MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN KHÁC 1.. Tìm hàm nguyên hàm của đa thức fx... Tìm họ nguyên hàm của hàm số: a.. Với n là số nguyên dương.. Từ các kết quả trên... Cho n là một số nguyên dươ
Trang 1MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN KHÁC
1 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx
a Tìm các số A , B sao cho : g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)
b Tính
/ 4
0
( ) ( )
g x dx
f x
2 Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = Asinx + B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ’(1) = 2 và
2
0
f x dx
3 Cho hai tích phân:
/ 2
0 cos cos 2
/ 2
0 sin cos 2
a Tính I + J và I – J
b Tính I , J
4 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [0;] CMR :
/ 2
2
Áp dụng : 2
0
.sin
1 cos
x x
x
5 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta đều có : f(x) + f(–x) = 2 2cos 2x
Tính
3 / 2
3 / 2
( )
f x dx
6 Cho hàm số : x
e bx x
a x
) 1 ( )
Tìm a b biết f '(0) 22và
1
0
5 ) (x dx
7 Cho f(x) sin x.sin2x.cos5x Tìm hàm nguyên hàm của đa thức f(x) Tính tích phân:
2 x 2
f(x)
8 Giải phương trình :
x
2 0
9 Tính
5 / 3
3 / 2
cos2x
dx cos x 3 sin x
3
a
(x 1)
, tìm a, b biết rằng: f '(0) 22 và
1
0
f(x)dx 5
11 Cho f(x) liên tục trên R : f (x) f ( x) 2 2cos 2x x R Tính
3 / 2
3 / 2
f (x)dx
Trang 212 Cho T13 = 3
2 2 1
x x m dx
a Tính T13 với m = 1
b Tính T13 theo m với m < -3
13 Cho In = 1 2 (1 2 )
0
n
x x dx
0
n
x x dx
Với n nguyên dương
a Tính Jn và chứng minh bất đẳng thức In 1
b Tính In+1 theo In và tìm lim I n 1
14 Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục và cùng nhận giá trị trên đoạn [0 ; 1]
Chứng minh:
2
f x g x dx f x dx g x dx
15 Cho 2 số nguyên dương m, n với m là số lẻ Tính theo m, n tích phân:
T83 =
2
0 sinn x cosm xdx
16 a Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] CMR:
b Bằng cách đặt
2
x t
, hãy tính các tích phân:
2003 2
0
sin
xdx I
và
2003 2
0
cos
xdx J
17 Bằng cách đặt
2
x t
, hãy tích tích phân: T88 =
2
0
sin
x dx
18 a Tính tích phân: T89=
1
cos(ln )
e
x dx
b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(t) định bởi:F(t) = 2
0 cos
t
x x dx
19 Chứng minh rằng nếu: 2
y x x t hì đạo hàm:
2
1 '
4
y
x
Sử dụng kết quả này, tính tích phân:
2 2
T x dx
Trang 320 Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a
2
1
x
T x x dx
c ( ) cot2 2
4
f x x
d
1 ( )
g x
e ( ) sin sin sin
3
8
( )
2
x
f x
x
( )
f x
( )
x
f x
3 sin ( )
3sin 4 sin 6 3sin 2
x
f x
l
4
dx
e e
21 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
22 Tính I=1 10
0
1
x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 10
10 10 10
Chứng minh rằng: 1 1 1 2 1 2 1 1
n n
23 Cho:
1 2
2
01
nx
e
e
với n = 0, 1, 2, a Tính Tn b Tính Tn Tn1
24 Cho tích phân:
2
0
cosn
n
Với n là số nguyên dương
a Tính T3 và T4
b Thiết lập hệ thức giữa Tn và Tn2 với n > 2 Từ đó, tính T11 và T12
25 Đặt
0
sin
xdx I
0
cos
xdx J
a Tính I 3 J và I J
b Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T =
5 3
3 2
cos 2
xdx
Trang 426 a Xác định các số A, B, C sao cho: 2
dx
dx
b Tính diện tích S(t) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 1 2
y
trên đoạn [0;t] (t > 0) và trục hoành
c Tính lim ( )
t S t
27 Cho hàm số f x ( ) ax b với a2 b2 0 CMR:
28 Cho n là một số nguyên dương
a Tính: 141 1
0
T x dx
b Tính tổng số: 0 1 1 1 2 1
n
S
n
29 Cho tích phân: 1
2
0
n
T x dx n
a.Tìm hệ thức giữa Tn vàT n1n 1
b Tính Tn theo n
0
n
I x x dx Và 1
2
0
n
J x x dx, n = 0, 1, 2,
a Tính Jn và chứng minh bất đẳng thức 1
n
I
n
với mọi n= 0, 1,
b Tính In1 theo In và tìm lim n 1
n
n
I I
31 Cho
1
0
I t e t dx t R
a Tính I t ( )
b Tìm giá trị nhỏ nhất của I t ( ) với t R
32.Tính
2
0
max[ ( ), ( )]
I f x g x dx trong đó f x ( ) x2và g x ( ) 3 x 2
33 Cho f x ( ) A sin 2 x B Tìm A, B để:
2
0
'(0) 4, ( ) 3
Trang 534 Tính: 19
0
1
Ix x dx AD kết quả đó hãy tính : 0 1 2 18 19
35 Tìm các hệ số A, B để hàm số f x ( ) A cos x B thoả mãn f (1) 4 và
1
0
f x dx
37 Tính: 1
0
x x dx n
n n
38 Cho hàm số
2
3
x y
có tập xác định là D
a Tìm a, b R sao cho: ,
b Tính:
ln 2 2
2 0
3
dx
c Cho n là số tự nhiên khác 0 đặt ( ) 1
1
f x
x
tính đạo hàm cấp n của f(x) Từ đó suy
ra đạo hàm cấp n của y
39 Cho hàm số: g x ( ) sin sin 2 cos5 x x x
a Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x)
b Tính tích phân: 2
2
( ) 1
x
g x dx e
40 Tìm hai số A, B để hàm số:
sin 2 ( )
2 sin
x
h x
x
có thể biểu diễn được dưới dạng:
( )
2 sin
2 sin
h x
x x
, từ đó tính tích phân:
0
2
( )
h x dx
41 a Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1) Chứng minh rằng:
b Sử dụng kết quả trên để tính:
3 2
0
cos
xdx I
3 2
0
sin
xdx J
42 a (CPB) Cho f(x) là hàm số thực, xác định, liên tục trên đoạn 0;
2
, có f(0) > 0 và
2
0
f x dx
CMR: phương trình f(x) = sinx có ít nhất một nghiệm trên đoạn 0;
2
Trang 6b (CB) Giải bất phương trình: 2 ln
ln
4
x dt x dt
t t
x
e
43 a (CPB) Tìm họ nguyên hàm:
2 cos
xdx
b Tính:
2 2
1
x a x a dx
, trong đó a là một số cho trước
44 Tính: 1 *
0
1 x ndx ( n )
n n
45 a Cho hai số nguyên dương p và q Tính
2
0
trong hai trường hợp p
= q và p q
b Cho các số thực a a a1, 2, 3, , an Giả sử: a1cos x a2cos 2 x ancos nx 0với mọi x0;2 Hãy sử dụng kết quả trên để tính a a a1, 2, 3, , an
46 Cho hàm số 2 1
( ) 1
x
x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
(C) và đường thẳng 1
2
x
y
47 Cho hàm số
2
2
( )
1
x
f x
x
Tính:
8 3
3 2
1
x
3
dx
x
F x x dx
49 Xét hàm số y x2 trên [0; 1] Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc [0; 1] Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi các đường x = 0; y = m2; y = x2 S2 là diện tích giới hạn bởi các đường y = x2; y =
m2; x = 1 CMR với mọi m thuộc [0; 1] ta đều có 1 1 2 2
4 S S 3
50 Giải các phương trình sau :
a x t
dt e
0
0
x
tan 1
1 0
3 2
c x t xx
dt t
0
1
2
1 2
2 2 2 ln
0
2
x
t t
dt e
2
3 sin 4 0
x
sin cos
0
g 7 ln 7 6 log76 5; 1
0
x x
dt
x
2
1 2 1 2 6 1
1 1
x x
t t
t
x
51 Tìm x > 0 sao cho
1 2
( 1)
x
t e dx
Trang 752 Giải và biện luận phương trình sau:
x
dt m mt t
t t
t m t m
1
2 2
2
0 2
2 2
1 2 1
b 3 3 3 2 1 1
3
x t dt x
t
dt m
x m x
2
1 1
1
x
dt m t t
t x
0
2 2
2
1 1
53 Tìm m để bất phương trình
m
x m m tdt m dt t
0
3 2
2 3
6 1 3
2 nghiệm đúng với mọi x 0,1
54 Tìm m để bất phương trình
0
2 3
4
1
x
dt m t mt
t nghiệm đúng với x 1,1
55 Tìm m để bất phương trình x t t x
m dt
0
2
3 1 3 2 3
3 3 ln