách khác: Theo đề bài, ta cần tìm các bội chung của 45 và 35 mà nhỏ hơn 2012

Bước 1: Tìm BCNN (35, 45) = 315 (theo thuật toán đã biết)

Bước 2: Tìm các bội của 315 mà nhỏ hơn 2012 (cách này quả là qui trình ấn máy gọn gànnhờ ta biết kết hợp tư duy toán học vào máy tính)

DẠNG 6: SỐ NGUYÊN TỐ

1/ Kiến thức về số nguyên tố :

a) Định nghĩa : Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó

 Chú ý: - Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất

- Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là: 2; 3; 5; 7b) Định lý 1 : (Cơ bản về số nguyên tố)

Với mọi số nguyên dương n, m > 1 đều có thể viết được một cách duy nhất:

n = 1 2

1e 2e e k

k

Với k, ei i1,k là số tự nhiên, Pi là số nguyên tố thỏa mãn p1 < p2 < … < pk

Khi đó dạng viết trên gọi là phân tích số n ra thừa số nguyên tố

c) Định lý 2 : (Xác định số ước của một số tự nhiên)

Cho n N , n > 1, giả sử n có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là n = 1 2

1e 2e e k

k

Khi đó số ước của n được tính theo công thức: (e1 + 1)(e2 + 1) … (ek + 1)

d) Cách nhận biết số nguyên tố :

p là một số nguyên tố nếu p không có ước nguyên tố < p

2/ Một số bài toán về số nguyên tố

Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Giảia/ Ấn 1800 → (đưa vào biến nhớ Ans)

Dùng vòng lặp chia số 647 cho các số lẻ đến 25

Qui trình ấn phím trên máy fx-570MS:

Bài tập thực hành:

Kiểm tra xem các số sau, số nào là số nguyên tố

859 ; 417 ; 900 ; 1249 ; 8011

(Đáp số: 859; 1249 là số nguyên tố)

Bài 3 : Tìm các ước nguyên tố của: A = 17513 + 19573 + 23693

Phân tích ta thấy 23939 = 37.647, kiểm tra lại thấy 647 là số nguyên tố

Vậy A có các ước nguyên tố 37; 103; 647

Bài 4: Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của A = 2152 + 3142

- Tiếp tục kiểm tra ta thấy 1494 cũng là số nguyên tố

Vậy A có ước nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493

Bài tập thực hành:

Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của 10001

(ĐS : 73 và 137)

DẠNG 7: MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG TÍNH TUẦN HOÀN CỦA CÁC SỐ

DƯ KHI NÂNG LÊN LŨY THỪA.

Cơ sở lý thuyết : Định lý : Với a, m là các số tự nhiên Các số dư trong phép chia các lũy thừa của a

là : a1, a2, a3, a4, cho m được lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ lũythừa đầu)

Chứng minh :

Ta lấy m + 1 lũy thừa đầu tiên của a: a1, a2, a3, a4, , am, am+1 Ta xet các số

dư của chúng khi chia cho m, vì khi chia cho m chỉ có m số dư tù 0; 1; 2; 3; ;

m -2; m – 1, mà lại có m + 1 số (m + 1 phép chia cho m), nên trong các phép chiatrên phải có hai phép chia cho cùng số dư khi chia cho m

Giả sử hai số đó là ak và ak+l (l > 0)Khi đó a k  ak+l (modun m)

Với mọi n ≥ k, ta nhân hai vế của phép đồng dư trên với an – k, ta sẽ được:

an  an + k (modun m)Điều này chứng tỏ rằng: Bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư sẽ lặplại một cách tuần hoàn Số l được gọi là chu kì tuần hoàn của các số dư khi chiacác lũy thừa của a cho m

Nhận xét: Với sự trợ giúp của MTBT, ta dễ dàng xây dựng thuật toán hướng dẫn

qui trình ấn phím để tính nhanh các lũy thừa của một số và xác định các số dư vàchu kì tuần hoàn của nó Ví dụ: Tính các lũy thừa của: 5n, với n = 0; 1; 2; 3; Tacó quy trình ấn phím như sau:

Sau đây ta sẽ áp dụng tính chất tuần hoàn này để giải một số bài toán

Bài 1: Xét các lũy thừa liên tiếp của 2.

*Nhận xét: Nếu ta có bài toán:

Tìm số dư khi chia 22005 cho 5

Áp dụng kết quả trên : Ta có 2005  1 (mod 4)

 22005 khi chia cho 5 có dư là 2

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 23 4

Chữ số tận cùng ( 2, 4, 8, 6) (2, 4, 8, 6 ),

Ta thấy chữ số tận cùng (tức là số dư khi chia cho 10) lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số ( 2; 4; 6; 8)

Mà : 34 = 81  1 (mod 4)

Vậy chữ số tận cùng của 23 4 là 2

Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của A = 21999 + 22000 + 22001

Giải:

Dùng máy tính các lũy thừa của 2 để tìm 2 chữ số tận cùng ( tức số dư khi chia cho 100)như quy trình ở Ví dụ 2 ở trên Ta có kết quả :

21 22 23 24 25 .220 221 (4 8 16 32 64 .76 52)

Ta thấy các số dư lặp lại tuần hoàn với chu kỳ 20 (từ 4 đến 52)

Ta lại có 1999  19( mod 20)  21999 chia 100 dư 88

2000  0( mod 20)  22000 chia 100 dư 76

2001  1( mod 20)  22001 chia 100 dư 52

Mà 88 + 76 + 52 = 216 16 (mod100)

Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 16

* Nhận xét: Cách giải trên tuy dài nhưng dùng lợi thế của máy tính ta có thể giải 1 cách dễdàng

Ta có cách giải khác như sau:

Ta có 21  2 (mod100); 23 8 (mod100)

210 24(mod100); 29 = (23)3 83 12(mod100); 240  76(mod100)

Vậy hai chữ số tận cùng của A là 16

Bài 4 : Chứng minh rằng (148)2004 + 13 chia hết cho 11

Giải

Ta có 143 (mod11)  (148)2004 (38)2004 (mod11)

Mà 38 = 6561 5 (mod11)  (38)2004 52004(mod11)

Cho nên 52004 cho 11 dư 9, tức (148)2004 chia cho 11 dư 9

Vậy (148)2004 +13 chia hết cho 11

Cách khác:

Ta có: 51 5 (mod11)

52  3 (mod11)

Ta tìm dư khi chia 222555 cho 7

Ta có : 222  5(mod 7)  222555 5555 (mod 7)

Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia lũy thừa của 5 cho 7

51 52 53 54 55 56 57 58 59 510

( 5 4 6 2 3 1) (5 4 6 2

Mà : 555 3 (mod6)

 5555 6 (mod 7)

Vậy : 222555 chia cho 7 dư 6

- Tương tự ta tìm được : Số dư khi chia 555222 cho 7 là 1

Vậy dự của 222555 +555222 chia cho 7 là 7, tức chia hết cho 7

Vậy A chia cho 2007 có dư là 1557

*Chú ý: Để tính được A = 2100 ( 21908 – 1), nếu học sinh khi học bồi dưỡng đã được trangbị kiến thức về cấp số nhân thì ta thấy A là tổng cấp số nhân với công bội là q = 2, u1=2100

Ta có công thức tính tổng