Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến (2)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện độc lập 1: PGS..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN ANH TRIẾT

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN

BIÊN PHI TUYẾN

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01

Phản biện độc lập 1: PGS TS PHẠM HOÀNG QUÂN

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ XVIIItrong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler (1707-1783),Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) và Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hìnhcủa vật lý và cơ học Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã pháttriển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũngnhư trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trongnhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toáncho phương trình đạo hàm riêng như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Một trong những bài toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được nghiêncứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình sóng liênkết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán thực tế, chẳnghạn trong bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở

bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựatrên một nền đàn nhớt Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé củamột sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đưa ra phương trình dao độngcủa một dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm của nó Mô hình toán học chobài toán này, do D’Alembert đề nghị, có dạng

trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h diện

tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ là khối lượng riêng và

P0 là lực căng ban đầu Phương trình này là nới rộng của phương trình sóng cổ điểnD’Alembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trongquá trình dao động

Một dạng khác với phương trình (2) để mô tả dao động dao động bé của một sợidây đàn hồi, Carrier [13], vào năm 1945, cũng thiết lập phương trình dạng

utt = P0+P1

Z L

trong đó P0, P1là các hằng số dương có ý nghĩa Cơ học nào đó

Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được sự quan tâm rộngrãi của nhiều nhà toán học Nhiều kết quả định tính và định lượng liên quan đến cácphương trình sóng phi tuyến kết hợp với các điều kiện biên khác nhau đã được đềcập nhiều trong các công trình nghiên cứu [1], [2], [4] - [21], [24] - [26], [28] - [82] bởinhiều tác giả trong những năm gần đây và các tài liệu tham khảo trong đó Các ví dụthực tiễn điển hình có nhiều ứng dụng đã được nêu trong nhiều tài liệu chuyên ngành.Chẳng hạn, ba ví dụ về phương trình truyền sóng với biên độ bé được đề cập ở tài liệu[19, p.170, 273, 276]

Một trong các nghiên cứu cổ điển đầu tiên dành riêng cho phương trình Kirchhoff

đã được đưa ra bởi Pohozaev [71] Sau khi công trình của Lions [28] xuất hiện, phươngtrình (2) đã nhận được nhiều sự chú ý và sự tổng quát hoá nó thành các phương trìnhtrừu tượng đã được đề xuất, ta có thể tìm thấy dạng phương trình này trong nhiềubài báo, chẳng hạn như, Cavalcanti và các cộng sự [14] - [17], Ebihara, Medeiros vàMiranda [20], Miranda và các cộng sự [53], Lasiecka và Ong [25], Hosoya, Yamada [21],Larkin [24], Medeiros [49], Menzala [52], Park và các cộng sự [69], [70], Rabello và cáccộng sự [73], Santos và các cộng sự [75] - [77], Long và các cộng sự [33] - [44], Ngọc vàcác cộng sự [60] - [67], Trường và các cộng sự [79] - [82], cùng các tài liệu tham khảotrong đó Tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học của mô hình Kirchhoff có thểđược tìm thấy trong Medeiros, Limaco và Menezes [50], [51]

Ngoài những công trình đó, nhiều bài toán biên với các dạng điều kiện biên cụ thểkhác đã và đang được nghiên cứu và hiển nhiên rằng khi xét đến các bài toán cụ thểthì còn nhiều dạng bài toán vẫn là bài toán mở - cần tiếp tục khảo sát Thực tế cho thấyrằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói riêng và phương trìnhđạo hàm riêng nói chung và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải được

tất cả các bài toán đó Chính vì vậy, đề tài luận án chúng tôi nghiên cứu "Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến"là cần thiết và

có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng.

Tiếp nối các kết quả đã có cho phương trình sóng, trong luận án này, chúng tôinghiên cứu ba bài toán biên cụ thể cho ba dạng phương trình sóng phi tuyến Các kếtquả thu được là mới và sẽ trình bày trong ba chương 1, 2 và 3.

Trước hết, xuất phát từ các bài toán cho phương trình Kirchhoff nêu trên, hai dạngphương trình sóng kiểu Kirchhoff sẽ được xét trong Chương 1 và Chương 2 Bằng công

cụ chính là phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với phương pháp Galerkin, các kếtquả về tồn tại và duy nhất nghiệm, về khai triển tiệm cận của nghiệm được chứngminh Cụ thể như sau

Chương 1chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bàitoán

trong đó ˜u0, ˜u1, µ, ψ, f , g0, g1 là các hàm số cho trước Ở đây, (4)2 là điều kiện biên

Dirichlet Khi các hàm µ, f lần lượt được thay bởi các hàm có nhiễu

0< x <1, 0 < t < T, liên kết với điều kiện biên và điều kiện đầu (4)2,3 Với tính trơn

thích hợp của các hàm ψ, µ, f , µi, fi (i = 1, , p), một khai triển tiệm cận của nghiệmbài toán (4)2,3, (6) theo p tham số bé ε1, , εpđược thiết lập

Kết quả thu được ở đây đã công bố trong [T2], ứng với trường hợp riêng ψ = 0 và

0, µ =µ u,kuxk2 và điều kiện biên Dirichlet (4)2thay bởi điều kiện biên Neumann

trong đó ˜u0, ˜u1, µ, f , g0, g1, Φ, ψ là các hàm số cho trước, h0 0, h1 0 là các hằng

số cho trước, với h0+h1>0 Với các phương pháp tương tự Chương 1 cùng nhiều kỹthuật tính toán, kết quả thu được ở Chương 2 cho bài toán (7) tương tự Chương 1 chobài toán (4) Trường hợp riêng của bài toán (7) ứng với f = f(x, t, u, ux, ut) đã đượccông bố trong [T3]

Mặt khác, kết quả này cũng là sự phát triển các kết quả đã công bố trong [T4], kếthợp sự điều chỉnh và cải tiến các kỹ thuật đã sử dụng trong [T4] cho bài toán (7) ứngvới Φ = ψ = 0 và điều kiện biên Robin (7)2 được thay bởi điều kiện biên hỗn hợpDirichlet - Robin

ux(0, t) h0u(0, t) = g0(t), u(1, t) = g1(t)

Cuối cùng, Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm

của bài toán biên sau đây cho phương trình sóng phi tuyến

cập trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay Chẳng hạnnhư, Cavalcanti cùng các cộng sự [14] - [17]; Long, Định và Diễm [36]; Ngọc, Hằng vàLong [60]; Rivera [74]; Santos [75] - [77] và các tài liệu tham khảo trong đó Trong cáccông trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định và khai triển tiệmcận, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được chứng minh.

Với µ(x, t) 1 hay µ(x, t) µ(t), bài toán (8) cũng được nghiên cứu bởi nhiều tácgiả

Trong [1], Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều đã khảo sát một trường hợp đặcbiệt của bài toán (8)1,3liên kết với điều kiện biên

với µ(x, t) 1, F= u˜0 =u˜1 =0, p =q = pi =qi =ri =2 và f(u, ut) = Ku+λut, với

h0, K 0, λ 0 là các hằng số cho trước Đây là mô hình toán học mô tả va chạm củamột vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng

Một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (8)1,3 liên kết với điều kiện biên tuyếntính tại x =1 đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định (xem [4])

Bài toán (8) cũng được xét trong [T1] với f(u, ut)tuyến tính, tức là f(u, ut) = Ku+

λut, với K 0, λ > 0 là các hằng số cho trước Ở đây, sự tồn tại toàn cục, tính duy

nhất, tính trơn của nghiệm yếu và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số λ,

Kđược chứng minh

Bằng phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng

sự hội tụ yếu thông qua các định lý nhúng compact và phương pháp đơn điệu, Chương

3 đã nới rộng kết quả thu được trong [T1] cho f(u, ut) là phi tuyến, với f(u, ut) =

Kjujp 2u+λjutjq 2ut

Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả đã công bốtrong [T1]-[T5] Ngoài ra, phương pháp và kỹ thuật về khai triển tiệm cận cho các bàitoán biên phi tuyến được sử dụng trong toàn bộ luận án cũng được công bố trong [T6]

Nội dung của luận án đã được báo cáo một phần trong các hội nghị:

Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10, Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh,26/10/2007

Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, Quy Nhơn, 04-08/08/2008

Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 11, Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh,21-23/10/2009

Hội nghị Khoa học lần thứ 7, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh,26/11/2010

Hội nghị Toàn quốc lần thứ 3 về Ứng dụng toán học, Đại học Bách Khoa Hà Nội,23-25/12/2010

Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 12, Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh,26-28/10/2011

Hội nghị Khoa học lần thứ 8, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh,09/11/2012

Hội nghị Khoa học "Một số hướng nghiên cứu mới trong toán học giải tích vàứng dụng", Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, 24-27/5/2012

Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013

Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi tuyến

đã được áp dụng Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi dạng bàitoán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêu cáckhái niệm cùng các ký hiệu và các định lý quan trọng được sử dụng trong toàn bộ luậnán

Các không gian hàm thông dụng

Định nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giảitích Luận án sử dụng các không gian hàm sau Wm,p(0, T), Lp(0, T) = W0,p(0, T),

Hm(0, T); Wm,p(QT), Lp(QT), Hm(QT), , QT = Ω (0, 1), và có viết lại ký hiệucho gọn hơn trong trường hợpΩ = (0, 1) :

Wm,p=Wm,p(0, 1), Lp =Lp(0, 1), Hm =Wm,2(0, 1), 1 p ∞, m =0, 1,

Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu Brézis [3], Lions [27]

Xét riêng không gian L2, chuẩn được ký hiệu bởi k k Ký hiệu h , i để chỉ tích vôhướng trong L2hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử củakhông gian hàm.

Không gian Lp ( 0, T; X ) , 1 p ∞ (Lions, [27], p.7)

Cho không gian Banach X với chuẩnk kX Ta ký hiệu Lp(0, T; X), 1 p ∞, đểchỉ không gian Banach của các hàm u :(0, T)! Xđo được, sao chokukL p ( 0,T;X ) < +∞,trong đó

Bổ đề về tính compact của Lions

Giả sử X0, X, X1 là ba không gian Banach sao cho X0 ,! X ,! X1 với các phépnhúng liên tục Với 1 p0, p1 ∞ và 0<T <∞, ta ký hiệu

W = v2 Lp0(0, T; X0) : v0 2 Lp1(0, T; X1) Khi đó, W là một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như sau

kvkW = kvkL p0(0,T;X0)+ v0 Lp1(0,T;X

1 ).Hiển nhiên W ,! Lp0(0, T; X) Hơn thế nữa, nếu X0, X1 phản xạ và phép nhúng

X0 ,!Xlà compact, ta có tính chất rất hữu ích sau

Định lý 1 (Lions [27], p.57 – 59) Giả sử 1 < p0, p1 < ∞, khi đó phép nhúng W ,!

Lp0(0, T; X)là compact.

Bổ đề về hội tụ yếu

Định lý 2 (Lions [27], p.12) Cho Q là một tập mở, bị chặn của RN và g, gm 2 Lq(Q),

(1<q <∞), sao cho

(i) kgmkL q ( Q ) C, với mọi m,

(ii) gm !g hầu hết trong Q.

Khi đó, gm !g trong Lq(Q)yếu.

Định lý liên quan đến lý thuyết phổ

Giả sử V và H là hai không gian Hilbert thực sao cho V trù mật trong H và phépnhúng V,! Hlà compact

Cho a : V V ! Rlà một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V V và

V elliptic Nghĩa là, a có các tính chất như sau (tương ứng với cách gọi tên tính chất):(i) u7 !a(u, v)tuyến tính từ V vàoR,8v 2V, và v7 ! a(u, v)tuyến tính từ V vào

R,8u2 V;

(ii) a(u, v) = a(v, u),8u, v2 V;

(iii) 9M >0 : ja(u, v)j MkukVkvkV,8u, v2 V;

(iv) 9α >0 : a(v, v) αkvk2V, 8v 2V

Khi đó, ta có kết quả sau

Định lý 3 (Showater, [78], p.87, Theorem 7.7) Tồn tại một cơ sở Hilbert w˜j của H gồm các hàm riêng ˜wjtương ứng với giá trị riêng λj, thỏa mãn

λj

˜

wj

)

cũng là một cơ sở Hilbert của V đối với tích vô hướng a( , ).

Bổ đề về lũy thừa một đa thức

Liên quan đến đa chỉ số và đơn thức nhiều biến, ta sử dụng các ký hiệu sau

Bổ đề về đánh giá số hạng tổng quát của một dãy số thực

Bổ đề 5 Cho dãy số thựcfψmgthỏa mãn

Mục lục

Danh sách ký hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Phương trình sóng kiểu Kirchhoff liên kết với điều kiện biên Dirichlet 11

1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 11

1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết 13

1.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 14

1.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính 26

1.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé 33

Kết luận chương 1 49

Chương 2 Phương trình sóng kiểu Kirchhoff - Carrier liên kết với điều kiện biên Robin 51

2.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 51

2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết 54

2.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 55

2.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính 64

2.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé 72

Kết luận chương 2 91

Chương 3 Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên phi tuyến 93 3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 94

3.2 Tính trơn của nghiệm 109

3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số K, λ 119

3.4 Một trường hợp tổng quát cho các số hạng phi tuyến của bài toán 134

Kết luận chương 3 135

Kết luận 137

Danh mục công trình của tác giả 139

Tài liệu tham khảo 140

Phương trình sóng kiểu Kirchhoff liên kết với điều kiện biên Dirichlet

Chương này khảo sát bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet cho phương trìnhsóng phi tuyến kiểu Kirchhoff Trước hết, bài toán được đưa về bài toán với điều kiệnbiên thuần nhất và sau đó với các điều kiện thích hợp, sự tồn tại nghiệm và khai triểntiệm cận của nghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong phương trình được thiết lập

Vì cả hai vế của phương trình sóng là các số hạng phi tuyến dạng tổng quát đủ trơn nênchúng tôi lựa chọn cách giải bài toán bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính Ý tưởng củaphương pháp này như sau: Trước hết, với mỗi hàm v = v(x, t) thuộc vào một khônggian hàm thích hợp X, ta có thể cho một số giả thiết phù hợp để thu được một nghiệmduy nhất u 2 X của bài toán tương ứng với µ = µ(x, t, v(x, t),kvx(t)k2) = ¯µ(x, t) và

f = f(x, t, v, vx, vt,kvxk2) = ¯f(x, t) Dĩ nhiên u phụ thuộc vào v, nên có thể giả sử rằng

u = A(v) Từ đó, bài toán đang xét có thể được đưa về bài toán điểm bất động củatoán tử A : X ! X Dựa vào ý tưởng này, với số hạng đầu u0 được chọn, ta xây dựngdãy lặpfumg, thường là theo công thức um = A(um 1), m =1, 2, , sao chofumghội

tụ về nghiệm của bài toán, khi đó ta thu được kết quả về tồn tại nghiệm

1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu

Xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa tíchphân thuộc dạng dưới đây

trong đó các hàm ˜u0 2 H2, ˜u1 2 H1, ψ 2 C1([0, 1] R+), µ 2 C2([0, 1] R+ R

R+), µ µ0 >0, f 2 C1(Ω R+ R3 R+), g0, g1 2 C3(R+)là các hàm cho trướcvà

kux(t) +ψ(t)k2 =

Z 1

0 jux(x, t) +ψ(x, t)j2dx (1.1.2)Không mất tính tổng quát, có thể xem g0 =g1 =0

Thật vậy, nếu g0, g1 2C3(R+)mà không đồng nhất bằng không thì ta đặt ϕ(x, t) =(1 x)g0(t) +xg1(t)và thực hiện phép đổi biến v(x, t) =u(x, t) ϕ(x, t), bài toán(1.1.1) được đưa về bài toán có điều kiện biên thuần nhất có cùng dạng như sau8

và g0, g1, ˜u0thỏa điều kiện tương thích ˜u0(0) g0(0) = u˜0(1) g1(0) = 0, ˜u1(0)

g00 (0) = u˜1(1) g10 (0) = 0 Khi đó, nếu bài toán (1.1.3) giải được và v là nghiệm của

nó thì bài toán (1.1.1) sẽ nhận nghiệm u=v+ϕ

Như vậy, ta chỉ cần giải bài toán (1.1.1) tương ứng với g0(t) = g1(t) 0 như sau8

1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết

Nghiệm yếu bài toán (1.1.5) là một hàm u 2 L∞ 0, T; H10\H2 , sao cho ut 2

L∞ 0, T; H01 và utt 2 L∞(0, T; L2), đồng thời u thỏa mãn bài toán biến phân sau8

A (M) =n

(x, t, y, z) : 0 x 1, 0 t T ,

jyj M+M , 0 z (M+M )2o

;(1.1.8)

A (M) = n

(x, t, u, v, w, z) 2 [0, 1] [0, T ] R3 R+ :

juj, jvj, jwj M, 0 z (M+M )2o

;(1.1.9)

khi đó W1(T)là không gian Banach với chuẩn

kvkW1( T ) = kvxkL ∞(0,T;L2 )+ v0 L∞(0,T;L2 ) (1.1.12)Ngoài ra, hai bổ đề sau đây được sử dụng thường xuyên trong suốt luận án này

1.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Bây giờ, ta xây dựng dãyfumgtheo lược đồ của phép xấp xỉ tuyến tính Đầu tiên,chọn số hạng ban đầu u0 u˜0, giả sử rằng

W1(M, T)là nghiệm của bài toán (1.1.16), (1.1.17) Chi tiết chứng minh như sau

Bước 1.Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở wj trên H01 : wj(x) = p

Bổ đề 1.1.4 Hệ(1.1.19) (1.1.20)có duy nhất nghiệm u(mk)(t)trên đoạn[0, T].

Chứng minh Bổ đề 1.1.4. Hệ phương trình (1.1.19) – (1.1.20) được viết lại dưới dạng

Chứng minh(1.1.27)bằng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, bất đẳng thức(1.1.27)đúng với n=1 Thật vậy, với mọi j =1, 2, , k, vớimọi t2 [0, T], ta có

Tiếp theo, bằng cách đánh giá tiên nghiệm chúng ta sẽ chứng minh rằng, với M và

Tđược chọn phù hợp ta có u(mk) 2W(M, T)với mọi m và k2 N

Bước 2.Đánh giá tiên nghiệm Ta đặt

s(mk)(t) = p(mk)(t) +q(mk)(t) +

Z t

0 u¨(mk)(s) 2ds, (1.1.33)

trong đó p(mk)(t)và q(mk)(t)được xác định bởi

trong đó Diµ[um 1] = Diµ x, t, um 1,krum 1(t) +ψ(t)k2 , i =1, 2, 3, 4 Do đó, kếthợp (1.1.8), (1.1.15), và (1.1.17)1, ta suy ra

với γM =1+M+M Do đó, từ(1.1.33)-(1.1.35)và(1.1.38)ta thu được

= Ke(M, µ) 1+ u0m 1(s) + z0m(s) 1+ krum 1(s)kC0(Ω)+Ke(M, µ) ru0m 1(s)

với mọi β>0 Mặt khác, ta lại có

∂µm

∂x (t)ru(mk)(t) ∂µm

∂x (0)

C 0(Ω)kru˜0kk+2γM 1+2γ2M

p

µ0

!e

Do đó, ta thay wjbởi ¨u(mk)(t)và lấy tích phân, ta được

C1(M, T, β) = 2 3+ 4

βM2+16

β Tγ4M TK21(M, f)+2h

2p

Tγ2M+Mip

TK1(M, f),e

Sử dụng (1.1.71), bằng cách qua giới hạn trong (1.1.19), ta suy ra rằng um là nghiệmcủa (1.1.16)-(1.1.17) trong L2(0, T).

Mặt khác, kết hợp (1.1.16)1với (1.1.71)4ta thu được

u00m =µm(t)umxx(t) +Fm(t)2 L∞ 0, T; L2 (1.1.72)

Do đó, um 2W1(M, T)

Định lý 1.1.3 đã được chứng minh

1.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính

Định lý dưới đây sẽ cho kết quả sự hội tụ của dãy lặpfumg về nghiệm yếu của bàitoán (1.1.5)

Định lý 1.1.5 Cho các hàm ˜u0, ˜u1, ψ, µ và f thỏa các giả thiết(H1) (H4) Khi đó,

(i) Bài toán (1.1.5) có duy nhất một nghiệm yếu u 2W1(M, T), với các hằng số M>0 và

(a) Sự tồn tại nghiệm

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh dãyfumglà một dãy Cauchy trong W1(T)

Đặt wm =um+1 um Khi đó, wm thỏa bài toán biến phân sau đây

Trong(1.1.74)1lấy w=w0m và tích phân hai vế theo biến t ta nhận được

Tích phân J1. Do (1.1.38) và (1.1.76) nên ta suy ra

Z t

0 kFm+ 1(s) Fm(s)k w0m(s) ds

4γMK1(M, f) kwm 1kW1( T )

Z t 0

Tích phân J3. Ta có

∂

∂x µm+1(s) µm(s) rum(s)

= µm+1(s) µm(s) ∆um(s)+ (D1µ[um] D1µ[um 1])rum(s)+ (D3µ[um]rum(s) D3µ[um 1]rum 1(s))rum(s)

= µm+1(s) µm(s) ∆um(s)+ (D1µ[um] D1µ[um 1])rum(s)+ (D3µ[um] D3µ[um 1])rum(s)rum(s)+D3µ[um 1]rwm 1rum(s) (1.1.80)Chú ý rằng

2 1+γM+4γ2M M ˜K(M, µ) kwm 1kW1( T ) (1.1.82)Kết hợp với (1.1.76) ta thu được

4T 1+γM+4γ2M 2M2K˜2(M, µ) kwm 1k2W1( T )+

Z t

0 Zm(s)ds (1.1.83)Dựa vào các đánh giá(1.1.75),(1.1.77),(1.1.79)và(1.1.83)nên dẫn tới

u00(t), w + hµ[u]ux(t), wxi = hf[u], wi, với mọi w2 H01, (1.1.94)

và điều kiện đầu

u(0) =u˜0, u0(0) = u˜1 (1.1.95)Mặt khác, bởi giả thiết (H2) (H4) và kết hợp với (1.1.89)4, (1.1.92), (1.1.94) tanhận được

Chọn w=u0trong(1.1.97)1và tích phân theo biến t ta được

Ta đánh giá các tích phân ở vế phải của(1.1.99)như sau

Tích phân ˜Z1(t) Do các giả thiết(H2)và(H3)nên ta có

+D3µ[u2]uxru2 (1.1.104)

+ kD3µ[u2]kC0( Ω¯)kru2kC0( Ω¯)kux(s)k2M ˜K(M, µ) 1+γM+2γ2M kux(s)k (1.1.106)Điều này dẫn đến

Z t

0

∂

∂x [(µ1(s) µ2(s))ru2(s)] u0(s) ds4M ˜K(M, µ) 1+γM+2γ2M

Z t

0 kux(s)k u0(s) ds2

1.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé

Phần này chúng tôi sẽ khảo sát khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của một bài toánnhiễu(Pε)theo p tham số bé ε = (ε1, , εp), có nghĩa là tìm cách xấp xỉ nghiệm uε bởi

một đa thức theo p tham số bé ε1, , εp : uε ∑

Như vậy, với các giả thiết(H1) (H6), áp dụng Định lý 1.1.5, bài toán(Pε) có duy

nhất nghiệm yếu Hiển nhiên nghiệm này phụ thuộc vào ε= (ε1, , εp), nên ta ký hiệu

nó bởi uε = u ε1, , εp Khi ε = (0, , 0), bài toán (Pε)được ký hiệu là bài toán (P0).Dưới đây, ta thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm uε theo p tham số bé ε1, , εp Để

có được điều này, các giả thiết sau đây là cần thiết

(H7) µ 2 CN+2([0, 1] R+ R R+), µi 2 CN+1([0, 1] R+ R R+), µ µ0 >0,

µi 0, với mọi(x, t, y, z) 2 [0, 1] R+ R R+,(i=1, , p);

Chú ý rằng biểu thức Fγnhư (1.2.2) sẽ được tính toán và được chọn nhờ vào (1.2.36).

Để xấp xỉ uε bởi đa thức theo ε thì ta cần xấp xỉ µ và f bởi các đa thức theo ε và đánh

giá được sai số, nên ta cần bổ đề sau

Dγ

µ(x, t, θ) = Dγ

µ x, t, u0+θh1,kru0+ψk2+θξ

Từ công thức (12) của Bổ đề 4, với m=γ1, ta thu được

với σ α, 1 jαj 2N được xác định bởi (1.2.4)

Sử dụng lại công thức (12), từ (1.2.14), với m =γ2, N thay bởi 2N, và họ~uthay bởi

= ∑

jγj jδj N

Φδ[α , γ, N,~u,~σ]ε δ+ kεkN+1RN[α , γ, N,~u,~σ , ε], (1.2.16)trong đó

1 j m j N

Dmf[u0]m! h

m1

1 (rh1)m2(h01)m3(ξ)m4+R(N1)[f , h1]

R(N1)[f , h1] = ∑

m 2Z 4 +

j m j= N + 1

N+1m!