bài tập mũ và logarit với biểu thức

Tài liệu bao gồm một số bài tập về phương trình logarit có đáp án và lời giải chi tiết.

MŨ VÀ LOGARIT VỚI BIỂU THỨC

1. a Tính B =

x x

x

1

log

1 log

1 log

Sử dụng công thức b

b

log log

1

 , hơn nữa 2007 ! > 1 nên ta có : 2007

log

3

log

2

logx  x   x = logx( 2 3 2007 ) = logx x=1

b Tương tự câu a

89 tan log

3 tan log 2 tan log 1 tan

Ta có log tan 10 log tan 890 log 1  0

0 1 log 88 tan log 2 tan

0 1 log 46 tan log 44 tan

0 45 tan

log = 0 Do đó C = 0

6. Tìm GTNN của hàm số: ln x

y

x 1;e

ln x

y f (x)

x 1;e ln x( ln x)

f (x)

x



  22 f (x)     x x e2

f(1)=0; 2

2

4 ( )

f e

e

3

9 ( )

f e

e

 GTNN là f(1)=0; GTLN là 2

2

4 ( )

f e

e



7. Cho hàm số

2 sin

2

ye  x Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm 2

2

y f x e  x ( ) x cos

f x e  xx ( ) x sin 1 0

f x e  x 

 Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0

 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0

 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0

 GTNN là f(0)=1

y f x e    x e  

 Mà lim 1 2

2

x x

x e



 Và lim 1 2

2

x x

x e



Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt

ĐS: a 2

25 ; 25 b 4; 2

12 Cho

1 lg 1 lg

10 x; 10 y

y  z  với x, y, z > 0 Chứng minh

1

1 lg

10 z

x 

Tương tự bài 24

16 Cho a,b là 2 số thực thỏa 0   a b 1 Chứng minh 2 2

a b b a a b

Bpt ln2 ln2

  Chứng minh hàm số 2

ln ( )

1

x

f x

x



 đồng biến trên khoảng (0;1)

18. CM hệ phương trình 2

2

2007

1 2007

1

x

y

y e

y x e

x







có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.

Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số  

2 2007 1

f x e

x

Nếu x < 1 thì   1  2007  0

e x

f suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh

19. Cho ab 0 Chứng minh rằng 2 1 2 1

     

BĐT

1

ln 2

2

x x

f x

x

 với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ab 0ta có f(a) f b (Đpcm)

20 Rút gọn biểu thức sau :

a A a  4 a  1 a  4 a 1a a 1

= a 1  aa 1  aa2 2a 1 aa2a 1

3 3 3

3

b a

b a















3 3 3

3

b

a

b

a













3 3 3

3 3

2 3 3 3 2 3 3 3

:

.

b a ab b

a

b b a a

b a



































=  3 a 2 2.3 ab  3 b 2: 3 a3 b2 1

3 1 1 3

1 3

3 







 















b

a b

a C

2

3 1 1 3

1

3

3









 













b

a b

a

2

3 1 2

3 3

b

a b

a











d

5 1 5 2

5 3 3 2

6









5 1

5

2

5

3

3

2

6









3 2

3

5 1 5 2

5 3 5 3













2 3 2 7

1 5 1 5  









a a

a

 

2 3

2

7

1 5

1

5

. 









a

a

a

4 2 3 2 7

1 5













a

a a

a

f

7 1 7 2

7 2 5 2

10









F

7 1

7

2

7

2

5

2

10









5 2

5

7 1 7 2

7 2 7 2













g G = 3 3

2 5 7 2 5

3 3

2 5 7 2

5



G  G3 75 275 23.3 75 2.3 75 2.G 

2 0

14

3

3  G  G

G

h H = 4  2 3  4  2 3

3 2 4 3

2



H =  3  1 2  3  12  3  1  3  1  3  1  3  1 2

i K = 3 3

80 9 80

3 3

80 9 80



K  K3  9  80  9  80  3 3 9  80 3 9  80 K 

3 0

18

3

3  K  K

K

23

a/ Từ giả thiết : 2 2 2       

2 loga loga

a c b  c b c b   c b  c b

logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a

b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2

b ac

Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :

2 log log log

 ( đpcm )

c/ Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng thì logx a logz c 2logy b

2 log log

log

b

y



3

a b

a b  ab a b  ab   ab

  Lấy lê be 2 vế ta có :

ln ln

a Cho các số dương a, b thõa mãn a2 4b2  12ab CMR: a b loga logb

2

1 2 log 2 2

ab

b

a2 4 2  12 a2b2 16ab Do a, b dương nên a 2b 4 ab Khi đó logarit cơ số 10 hai vế

ta được a b logab

2

1 4 log 2

log    hay a b loga logb

2

1 2 log 2 2

b Cho a = 1 logb

1

10 , b = 1 logc

1

10 CMR: c = 1 loga

1

10

Giả sử a,b,c đêu dương và khác 10 Để biểu diễn c theo a, ta rút logb từ biểu thức a = 1 logb

1

10  và thế

vào biểu thức b = 1 logc

1

10 ( sau khi lấy logarit 10 2 vế) ta có:

a = 1 logb

1

10

a

b b

a

log

1 1 log log

1

1





Mặt khác, từ b = 1 logc

1

10 suy ra

c

b

log 1

1 log



 Do đó :

a

c a

a

a c

c

1 log

1 log

1 1 1 log

log log

1 log 1

1 log

1

1

























1

10

c CMR: 2 <

2

5 2 log 3 log2  3 

AD BĐT Cauchy cho các số dương ta có : log23log322 log23.log322 12

( không xảy ra dấu “=” vì log23log32) Mặt khác ta lại có :

2 log 3 1log 3 2 0 (*) 0

2 3 log 5 3 log 2 0 2

5 3 log

1 3 log 2

5 2

log

3

2 2

3

Hơn nữa, 2log232log22 nên 2log2310 Mà log23log24 nên log2320

Từ đó suy ra (*) luôn đúng Vậy ta có đpcm

d Cho a, b  1 CMR:

2

ln 2

ln

lna b  ab

Vì a, b  1 nên

2 ln , ln ,

lna b ab

không âm AD BĐT Cauchy ta có : lna lnb 2 lna lnb

ln ln

ln ln 2 ln ln ln ln

Mặt khác a b ab a b lna lnb

2

1 2

ln



Từ đó ta có  2

ln ln 4

1 2

lnab a b

Hay

2

ln 2

ln





e CMR: log20062007  log20072008 Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát

Ta CM bài toán tổng quát lognn 1 logn1n 2, n 1

Thật vậy, từ n 12 nn 2 1 nn 2 1 suy ra

2

1 1 2

n

AD BĐT Cauchy ta có : 2logn1nlogn1n22 logn1n.logn1n2

Do đó ta có 1  logn1n logn1n 2 và lognn 1 logn1n 2 n 1

25. Cho  

2 4

4



 x x

x









































2007

2006

2007

2 2007

1

f f

f